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De deux anneaux à un sont des exemples. Anneaux

Définition 4.1.1. Bague (K, +, ) est un système algébrique avec un ensemble non vide K et deux opérations algébriques binaires dessus, que nous appellerons ajout et multiplication. L'anneau est un groupe additif abélien, et la multiplication et l'addition sont liées par des lois distributives : ( un + b)  c = un  c + b  c et Avec  (un + b) = c  un + c  b pour arbitraire un, b, c  K.

Exemple 4.1.1. Nous donnons des exemples d'anneaux.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sont les anneaux de nombres entiers, rationnels, réels et complexes, respectivement, avec les opérations habituelles d'addition et de multiplication. Ces anneaux sont appelés numérique.

2. (Z/nZ, +, ) est l'anneau des classes de résidus modulo n  N avec des opérations d'addition et de multiplication.

3. Beaucoup de M n (K) de toutes les matrices carrées d'ordre fixe n  N avec des coefficients de l'anneau ( K, +, ) avec des opérations d'addition matricielle et de multiplication. En particulier, K peut être égal Z, Q, R, C ou Z/nZà n  N.

4. L'ensemble de toutes les fonctions réelles définies sur un intervalle fixe ( un; b) droite des nombres réels, avec les opérations usuelles d'addition et de multiplication de fonctions.

5. Ensemble de polynômes (polynômes) K[X] avec les coefficients de l'anneau ( K, +, ) d'une variable X Avec opérations naturelles addition et multiplication de polynômes. En particulier, les anneaux de polynômes Z[X], Q[X], R[X], C[X], Z/nZ[X] à n  N.

6. Anneau de vecteurs ( V 3 (R), +, ) avec addition et multiplication vectorielle.

7. Anneau ((0), +, ) avec opérations d'addition et de multiplication : 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Définition 4.1.2. Distinguer fini et sans fin anneaux (selon le nombre d'éléments de l'ensemble K), mais la classification principale est basée sur les propriétés de la multiplication. Distinguer associatif sonne lorsque l'opération de multiplication est associative (éléments 1 à 5, 7 de l'exemple 4.1.1) et non associatif anneaux (repère 6 de l'exemple 4.1.1 : ici ,). Les anneaux associatifs sont divisés en l'unité sonne(il y a un élément neutre par rapport à la multiplication) et sans unité, commutatif(l'opération de multiplication est commutative) et non commutatif.

Théorème4.1.1. Laisser ( K, +, ) est un anneau associatif d'unité. Ensuite l'ensemble K* réversible sous multiplication d'éléments annulaires K est un groupe multiplicatif.

Vérifions la satisfaction de la définition de groupe 3.2.1. Laisser un, b  K*. Montrons que un  b  K * .  (un  b) –1 = b –1  un –1  K. Vraiment,

(un  b)  (b –1  un –1) = un  (b  b –1)  un –1 = un  1  un –1 = 1,

(b –1  un –1)  (un  b) = b –1  (un –1  un)  b = b –1  1  b = 1,

où un –1 , b –1  K sont des éléments inverses de un et b respectivement.

1) Multiplication en K* associatif, puisque K est un anneau associatif.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 est un élément neutre par rapport à la multiplication dans K * .

3) Pour  un  K * , un –1  K* , car ( un –1)  un = un  (un –1) = 1
(un –1) –1 = un.

Définition 4.1.3. Beaucoup de K* inversible par rapport à la multiplication des éléments de l'anneau ( K, +, ) sont appelés groupe multiplicatif de l'anneau.

Exemple 4.1.2. Donnons des exemples de groupes multiplicatifs de divers anneaux.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = GL n (Q), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* est l'ensemble des classes de résidus réversibles, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), à n > 1 | Z/nZ * | =  (n), où  est la fonction d'Euler.

4. (0) * = (0), puisque dans ce cas 1 = 0. 

Définition 4.1.4. Si dans l'anneau associatif ( K, +, ) avec groupe de base K * = K\(0), où 0 est un élément neutre par rapport à l'addition, alors un tel anneau est appelé corps ou algèbre avecdivision. Le corps commutatif est appelé champ.

