Inelul numerelor p-adice întregi. Problemă de reprezentare a datelor Mulțimea numerelor întregi este un inel
În diferite ramuri ale matematicii, precum și în aplicarea matematicii în tehnologie, există adesea o situație în care operațiile algebrice sunt efectuate nu pe numere, ci pe obiecte de altă natură. De exemplu, adunarea matricei, înmulțirea matricei, adunarea vectorială, operații pe polinoame, operații pe transformări liniare etc.
Definiție 1. Un inel este un set de obiecte matematice în care sunt definite două acțiuni - „adunare” și „înmulțire”, care compară perechi ordonate de elemente cu „suma” și „produsul” lor, care sunt elemente ale aceleiași mulțimi. Aceste acțiuni îndeplinesc următoarele cerințe:
1.a+b=b+a(comutativitatea adunării).
2.(a+b)+c=a+(b+c)(asociativitatea adunării).
3. Există un element zero 0 astfel încât A+0=A, pentru orice A.
4. Pentru oricine A există un element opus − A astfel încât A+(−A)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(distributivitatea stângă).
5".c(a+b)=ca+cb(distributivitatea corectă).
Cerințele 2, 3, 4 înseamnă că mulțimea obiectelor matematice formează un grup , iar împreună cu itemul 1 avem de-a face cu un grup comutativ (abelian) în ceea ce privește adunarea.
După cum se poate observa din definiție, în definiția generală a unui inel nu sunt impuse restricții la înmulțiri, cu excepția distributivității cu adunare. Cu toate acestea, în diferite situații, devine necesar să se ia în considerare inelele cu cerințe suplimentare.
6. (ab)c=a(bc)(asociativitatea înmulțirii).
7.ab=ba(comutativitatea înmulțirii).
8. Existenta elementului identitar 1, i.e. astfel de A 1=1 a=a, pentru orice element A.
9. Pentru orice element al elementului A există un element invers A−1 astfel încât aa −1 =A −1 a= 1.
În diferite inele 6, 7, 8, 9 pot fi realizate atât separat, cât și în diferite combinații.
Un inel se numește asociativ dacă este îndeplinită condiția 6, comutativ dacă este îndeplinită condiția 7, comutativ și asociativ dacă sunt îndeplinite condițiile 6 și 7. Un inel se numește inel cu o unitate dacă este îndeplinită condiția 8.
Exemple de inele:
1. Set de matrici pătrate.
Într-adevăr. Îndeplinirea punctelor 1-5, 5" este evidentă. Elementul zero este matricea zero. În plus, se efectuează punctul 6 (asociativitatea înmulțirii), punctul 8 (elementul unitate este matricea identitară). Punctele 7 și 9 nu sunt efectuate deoarece, în cazul general, înmulțirea matricelor pătrate este necomutativă și, de asemenea, nu există întotdeauna o inversă la o matrice pătrată.
2. Mulțimea tuturor numerelor complexe.
3. Mulțimea tuturor numerelor reale.
4. Mulțimea tuturor numerelor raționale.
5. Mulțimea tuturor numerelor întregi.
Definiție 2. Orice sistem de numere care conține suma, diferența și produsul a oricăror două dintre numerele sale se numește inel numeric.
Exemplele 2-5 sunt inele numerice. Inelele numerice sunt, de asemenea, toate numerele pare, precum și toate numerele întregi divizibile fără rest cu un număr natural n. Rețineți că setul de numere impare nu este un inel de atunci suma a două numere impare este un număr par.
Definiție:
Suma și produsul numerelor p-adice întregi definite de șirurile u sunt numerele p-adice întregi definite, respectiv, de șirurile u.
Pentru a fi siguri de corectitudinea acestei definiții, trebuie să demonstrăm că șirurile și determinăm unele numere întregi - numere adice, și că aceste numere depind doar de, și nu de, alegerea șirurilor care le definesc. Ambele proprietăți sunt dovedite printr-o verificare evidentă.
Evident, având în vedere definiția acțiunilor asupra numerelor întregi - adice, ele formează un inel comunicativ care conține inelul numerelor întregi raționale ca subinel.
Divizibilitatea numerelor întregi - adic este definită în același mod ca în orice alt inel: dacă există un astfel de număr întreg - adic care
Pentru a studia proprietățile diviziunii, este important să știm care sunt acele numere întregi - numere adice, pentru care există numere întregi reciproce - numere adice. Astfel de numere sunt numite divizori de unități sau unități. Le vom numi - unități adic.
Teorema 1:
Un număr întreg este un număr adic definit de o secvență dacă și numai dacă este unul când.
Dovada:
Fie o unitate, atunci există un astfel de număr întreg - un număr adic, care. Dacă este determinat de o secvență, atunci condiția înseamnă că. În special, și deci, Dimpotrivă, fie Din condiția rezultă cu ușurință că, deci. Prin urmare, pentru orice n se poate găsi astfel încât comparația să fie validă. De-atunci. Aceasta înseamnă că secvența determină un număr întreg - un număr adic.Comparațiile arată că, i.e. care este unitatea.
