Conversion d'énergie lors de vibrations harmoniques. Vibration forcée
Transformations d'énergie lors de vibrations harmoniques.
Lorsqu'un pendule mathématique oscille, l'énergie totale du système est la somme de l'énergie cinétique d'un point matériel (boule) et de l'énergie potentielle d'un point matériel dans le champ des forces gravitationnelles. Lorsqu'un pendule à ressort oscille, l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique de la bille et de l'énergie potentielle de la déformation élastique du ressort :
Lors du passage par la position d'équilibre à la fois dans le premier et dans le deuxième pendule, l'énergie cinétique de la balle atteint sa valeur maximale, l'énergie potentielle du système est nulle. Lors des oscillations, une transformation périodique de l'énergie cinétique en énergie potentielle du système se produit, tandis que l'énergie totale du système reste inchangée s'il n'y a pas de forces de résistance (loi de conservation de l'énergie mécanique). Par exemple, pour un pendule à ressort on peut écrire :
Dans un circuit oscillant (Fig. 14.1.c), l'énergie totale du système est la somme de l'énergie d'un condensateur chargé ( énergie du champ électrique) et de l'énergie d'une bobine avec courant ( énergie du champ magnétique. Lorsque la charge du condensateur est maximale, le courant dans la bobine est nul (voir formules 14.11 et 14.12 ), l'énergie du champ électrique du condensateur est maximale, l'énergie du champ magnétique de la bobine est nulle. Au moment où la charge du condensateur est nul, le courant dans la bobine est maximum, l'énergie du champ électrique du condensateur est nulle, l'énergie du champ magnétique de la bobine est maximum.De même que dans les oscillateurs mécaniques, dans le circuit oscillant, l'énergie du champ électrique est périodiquement convertie en énergie du champ magnétique, tandis que l'énergie totale du système reste inchangée s'il n'y a pas de résistance active R. Tu peux écrire:
. (14.15)
Si, pendant le processus d'oscillation, des forces de résistance externes agissent sur un pendule mathématique ou à ressort et qu'il existe une résistance active dans le circuit du circuit oscillant R, l'énergie des oscillations, et donc l'amplitude des oscillations, diminuera. De telles fluctuations sont appelées oscillations amorties , la figure 14.2 montre un graphique de la dépendance de la valeur fluctuante de X au temps.
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§ 16. Courant électrique alternatif.
Nous connaissons déjà les sources de courant continu, nous savons à quoi elles servent, nous connaissons les lois du courant continu. Mais le courant électrique alternatif, qui est utilisé dans la vie quotidienne, dans la production et dans d'autres domaines de l'activité humaine, revêt une importance pratique beaucoup plus grande dans nos vies. L'intensité du courant et la tension du courant alternatif (par exemple, dans le réseau d'éclairage de notre appartement) évoluent dans le temps selon la loi harmonique. La fréquence du courant alternatif industriel est de 50 Hz. Les sources CA sont diverses dans leur conception et leurs caractéristiques. Un fil de fer tournant dans un champ magnétique uniforme constant peut être considéré comme le modèle le plus simple d'un générateur de courant alternatif. Dans la Fig. 14.3, le cadre tourne autour de l'axe vertical OO, perpendiculaire aux lignes de champ magnétique, avec une vitesse angulaire constante . Coin α entre le vecteur et la normale varie selon la loi , le flux magnétique à travers la surface S, limité par le cadre, change avec le temps, une fem d'induction apparaît dans le cadre.
Evolutions dans le temps selon une loi sinusoïdale :
où X- la valeur de la quantité fluctuante au moment du temps t, MAIS- amplitude , ω - fréquence circulaire, φ est la phase initiale des oscillations, ( φt + φ ) est la phase totale des oscillations . Dans le même temps, les valeurs MAIS, ω et φ - permanent.
Pour les vibrations mécaniques à valeur oscillante X sont, en particulier, le déplacement et la vitesse, pour les oscillations électriques - tension et intensité du courant.
Les vibrations harmoniques occupent une place particulière parmi tous les types de vibrations, car c'est le seul type de vibration dont la forme n'est pas déformée lorsqu'elle traverse un milieu homogène, c'est-à-dire que les ondes se propageant à partir d'une source de vibrations harmoniques seront également harmoniques. Toute vibration non harmonique peut être représentée comme une somme (intégrale) de diverses vibrations harmoniques (sous la forme d'un spectre de vibrations harmoniques).
Transformations d'énergie lors de vibrations harmoniques.
