L'anneau des nombres p-adiques entiers. Problème de représentation des données L'ensemble des entiers est un anneau
Dans diverses branches des mathématiques, ainsi que dans l'application des mathématiques à la technologie, il existe souvent une situation où les opérations algébriques sont effectuées non pas sur des nombres, mais sur des objets de nature différente. Par exemple, addition matricielle, multiplication matricielle, addition vectorielle, opérations sur les polynômes, opérations sur les transformations linéaires, etc.
Définition 1. Un anneau est un ensemble d'objets mathématiques dans lequel deux actions sont définies - "addition" et "multiplication", qui comparent des paires ordonnées d'éléments avec leur "somme" et "produit", qui sont des éléments du même ensemble. Ces actions répondent aux exigences suivantes :
1.a+b=b+a(commutativité de l'addition).
2.(a+b)+c=a+(b+c)(associativité d'addition).
3. Il existe un élément nul 0 tel que un+0=un, pour toute un.
4. Pour tout le monde un il y a un élément opposé − un tel que un+(−un)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(distributivité à gauche).
5".c(a+b)=ca+cb(distributivité à droite).
Les exigences 2, 3, 4 signifient que l'ensemble des objets mathématiques forme un groupe , et avec l'item 1, nous avons affaire à un groupe commutatif (abélien) par rapport à l'addition.
Comme on peut le voir à partir de la définition, dans la définition générale d'un anneau, aucune restriction n'est imposée aux multiplications, à l'exception de la distributivité avec addition. Cependant, dans diverses situations, il devient nécessaire de considérer des anneaux avec des exigences supplémentaires.
6. (ab)c=a(bc)(associativité de la multiplication).
7.ab=ba(commutativité de la multiplication).
8. Existence de l'élément d'identité 1, c'est-à-dire tel un 1=1 un=un, pour tout élément un.
9. Pour tout élément de l'élément un il y a un élément inverse un−1 tel que aa −1 =un −1 un= 1.
Dans divers anneaux 6, 7, 8, 9 peuvent être réalisées à la fois séparément et dans diverses combinaisons.
Un anneau est dit associatif si la condition 6 est satisfaite, commutatif si la condition 7 est satisfaite, commutatif et associatif si les conditions 6 et 7 sont satisfaites.Un anneau est dit anneau avec unité si la condition 8 est satisfaite.
Exemples de sonnerie :
1. Ensemble de matrices carrées.
Vraiment. L'accomplissement des points 1-5, 5 "est évident. L'élément zéro est la matrice zéro. De plus, le point 6 (associativité de la multiplication), le point 8 (l'élément unitaire est la matrice d'identité) sont exécutés. Points 7 et 9 ne sont pas effectuées car dans le cas général, la multiplication des matrices carrées n'est pas commutative, et aussi il n'y a pas toujours d'inverse d'une matrice carrée.
2. L'ensemble de tous les nombres complexes.
3. L'ensemble de tous les nombres réels.
4. L'ensemble de tous les nombres rationnels.
5. L'ensemble de tous les nombres entiers.
Définition 2. Tout système de nombres contenant la somme, la différence et le produit de deux de ses nombres est appelé anneau de numéro.
Les exemples 2 à 5 sont des anneaux de chiffres. Les anneaux numériques sont également tous des nombres pairs, ainsi que tous les entiers divisibles sans reste par un certain nombre naturel n. Notez que l'ensemble des nombres impairs n'est pas un anneau puisque la somme de deux nombres impairs est un nombre pair.
Définition:
La somme et le produit des nombres p-adiques entiers définis par les suites u sont les nombres p-adiques entiers définis respectivement par les suites u.
Pour être sûr de l'exactitude de cette définition, il faut prouver que les suites et définissent des nombres entiers - nombres adiques, et que ces nombres ne dépendent que du choix des suites qui les définissent, et non du choix. Ces deux propriétés sont prouvées par une vérification évidente.
Évidemment, étant donné la définition des actions sur les nombres entiers - adiques, elles forment un anneau communicatif contenant l'anneau des nombres rationnels entiers comme sous-anneau.
La divisibilité des nombres entiers - adiques est définie de la même manière que dans tout autre anneau : s'il existe un tel entier - nombre adic qui
Pour étudier les propriétés de la division, il est important de savoir quels sont ces entiers - nombres adic, pour lesquels il existe des entiers réciproques - nombres adic. Ces nombres sont appelés diviseurs d'unités ou unités. Nous les appellerons - unités adic.
Théorème 1:
Un entier est un nombre adic défini par une suite si et seulement si c'est un quand.
Preuve:
Soit une unité, alors il existe un tel entier - un nombre adic, ça. S'il est déterminé par une séquence, alors la condition signifie cela. En particulier, et donc, Inversement, laissez De la condition il s'ensuit facilement que, donc. Par conséquent, pour tout n on peut trouver tel que la comparaison est valide. Depuis et alors. Cela signifie que la séquence détermine un nombre entier - un nombre adic. Les comparaisons montrent que, c'est-à-dire qui est l'unité.