Din teorema demonstrată rezultă că întregul este un număr rațional. Fiind considerat ca un element al inelului, dacă și numai atunci este unitatea când. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci Rezultă că orice număr întreg rațional b este divizibil cu un astfel de in, i.e. că orice număr rațional de forma b/a, unde a și b sunt numere întregi și, este conținut în Numerele raționale de această formă se numesc -numere întregi. Ele formează un inel evident. Rezultatul nostru poate fi acum formulat după cum urmează:
Consecinţă:
Inelul întregului - numere adice conține un subinel, inel izomorf- numere raționale întregi.
Numere p-adice fracționale
Definiție:
O fracție de formă, k >= 0 definește un număr p-adic fracționar sau pur și simplu un număr p-adic. Două fracții și, determină același număr p-adic, dacă c.
Colecția tuturor numerelor p-adice se notează p. Este ușor de verificat dacă operațiile de adunare și înmulțire continuă de la p la p și transformă p într-un câmp.
2.9. Teorema. Fiecare număr p-adic este reprezentat în mod unic în formă
unde m este un număr întreg și este unitatea inelului p .
2.10. Teorema. Orice număr p-adic diferit de zero poate fi reprezentat în mod unic în formă
Proprietăți: Câmpul numerelor p-adice conține câmpul numerelor raționale. Este ușor de demonstrat că orice număr întreg p-adic care nu este un multiplu al lui p este inversabil în inelul p și că este un multiplu al lui p este scris în mod unic sub forma în care x nu este un multiplu al lui p și, prin urmare, este inversabil, a. Prin urmare, orice element diferit de zero al câmpului p poate fi scris sub forma în care x nu este un multiplu al lui p, dar m este oricare; dacă m este negativ, atunci, pe baza reprezentării numerelor p-adice întregi ca șir de cifre în sistemul numeric p-ari, putem scrie un astfel de număr p-adic ca șir, adică să-l reprezentăm formal ca o fracție p-ary cu un număr finit de cifre după virgulă zecimală și, eventual, un număr infinit de cifre diferite de zero înainte de virgulă zecimală. Împărțirea unor astfel de numere se poate face, de asemenea, în mod similar cu regula „școală”, dar începând cu cifrele mai mici decât cele mai mari ale numărului.
Din cursul de programare se știe că un număr întreg poate fi reprezentat în memoria computerului în diferite moduri, în special, această reprezentare depinde de modul în care este descris: ca valoare de tipul întreg, sau real, sau șir. În același timp, în majoritatea limbajelor de programare, numerele întregi sunt înțelese ca numere dintr-un interval foarte limitat: un caz tipic este de la -2 15 = -32768 la 2 15 - 1 = 32767 . Sisteme algebră computerizată se ocupă cu numere întregi mari, în special, orice astfel de sistem poate calcula și afișa numere precum 1000 în notație zecimală! (mai mult de o mie de caractere).
În acest curs, vom lua în considerare reprezentarea numerelor întregi în formă simbolică și nu vom intra în detalii despre câtă memorie este alocată pentru a scrie un caracter (bit, octet sau altul). Cea mai comună este reprezentarea numerelor întregi în sisteme de numere poziționale. Un astfel de sistem este determinat de alegerea bazei numărului, de exemplu, 10. Setul de numere întregi zecimale este de obicei descris după cum urmează:
Definiția scrisă a numerelor întregi oferă unicitatea reprezentării fiecărui astfel de număr și o definiție similară (doar, poate cu o bază diferită) este utilizată în majoritatea sistemelor. algebră computerizată. Folosind această reprezentare, este convenabil să se implementeze operații aritmetice pe numere întregi. În același timp, adunarea și scăderea sunt operații relativ „ieftine”, în timp ce înmulțirea și împărțirea sunt „costisitoare”. Când se evaluează complexitatea operațiilor aritmetice, ar trebui să se țină cont atât de costul unei operații elementare (un bit), cât și de numărul de operații de un bit pentru a efectua orice operație pe numere cu mai multe cifre. Complexitatea înmulțirii și împărțirii se datorează, în primul rând, faptului că odată cu creșterea lungimii unui număr (notația acestuia în orice sistem numeric), numărul operațiilor elementare crește conform unei legi pătratice, spre deosebire de cel liniar pentru adunare și scădere. În plus, ceea ce numim de obicei algoritmul de împărțire cu mai multe cifre se bazează de fapt pe enumerarea (adesea foarte semnificativă) a posibilei cifre următoare a coeficientului și nu este suficient doar să folosim regulile de împărțire a numerelor cu o singură cifră. Cu o bază mare a sistemului numeric (adesea poate fi de ordinul 2 30 ), această metodă este ineficientă.