De cette définition, il ressort que dans le corps K*   et 1  K* , donc 1  0, donc le corps minimal, qui est un corps, est composé de deux éléments : 0 et 1.

Exemple 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – respectivement champs numériques nombres rationnels, réels et complexes.

2. (Z/pZ, +, ) est le champ final de péléments, si p- Nombre premier. Par exemple, ( Z/2Z, +, ) est le champ minimum de deux éléments.

3. Le corps non commutatif est corps de quaternion- Positionner quaternions, c'est-à-dire des expressions de la forme h= un + bi + cc + ns, où un, b, c, ré  R, je 2 = = j 2 = k 2 = – 1, je  j= k= – j  je, j  k= je= – k  j, je  k= – j= – k  je, avec les opérations d'addition et de multiplication. Les quaternions sont additionnés et multipliés terme par terme, en tenant compte des formules ci-dessus. Pour tout le monde h 0 le quaternion inverse a la forme :
.

Il existe des anneaux avec des diviseurs nuls et des anneaux sans diviseurs nuls.

Définition 4.1.5. S'il y a des éléments non nuls dans l'anneau un et b tel que un  b= 0, alors on les appelle zéro diviseur, et l'anneau lui-même anneau diviseur zéro. À Par ailleurs la bague s'appelle anneau sans diviseur nul.

Exemple 4.1.4.

1. Anneaux ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sont des anneaux sans diviseurs nuls.

2. dans l'anneau ( V 3 (R), +, ) chaque élément non nul est un diviseur nul, puisque
pour tous
V 3 (R).

3. Dans l'anneau des matrices M 3 (Z) des exemples de diviseurs nuls sont des matrices
et
, car UN  B = O(matrice nulle).

4. dans l'anneau ( Z/nZ, +, ) avec composé n = k  m, où 1< k, m < n, classes de résidus et sont des diviseurs nuls, puisque. 

Nous présentons ci-dessous les principales propriétés des anneaux et des champs.

Ensemble non vide À, sur lequel deux opérations binaires sont définies - addition (+) et multiplication ( ), satisfaisant aux conditions :

1) concernant l'opération d'addition À- groupe commutatif ;

2) concernant l'opération de multiplication À- semi-groupe ;

3) les opérations d'addition et de multiplication sont liées par la loi de distributivité, c'est-à-dire . (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb pour tous un, b, cK, est appelé anneau (K,+, ).

Structure (À,+) s'appelle groupe additif anneaux. Si l'opération de multiplication est commutative, c'est-à-dire ab=ba. pour tous un, b, alors l'anneau s'appelle commutatif.

Si, par rapport à l'opération de multiplication, il existe un élément d'identité, qui dans l'anneau est généralement désigné par l'unité 1,. alors ils disent que À il y a anneau d'unité.

Un sous-ensemble L d'un anneau est appelé sous-anneau, si L est un sous-groupe du groupe additif du cycle, et L est fermé par l'opération de multiplication, c'est-à-dire pour tout un B L court a+bl et ab L

L'intersection des sous-anneaux sera un sous-anneau. Puis, comme dans le cas des groupes, par un sous-anneau, généré de nombreux SK, est appelé l'intersection de tous les sous-anneaux À, contenant S.

1. L'ensemble des entiers relatifs aux opérations de multiplication et d'addition est un anneau (Z, +, )-commutatif. Ensembles nZ nombres entiers divisibles par P, sera un sous-anneau sans unité pour n>1.

De même, l'ensemble des rationnels et nombres réels sont des anneaux commutatifs avec identité.

2. L'ensemble des matrices carrées d'ordre P par rapport aux opérations d'addition et de multiplication de matrices, il existe un anneau d'identité E- matrice d'identité. À n>1 il est non commutatif.