Du théorème prouvé, il s'ensuit que l'entier est un nombre rationnel. Étant considéré comme un élément de l'anneau, si et seulement alors est l'unité quand. Si cette condition est remplie, alors le Il s'ensuit que tout entier rationnel b est divisible par un tel dans, c'est-à-dire que tout nombre rationnel de la forme b/a, où a et b sont des entiers et, est contenu dans Les nombres rationnels de cette forme sont appelés -entiers. Ils forment un anneau évident. Notre résultat peut maintenant être formulé comme suit :
Conséquence:
L'anneau des nombres entiers - adiques contient un sous-anneau, anneau isomorphe- nombres rationnels entiers.
Nombres p-adiques fractionnaires
Définition:
Une fraction de la forme, k >= 0 définit un nombre p-adique fractionnaire ou simplement un nombre p-adique. Deux fractions, et, déterminent le même nombre p-adique, si c.
La collection de tous les nombres p-adiques est notée p. Il est facile de vérifier que les opérations d'addition et de multiplication se poursuivent de p en p et transforment p en corps.
2.9. Théorème. Chaque nombre p-adique est représenté de manière unique sous la forme
où m est un entier et est l'unité de l'anneau p .
2.10. Théorème. Tout nombre p-adique non nul peut être représenté de manière unique sous la forme
Propriétés: Le corps des nombres p-adiques contient le corps des nombres rationnels. Il est facile de prouver que tout nombre p-adique entier qui n'est pas un multiple de p est inversible dans l'anneau p , et un multiple de p s'écrit uniquement sous la forme où x n'est pas un multiple de p et est donc inversible, un. Par conséquent, tout élément non nul du champ p peut être écrit sous la forme où x n'est pas un multiple de p, mais m est quelconque ; si m est négatif, alors, sur la base de la représentation des entiers p-adiques comme une séquence de chiffres dans le système de numération p-aire, nous pouvons écrire un tel nombre p-adique comme une séquence, c'est-à-dire le représenter formellement comme un Fraction p-adique avec un nombre fini de chiffres après la virgule, et éventuellement un nombre infini de chiffres non nuls avant la virgule. La division de ces nombres peut également être effectuée de la même manière que la règle «école», mais en commençant par les chiffres inférieurs plutôt que supérieurs du nombre.
Il est connu du cours de programmation qu'un entier peut être représenté dans la mémoire de l'ordinateur de différentes manières, en particulier, cette représentation dépend de la façon dont il est décrit : comme une valeur de type entier , ou réel , ou chaîne . En même temps, dans la plupart des langages de programmation, les nombres entiers sont compris comme des nombres d'une plage très limitée : un cas typique est de -2 15 = -32768 à 2 15 - 1 = 32767 . Systèmes calcul formel traiter les grands nombres entiers, en particulier, un tel système peut calculer et afficher des nombres comme 1000 en notation décimale ! (plus d'un millier de caractères).
Dans ce cours, nous considérerons la représentation des nombres entiers sous forme symbolique et n'entrerons pas dans les détails de la quantité de mémoire allouée pour écrire un caractère (bit, octet ou autre). La plus courante est la représentation des nombres entiers dans systèmes de numérotation positionnelle. Un tel système est déterminé par le choix de la base du nombre, par exemple 10. L'ensemble des entiers décimaux est généralement décrit comme suit :
La définition écrite des nombres entiers donne l'unicité de la représentation de chacun de ces nombres, et une définition similaire (seulement, peut-être avec une base différente) est utilisée dans la plupart des systèmes. calcul formel. En utilisant cette représentation, il est pratique d'implémenter des opérations arithmétiques sur des nombres entiers. Dans le même temps, l'addition et la soustraction sont des opérations relativement "bon marché", tandis que la multiplication et la division sont "coûteuses". Lors de l'évaluation de la complexité des opérations arithmétiques, il convient de prendre en compte à la fois le coût d'une opération élémentaire (un bit) et le nombre d'opérations sur un bit pour effectuer toute opération sur des nombres à plusieurs chiffres. La complexité de la multiplication et de la division est due, tout d'abord, au fait qu'avec l'augmentation de la longueur d'un nombre (sa notation dans n'importe quel système numérique), le nombre d'opérations élémentaires augmente selon une loi quadratique, contrairement à le linéaire pour l'addition et la soustraction. De plus, ce que nous appelons habituellement l'algorithme de division à plusieurs chiffres est en réalité basé sur l'énumération (souvent très significative) de l'éventuel chiffre suivant du quotient, et il ne suffit pas d'utiliser uniquement les règles de division des nombres à un chiffre. Avec une grande base du système de numération (souvent elle peut être de l'ordre de 2 30 ), cette méthode est inefficace.