Fie un număr natural (scris în sistem zecimal). Pentru a-și obține dosarul 
în sistemul de numere -ary, puteți utiliza următorul algoritm (indică partea întreagă a numărului):
Dat: A-număr natural în notație zecimală k > 1-număr natural Necesar: A-înregistrare a numărului A în notație k-zecimală Start i:= 0 ciclu în timp ce A > 0 bi:= A (mod k) A:= i := i + 1 capăt de ciclu dA:= i - 1 capăt
Următorul algoritm este utilizat pentru a restabili un număr zecimal din secvența notației sale k-ary:
Dat: k > 1-număr natural o succesiune de cifre reprezentând numărul A în sistemul k-ary Necesar: A-înregistrare a numărului A în notație zecimală Început A:= 0 ciclu până la sfârșitul secvenței b:= următorul element al secvenței A:= A * k + b bucla finală Sfârșitul
1.2. UN EXERCITIU. Explicați de ce se folosește împărțirea pentru a converti un număr din sistemul zecimal în număr k, iar înmulțirea este folosită pentru a converti de la numărul k în zecimal.
Înmulțind cu o „coloană” două numere din două cifre în sistemul numeric zecimal, efectuăm următoarele operații:
(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,
adică 4 operații de înmulțire a numerelor dintr-o cifră, 3 operații de adunare și 2 operații de înmulțire cu puterea bazei numerelor, care sunt reduse la o deplasare. La estimarea complexității, se pot lua în considerare toate operațiile elementare fără a le separa prin ponderi (în acest exemplu, avem 9 operații elementare). Sarcina de optimizare a algoritmului este redusă în această abordare la minimizarea numărului total de operații elementare. Se poate considera totuși că înmulțirea este o operațiune mai „costisitoare” decât adunarea, care, la rândul ei, este „mai scumpă” decât o schimbare. Luând în considerare doar cele mai scumpe operațiuni, obținem asta multiplicativ complexitatea înmulțirii numerelor din două cifre cu o „coloană” este 4.
Secțiunea 5 ia în considerare algoritmi pentru calcularea celor mai mari divizori comuni și evaluează complexitatea acestora.
Reprezentarea considerată nu este singura reprezentare canonică a numerelor întregi. După cum sa menționat deja, pentru a alege o reprezentare canonică, se poate folosi unicitatea factorizării unui număr natural în factori primi. O astfel de reprezentare a unui număr întreg poate fi folosită în acele probleme în care se folosesc doar operații de înmulțire și împărțire, deoarece acestea devin foarte „ieftine”, cu toate acestea, costul operațiilor de adunare și scădere crește disproporționat, ceea ce împiedică utilizarea unei astfel de reprezentări. În unele probleme, respingerea reprezentării canonice oferă un câștig semnificativ în viteză, în special, poate fi utilizată o factorizare parțială a unui număr. O metodă similară este utilă în special atunci când se lucrează nu cu numere, ci cu polinoame.
Dacă se știe că în timpul funcționării programului, toate numerele întregi întâlnite în calcule sunt limitate în valoare absolută de o constantă dată, atunci pentru a seta astfel de numere, sistemul lor de reziduuri în modulul unor numere coprime, al căror produs depășește valoarea constanta menționată, poate fi folosită. Calculele cu clase de reziduuri sunt în general mai rapide decât aritmetica cu precizie multiplă. Și cu această abordare, aritmetica cu precizie multiplă ar trebui utilizată numai atunci când introduceți sau scoateți informații.
Rețineți că, împreună cu reprezentările canonice în sisteme algebră computerizată sunt folosite și alte reprezentări. În special, este de dorit ca prezența sau absența unui semn „+” în fața unui număr întreg să nu afecteze percepția computerului asupra acestuia. Astfel, pentru numerele pozitive se obține o reprezentare ambiguă, deși forma numerelor negative este definită în mod unic.
O altă cerință este ca percepția unui număr să nu fie afectată de prezența zerourilor înainte de prima cifră semnificativă.
1.3. EXERCIȚII.
- Estimați numărul de înmulțiri dintr-o cifră utilizate la înmulțirea unui număr de m cifre cu un număr de n cifre cu o coloană.
- Arătați că două numere din două cifre pot fi înmulțite folosind doar 3 înmulțiri cu o singură cifră și crescând numărul de adunări.
- Găsiți un algoritm pentru împărțirea numerelor lungi care nu necesită multă enumerare pentru a găsi prima cifră a coeficientului.
- Descrieți algoritmul de traducere numere naturale de la sistemul numeric m -ar la cel n -ar.
- LA numerația romană Pentru a scrie numere se folosesc următoarele simboluri: I - unu, V - cinci, X - zece, L - cincizeci, C - o sută, D - cinci sute, M - o mie. Un simbol este considerat negativ dacă există un simbol al unui număr mai mare în dreapta acestuia, iar pozitiv în caz contrar. De exemplu, numărul 1948 din acest sistem va fi scris astfel: MCMXLVIII. Formulați un algoritm pentru conversia unui număr din roman în zecimal și invers. Implementați algoritmul rezultat într-unul dintre limbajele algoritmice (de exemplu, C). Restricții privind datele inițiale: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
- Formulați un algoritm și scrieți un program de adunare a numerelor naturale în numerație romană.