3. Soit un anneau commutatif K-arbitraire. Considérez tous les polynômes possibles

avec variables X et coefficients un 0, un 1, un 2,..., et n, de À. En ce qui concerne les opérations algébriques d'addition et de multiplication de polynômes, il s'agit d'un anneau commutatif. C'est appelé anneau polynomial Kà partir d'une variable X sur l'anneau À(par exemple, sur l'anneau des nombres entiers, rationnels, réels). L'anneau de polynômes est défini de manière similaire K de t variables comme un anneau polynomial dans une variable x t sur l'anneau K

4. Laissez X- ensemble arbitraire, À- anneau arbitraire. Considérons l'ensemble de toutes les fonctions f : XK, défini sur le plateau X avec des valeurs dans À Nous définissons la somme et le produit des fonctions, comme d'habitude, par les égalités

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

où les opérations + et - dans l'anneau À.

Il est facile de vérifier que toutes les conditions incluses dans la définition d'un anneau sont satisfaites, et l'anneau construit sera commutatif si l'anneau d'origine est commutatif K. C'est appelé bague de fonction sur le plateau X avec des valeurs dans le ring À.

De nombreuses propriétés des anneaux sont reformulées correspondant aux propriétés des groupes et des semi-groupes, par exemple : une m une n = une m + n, (une t) n = une tp pour tous m, n et tout un.

D'autres propriétés spécifiques des anneaux modèlent les propriétés des nombres :

1) pour tout le monde un un 0 = 0 un = 0;

2) .(-a)b=a(-b)=-(ab);

3) -a=(-1)a.

Vraiment:

2) 0=un(similaire à (-a)b=-(ab));

3) en utilisant la deuxième propriété, nous avons- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Champ

Dans les anneaux d'entiers, de nombres rationnels et réels du fait que le produit ab=0, il s'ensuit que soit un=0, ou b=0. Mais dans l'anneau des matrices carrées d'ordre n>1 cette propriété n'est plus satisfaite, car, par exemple, = .

Si dans le ring Kab=0à un 0, b, alors un s'appelle gauche b- droit diviseur zéro. Si dans À il n'y a pas de diviseurs nuls (sauf l'élément 0, qui est un diviseur nul trivial), alors K appelé un anneau pas de diviseurs nuls.

1. Dans la fonction sonnerie F: R R sur l'ensemble des nombres réels R considérer les fonctions f 1 (x)=|x|+x ; f 2 (x) =|x|-x. Pour eux f 1 (x)=0 à X et f2(X)=0 à X, et donc le produit f 1 (x) f 2 (x) est une fonction nulle cependant f 1 (x) et f2(X). Il y a donc zéro diviseur dans cet anneau.

2. Considérons l'ensemble des paires d'entiers ( un B) dans laquelle les opérations d'addition et de multiplication sont données :

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 + a 2 , b 1 + b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Cet ensemble forme un anneau commutatif d'unité (1,1) et de diviseurs nuls, puisque (1,0)(0,1)=(0,0).

S'il n'y a pas de diviseurs nuls dans l'anneau, alors la loi de réduction y est satisfaite, c'est-à-dire ab=ac, a=c. Vraiment, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Laisser À- un anneau, avec une unité. Élément un appelé réversible s'il existe un tel élément un -1 , Pour qui aa -1 =a -1 a=1.

L'élément réversible ne peut pas être un diviseur nul, puisque. si un B=0 , alors une -1 (ab) =0 (une -1 a)b=0 1b=0 b=0(similaire ba=0 ).

Théorème. Tous les éléments inversibles de l'anneau K avec identité forment un groupe par rapport à la multiplication.

En effet, la multiplication À associativement, l'unité est contenue dans l'ensemble des éléments inversibles et le produit ne se déduit pas de l'ensemble des éléments inversibles, puisque si un et b réversible, alors
(ab) -1 = b -1 une -1 .

Une structure algébrique importante est formée par les anneaux commutatifs À, dans laquelle chaque élément non nul est inversible, c'est-à-dire, par rapport à l'opération de multiplication, l'ensemble K\(0) forme un groupe. Trois opérations sont définies dans de tels anneaux : l'addition, la multiplication et la division.

anneau commutatif R d'unité 1 0, où tout élément non nul est inversible, est appelé champ.

En ce qui concerne la multiplication, tous les éléments non nuls du champ forment un groupe appelé groupe multiplicatif des champs.