Soit un nombre naturel (écrit en système décimal). Pour obtenir son dossier 
dans le système de numération -ary, vous pouvez utiliser l'algorithme suivant ( désigne la partie entière du nombre ):
Donné : A-nombre naturel en notation décimale k > 1-nombre naturel Besoin : A-enregistrement du nombre A en notation k-décimale Commencer i := 0 cycle tant que A > 0 bi := A (mod k) A := i := i + 1 fin de cycle dA:= i - 1 fin
L'algorithme suivant est utilisé pour restaurer un nombre décimal à partir de la séquence de sa notation k-aire :
Soit : k > 1-nombre naturel une séquence de chiffres représentant le nombre A dans le système k-aire Besoin : A-enregistrement du nombre A en notation décimale Début A := 0 cycle jusqu'à la fin de la séquence b := suivant élément de la séquence A:= A * k + b fin boucle Fin
1.2. UN EXERCICE. Expliquez pourquoi la division est utilisée pour convertir un nombre du système décimal en nombre k, et la multiplication est utilisée pour convertir un nombre k en nombre décimal.
En multipliant par une "colonne" deux nombres à deux chiffres dans le système décimal, nous effectuons les opérations suivantes :
(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,
soit 4 opérations de multiplication de nombres à un chiffre, 3 opérations d'addition et 2 opérations de multiplication par la puissance de la base numérique, qui se réduisent à un décalage. Lors de l'estimation de la complexité, on peut prendre en compte toutes les opérations élémentaires sans les séparer par des poids (dans cet exemple, nous avons 9 opérations élémentaires). La tâche d'optimisation de l'algorithme est réduite dans cette approche à la minimisation du nombre total d'opérations élémentaires. On peut cependant considérer que la multiplication est une opération plus "coûteuse" que l'addition, qui, à son tour, est "plus chère" qu'un décalage. En ne considérant que les opérations les plus coûteuses, on obtient que multiplicatif la complexité de multiplier des nombres à deux chiffres par une "colonne" est de 4.
La section 5 considère les algorithmes de calcul des plus grands diviseurs communs et évalue leur complexité.
La représentation considérée n'est pas la seule représentation canonique des entiers. Comme déjà noté, pour choisir une représentation canonique, on peut utiliser l'unicité de la factorisation d'un nombre naturel en facteurs premiers. Une telle représentation d'un entier peut être utilisée dans les problèmes où seules les opérations de multiplication et de division sont utilisées, car elles deviennent très "bon marché", cependant, le coût des opérations d'addition et de soustraction augmente de manière disproportionnée, ce qui empêche l'utilisation d'une telle représentation. Dans certains problèmes, le rejet de la représentation canonique donne un gain de performance significatif, en particulier, la factorisation partielle d'un nombre peut être utilisée. Une méthode similaire est particulièrement utile lorsque vous travaillez non pas avec des nombres, mais avec des polynômes.
Si l'on sait que pendant le fonctionnement du programme, tous les nombres entiers rencontrés dans les calculs sont limités en valeur absolue par une constante donnée, alors pour définir de tels nombres, leur système de résidus en module de certains nombres premiers entre eux, dont le produit dépasse le constante mentionnée, peut être utilisée. Les calculs avec des classes de résidus sont généralement plus rapides que l'arithmétique à précision multiple. Et avec cette approche, l'arithmétique à précision multiple ne doit être utilisée que lors de la saisie ou de la sortie d'informations.
Notez que, avec les représentations canoniques dans les systèmes calcul formel d'autres représentations sont également utilisées. En particulier, il est souhaitable que la présence ou l'absence d'un signe "+" devant un nombre entier n'affecte pas la perception que l'ordinateur en a. Ainsi, pour les nombres positifs, une représentation ambiguë est obtenue, bien que la forme des nombres négatifs soit uniquement déterminée.
Une autre exigence est que la perception d'un nombre ne soit pas affectée par la présence de zéros avant le premier chiffre significatif.
1.3. DES EXERCICES.
- Estimez le nombre de multiplications à un chiffre utilisées lors de la multiplication d'un nombre à m chiffres par un nombre à n chiffres par une colonne.
- Montrez que deux nombres à deux chiffres peuvent être multipliés en utilisant seulement 3 multiplications à un chiffre et en augmentant le nombre d'additions.
- Trouvez un algorithme de division de nombres longs qui ne nécessite pas beaucoup d'énumération pour trouver le premier chiffre du quotient.
- Décrire l'algorithme de traduction nombres naturels du système de numération m -aire au système n -aire.
- À Numération romaine les symboles suivants sont utilisés pour écrire les nombres : I - un, V - cinq, X - dix, L - cinquante, C - cent, D - cinq cents, M - mille. Un symbole est considéré comme négatif s'il y a un symbole d'un nombre plus grand à sa droite, et positif dans le cas contraire. Par exemple, le nombre 1948 dans ce système s'écrira ainsi : MCMXLVIII. Formulez un algorithme pour convertir un nombre romain en décimal et vice versa. Implémentez l'algorithme résultant dans l'un des langages algorithmiques (par exemple, C ). Restrictions sur les données initiales : 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
- Formulez un algorithme et écrivez un programme pour ajouter des nombres naturels en numération romaine.
- Nous dirons qu'il s'agit d'un système numérique avec mixte ou vectoriel, si on nous donne un vecteur de n nombres naturels M = (m 1 , . . . ,m n) (base) et la notation K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) désigne le nombre k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Écrire un programme qui, à partir des données (jour de la semaine, heures, minutes, secondes), détermine combien de secondes se sont écoulées depuis le début de la semaine (lundi, 0, 0, 0) = 0, et effectue la transformation inverse.