Dans le processus d'oscillations, il y a une transition d'énergie potentielle Wc en cinétique Semaine et vice versa. Dans la position d'écart maximal par rapport à la position d'équilibre, l'énergie potentielle est maximale, l'énergie cinétique est nulle. Lorsque nous revenons à la position d'équilibre, la vitesse du corps oscillant augmente, et avec elle l'énergie cinétique augmente également, atteignant un maximum dans la position d'équilibre. L'énergie potentielle tombe alors à zéro. Le mouvement du cou se produit avec une diminution de la vitesse, qui tombe à zéro lorsque la déviation atteint son deuxième maximum. L'énergie potentielle augmente ici jusqu'à sa valeur initiale (maximale) (en l'absence de frottement). Ainsi, les oscillations des énergies cinétique et potentielle se produisent avec une fréquence doublée (par rapport aux oscillations du pendule lui-même) et sont en antiphase (c'est-à-dire qu'il y a un déphasage entre elles égal à π ). Énergie vibratoire totale O reste inchangé. Pour un corps oscillant sous l'action d'une force élastique, elle est égale à :
où v m- la vitesse maximale du corps (en position d'équilibre), x m = MAIS- amplitude.
Du fait de la présence de frottement et de résistance du milieu, les oscillations libres s'amortissent : leur énergie et leur amplitude diminuent avec le temps. Par conséquent, dans la pratique, les oscillations non libres mais forcées sont utilisées plus souvent.
Lorsqu'un pendule mathématique oscille, l'énergie totale du système est la somme de l'énergie cinétique d'un point matériel (boule) et de l'énergie potentielle d'un point matériel dans le champ des forces gravitationnelles. Lorsqu'un pendule à ressort oscille, l'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique de la bille et de l'énergie potentielle de la déformation élastique du ressort :
Lors du passage par la position d'équilibre à la fois dans le premier et dans le deuxième pendule, l'énergie cinétique de la balle atteint sa valeur maximale, l'énergie potentielle du système est égale à zéro. Lors des oscillations, l'énergie cinétique est périodiquement convertie en énergie potentielle du système, tandis que l'énergie totale du système reste inchangée s'il n'y a pas de forces de résistance (loi de conservation de l'énergie mécanique). Par exemple, pour un pendule à ressort on peut écrire :
Dans un circuit oscillant (Fig. 14.1.c), l'énergie totale du système est la somme de l'énergie d'un condensateur chargé ( énergie du champ électrique) et de l'énergie d'une bobine avec courant ( énergie du champ magnétique. Lorsque la charge du condensateur est maximale, le courant dans la bobine est nul (voir formules 14.11 et 14.12 ), l'énergie du champ électrique du condensateur est maximale, l'énergie du champ magnétique de la bobine est nulle. Au moment où la charge du condensateur est nul, le courant dans la bobine est maximum, l'énergie du champ électrique du condensateur est nulle, l'énergie du champ magnétique de la bobine est maximum.De même que dans les oscillateurs mécaniques, dans le circuit oscillant, l'énergie du champ électrique est périodiquement convertie en énergie du champ magnétique, tandis que l'énergie totale du système reste inchangée s'il n'y a pas de résistance active R. Tu peux écrire:
. (14.15)
Si, dans le processus d'oscillations, des forces de résistance externes agissent sur un pendule mathématique ou à ressort et qu'il existe une résistance active dans le circuit oscillant R, l'énergie des oscillations, et donc l'amplitude des oscillations, diminuera. De telles fluctuations sont appelées oscillations amorties , la figure 14.2 montre un graphique de la dépendance de la valeur fluctuante de X au temps.
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§ 16. Courant électrique alternatif.
Nous connaissons déjà les sources de courant continu, nous savons à quoi elles servent, nous connaissons les lois du courant continu. Mais le courant électrique alternatif, qui est utilisé dans la vie quotidienne, dans la production et dans d'autres domaines de l'activité humaine, revêt une importance pratique beaucoup plus grande dans nos vies. L'intensité du courant et la tension du courant alternatif (par exemple, dans le réseau d'éclairage de notre appartement) évoluent dans le temps selon la loi harmonique. La fréquence du courant alternatif industriel est de 50 Hz. Les sources CA sont diverses dans leur conception et leurs caractéristiques. Une boucle de fil tournant dans un champ magnétique uniforme constant peut être considérée comme le modèle le plus simple d'un générateur de courant alternatif. Dans la Fig. 14.3, le cadre tourne autour de l'axe vertical OO, perpendiculaire aux lignes de champ magnétique, avec une vitesse angulaire constante . Coin α entre le vecteur et la normale varie selon la loi , le flux magnétique à travers la surface S, limité par le cadre, change avec le temps, une fem d'induction apparaît dans le cadre.
En étudiant ce sujet, ils résolvent des problèmes de cinématique et de dynamique des vibrations élastiques. Il est utile dans ce cas de comparer les oscillations élastiques aux oscillations du pendule déjà considérées afin de dégager à la fois leurs traits généraux et spécifiques.