- Vom spune că avem de-a face cu un sistem numeric cu mixt sau bazat pe vector, dacă ni se dă un vector de n numere naturale M = (m 1 , . . . ,m n) (bază) și notația K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) denotă numărul k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . . .)). Scrieți un program care, având în vedere datele (ziua săptămânii, ore, minute, secunde), determină câte secunde au trecut de la începutul săptămânii (Luni, 0, 0, 0) = 0, și efectuează transformarea inversă.
Inelul în care este introdusă relația „a fi mai mare decât zero” (notat cu a > 0) se numește inel localizat, dacă sunt îndeplinite două condiții pentru oricare dintre elementele acestui inel:
1) una și numai una dintre condiții este adevărată
a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0
2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.
Se numeste o multime in care se introduce o anumita relatie de ordine - nestrict (reflexiv, antisimetric si tranzitiv) sau strict (antireflexiv si tranzitiv). ordonat. Dacă legea tricotomiei este îndeplinită, atunci se numește setul liniar ordonat. Dacă luăm în considerare nu o mulțime arbitrară, ci un sistem algebric, de exemplu, un inel sau un câmp, atunci pentru ordonarea unui astfel de sistem sunt introduse și cerințe de monotonitate cu privire la operațiile introduse în acest sistem (structură algebrică). Asa de inel/câmp ordonat este un inel/câmp diferit de zero în care se introduce o relație de ordin liniar (a > b) care îndeplinește două condiții:
1) a > b => a + c > b + c;
2) a > b, c > 0 => a c > b c;
Teorema 1. Orice inel localizat este un sistem ordonat (inel).
Într-adevăr, dacă relația „a fi mai mare decât 0” este introdusă în inel, atunci este posibil să se introducă o relație mai mare decât pentru două elemente arbitrare, dacă presupunem că
a > b a - b > 0.
O astfel de relație este o relație de ordine strictă, liniară.
Această relație „mai mare decât” este antireflexivă, deoarece condiția a > a este echivalentă cu condiția a - a > 0, aceasta din urmă contrazice faptul că a - a = 0 (conform primei condiții a inelului situat, un element nu poate fi atat mai mare decat 0 cat si egal cu 0) . Astfel, afirmația a > a este falsă pentru orice element a, deci relația este antireflexivă.
Să demonstrăm tranzitivitatea: dacă a > b și b > c, atunci a > c. Prin definiție, din condițiile teoremei rezultă că a - b > 0 și b - c > 0. Adunând aceste două elemente mai mari decât zero, obținem din nou un element mai mare decât zero (conform celei de-a doua condiții a inelului situat). ):
a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.
Aceasta din urmă înseamnă că a > c. Astfel, relația introdusă este o relație de ordine strictă. Mai mult, această relație este o relație de ordine liniară, adică pentru mulțimea numerelor naturale, teorema tricotomiei:
Pentru oricare două numere naturale, unul și numai unul dintre următoarele trei afirmații sunt adevărate:
Într-adevăr (datorită primei condiții a inelului localizat) pentru numărul a - b una și numai una dintre condiții este adevărată:
1) a - b > 0 => a > b
2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a
3) a - b = 0 => a = b.
Proprietățile de monotonitate sunt valabile și pentru orice inel localizat. Într-adevăr
1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;
2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (conform a doua condiție a inelului situat) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .
Astfel, am demonstrat că orice inel localizat este un inel ordonat (un sistem ordonat).
Pentru orice inel localizat, următoarele proprietăți vor fi, de asemenea, adevărate:
a) a + c > b + c => a > b;
b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;
c) a > b / \ c< 0=>ac< bc;
Aceleași proprietăți sunt valabile pentru alte semne.<, , .
Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea (c). Prin definiție, din condiția a > b rezultă că a - b > 0, iar din condiția c< 0 (0 >c) rezultă că 0 - c > 0, și de aici numărul - c > 0, înmulțim două numere pozitive (a - b) (-c). Rezultatul va fi, de asemenea, pozitiv prin a doua condiție a inelului localizat, adică.
(a - b) (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,
Q.E.D.
d) aa = a 2 0;
Dovada: În funcție de prima condiție a inelului localizat, fie a > 0, fie –a > 0, fie a = 0. Luați în considerare aceste cazuri separat:
1) a > 0 => aa > 0 (conform a doua condiție a inelului localizat) => a 2 > 0.
2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, dar prin proprietatea inelului (–a)(–a) = aa = a 2 > 0.
3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0.
Astfel, în toate cele trei cazuri, un 2 este fie mai mare decât zero, fie egal cu 0, ceea ce înseamnă doar că un 2 ≥ 0 și proprietatea este dovedită (rețineți că am demonstrat că pătratul unui element al unui inel situat este 0 dacă și numai dacă elementul în sine este 0).
e) ab = 0 a = 0 \/ b = 0.
Dovada: Presupunem contrariul (ab =0, dar nici a, nici b nu sunt egali cu zero). Atunci sunt posibile doar două opțiuni pentru a, fie a > 0, fie – a > 0 (opțiunea a = 0 este exclusă de ipoteza noastră). Fiecare dintre aceste două cazuri se împarte în încă două cazuri în funcție de b (fie b > 0, fie – b > 0). Atunci sunt posibile 4 variante:
a > 0, b > 0 => ab > 0;
– a > 0, b > 0 => ab< 0;
a > 0, – b > 0 => ab< 0;
– a > 0 – b > 0 => ab > 0.
