Ordningsförhållanden. Orderrelation Partiell linjär orderrelation
Ordet "ordning" används ofta i en mängd olika frågor. Officeren ger kommandot: "I enlighet med siffrornas ordning, beräkna," aritmetiska operationer utförs i en viss ordning, idrottare rangordnas efter höjd, det finns en ordning för att utföra operationer när de gör en del, och ordningen på ord i en mening.
Vad är vanligt i alla fall när man talar om ordning och reda? Faktum är att ordet "ordning" har följande betydelse: det betyder vilket element i en given mängd som följer efter vilket (eller vilket element som föregår vilket).
Attityd" X följer på" transitive: if " X följer på"och" på följer z", Den där " x följer z" Dessutom måste detta förhållande vara antisymmetriskt: för två olika X Och på, Om X följer på, Den där på följer inte X.
Definition. Attityd R på ett set X kallad förhållande av en strikt ordning, om den är transitiv och antisymmetrisk.
Låt oss ta reda på egenskaperna hos grafen och grafen för relationer av strikt ordning.
Låt oss titta på ett exempel. På set X= (5, 7, 10, 15, 12) givet förhållande R: « X < på" Låt oss definiera denna relation genom att lista paren
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
Låt oss bygga dess graf. Vi ser att grafen för denna relation inte har några loopar. Det finns inga dubbla pilar på grafen. Om från X pilen går till på, och från på- V z, sedan från X pilen går till z(Fig. 8).
Den konstruerade grafen låter dig ordna elementen i uppsättningen X i denna ordning:
{5, 7, 10, 12, 15}.
I fig. 6 (§ 6 i detta kapitel) är kolumnerna VII, VIII grafer över relationer av strikt ordning.
Icke strikt förhållande
Motsatsen till relationen "mindre än" i uppsättningen av reella tal är relationen "inte mindre". Det är inte längre ett förhållande av strikt ordning. Poängen är när X = på, relationer är uppfyllda X ³ på Och på ³ X, dvs. "inte mindre"-attityden är reflexiv.
Definition. Attityd R på ett set X kallad icke-strikt förhållande, om den är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv.
Sådana relationer är sammanslutningar av en strikt ordningsrelation med en identitetsrelation.
Betrakta relationen "inte mer" (£) för uppsättningen
X= (5, 7, 10, 15, 12). Låt oss bygga dess graf (fig. 9).
En icke-strikt ordningsrelationsgraf, till skillnad från en strikt ordningsrelationsgraf, har loopar vid varje vertex.
I fig. 6 (§ 6 i detta kapitel) kolumnerna V, VI är grafer över relationer av icke strikt ordning.
Beställda set
En uppsättning kan visa sig vara ordnad (de säger också helt ordnad) av någon orderrelation, medan en annan uppsättning kan vara oordnad eller delvis ordnad av en sådan relation.
Definition. Ett gäng X kallad beordrade något ordningsförhållande R, om för två element x, y från X:
(X, på) Î R eller ( y, x) Î R.
Om Rär ett förhållande av strikt ordning, då uppsättningen X beställt av denna relation förutsatt: if X, på två ojämlika element i uppsättningen X, Den där ( X, på) Î R eller ( y, x) Î R, eller vilka två element som helst x, y set Xär jämlika.
Från skolmatematikkursen är det känt att talsatser N , Z , F , R ordnad efter relationen "mindre än" (<).
Uppsättningen av delmängder av en viss uppsättning ordnas inte genom att införa inklusionsrelationen (I), eller strikt inkludering (S) i ovanstående mening, eftersom det finns delmängder, varav ingen ingår i den andra. I det här fallet säger vi att den givna mängden är delvis ordnad efter relationen Í (eller Ì).
Tänk på uppsättningen X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) och den innehåller två relationer "mindre än" och "delat med". Det är lätt att verifiera att båda dessa relationer är orderrelationer. Relationsgrafen "mindre än" kan avbildas som en stråle.
Grafen för relationen "delad med" kan bara avbildas på ett plan.
Dessutom har grafen för den andra relationen hörn som inte är förbundna med en pil. Till exempel finns det ingen pil som förbinder siffrorna 4 och 5 (bild 10).
Den första relationen" X < på"kallas linjär. I allmänhet, om förhållandet är av ordning R(strikt och icke-strikt) på uppsättningen X har egendomen: för någon X, påÎ X eller xRy, eller yRx, då kallas det en linjär ordningsrelation, och mängden X– en linjärt ordnad uppsättning.