Travailler ab-1 s'écrit sous la forme d'une fraction et n'a de sens que lorsque b 0. L'élément est la seule solution de l'équation bx=a. Les actions avec des fractions obéissent aux règles qui nous sont familières :

Démontrons, par exemple, la seconde d'entre elles. Laisser x= et y=- résoudre des équations bx=a, dy=c. De ces équations il résulte dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= est la seule solution de l'équation bdt=da+bc.

1. L'anneau d'entiers ne forme pas un corps. Le champ est l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble des nombres réels.

8.7. Tâches pour travail indépendant chapitre 8

8.1. Déterminez si l'opération consistant à trouver le produit scalaire de vecteurs dans un espace euclidien à n dimensions est commutative et associative. Justifiez votre réponse.

8.2. Déterminer si l'ensemble des matrices carrées d'ordre n par rapport à l'opération de multiplication matricielle est un groupe ou un monoïde.

8.3. Indiquez lequel des ensembles suivants forme un groupe par rapport à l'opération de multiplication :

a) un ensemble d'entiers ;

b) l'ensemble des nombres rationnels ;

c) l'ensemble des nombres réels autres que zéro.

8.4. Déterminer laquelle des structures suivantes forme un ensemble de matrices carrées d'ordre n de déterminant égal à un : par rapport aux opérations usuelles d'addition et de multiplication de matrices :

a) un groupe

apporter;

8.5. Indiquez quelle structure l'ensemble d'entiers forme par rapport à l'opération de multiplication et d'addition :

a) anneau non commutatif ;

b) un anneau commutatif ;

8.6. Laquelle des structures suivantes forme un ensemble de matrices de la forme avec réels a et b par rapport aux opérations usuelles d'addition et de multiplication matricielle :

a) une bague

8.7. Quel nombre doit être exclu de l'ensemble des nombres réels pour que les nombres restants forment un groupe par rapport à l'opération de multiplication habituelle :

8.8. Découvrez laquelle des structures suivantes forme un ensemble composé de deux éléments a et e, avec une opération binaire définie comme suit :

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

a) un groupe

b) un groupe abélien.

8.9. Les nombres pairs sont-ils un anneau par rapport aux opérations usuelles d'addition et de multiplication ? Justifiez votre réponse.

8.10. Un anneau est-il un ensemble de nombres de la forme a+b , où a et b sont des nombres rationnels quelconques, par rapport à l'addition et à la multiplication ? Justifiez la réponse.

Annotation: Dans cette conférence, les concepts d'anneaux sont considérés. Les principales définitions et propriétés des éléments d'anneaux sont données, les anneaux associatifs sont considérés. Un certain nombre de problèmes caractéristiques sont considérés, les principaux théorèmes sont prouvés et des problèmes à considérer indépendamment sont donnés.

Anneaux

Un ensemble R avec deux opérations binaires(addition + et multiplication) s'appelle bague associative avec unité, si:

Si l'opération de multiplication est commutative, alors l'anneau est appelé commutatif bague. Les anneaux commutatifs sont l'un des principaux objets d'étude de l'algèbre commutative et de la géométrie algébrique.

Remarques 1.10.1.

Exemples 1.10.2 (exemples d'anneaux associatifs).

Nous avons déjà vu que le groupe de résidus (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, modulo n avec l'opération d'addition , est un groupe commutatif (voir exemple 1.9.4, 2)).

On définit l'opération de multiplication en posant . Vérifions l'exactitude de cette opération. Si C k =C k" , C l =C l" , alors k"=k+nu , l"=l+nv , et donc C k"l" =C kl .

Car (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, alors est un cycle commutatif associatif d'identité C 1 cycle résiduel modulo n ).

Propriétés de l'anneau (R,+,.)

Lemme 1.10.3 (binôme de Newton). Soit R un anneau avec 1 , , . Alors:

Preuve.

Définition 1.10.4. Un sous-ensemble S d'un anneau R est appelé sous-anneau, si:

a) S est un sous-groupe par rapport à l'addition dans le groupe (R,+) ;

b) car on a ;

c) pour un anneau R avec 1 on suppose que .

Exemples 1.10.5 (exemples de sous-anneaux).

Tâche 1.10.6. Décrivez tous les sous-anneaux dans l'anneau résiduel Z n modulo n .