După cum vedem, fiecare dintre aceste cazuri contrazice condiția ab = 0. Proprietatea este dovedită.
Ultima proprietate înseamnă că inelul localizat este o zonă de integritate, care este și o proprietate obligatorie a sistemelor ordonate.
Teorema 1 arată că orice inel situat este un sistem ordonat. Este adevărat și invers - orice inel ordonat este localizat. Într-adevăr, dacă există o relație a > b în inel și oricare două elemente ale inelului sunt comparabile între ele, atunci 0 este, de asemenea, comparabil cu orice element a, adică fie a > 0, fie a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Pentru a demonstra aceasta din urmă, aplicăm proprietatea de monotonitate a sistemelor ordonate: în partea dreaptă și stângă a inegalității a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.
A doua condiție a inelului localizat rezultă din proprietățile monotonității și tranzitivității:
a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,
a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.
Teorema 2. Inelul numerelor întregi este un inel aranjat (un sistem ordonat).
Dovada: Să folosim definiția 2 a inelului de numere întregi (vezi 2.1). Conform acestei definiții, orice număr întreg este fie un număr natural (numărul n este dat ca [
a > 0 a N
Atunci prima condiție a inelului situat este îndeplinită automat pentru numerele întregi: dacă a este natural, atunci este mai mare decât 0, dacă a este opusul naturalului, atunci –a este natural, adică este și mai mare decât 0, este posibilă și varianta a = 0, care face și adevărată disjuncție în prima condiție a inelului situat. Valabilitatea celei de-a doua condiții a inelului situat rezultă din faptul că suma și produsul a două numere naturale (numere întregi mai mari decât zero) este din nou un număr natural și, prin urmare, mai mare decât zero.
Astfel, toate proprietățile inelelor aranjate sunt transferate automat tuturor numerelor întregi. În plus, pentru numere întregi (dar nu pentru inele aranjate arbitrar), teorema discretității este valabilă:
Teorema discretității. Niciun număr întreg nu poate fi inserat între două numere întregi adiacente:
( a, x Z) .
Dovada: luați în considerare toate cazurile posibile pentru a și presupuneți contrariul, adică că există x astfel încât
A< x < a +1.
1) dacă a este un număr natural, atunci a + 1 este și un număr natural. Apoi, prin teorema discretității pentru numerele naturale, niciun număr natural x nu poate fi inserat între a și a / = a + 1, adică x, în orice caz, nu poate fi natural. Dacă presupunem că x = 0, atunci presupunem că
A< x < a +1
ne va conduce la condiția a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.
2) a = 0. Atunci a + 1 = 1. Dacă condiția a< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.
3) a este negativ (–a > 0), atunci a + 1 0. Dacă a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:
–a–1< – x < –a,
adică ajungem la situația considerată în primul caz (întrucât atât -a-1 cât și -a sunt naturale), de unde - x nu poate fi un număr întreg, și deci x nu poate fi un număr întreg. Situația când a + 1 = 0 înseamnă că a = -1, adică.
–1 < x < 0.
Înmulțind această inegalitate cu (–1), ajungem la cazul 2. Astfel, teorema este valabilă în toate situațiile.
Terem al lui Arhimede. Pentru orice număr întreg a și întreg b > 0, există un număr întreg pozitiv n astfel încât a< bn.
Pentru naturalul a, teorema a fost deja demonstrată, deoarece condiția b > 0 înseamnă că numărul b este natural. Pentru a 0, teorema este, de asemenea, evidentă, deoarece partea dreaptă a lui bn este un număr natural, adică este și mai mare decât zero.
În inelul numerelor întregi (ca în orice inel localizat), putem introduce conceptul de modul:
|a| = 
.
Proprietăți valide ale modulului:
1) |a + b| |a| + |b|;
2) |a – b| |a| – |b|;
3) |a b| = |a| |b|.
Dovada: 1) Rețineți că din definiție este evident că |a| este o valoare care este întotdeauna nenegativă (în primul caz |a| = a ≥ 0, în al doilea caz |a| = –a, dar a< 0, откуда –а >0). Inegalitățile |a| ≥ a, |a| ≥ –a (modulul este egal cu expresia corespunzătoare dacă este nenegativ și mai mare decât acesta dacă este negativ). Inegalități similare sunt valabile pentru b: |b| ≥ b, |b| ≥ -b. Adunând inegalitățile corespunzătoare și aplicând proprietatea (b) a inelelor aranjate, obținem
|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.
Conform definiției modulului
|a+b| = 
,
dar ambele expresii din partea dreaptă a egalității, așa cum se arată mai sus, nu depășesc |a| + |b|, care demonstrează prima proprietate a modulelor.
2) Să înlocuim în prima proprietate a cu a - b. Primim:
|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|
|a| ≤ |a – b| + |b|
Mutați |b| din partea dreaptă spre stânga cu semnul opus
|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b| |a| – |b|.