Om uppsättningen X naturligtvis, och består av n element, sedan linjär ordning X handlar om att numrera dess element med siffrorna 1,2,3, ..., n.
Linjärt ordnade uppsättningar har ett antal egenskaper:
1°. Låta a, b, c– delar av uppsättningen X, beställt av relationen R. Om man vet det aRв Och i Rс, då säger de att elementet V ligger mellan elementen A Och Med.
2°. Ett gäng X, linjärt ordnad efter relationen R, kallas diskret om det mellan två av dess element bara finns en ändlig uppsättning av element i denna mängd.
3°. En linjärt ordnad mängd kallas tät om det för två distinkta element i denna mängd finns ett element i mängden som ligger mellan dem.
Låt R vara en binär relation på mängden A.
DEFINITION. En binär relation R på en mängd A kallas en ordningsrelation på A eller en ordning på A om den är transitiv och antisymmetrisk.
DEFINITION. En relation av ordning R på en mängd A kallas icke-strikt om den är reflexiv på A, det vill säga för var och en av A.
En ordningsrelation R kallas strikt (på A) om den är antireflexiv på A, det vill säga för någon av A. Av antireflexiviteten hos den transitiva relationen R följer dock att den är antisymmetrisk. Därför kan följande ekvivalenta definition ges.
DEFINITION. En binär relation R på en mängd A kallas en strikt ordning på A om den är transitiv och antireflexiv på A.
Exempel. 1. Låt vara mängden av alla delmängder av mängden M. Inklusionsrelationen på en mängd är en relation av icke-strikt ordning.
2. Relationer på mängden reella tal är relationer av strikt respektive icke-strikt ordning.
3. Delbarhetsrelationen i mängden naturliga tal är en relation av icke-strikt ordning.
DEFINITION. En binär relation R på en mängd A kallas en förbeställningsrelation eller förbeställning på A om den är reflexiv på och transitiv.
Exempel. 1. Delbarhetsrelationen i mängden heltal är inte en ordning. Det är dock reflexivt och transitivt, vilket betyder att det är en förbeställning.
2. Relationen av logisk implikation är en förbeställning på uppsättningen av propositionella logiska formler.
Linjär ordning. Ett viktigt specialfall av ordning är linjär ordning.
DEFINITION. En ordningsrelation på en mängd kallas en linjär ordningsrelation eller en linjär ordning på om den är kopplad på , d.v.s. för valfritt x, y från A
En ordningsrelation som inte är linjär kallas vanligtvis en delordningsrelation eller partiell ordning.
Exempel. 1. Relationen "mindre än" på mängden reella tal är en relation av linjär ordning.
2. Ordningsrelationen som används i ryska ordböcker kallas lexikografisk. Den lexikografiska ordningen på uppsättningen av ord på det ryska språket är en linjär ordning.
2) en relation på mängden X kallas en relation strikt i ordning, om den är antisymmetrisk och transitiv. Relationen kallas antisymmetrisk, om av det faktum att a står i relation till c i det inte följer att b står i relation till a (a, i ∈ X, och R i → i Ra) R – att vara i relation. Relationen kallas transitiv, om för några element a, b, c från det faktum att a R in och i R c → att a R c, a, b, c ∈ X. Till exempel: relationen "mer, mindre". En uppsättning på vilken en strikt ordningsrelation definieras kallas beordrade många.
3) en relation på mängden X kallas en relation inte i strikt ordning, om den är reflexiv, asymmetrisk och transitiv. Till exempel: relation ≥ ≤. Om en ordningsrelation har egenskapen anknytning, så sägs den vara en relation linjär ordning. Relationen kallas relaterad på mängden X, om för några element x och y följande villkor är uppfyllt: av det faktum att x ≠ y följer att x R y eller y R x. Om en linjär ordningsrelation ges på en mängd, så ordnar den linjärt den givna mängden.