L'anneau dans lequel est introduite la relation "être supérieur à zéro" (noté a > 0) est appelé anneau situé, si deux conditions sont satisfaites pour tous les éléments de cet anneau :
1) une et une seule des conditions est vraie
une > 0 \/ –a >0 \/ une = 0
2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.
Un ensemble dans lequel une certaine relation d'ordre est introduite - non stricte (réflexivement, antisymétrique et transitive) ou stricte (anti-réflexivement et transitivement) est appelé ordonné. Si la loi de la trichotomie est satisfaite, alors l'ensemble est appelé linéairement ordonné. Si l'on considère non pas un ensemble arbitraire, mais un système algébrique, par exemple un anneau ou un corps, alors pour l'ordre d'un tel système, des exigences de monotonie sont également introduites par rapport aux opérations introduites dans ce système (structure algébrique). Alors anneau/champ ordonné est un anneau/champ non nul dans lequel une relation d'ordre linéaire (a > b) est introduite qui satisfait deux conditions :
1) une > b => une + c > b + c ;
2) une > b, c > 0 => une c > b c ;
Théorème 1. Tout anneau localisé est un système ordonné (anneau).
En effet, si la relation "être supérieur à 0" est introduite dans l'anneau, alors il est également possible d'introduire une relation supérieure à pour deux éléments arbitraires, si l'on suppose que
a > b a - b > 0.
Une telle relation est une relation d'ordre strict et linéaire.
Cette relation "supérieur à" est anti-réflexive, puisque la condition a > a est équivalente à la condition a - a > 0, cette dernière contredit le fait que a - a = 0 (selon la première condition de l'anneau localisé, un élément ne peut pas être à la fois supérieur à 0 et égal à 0) . Ainsi, l'énoncé a > a est faux pour tout élément a, donc la relation est anti-réflexive.
Démontrons la transitivité : si a > b et b > c, alors a > c. Par définition, il résulte des conditions du théorème que a - b > 0 et b - c > 0. En additionnant ces deux éléments supérieurs à zéro, on obtient à nouveau un élément supérieur à zéro (selon la deuxième condition de l'anneau situé ):
a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.
Ce dernier signifie que a > c. Ainsi, la relation introduite est une relation d'ordre strict. De plus, cette relation est une relation d'ordre linéaire, c'est-à-dire, pour l'ensemble des nombres naturels, théorème de la trichotomie:
Pour deux nombres naturels, une et une seule des trois affirmations suivantes est vraie :
En effet (dû à la première condition de l'anneau localisé) pour le nombre a - b une et une seule des conditions est vraie :
1) une - b > 0 => une > b
2) - (une - b) = b - une > 0 => b > une
3) a - b = 0 => a = b.
Les propriétés de monotonie sont également valables pour tout anneau localisé. Vraiment
1) une > b => une - b > 0 => une + c - c - b > 0 => une + c > b + c ;
2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (selon la deuxième condition de l'anneau localisé) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .
Ainsi, nous avons prouvé que tout anneau localisé est un anneau ordonné (un système ordonné).
Pour tout anneau localisé, les propriétés suivantes seront également vraies :
a) une + c > b + c => une > b ;
b) une > b /\ c > ré => une + c > b + ré ;
c) une > b / \ c< 0=>ac< bc;
Les mêmes propriétés s'appliquent aux autres signes.<, , .
Démontrons, par exemple, la propriété (c). Par définition, de la condition a > b il résulte que a - b > 0, et de la condition c< 0 (0 >c) il s'ensuit que 0 - c > 0, et donc le nombre - c > 0, on multiplie deux nombres positifs (a - b) (-c). Le résultat sera également positif par la deuxième condition de l'anneau localisé, c'est-à-dire
(a - b) (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,
Q.E.D.
d) aa = a 2 0 ;
Preuve: Selon la première condition de l'anneau localisé, soit a > 0, soit –a > 0, soit a = 0. Considérons ces cas séparément :
1) a > 0 => aa > 0 (selon la seconde condition de l'anneau repéré) => a 2 > 0.
2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, mais par la propriété de l'anneau (–a)(–a) = aa = a 2 > 0.
3) un \u003d 0 => unun \u003d un 2 \u003d 0.
Ainsi, dans les trois cas, a 2 est soit supérieur à zéro soit égal à 0, ce qui signifie simplement que a 2 ≥ 0 et la propriété est prouvée (notez que nous avons également prouvé que le carré d'un élément d'un anneau localisé vaut 0 si et seulement si l'élément lui-même vaut 0).
e) ab = 0 a = 0 \/ b = 0.
Preuve: Supposons le contraire (ab =0, mais ni a ni b ne sont égaux à zéro). Alors seules deux options sont possibles pour a, soit a > 0 soit – a > 0 (l'option a = 0 est exclue par notre hypothèse). Chacun de ces deux cas se divise en deux autres cas en fonction de b (soit b > 0 soit – b > 0). Ensuite 4 options sont possibles :
a > 0, b > 0 => ab > 0 ;
– a > 0, b > 0 => ab< 0;
a > 0, – b > 0 => ab< 0;
– une > 0 – b > 0 => ab > 0.