Remarque 1.10.7. Dans l'anneau Z 10 les éléments divisibles par 5 forment un anneau avec 1 qui n'est pas un sous-anneau dans Z 10 (ces anneaux ont des éléments d'identité différents).

Définition 1.10.8. Si R est un anneau et , , ab=0 , alors l'élément a est appelé diviseur zéro gauche dans R , l'élément b est appelé diviseur zéro droit dans R .

Remarque 1.10.9. Dans les anneaux commutatifs, bien sûr, il n'y a pas de différence entre les diviseurs zéro gauche et droit.

Exemple 1.10.10. Z , Q , R n'ont pas de diviseurs nuls.

Exemple 1.10.11. L'anneau des fonctions continues C a des diviseurs nuls. En effet, si

alors , , fg=0 .

Exemple 1.10.12. Si n=kl , 1

Lemme 1.10.13. S'il n'y a pas de diviseurs nuls (à gauche) dans l'anneau R, alors de ab=ac , où , , implique que b=c (c'est-à-dire la possibilité d'annuler par un élément non nul à gauche s'il n'y a pas de diviseurs zéro à gauche ; et à droite s'il n'y a pas de diviseurs zéro à droite).

Preuve. Si ab=ac , alors a(b-c)=0 . Puisque a n'est pas un diviseur zéro gauche, alors b-c=0 , c'est-à-dire b=c .

Définition 1.10.14. L'élément s'appelle nilpotent, si x n =0 pour certains . Le plus petit de ces nombres naturels n est appelé degré de nilpotence d'un élément .

Il est clair qu'un élément nilpotent est un diviseur nul (si n>1, alors , ). L'inverse n'est pas vrai (il n'y a pas d'éléments nilpotents dans Z 6, mais 2 , 3 , 4 sont des diviseurs nuls non nuls).

Exercice 1.10.15. L'anneau Z n contient des éléments nilpotents si et seulement si n est divisible par m 2 , où , .

Définition 1.10.16. Un élément x de l'anneau R est appelé idempotent, si x 2 \u003d x. Il est clair que 0 2 =0 , 1 2 =1 . Si x 2 =x et , , alors x(x-1)=x 2 -x=0 , et donc les idempotents non triviaux sont des diviseurs nuls.

On note U(R) l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau associatif R , c'est-à-dire ceux pour lesquels il existe un élément inverse s=r -1 (c'est-à-dire rr -1 =1=r -1 r ).

est appelé l'ordre de l'élément a. Si un tel n n'existe pas, alors l'élément a est appelé un élément d'ordre infini.

Théorème 2.7 (Petit théorème de Fermat). Si a G et G est un groupe fini, alors a |G| =e .

Accepter sans justificatif.

Rappelons que chaque groupe G, ° est une algèbre à une opération binaire pour laquelle trois conditions sont satisfaites, c'est-à-dire, les axiomes spécifiés du groupe.

Un sous-ensemble G 1 d'un ensemble G avec la même opération que dans un groupe est appelé un sous-groupe si G 1 , ° est un groupe.

On peut prouver qu'un sous-ensemble G 1 non vide de l'ensemble G est un sous-groupe du groupe G, ° si et seulement si l'ensemble G 1 avec tous les éléments a et b contient l'élément a° b -1 .

Nous pouvons démontrer le théorème suivant.

Théorème 2.8. Un sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

§ 7. Algèbre à deux opérations. Bague

Considérons des algèbres à deux opérations binaires.

Un anneau est un ensemble non vide R, sur lequel sont introduites deux opérations binaires + et °, appelées addition et multiplication, telles que :

1) R; + est un groupe abélien ;

2) la multiplication est associative, c'est-à-dire pour a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) la multiplication est distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire pour

a,b,c R : a° (b+c)=(a° b)+(a° c) et (a + b)° c= (a° c)+(b° c).

Un anneau est dit commutatif si pour a,b R : a ° b=b ° a .

L'anneau s'écrit R ; +, ° .