5. Uppsättningen av reella tal. Dess egenskaper. Utvidgningen av uppsättningen av rationella tal leddes av behovet av att mäta längden på segment, områden, etc. Grunden för varje mätning är samma princip: det uppmätta objektet jämförs med en standard (objekt eller fenomen), vars värde har ett numeriskt värde lika med 1, men enhetssegmentet är inte alltid inbäddat i det uppmätta objektet. När man mäter gör man därför två antaganden, som i matematik definieras som axiom: 1) En enda standard kan delas upp i valfritt antal lika delar eller delar. 2) Den valda standarden kan användas för att mäta vilket objekt som helst så stort som önskas. För segment formulerades dessa axiom av Arkimedes: Oavsett hur litet segmentet AB är och hur stort segmentet CD än är, finns det ett naturligt tal N så att N*AB>CD, om det uppmätta segmentet CD innehåller ett lika antal segment AB, så uttrycks längden på segmentet CD som ett naturligt tal. Om segmentet AB är placerat ett ojämnt antal gånger i det uppmätta segmentet CD, så delas AB in i 10 identiska segment, kallade tiondelar av standarder. Vid behov kan en tiondel delas upp i 10 lika delar osv. Om lika antal 10, 100, etc. passar in i segmentet CD. bråkdelar av segment AB, så uttrycks längden på segmentet CD med ett rationellt tal. Längden på ett segment kan dock inte alltid uttryckas som ett naturligt eller rationellt tal. Det finns inkommensurabla segment, d.v.s. segment vars längd inte uttrycks med ett rationellt tal. (satser se fråga 32)
Tal som kan representeras som oändliga decimala icke-periodiska bråk kallas irrationella. Unionen av mängden rationella tal och mängden irrationella tal är mängden reella tal ().
Egenskaper för uppsättningen av reella tal. 1). Uppsättningen av punkter på tallinjen är lika med uppsättningen av reella tal.
0 M 1 Ta valfri punkt M på segmentet från 0 till 1,
D rita en halvcirkel med mitten vid
Mittpunkten av detta segment och radien
K O S lika med hälften av det. Låt oss rita en vinkelrät från M tills den skär halvcirkeln. Vi får D. Denna punkt är unik, eftersom halvcirkeln och den räta linjen skär varandra endast i en punkt. Från mitten av detta segment, dra en rak linje genom D tills den skär talaxeln. Vi får K, som bestäms på ett unikt sätt, eftersom linjerna endast skär varandra i en punkt. Genom att välja en annan godtycklig punkt på ett givet segment och upprepa hela processen får vi att vilken punkt som helst på segmentet från 0 till 1 motsvarar en enda punkt på tallinjen. Om vi resonerar i omvänd ordning kan vi visa att vilken punkt som helst på tallinjen också motsvarar en enstaka punkt från 0 till 1. Om en godtycklig punkt E tillhör tallinjen, så kan genom punkterna M och E endast en linje dras som skär halvcirkeln. Från en halvcirkel kan du sänka en vinkelrät till ett givet segment. Således upprättas en ömsesidigt identisk mappning mellan punkterna i segmentet från 0 till 1 och punkterna på tallinjen, dvs. de är lika kraftfulla.
2) mängden reella tal är inte räknebar, dvs. det är inte lika med mängden naturliga tal.
3). Uppsättningen av reella tal är en kontinuerlig uppsättning. Kontinuiteten för mängden reella tal är att det mellan två reella tal finns en oändlig mängd av endast reella tal
6. Dela upp en uppsättning i klasser. Exempel på klassificering. Ekvivalensrelation, dess egenskaper. Förhållandet mellan ekvivalensrelationen och uppdelningen av en mängd i klasser. Låt oss titta på ett exempel. Låt en mängd M ges (en uppsättning konvexa polygoner), vi bildar alla delmängder av denna mängd: A 1 – en uppsättning trianglar; A2 – uppsättning fyrkanter; A3 – uppsättning femhörningar; Ak är en uppsättning k-goner. En uppsättning M anses vara indelad i klasser om följande villkor är uppfyllda:
- varje delmängd A är inte tom
- skärningspunkten mellan två delmängder är den tomma mängden
- föreningen av alla delmängder är den givna mängden M
Att partitionera en uppsättning i klasser kallas klassificering.