Dovada proprietății 3 este lăsată în seama cititorului.
Sarcină: Rezolvați ecuația în numere întregi
2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.
Decizie: Factorizați partea stângă. Pentru a face acest lucru, reprezentăm termenul 3xy = – xy + 4xy
2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d
Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).
Astfel, ecuația noastră poate fi rescrisă ca
(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.
Deoarece trebuie să o rezolvăm în numere întregi, x și y trebuie să fie numere întregi, ceea ce înseamnă că factorii din partea stângă a ecuației noastre sunt, de asemenea, numere întregi. Numărul 5 din partea dreaptă a ecuației noastre poate fi reprezentat ca un produs al factorilor întregi în doar 4 moduri:
5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Prin urmare, sunt posibile următoarele opțiuni:
1)
2)
3)
4)
Dintre sistemele enumerate, doar (4) are o soluție întreagă:
x = 1, y = -2.
Sarcini pentru decizie independentă
nr. 2.4. Pentru elementele a, b, c, d ale unui inel situat arbitrar, demonstrați proprietățile:
a) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d.
nr. 2.5. Rezolvați ecuațiile în numere întregi:
|
a) y 2 - 2xy - 2x = 6; b) 2x 2 - 11xy + 12y 2 = 17; c) 35xy + 5x - 7y = 1; d) x 2 - 3xy + 2y 2 = 3; e) |
f) xy + 3x - 5y + 3 = 0; g) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x \u003d 2; h) xy 2 + x = 48; i) 1! +2! + 3! + … + n! = y 2 ; j) x 3 - 2y 3 - 4z 3 \u003d 0 |
;nr. 2.6. Găsiți un număr de patru cifre care este un pătrat exact și astfel încât primele două cifre să fie egale între ele, iar ultimele două cifre să fie egale între ele.
nr. 2.7. Găsiți un număr din două cifre egal cu suma zecilor sale și pătratul unităților sale.
nr. 2.8. Găsiți un număr din două cifre care este egal cu dublul produsului cifrelor sale.
nr. 2.9. Demonstrați că diferența dintre un număr de trei cifre și un număr scris în aceleași cifre în ordine inversă nu poate fi pătratul unui număr natural.
nr. 2.10. Găsiți toate numerele naturale care se termină cu 91, care, după ștergerea acestor cifre, scad de un număr întreg de ori.
nr. 2.11. Găsiți un număr din două cifre egal cu pătratul unităților sale plus cubul zecilor sale.
nr. 2.12. Găsiți un număr de șase cifre care începe cu numărul 2, care crește de 3 ori prin rearanjarea acestui număr până la sfârșitul numărului.
nr. 2.13. Pe tablă sunt scrise mai mult de 40, dar mai puțin de 48 de numere întregi. Media aritmetică a tuturor acestor numere este 3, media aritmetică a celor pozitive este 4, iar media aritmetică a celor negative este 8. Câte numere sunt scrise pe tablă? Care număr este mai mare, pozitiv sau negativ? Care este numărul maxim posibil de numere pozitive?
nr. 2.14. Raportul dintre un număr de trei cifre și suma cifrelor sale poate fi 89? Poate acest coeficient să fie egal cu 86? Care este valoarea maximă posibilă a acestui coeficient?
Numerele naturale nu sunt un inel, deoarece 0 nu este un număr natural și nu există opuși naturali pentru numerele naturale. Structura formată din numere naturale se numește semicerc. Mai precis,
semicerc se numește semigrup comutativ față de adunare și semigrup față de înmulțire, în care operațiile de adunare și înmulțire sunt legate prin legi distributive.
Acum introducem definiții riguroase ale numerelor întregi și dovedim echivalența acestora. Pe baza conceptului de structuri algebrice și a faptului că mulțimea numerelor naturale este un semiinel, dar nu un inel, putem introduce următoarea definiție:
Definiția 1. Inelul numerelor întregi este cel mai mic inel care conține seminelul numerelor naturale.
Această definiție nu spune nimic despre aspect asemenea numere. Într-un curs școlar, numerele întregi sunt definite ca numere naturale, contrariile lor și 0. Această definiție poate fi luată și ca bază pentru construirea unei definiții stricte.
Definiția 2. Un inel de numere întregi este un inel ale cărui elemente sunt numere naturale, opusele lor și 0 (și numai ele).
Teorema 1. Definițiile 1 și 2 sunt echivalente.
Dovada: Notăm cu Z 1 inelul numerelor întregi în sensul Definiției 1, iar cu Z 2 inelul numerelor întregi în sensul Definiției 2. Mai întâi demonstrăm că Z 2 este inclus în Z 1 . Într-adevăr, toate elementele lui Z 2 sunt fie numere naturale (aparțin lui Z 1, deoarece Z 1 conține un semicerc de numere naturale), fie contrariile lor (aparțin și lui Z 1, deoarece Z 1 este un inel, ceea ce înseamnă că pentru fiecare element al acestui inel, există unul opus, iar pentru fiecare natural n н Z 1 , –n aparține și lui Z 1), sau 0 (0 н Z 1 , deoarece Z 1 este un inel și în orice inel). există 0), astfel, orice element din Z 2 aparține și lui Z 1 și, prin urmare, Z 2 Í Z 1 . Pe de altă parte, Z 2 conține un semicerc de numere naturale, iar Z 1 este inelul minim care conține numere naturale, adică nu poate conține niciun o alta inel care îndeplinește această condiție. Dar am arătat că conține Z 2 și deci Z 1 = Z 2 . Teorema a fost demonstrată.