Comme on le voit, chacun de ces cas contredit la condition ab = 0. La propriété est prouvée.
La dernière propriété signifie que l'anneau localisé est une zone d'intégrité, qui est également une propriété obligatoire des systèmes ordonnés.
Le théorème 1 montre que tout anneau localisé est un système ordonné. L'inverse est également vrai - tout anneau ordonné est localisé. En effet, s'il existe une relation a > b dans l'anneau et que deux éléments quelconques de l'anneau sont comparables entre eux, alors 0 est également comparable à tout élément a, c'est-à-dire soit a > 0 soit a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Pour prouver cette dernière, on applique la propriété de monotonie des systèmes ordonnés : aux côtés droit et gauche de l'inégalité a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.
La seconde condition de l'anneau localisé découle des propriétés de monotonie et de transitivité :
une > 0, b > 0 => une + b > 0 + b = b > 0 => une + b > 0,
a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.
Théorème 2. L'anneau d'entiers est un anneau arrangé (un système ordonné).
Preuve: Utilisons la définition 2 de l'anneau des entiers (voir 2.1). Selon cette définition, tout entier est soit un nombre naturel (le nombre n est donné par [
une > 0 une N
Alors la première condition de l'anneau localisé est automatiquement satisfaite pour les entiers : si a est naturel, alors il est supérieur à 0, si a est l'opposé de naturel, alors –a est naturel, c'est-à-dire qu'il est aussi supérieur à 0, la variante a = 0 est aussi possible, ce qui fait aussi une vraie disjonction dans la première condition de l'anneau localisé. La validité de la deuxième condition de l'anneau localisé découle du fait que la somme et le produit de deux nombres naturels (entiers supérieurs à zéro) est à nouveau un nombre naturel, et donc supérieur à zéro.
Ainsi, toutes les propriétés des anneaux arrangés sont automatiquement transférées à tous les entiers. De plus, pour les nombres entiers (mais pas pour les anneaux arrangés arbitrairement), le théorème de discrétion tient :
Théorème de discrétion. Aucun entier ne peut être inséré entre deux entiers adjacents :
( a, x Z) .
Preuve: considérons tous les cas possibles pour a, et supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe x tel que
un< x < a +1.
1) si a est un entier naturel, alors a + 1 est aussi un entier naturel. Ensuite, par le théorème de discrétion pour les nombres naturels, aucun nombre naturel x ne peut être inséré entre a et a / = a + 1, c'est-à-dire que x, dans tous les cas, ne peut pas être naturel. Si nous supposons que x = 0, alors notre hypothèse est que
un< x < a +1
nous conduira à la condition a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.
2) a = 0. Alors a + 1 = 1. Si la condition a< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.
3) a est négatif (–a > 0), alors a + 1 0. Si a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:
–a–1< – x < –a,
c'est-à-dire que nous arrivons à la situation considérée dans le premier cas (puisque -a-1 et -a sont naturels), d'où -x ne peut pas être un entier, et donc x ne peut pas être un entier. La situation où a + 1 = 0 signifie que a = -1, c'est-à-dire
–1 < x < 0.
En multipliant cette inégalité par (–1), on arrive au cas 2. Ainsi, le théorème est valable dans toutes les situations.
Terem d'Archimède. Pour tout entier a et entier b > 0, il existe un entier positif n tel que a< bn.
Pour a naturel, le théorème a déjà été prouvé, puisque la condition b > 0 signifie que le nombre b est naturel. Pour a 0, le théorème est également évident, puisque le côté droit de bn est un nombre naturel, c'est-à-dire qu'il est également supérieur à zéro.
Dans l'anneau des entiers (comme dans tout anneau localisé), on peut introduire la notion de module :
|a| = 
.
Propriétés de module valides :
1) |a + b| |a| + |b| ;
2) |a – b| |a| – |b|;
3) |a b| = |a| |b|.
Preuve: 1) Notez qu'il ressort de la définition que |a| est une valeur toujours positive (dans le premier cas |a| = a ≥ 0, dans le second cas |a| = –a, mais a< 0, откуда –а >0). Les inégalités |a| ≥ un, |un| ≥ –a (le module est égal à l'expression correspondante s'il est non négatif, et supérieur à celui-ci s'il est négatif). Des inégalités similaires sont valables pour b : |b| ≥ b, |b| ≥ -b. En additionnant les inégalités correspondantes et en appliquant la propriété (b) des anneaux arrangés, on obtient
|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.
Selon la définition du module
|a+b| = 
,
mais les deux expressions du côté droit de l'égalité, comme indiqué ci-dessus, ne dépassent pas |a| + |b|, ce qui prouve la première propriété des modules.
2) Remplaçons dans la première propriété a par a - b. On a:
|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|
|a| ≤ |a – b| + |b|
Déplacer |b| de droite à gauche avec le signe opposé
|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b| |a| – |b|.
La preuve de la propriété 3 est laissée au lecteur.
Une tâche: Résoudre l'équation en nombres entiers
2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.
La solution: Factoriser le côté gauche. Pour ce faire, nous représentons le terme 3xy = – xy + 4xy
2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d
Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).