Attityd på uppsättningen kallas X likvärdig , om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv. Relationen kallas reflekterande, om något element från mängden X är i en relation med sig själv a ∈ X, och Ra (R är i ett samband). Relationen kallas symmetrisk, om för några två element i mängden X (a och b) från det faktum att a är i ett samband med b, kommer det att följa att b är i ett samband med a (a, b ∈ X och R b → i R a). Relationen kallas transitiv, om för några element a, b, c från det faktum att a R in och i R c → att a R c, a, b, c ∈ X. På grafen för ekvivalensrelationer finns slingor, ömsesidigt inversa pilar och triangulära pilar. Ekvivalensrelationen, och endast den, är associerad med uppdelningen av en uppsättning i klasser. Detta uttalande kan formuleras som satser: Om en ekvivalensrelation specificeras på en mängd X, så delar denna relation upp mängden X i klasser, och vice versa, om mängden X är uppdelad i klasser, så är ekvivalensrelationen uppfylld på den givna mängden. Till exempel. Låt inställningen vara given – att bo i samma hus. Låt oss visa att uppsättningen av invånare i huset kommer att delas in i klasser. Och varje klass är en separat lägenhet. För denna uppdelning kommer alla nödvändiga villkor för att dela upp en uppsättning i klasser att uppfyllas: a) varje klass är inte tom, eftersom i varje lägenhet är minst 1 person registrerad, b) klasserna överlappar inte varandra (1 person är inte registrerad i två olika lägenheter), c) föreningen av alla klasser, d.v.s. invånare i varje lägenhet, och utgör uppsättningen av boende i huset.
18 . En mängdteoretisk metod för att konstruera teorin om icke-negativa heltal. Jämställdhetsrelationer, mer (mindre). Två uppsättningar A och B kallas ekvivalenta eller lika kraftfulla om en en-till-en-överensstämmelse kan upprättas mellan dem, det vill säga om varje element i uppsättning A är associerat med ett enda element av uppsättning B och vice versa. Potens eller kardinaltal är en egenskap som är inneboende i någon mängd B som är ekvivalent med mängd A och inte är inneboende i någon annan mängd som inte är lika med mängd A. A~B n (A) = a är potens. Relationen lika makt är en ekvivalensrelation, d.v.s. egenskaperna reflexivitet, symmetri och transitivitet är tillfredsställda för det. Ekvivalensrelationen delar upp mängden av alla mängder i ekvivalensklasser. För att definiera begreppet ett naturligt tal och noll, överväg partitionen av alla finita mängder.
Låt M vara mängden av alla ändliga mängder. M = K 0 Ka Kv, där Ko är klassen av tomma mängder, Ka är en mängd som innehåller lika mängder a 1, a 2, a 3, etc., Kv är en mängd. Innehåller uppsättningar av lika kardinalitet i 1, i 2, i 3, etc. Mängden M kan också innehålla andra delmängder K av olika karaktär, vilka består av mängder med lika stor styrka. Varje ekvivalensklass K har det gemensamt att de består av samma antal element, det finns inga andra gemensamma egenskaper. Ett icke-negativt heltal, ur en mängdteoretisk synvinkel, är en allmän egenskap hos klassen av ändliga uppsättningar av lika kraft. Ett naturligt tal är en allmän egenskap hos klassen av icke-tomma ändliga mängder av lika kardinalitet. Varje klass tilldelas ett kardinalnummer (kardinalitet). Klassens tomma uppsättning tilldelas koordinatnumret 0. Klassen som består av uppsättningar som har 1 element tilldelas numret 1. En klass bestående av mängder med 2 element tilldelas talet 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Jämställdhetsrelation. Icke-negativa heltal a och b sägs vara lika om mängderna A och B, vars antal de uttrycker, är lika (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B)a=c).
Sats: likhetsrelationen i mängden icke-negativa heltal är en ekvivalensrelation. Bevis. Låt oss bevisa att jämställdhetsrelationen har egenskaperna symmetri, transitivitet och reflexivitet.
Därför att egenskaperna för reflexivitet, symmetri och transitivitet är uppfyllda, då är likhetsrelationen en ekvivalensrelation.