Definiția 3. Un inel de numere întregi este un inel ale cărui elemente sunt toate elementele posibile reprezentabile ca diferență b - a (toate soluțiile posibile ale ecuației a + x = b), unde a și b sunt numere naturale arbitrare.
Teorema 2. Definiția 3 este echivalentă cu cele două anterioare.
Dovada: Se notează cu Z 3 inelul numerelor întregi în sensul Definiției 3, iar cu Z 1 = Z 2 , ca mai înainte, inelul numerelor întregi în sensul Definițiilor 1 și 2 (egalitatea lor a fost deja stabilită). Mai întâi demonstrăm că Z 3 este inclus în Z 2 . Într-adevăr, toate elementele lui Z 3 pot fi reprezentate ca niște diferențe ale numerelor naturale b – a. Pentru oricare două numere naturale, conform teoremei tricotomiei, sunt posibile trei opțiuni:
În acest caz, diferența b – și este, de asemenea, un număr natural și, prin urmare, aparține lui Z 2 .
În acest caz, diferența a două elemente egale va fi notată cu simbolul 0. Să demonstrăm că acesta este într-adevăr zeroul inelului, adică un element neutru în raport cu adunarea. Pentru a face acest lucru, folosim definiția diferenței a – a = x ó a = a + x și demonstrăm că b + x = b pentru orice b natural. Pentru a-l demonstra, este suficient să adăugați elementul b la părțile din dreapta și din stânga egalității a = a + x și apoi să folosiți legea reducerii (toate aceste acțiuni pot fi efectuate pe baza proprietăților cunoscute ale inelelor). Zero aparține lui Z 2 .
În acest caz, diferența a – b este un număr natural, notăm
b - a \u003d - (a - b). Vom demonstra că elementele a - b și b - a sunt într-adevăr opuse, adică se adună la zero. Într-adevăr, dacă notăm a - b \u003d x, b - a \u003d y, atunci obținem că a \u003d b + x, b \u003d y + a. Adunând egalitățile obținute termen cu termen și reducând b, obținem a \u003d x + y + a, adică x + y \u003d a - a \u003d 0. Astfel, a - b \u003d - (b - a) este un număr opus numărului natural, adică aparține din nou lui Z2. Astfel, Z 3 Н Z 2 .
Pe de altă parte, Z 3 conține un semicerc de numere naturale, deoarece orice număr natural n poate fi întotdeauna reprezentat ca
n = n / – 1 О Z 3 ,
și deci Z 1 Í Z 3 , deoarece Z 1 este inelul minim care conține numere naturale. Folosind faptul deja dovedit că Z 2 = Z 1 , obținem Z 1 = Z 2 = Z 3 . Teorema a fost demonstrată.
Deși la prima vedere poate părea că nu există axiome în definițiile enumerate ale numerelor întregi, aceste definiții sunt axiomatice, deoarece toate cele trei definiții spun că mulțimea numerelor întregi este un inel. Prin urmare, condițiile din definiția unui inel servesc ca axiome în teoria axiomatică a numerelor întregi.
Să demonstrăm asta teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă. Pentru a demonstra acest lucru, este necesar să construim un model al inelului de numere întregi folosind o teorie consistentă cunoscută (în cazul nostru, aceasta poate fi doar teoria axiomatică a numerelor naturale).
Conform Definiției 3, fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca diferența a două numere naturale z = b – a. Asociați cu fiecare număr întreg z perechea corespunzătoare
Relația introdusă este reflexivă, simetrică și tranzitivă (dovada este lăsată la latitudinea cititorului).
Ca orice relație de echivalență, această relație generează o partiție a mulțimii tuturor perechilor posibile de numere naturale în clase de echivalență, pe care le vom nota ca [
1) [
2) [
Să arătăm că definițiile introduse sunt corecte, adică nu depind de alegerea reprezentanților specifici din clasele de perechi. Cu alte cuvinte, dacă perechile sunt echivalente
Dovada: Aplicați definiția echivalenței perechilor:
Adunând egalitățile (1) și (2) termen cu termen, obținem:
a + b 1 + c + d 1 \u003d b + a 1 + d + c 1.
Toți termenii din ultima egalitate sunt numere naturale, deci putem aplica legile comutative și asociative ale adunării, ceea ce ne conduce la egalitate.
(a + c) + (b 1 + d 1) \u003d (b + d) + (a 1 + c 1),
ceea ce este echivalent cu condiția @ .