Puisque R est un groupe abélien (commutatif) par rapport à l'addition, il a une unité additive, qui est notée 0 ou θ et est appelée zéro. L'inverse additif pour un R est noté -a. De plus, dans tout anneau R on a :

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

Alors on obtient ça

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 pour x R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 pour y R.

Ainsi, nous avons montré que pour x R: x ° 0 \u003d 0 ° x \u003d 0. Cependant, de l'égalité x ° y \u003d 0, il ne s'ensuit pas que x \u003d 0 ou y \u003d 0. Montrons ceci avec un exemple.

Exemple. Considérons un ensemble de fonctions continues sur un intervalle. Introduisons pour ces fonctions les opérations usuelles d'addition et de multiplication : f(x)+ ϕ (x) et f(x) · ϕ (x) . Il est facile de voir que nous obtenons un anneau, qui est noté C . Considérons les fonctions f(x) et ϕ (x) illustrées aux Fig. 2.3. Alors nous obtenons que f(x) ≡ / 0 et ϕ (x) ≡ / 0, mais f(x) · ϕ (x) ≡0.

Nous avons prouvé que le produit est égal à zéro si l'un des facteurs est égal à zéro : a ° 0= 0 pour a R et montré par exemple qu'il peut se faire que a ° b= 0 pour a ≠ 0 et b ≠ 0.

Si dans l'anneau R nous avons que a ° b = 0, alors a est appelé diviseurs zéro gauche et b droit. L'élément 0 est considéré comme un diviseur nul trivial.

				f(x)ϕ(x)≡0
	ϕ(x)

Un anneau commutatif sans diviseurs nuls autres que le diviseur nul trivial est appelé un anneau intégral ou un domaine intégral.

Il est facile de voir que

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

et donc x ° (-y)=(-x) ° y est l'inverse de l'élément x° y, c'est-à-dire

x ° (-y) \u003d (-x) ° y \u003d - (x ° y).

De même, on peut montrer que (- x) ° (- y) \u003d x ° y.

§ 8. Anneau avec unité

Si dans l'anneau R il existe une unité par rapport à la multiplication, alors cette unité multiplicative est notée 1.

Il est facile de prouver que l'unité multiplicative (ainsi que l'unité additive) est unique. L'inverse multiplicatif de a R (l'inverse de la multiplication) sera noté a-1 .

Théorème 2.9. Les éléments 0 et 1 sont des éléments différents de l'anneau non nul R .

Preuve. Soit R non seulement 0. Alors pour a ≠ 0 on a a° 0= 0 et a° 1= a ≠ 0, d'où il suit que 0 ≠ 1, car si 0= 1, alors leurs produits par a coïncideraient .

Théorème 2.10. Unité additive, c'est-à-dire 0 n'a pas d'inverse multiplicatif.

Preuve. a° 0= 0° a= 0 ≠ 1 pour un R . Ainsi, un anneau non nul ne sera jamais un groupe par rapport à la multiplication.

La caractéristique d'un anneau R est le plus petit nombre naturel k

tel que a + a + ... + a = 0 pour tout a R . Caractéristique de l'anneau

k - fois

s'écrit k=car R . Si le nombre spécifié k n'existe pas, nous définissons char R= 0.

Soit Z l'ensemble de tous les entiers ;

Q est l'ensemble de tous les nombres rationnels ;

R est l'ensemble de tous les nombres réels ; C est l'ensemble de tous les nombres complexes.

Chacun des ensembles Z, Q, R, C avec les opérations habituelles d'addition et de multiplication est un anneau. Ces anneaux sont commutatifs, avec une unité multiplicative égale au nombre 1. Ces anneaux n'ont pas de diviseurs nuls, ce sont donc des domaines d'intégrité. La caractéristique de chacun de ces anneaux est égale à zéro.

L'anneau des fonctions continues sur (anneau C ) est aussi un anneau d'unité multiplicative, qui coïncide avec une fonction identiquement égale à unité sur . Cet anneau a des diviseurs nuls, ce n'est donc pas une région d'intégrité et le caractère C = 0.