La résolution de problèmes nécessite l'application de la deuxième loi de Newton, de la loi de Hooke et des formules de la cinématique du mouvement oscillatoire harmonique.
La période des oscillations harmoniques élastiques d'un corps avec une masse est déterminée par la formule (n ° 758). Cette formule vous permet de déterminer la période de diverses oscillations harmoniques, si la valeur est connue.Pour les oscillations élastiques, il s'agit du coefficient de rigidité et pour les oscillations d'un pendule mathématique (n ° 748).
Dans les problèmes de transformations d'énergie en mouvement oscillatoire, on considère principalement la transformation de l'énergie cinétique en énergie potentielle. Mais pour le cas des oscillations amorties, la transformation de l'énergie mécanique en énergie interne est également prise en compte. Énergie cinétique des vibrations élastiques
Énergie potentielle
Les oscillations de corps de masses différentes sur un même ressort différeront-elles également ? Vérifiez votre réponse avec l'expérience.
Réponse. Un corps de plus grande masse aura une période d'oscillation plus longue. De la formule, il s'ensuit qu'avec la même force élastique, un corps de plus grande masse aura moins d'accélération et, par conséquent, se déplacera plus lentement. Ceci peut être vérifié par des masses oscillantes de différentes masses suspendues à un dynamomètre.
757(e). Un poids était suspendu au ressort puis soutenu pour que le ressort ne s'étire pas. Décrivez comment la charge se déplacera si le support qui la supporte est retiré. Vérifiez votre réponse avec l'expérience.
Solution, libérons la charge pour qu'elle tombe librement. Ensuite, il étirera le ressort d'une quantité qui peut être déterminée à partir de la relation
Selon la loi de conservation de l'énergie, lors du mouvement ascendant inverse, la charge qui monte à une hauteur va osciller avec une amplitude h. Si la charge est suspendue à un ressort, elle l'étirera d'une quantité
Par conséquent, la position dans laquelle la charge est suspendue au repos est le centre autour duquel se produisent les oscillations. Cette conclusion est facile à vérifier sur un ressort long "mou", par exemple, du dispositif "seau d'Archimède".
758. Un corps avec une masse sous l'action d'un ressort ayant de la rigidité oscille sans frottement dans un plan horizontal le long de la tige a (Fig. 238). Déterminer la période d'oscillation du corps en utilisant la loi de conservation de l'énergie.
La solution. Dans la position extrême, toute l'énergie du corps est potentielle et, en moyenne, cinétique. D'après la loi de conservation de l'énergie
Pour la position d'équilibre Donc,
759(e). Déterminez le coefficient de rigidité du fil de caoutchouc et calculez la période d'oscillation de la masse qui y est suspendue. Vérifiez votre réponse avec l'expérience.
La solution. Pour répondre au problème des vorros, les élèves doivent disposer d'un fil de caoutchouc, d'un poids de 100 V, d'une règle et d'un chronomètre.
Après avoir suspendu la charge sur le fil, calculez d'abord la valeur numériquement égale à la force qui étire le fil par unité de longueur. Dans l'une des expériences, les données suivantes ont été obtenues. La longueur initiale du fil cm, la finale Où cm
En mesurant le temps de 10 à 20 oscillations complètes de la charge avec un chronomètre, ils s'assurent que la période trouvée par les calculs coïncide avec celle obtenue par expérience.
760. En utilisant la solution des problèmes 757 et 758, déterminez la période d'oscillation de la voiture sur les ressorts, si son tirant d'eau statique est égal à
La solution.
Par conséquent,
Nous avons obtenu une formule intéressante par laquelle il est facile de déterminer la période des oscillations élastiques d'un corps, ne connaissant que la valeur
761(e). À l'aide de la formule, calculez puis testez par expérience la période d'oscillation sur le ressort du «seau d'Archimède» de charges pesant 100, 300, 400 g.
762. À l'aide de la formule, obtenez la formule de la période d'oscillation d'un pendule mathématique.
La solution. Pour un pendule mathématique, donc
763. En utilisant la condition et la solution du problème 758, trouvez la loi par laquelle la force d'élasticité du ressort change et notez les équations de ce mouvement oscillatoire harmonique, si dans la position extrême le corps avait de l'énergie
La solution.
Supposons que l'amplitude d'oscillation A est déterminée à partir de la formule
De même, en substituant la valeur de la masse, de l'amplitude et de la période dans les formules générales de déplacement, de vitesse et d'accélération, on obtient :
La formule d'accélération pourrait également être obtenue en utilisant la formule de force
764. Un pendule mathématique ayant une masse et une longueur est dévié de 5 cm Quel est son taux d'accélération a et quelle énergie potentielle aura-t-il à une distance cm de la position d'équilibre ?