Ainsi, notre équation peut être réécrite comme
(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.
Puisque nous devons le résoudre en nombres entiers, x et y doivent être des nombres entiers, ce qui signifie que les facteurs du côté gauche de notre équation sont également des nombres entiers. Le nombre 5 sur le côté droit de notre équation peut être représenté comme un produit de facteurs entiers de seulement 4 façons :
5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Par conséquent, les options suivantes sont possibles :
1)
2)
3)
4)
Parmi les systèmes listés, seul (4) a une solution entière :
x = 1, y = -2.
Tâches pour solution indépendante
Non 2.4. Pour les éléments a, b, c, d d'un anneau situé arbitrairement, prouver les propriétés :
a) une + c > b + c => une > b ; b) une > b / \ c > ré => une + c > b + d.
N° 2.5. Résolvez les équations en nombres entiers :
|
a) y 2 - 2xy - 2x = 6; b) 2x 2 - 11xy + 12y 2 = 17 ; c) 35xy + 5x - 7y = 1 ; d) x 2 - 3xy + 2y 2 = 3; e) |
f) xy + 3x - 5y + 3 = 0 ; g) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x \u003d 2; h) xy2 + x = 48; je) 1 ! +2 ! + 3 ! + … + n! = y 2 ; j) x 3 - 2y 3 - 4z 3 \u003d 0 |
;N° 2.6. Trouver un nombre à quatre chiffres qui est un carré exact et dont les deux premiers chiffres sont égaux entre eux et les deux derniers chiffres sont égaux entre eux.
N° 2.7. Trouver un nombre à deux chiffres égal à la somme de ses dizaines et au carré de ses unités.
N° 2.8. Trouver un nombre à deux chiffres égal au double du produit de ses chiffres.
N° 2.9. Montrer que la différence entre un nombre à trois chiffres et un nombre écrit avec les mêmes chiffres dans l'ordre inverse ne peut pas être le carré d'un nombre naturel.
N° 2.10. Trouver tous les nombres naturels se terminant par 91, qui, après suppression de ces chiffres, diminuent d'un nombre entier de fois.
N° 2.11. Trouver un nombre à deux chiffres égal au carré de ses unités plus le cube de ses dizaines.
N° 2.12. Trouvez un nombre à six chiffres commençant par le chiffre 2, qui augmente d'un facteur 3 en réorganisant ce nombre à la fin du nombre.
N° 2.13. Plus de 40 mais moins de 48 nombres entiers sont écrits au tableau. La moyenne arithmétique de tous ces nombres est 3, la moyenne arithmétique des nombres positifs est 4 et la moyenne arithmétique des nombres négatifs est 8. Combien de nombres sont écrits au tableau ? Quel nombre est le plus grand, positif ou négatif ? Quel est le nombre maximum possible de nombres positifs ?
N° 2.14. Le quotient d'un nombre à trois chiffres et de la somme de ses chiffres peut-il être égal à 89 ? Ce quotient peut-il être égal à 86 ? Quelle est la valeur maximale possible de ce quotient ?
Les nombres naturels ne sont pas un anneau, car 0 n'est pas un nombre naturel et il n'y a pas d'opposés naturels pour les nombres naturels. La structure formée par les nombres naturels s'appelle demi-cercle. Plus précisément,
demi-cercle est appelé semi-groupe commutatif par rapport à l'addition et semi-groupe par rapport à la multiplication, dans lesquels les opérations d'addition et de multiplication sont liées par des lois distributives.
Nous introduisons maintenant des définitions rigoureuses des nombres entiers et prouvons leur équivalence. Partant du concept de structures algébriques et du fait que l'ensemble des nombres naturels est un semi-anneau, mais pas un anneau, on peut introduire la définition suivante :
Définition 1. L'anneau des entiers est le plus petit anneau contenant le demi-anneau des nombres naturels.
Cette définition ne dit rien sur apparence de tels chiffres. Dans un cours scolaire, les nombres entiers sont définis comme des nombres naturels, leurs contraires et 0. Cette définition peut aussi servir de base pour construire une définition stricte.
Définition 2. Un anneau d'entiers est un anneau dont les éléments sont des nombres naturels, leurs opposés et 0 (et seulement eux).
Théorème 1. Les définitions 1 et 2 sont équivalentes.
Preuve: Soit Z 1 l'anneau d'entiers au sens de la Définition 1, et Z 2 l'anneau d'entiers au sens de la Définition 2. Montrons d'abord que Z 2 est inclus dans Z 1 . En effet, tous les éléments de Z 2 sont soit des nombres naturels (ils appartiennent à Z 1, puisque Z 1 contient un semi-anneau de nombres naturels), soit leurs opposés (ils appartiennent aussi à Z 1, puisque Z 1 est un anneau, ce qui signifie que pour chaque élément de cet anneau, il y en a un opposé, et pour tout naturel n í Z 1 , –n appartient aussi à Z 1), soit 0 (0 í Z 1 , puisque Z 1 est un anneau, et dans tout anneau il y a 0), ainsi, tout élément de Z 2 appartient aussi à Z 1 , et donc Z 2 Í Z 1 . D'autre part, Z 2 contient un demi-anneau de nombres naturels, et Z 1 est l'anneau minimal contenant des nombres naturels, c'est-à-dire qu'il ne peut contenir aucun une autre bague qui satisfait à cette condition. Mais nous avons montré qu'il contient Z 2 , et donc Z 1 = Z 2 . Le théorème a été prouvé.