Prenons un autre exemple. Soit M un ensemble non vide et R= 2M l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble M. On introduit deux opérations sur R : la différence symétrique A+ B= A B (que l'on appelle addition) et l'intersection (que l'on appelle multiplication ). Vous pouvez vous assurer d'obtenir

anneau d'unité ; l'unité additive de cet anneau sera, et l'unité multiplicative de l'anneau sera l'ensemble M. Pour cet anneau, pour tout А, А R , on a : А+ А = А А= . Par conséquent, carR = 2.

§ 9. Champ

Un champ est un anneau commutatif dont les éléments non nuls forment un groupe commutatif sous multiplication.

Nous donnons une définition directe du champ, listant tous les axiomes.

Un champ est un ensemble P avec deux opérations binaires "+" et "°", appelées addition et multiplication, telles que :

1) l'addition est associative : pour a, b, c R : (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) il y a une unité additive : 0 P, qui pour a P : a+0 =0 +a=a ;

3) il existe un élément inverse par addition : pour aP(-a)P :

(-a)+a=a+(-a)=0 ;

4) l'addition est commutative : pour a, b P : a+b=b+a ;

(les axiomes 1 à 4 signifient que le corps est un groupe abélien par addition) ;

5) la multiplication est associative : pour a, b, c P : a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) il existe une unité multiplicative : 1 P , qui pour un P :

1°a=a° 1=a ;

7) pour tout élément non nul(a ≠ 0) il existe une inverse par multiplication : pour a P, a ≠ 0, a -1 P : a -1 ° a = a ° a -1 = 1 ;

8) la multiplication est commutative : pour a,b P : a ° b=b ° a ;

(les axiomes 5 à 8 signifient qu'un corps sans élément nul forme un groupe commutatif par multiplication) ;

9) la multiplication est distributive par rapport à l'addition : pour a, b, c P : a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

Exemples de champs :

1) R ;+, - champ de nombres réels ;

2) Q;+, - le corps des nombres rationnels ;

3) C;+, - le corps des nombres complexes ;

4) soit P 2 \u003d (0,1). On définit que 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Alors F 2 = P 2 ;+ 2 est un corps et s'appelle l'arithmétique binaire.

Théorème 2.11. Si a ≠ 0, alors l'équation a ° x \u003d b est uniquement résoluble sur le terrain.

Preuve . a° x=b a-1° (a° x)=a-1° b (a-1° a)° x=a-1° b

Définition 4.1.1. Bague (K, +, ) est un système algébrique avec un ensemble non vide K et deux opérations algébriques binaires dessus, que nous appellerons ajout et multiplication. L'anneau est un groupe additif abélien, et la multiplication et l'addition sont liées par des lois distributives : ( un + b)  c = un  c + b  c et Avec  (un + b) = c  un + c  b pour arbitraire un, b, c  K.

Exemple 4.1.1. Nous donnons des exemples d'anneaux.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sont les anneaux de nombres entiers, rationnels, réels et complexes, respectivement, avec les opérations habituelles d'addition et de multiplication. Ces anneaux sont appelés numérique.

2. (Z/ nZ, +, ) est l'anneau des classes de résidus modulo n  N avec des opérations d'addition et de multiplication.

3. Beaucoup de M n (K) de toutes les matrices carrées d'ordre fixe n  N avec des coefficients de l'anneau ( K, +, ) avec des opérations d'addition matricielle et de multiplication. En particulier, K peut être égal Z, Q, R, C ou Z/nZà n  N.

4. L'ensemble de toutes les fonctions réelles définies sur un intervalle fixe ( un; b) axe des nombres réels, avec les opérations habituelles d'addition et de multiplication de fonctions.

5. Ensemble de polynômes (polynômes) K[X] avec les coefficients de l'anneau ( K, +, ) d'une variable X avec des opérations naturelles d'addition et de multiplication de polynômes. En particulier, les anneaux de polynômes Z[X], Q[X], R[X], C[X], Z/nZ[X] à n  N.