Pentru a demonstra corectitudinea înmulțirii, înmulțim egalitatea (1) cu c, obținem:
ac + b 1 s \u003d bc + a 1 s.
Apoi rescriem egalitatea (1) ca b + a 1 = a + b 1 și înmulțim cu d:
bd + a 1 d = ad + b 1 d.
Adăugăm egalitățile rezultate termen cu termen:
ac + bd + a 1 d + b 1 s = bc + ad + b 1 d + a 1 s,
ceea ce înseamnă că
Apoi vom face aceeași procedură cu egalitatea (2), doar că o vom înmulți cu a 1 și b 1. Primim:
a 1 c + a 1 d 1 = a 1 d + a 1 c 1
b 1 d + b 1 c 1 \u003d b 1 c + b 1 d 1,
a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 = a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó
ó @
(aici am dovedit că ×
Astfel, se dovedește corectitudinea definițiilor introduse.
În continuare, toate proprietățile inelelor sunt verificate direct: legea asociativă a adunării și înmulțirii pentru clase de perechi, legea comutativă a adunării și legile distributive. Să dăm ca exemplu demonstrarea legii asociative a adunării:
Deoarece toate componentele perechilor de numere sunt naturale
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Legile rămase sunt verificate într-un mod similar (rețineți că o transformare separată a părților din stânga și din dreapta ale egalității necesare în aceeași formă poate fi un truc util).
De asemenea, este necesar să se dovedească existența unui element neutru prin adunare. Ele pot fi o clasă de perechi de forma [<с, с>]. Într-adevăr,
[
a + c + b = b + c + a (valabil pentru orice numere naturale).
În plus, pentru fiecare clasă de perechi [
De asemenea, se poate demonstra că mulțimea introdusă de clase de perechi este un inel comutativ cu o unitate (unitatea poate fi clasa de perechi [
[
Să verificăm, folosind această regulă, validitatea condițiilor C1 și C2 (din definiția adunării numerelor naturale). Condiția C1 (a + 1 = a /) în acest caz va fi rescrisă sub forma:
[
[
a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + c + a /
(Încă o dată, reamintim că toate componentele sunt naturale).
Condiția C2 va arăta astfel:
[
Transformăm separat părțile din stânga și din dreapta acestei egalități:
[
([
Astfel, vedem că laturile stânga și dreapta sunt egale, ceea ce înseamnă că condiția C2 este adevărată. Dovada condiției U1 este lăsată în seama cititorului. condiția Y2 este o consecință a legii distributive.
Deci, modelul inelului întregului a fost construit și, în consecință, teoria axiomatică a numerelor întregi este consecventă dacă teoria axiomatică a numerelor naturale este consecventă.
Proprietăți ale operațiilor pe numere întregi:
2) a×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– a) = a
4) (–a)×(–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) a - b \u003d - b + a \u003d - (b - a)
7) - a - b \u003d - (a + b)
8) (a - b) × c \u003d ac - bc
9) (a - b) - c \u003d a - (b + c)
10) a - (b - c) = a - b + c.
Demonstrațiile tuturor proprietăților repetă dovezile proprietăților corespunzătoare pentru inele.
1) a + a × 0 = a × 1 + a × 0 = a × (1 + 0) = a × 1 = a, adică a × 0 este un element neutru prin adunare.
2) a×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, adică elementul a×(–b) este opus elementului a×b.
3) (– a) + a = 0 (prin definiția elementului opus). În mod similar, (– a) + (– (– a)) = 0. Echivalând laturile stângi ale egalităților și aplicând legea reducerii, obținem – (– a) = a.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(а×b)) = ab.
5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + a = 0
a×(–1) = –а.
6) Prin definiția diferenței a - b, există un număr x astfel încât a = x + b. Adăugând la dreapta și la stânga egalității -b din stânga și folosind legea comutativă, obținem prima egalitate.
– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0, ceea ce dovedește a doua egalitate.
7) - a - b = - 1 × a - 1 × b = -1 × (a + b) = - (a + b).
8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc
9) (a - b) - c \u003d x,
a - b \u003d x + c,
a - (b + c) \u003d x, adică
(a - b) - c \u003d a - (b + c).
10) a - (b - c) = a + (- 1)×(b - c) = a + (- 1×b) + (-1)× (- c) = a - 1×b + 1× c = = a - b + c.
Sarcini pentru soluție independentă
nr. 2.1. În coloana din dreapta a tabelului, găsiți perechi echivalente cu cele date în coloana din stânga a tabelului.
| A)<7, 5> | 1) <5, 7> |
| b)<2, 3> | 2) <1, 10> |
| în)<10, 10> | 3) <5, 4> |
| G)<6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Pentru fiecare pereche, indicați opusul ei.
nr. 2.2. calculati
A) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b)[<3, 8>] + [<4, 7>];
în) [<7, 4>] – [<8, 3>]; G) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
e) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; e) [<2, 10>]× [<10, 2>].
nr. 2.3. Pentru modelul de numere întregi descris în această secțiune, verificați legea comutativă a adunării, legile asociative și comutative ale înmulțirii și legile distributive.