Définition 3. Un anneau d'entiers est un anneau dont les éléments sont tous les éléments possibles représentables par une différence b - a (toutes les solutions possibles de l'équation a + x = b), où a et b sont des nombres naturels arbitraires.
Théorème 2. La définition 3 est équivalente aux deux précédentes.
Preuve: On note Z 3 l'anneau d'entiers au sens de la Définition 3, et par Z 1 = Z 2 , comme précédemment, l'anneau d'entiers au sens des Définitions 1 et 2 (leur égalité est déjà établie). Montrons d'abord que Z 3 est inclus dans Z 2 . En effet, tous les éléments de Z 3 peuvent être représentés comme des différences de nombres naturels b – a. Pour deux nombres naturels quelconques, selon le théorème de la trichotomie, trois options sont possibles :
Dans ce cas, la différence b – et est également un nombre naturel et appartient donc à Z 2 .
Dans ce cas, la différence de deux éléments égaux sera notée par le symbole 0. Montrons qu'il s'agit bien du zéro de l'anneau, c'est-à-dire d'un élément neutre par rapport à l'addition. Pour ce faire, nous utilisons la définition de la différence a – a = x ó a = a + x et prouvons que b + x = b pour tout naturel b. Pour le prouver, il suffit d'ajouter l'élément b aux côtés droit et gauche de l'égalité a = a + x, puis d'utiliser la loi de réduction (toutes ces actions peuvent être effectuées sur la base des propriétés connues des anneaux). Zéro appartient à Z 2 .
Dans ce cas, la différence a – b est un nombre naturel, on note
b - un \u003d - (a - b). Nous allons prouver que les éléments a - b et b - a sont bien opposés, c'est-à-dire qu'ils s'additionnent à zéro. En effet, si on note a - b \u003d x, b - a \u003d y, alors on obtient que a \u003d b + x, b \u003d y + a. En additionnant les égalités obtenues terme à terme et en réduisant b, on obtient a \u003d x + y + a, c'est-à-dire x + y \u003d a - a \u003d 0. Ainsi, a - b \u003d - (b - a) est un nombre opposé à l'entier naturel, c'est-à-dire qu'il appartient à nouveau à Z2. Ainsi, Z 3 Í Z 2 .
D'autre part, Z 3 contient un semi-anneau de nombres naturels, puisque tout nombre naturel n peut toujours être représenté par
n = n / – 1 О Z 3 ,
et donc Z 1 Í Z 3 , puisque Z 1 est l'anneau minimal contenant les nombres naturels. En utilisant le fait déjà prouvé que Z 2 = Z 1 , on obtient Z 1 = Z 2 = Z 3 . Le théorème a été prouvé.
Bien qu'à première vue, il puisse sembler qu'il n'y ait pas d'axiomes dans les définitions d'entiers répertoriées, ces définitions sont axiomatiques, puisque les trois définitions disent que l'ensemble d'entiers est un anneau. Par conséquent, les conditions de la définition d'un anneau servent d'axiomes dans la théorie axiomatique des nombres entiers.
Prouvons que la théorie axiomatique des nombres entiers est cohérente. Pour le prouver, il faut construire un modèle de l'anneau des entiers à l'aide d'une théorie cohérente connue (dans notre cas, il ne peut s'agir que de la théorie axiomatique des nombres naturels).
Selon la définition 3, chaque entier peut être représenté comme la différence de deux nombres naturels z = b – a. Associe à chaque entier z le couple correspondant
La relation introduite est réflexive, symétrique et transitive (la démonstration est laissée au lecteur).
Comme toute relation d'équivalence, cette relation génère une partition de l'ensemble de toutes les paires possibles de nombres naturels en classes d'équivalence, que nous noterons [
1) [
2) [
Montrons que les définitions introduites sont correctes, c'est-à-dire qu'elles ne dépendent pas du choix de représentants spécifiques parmi les classes de paires. Autrement dit, si les paires sont équivalentes
Preuve: Appliquer la définition de l'équivalence de paire :
En additionnant les égalités (1) et (2) terme à terme, on obtient :
une + b 1 + c + ré 1 \u003d b + une 1 + ré + c 1.
Tous les termes de la dernière égalité sont des nombres naturels, nous pouvons donc appliquer les lois commutatives et associatives de l'addition, ce qui nous conduit à l'égalité
(a + c) + (b 1 + d 1) \u003d (b + d) + (a 1 + c 1),
ce qui équivaut à la condition @ .
Pour prouver l'exactitude de la multiplication, on multiplie l'égalité (1) par c, on obtient :
ac + b 1 s \u003d bc + a 1 s.
Ensuite, nous réécrivons l'égalité (1) sous la forme b + a 1 = a + b 1 et multiplions par d :
bd + une 1 ré = ad + b 1 ré.