6. Anneau de vecteurs ( V 3 (R), +, ) avec addition et multiplication vectorielle.

7. Anneau ((0), +, ) avec opérations d'addition et de multiplication : 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Définition 4.1.2. Distinguer fini et sans fin anneaux (selon le nombre d'éléments de l'ensemble K), mais la classification principale est basée sur les propriétés de la multiplication. Distinguer associatif sonne lorsque l'opération de multiplication est associative (éléments 1 à 5, 7 de l'exemple 4.1.1) et non associatif anneaux (repère 6 de l'exemple 4.1.1 : ici , ). Les anneaux associatifs sont divisés en l'unité sonne(il y a un élément neutre par rapport à la multiplication) et sans unité, commutatif(l'opération de multiplication est commutative) et non commutatif.

Théorème4.1.1. Laisser ( K, +, ) est un anneau associatif d'unité. Ensuite l'ensemble K* réversible sous multiplication d'éléments annulaires K est un groupe multiplicatif.

Vérifions la satisfaction de la définition de groupe 3.2.1. Laisser un, b  K*. Montrons que un  b  K * .  (un  b) –1 = b –1  un –1  K. Vraiment,

(un  b)  (b –1  un –1) = un  (b  b –1)  un –1 = un  1  un –1 = 1,

(b –1  un –1)  (un  b) = b –1  (un –1  un)  b = b –1  1  b = 1,

où un –1 , b –1  K sont des éléments inverses de un et b respectivement.

1) Multiplication en K* associatif, puisque K est un anneau associatif.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 est un élément neutre par rapport à la multiplication dans K * .

3) Pour  un  K * , un –1  K* , car ( un –1)  un= un  (un –1) = 1
(un –1) –1 = un.

Définition 4.1.3. Beaucoup de K* inversible par rapport à la multiplication des éléments de l'anneau ( K, +, ) sont appelés groupe multiplicatif de l'anneau.

Exemple 4.1.2. Donnons des exemples de groupes multiplicatifs de divers anneaux.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = GL n (Q), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* est l'ensemble des classes de résidus réversibles, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), à n > 1 | Z/nZ * | =  (n), où  est la fonction d'Euler.

4. (0) * = (0), puisque dans ce cas 1 = 0. 

Définition 4.1.4. Si dans l'anneau associatif ( K, +, ) avec groupe de base K * = K\(0), où 0 est un élément neutre par rapport à l'addition, alors un tel anneau est appelé corps ou algèbre avecdivision. Le corps commutatif est appelé champ.

De cette définition, il ressort que dans le corps K*   et 1  K* , donc 1  0, donc le corps minimal, qui est un corps, est composé de deux éléments : 0 et 1.

Exemple 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sont respectivement les champs numériques des nombres rationnels, réels et complexes.

2. (Z/pZ, +, ) est le champ final de péléments, si p- Nombre premier. Par exemple, ( Z/2Z, +, ) est le champ minimum de deux éléments.

3. Un corps non commutatif est le corps des quaternions - une collection de quaternions, c'est-à-dire des expressions de la forme h= un + bi + cc + ns, où un, b, c, ré  R, je 2 = = j 2 = k 2 = –1, je  j= k= – j  je, j  k= je= – k  j, je  k= – j= – k  je, avec les opérations d'addition et de multiplication. Les quaternions sont additionnés et multipliés terme par terme, en tenant compte des formules ci-dessus. Pour tout le monde h 0 le quaternion inverse a la forme :
.

Il existe des anneaux avec des diviseurs nuls et des anneaux sans diviseurs nuls.

Définition 4.1.5. S'il y a des éléments non nuls dans l'anneau un et b tel que un  b= 0, alors on les appelle zéro diviseur, et l'anneau lui-même anneau diviseur zéro. Sinon, l'anneau s'appelle anneau sans diviseur nul.

Exemple 4.1.4.

1. Anneaux ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sont des anneaux sans diviseurs nuls.

2. dans l'anneau ( V 3 (R), +, ) chaque élément non nul est un diviseur nul, puisque
pour tous
V 3 (R).

3. Dans l'anneau des matrices M 3 (Z) des exemples de diviseurs nuls sont des matrices
et
, car UN  B = O(matrice nulle).

4. dans l'anneau ( Z/ nZ, +, ) avec composé n= k  m, où 1< k, m < n, classes de résidus et sont des diviseurs nuls, puisque . 

Nous présentons ci-dessous les principales propriétés des anneaux et des champs.