On additionne terme à terme les égalités résultantes :
ac + bd + une 1 ré + b 1 s = bc + ad + b 1 ré + une 1 s,
ce qui signifie que
Ensuite, nous ferons la même procédure avec l'égalité (2), seulement nous la multiplierons par a 1 et b 1. On a:
une 1 c + une 1 ré 1 = une 1 ré + une 1 c 1
b 1 ré + b 1 c 1 \u003d b 1 c + b 1 ré 1,
une 1 c + b 1 ré + b 1 c 1 + une 1 ré 1 = une 1 ré + b 1 ré + b 1 c 1 + une 1 c 1 ó
ó @
(ici nous avons prouvé que ×
Ainsi, l'exactitude des définitions introduites est prouvée.
Ensuite, toutes les propriétés des anneaux sont directement vérifiées : la loi associative d'addition et de multiplication pour les classes de couples, la loi commutative d'addition et les lois distributives. Donnons comme exemple la preuve de la loi associative d'addition :
Puisque toutes les composantes des paires de nombres sont naturelles
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Les lois restantes sont vérifiées de la même manière (notez qu'une transformation séparée des parties gauche et droite de l'égalité requise vers la même forme peut être une technique utile).
Il faut aussi prouver l'existence d'un élément neutre par addition. Ils peuvent être une classe de paires de la forme [<с, с>]. Vraiment,
[
a + c + b = b + c + a (valable pour tous les nombres naturels).
De plus, pour chaque classe de paires [
On peut également prouver que l'ensemble de classes de paires introduit est un anneau commutatif avec une unité (l'unité peut être la classe de paires [
[
Vérifions, à l'aide de cette règle, la validité des conditions C1 et C2 (de la définition de l'addition des nombres naturels). La condition C1 (a + 1 = a /) dans ce cas sera réécrite sous la forme :
[
une + c / + b = une + b + 1 + c = b + c + une +1 = b + c + une /
(Encore une fois, nous rappelons que tous les composants sont naturels).
La condition C2 ressemblera à :
[
On transforme séparément les parties gauche et droite de cette égalité :
[
([
Ainsi, nous voyons que les côtés gauche et droit sont égaux, ce qui signifie que la condition C2 est vraie. La preuve de la condition U1 est laissée au lecteur. la condition Y2 est une conséquence de la loi distributive.
Ainsi, le modèle de l'anneau des nombres entiers a été construit, et, par conséquent, la théorie axiomatique des nombres entiers est cohérente si la théorie axiomatique des nombres naturels est cohérente.
Propriétés des opérations sur les entiers:
2) a×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– un) = un
4) (–a)×(–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) un - b \u003d - b + un \u003d - (b - un)
7) - un - b \u003d - (un + b)
8) (a - b) × c \u003d ac - bc
9) (a - b) - c \u003d a - (b + c)
10) a - (b - c) = a - b + c.
Les preuves de toutes les propriétés répètent les preuves des propriétés correspondantes pour les anneaux.
1) a + a × 0 = a × 1 + a × 0 = a × (1 + 0) = a × 1 = a, c'est-à-dire que a × 0 est un élément neutre par addition.
2) a×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, c'est-à-dire que l'élément a×(–b) est opposé à l'élément a×b.
3) (– a) + a = 0 (par définition de l'élément opposé). De même, (– a) + (– (– a)) = 0. En égalant les côtés gauches des égalités et en appliquant la loi de réduction, on obtient – (– a) = a.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(à×b)) = ab.
5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + a = 0
a×(–1) = –à.
6) Par définition de la différence a - b, il existe un nombre x tel que a = x + b. En ajoutant aux côtés droit et gauche de l'égalité -b à gauche et en utilisant la loi commutative, on obtient la première égalité.
– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0, ce qui prouve la seconde égalité.
7) - une - b = - 1 × une - 1 × b = -1 × (a + b) = - (a + b).
8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc
9) (a - b) - c \u003d x,
a - b \u003d x + c,
a - (b + c) \u003d x, c'est-à-dire
(a - b) - c \u003d a - (b + c).
10) une - (b - c) = une + (- 1)×(b - c) = une + (- 1×b) + (-1)× (- c) = une - 1×b + 1× c = = une - b + c.
Tâches pour une solution indépendante
N° 2.1. Dans la colonne de droite du tableau, trouvez les paires équivalentes à celles données dans la colonne de gauche du tableau.
| un)<7, 5> | 1) <5, 7> |
| b)<2, 3> | 2) <1, 10> |
| dans)<10, 10> | 3) <5, 4> |
| G)<6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Pour chaque paire, indiquez son contraire.
N° 2.2. Calculer
un) [<1, 5>] + [ <3, 2>] ; b)[<3, 8>] + [<4, 7>];
dans) [<7, 4>] – [<8, 3>] ; G) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
e) [<1, 5>] × [ <2, 2>] ; e) [<2, 10>]× [<10, 2>].
Non 2.3. Pour le modèle d'entiers décrit dans cette section, vérifiez la loi commutative de l'addition, les lois associatives et commutatives de la multiplication et les lois distributives.