Förhållandet är mindre. Icke-negativt heltal a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Sats: relationen mindre än i mängden icke-negativa heltal är en relation av strikt ordning. Bevis: Låt oss bevisa att relationen mindre har egenskaperna antisymmetri och transitivitet. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Addition och subtraktion i den kvantitativa teorin för icke-negativa heltal. Deras egenskaper. Belopp två icke-negativa heltal a och b kallas ett icke-negativt heltal c, vilket är kardinaliteten av föreningen av två disjunkta mängder A och B, vars kardinaliteter är lika med a respektive b. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Egenskaper för tillägg. 1. Addition i en uppsättning icke-negativa heltal finns alltid och definieras på ett unikt sätt. Låt oss bevisa att summan alltid existerar. Betrakta A och B, så att deras skärningspunkt är den tomma mängden och antalet element i A är a, och kardinaliteten för B är b. låt oss hitta föreningen av A och B. Eftersom föreningen av två disjunkta mängder alltid existerar betyder det att summan också existerar, och av definitionen av summan följer att addition alltid existerar. Låt oss bevisa att summan bestäms på ett unikt sätt. Det finns C 1 och C 2 – icke-negativa heltal. Ci = a + b och C2 = a + b. Summan av talen a och b beror inte på vilka mängder A och B vi valt från klassen av lika potensmängder, och därför beror inte föreningen av A och B från klassen av lika potensmängder av valet av uppsättningarna A och B, eftersom effekten i varje klass är densamma, då är C 1 = C 2. 2. Kommutativ addition. För alla icke-negativa heltal a och b gäller egenskapen a+b=b+a. Från mängdteorin vet vi att för АУВ = ВУА. Om mängderna är lika är deras numeriska värden lika. n(AУВ)=n(ВУА). Från mängdteorin vet vi att kraften i en förening är lika med summan av makterna. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Egenskapen för associativitet. För alla tal a, b, c gäller följande egenskap: a+(b+c)=(a+b)+c. Från mängdteorin är det känt att för att förena mängder är associativitetsegenskapen uppfylld: АU(ВУС)=(АУВ)UC, om mängderna är lika, då är deras numeriska värden lika, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). Från mängdteorin är det känt att en unions potens är lika med summan av potenserna av dessa mängder, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n) (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Genom skillnad icke-negativa heltal a och b kallas ett icke-negativt heltal c, vilket är styrkan av komplementet av mängden B till mängden A, så att B tillhör A, n(A)=a, n(B) =b. Skillnadsegenskaper. 1. För att skillnaden mellan icke-negativa heltal ska existera är det nödvändigt och tillräckligt att a är större än eller lika med b. Låt oss bevisa: 1) ett tillräckligt villkor för förekomsten av en skillnad. Givet: a - b = c, bevisa: a c. Genom definitionen av skillnad följer att det finns ett komplement av mängd B till mängd A, och detta komplement har makt, vilket kan hittas från den likhet som är känd från mängdteorin. n() = n(A)-n(B). Av det faktum att B är en delmängd av A följer att antalet element i B är mindre än antalet element i A. n (B) 2). Nödvändigt skick. Givet ett c. bevisa förekomsten av skillnad (a-c). Om a>b, enligt definitionen av "mindre än"-relationen, finns det en mängd A 1 så att A 1 ingår i A och A 1 ~B. Låt oss göra skillnaden mellan A och A 1. Denna skillnad finns alltid (A - A 1 = C), och därför finns det C, vilket är denna skillnad. Av dessa villkor följer att C är komplementet av A 1 till A. C = 1A Potensen för C är potensen av komplementet av A 1 till A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), eftersom A 1 ~ B, då n(A 1)=n(B), därför n(C)=n(A)-n(B), därför c=a-b. 2. Skillnaden mellan icke-negativa heltal hittas på ett unikt sätt, eftersom skillnaden är styrkan av komplementet av delmängder till en mängd, och komplementet bestäms på ett unikt sätt, då är skillnaden mellan icke-negativa heltal bestäms på ett unikt sätt. 3. Egenskaperna för kommutativitet och associativitet är inte uppfyllda för subtraktion. 4. Subtrahera ett belopp från ett tal. a-(b+c)=(a-c)-c. Från mängdteorin är det känt A\(BUC)=(A\B)\C, och B Ì A; S Ì A; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Subtrahera ett tal från skillnaden (a-c)-c=(a-c)-c. Beviset är baserat på egenskapen för skillnaden mellan mängder (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Subtrahera ett tal från summan (a+b)-c=(a-c)+c. Beviset är baserat på egenskaperna hos mängderna (АУВ)\С=(А\С) УВ. Inte ens ens I praktiken stöter vi ofta på funktioner som varken är jämna eller udda. 4. Funktioner kan vara periodiska. En funktion kallas periodisk om det finns ett tal T så att villkoret f(x+T)=f(x) är uppfyllt. Alla trigonometriska funktioner (sinus, cosinus, tangens) är periodiska. 5. funktioner kan ha singulära punkter. Dessa är skärningspunkterna med koordinataxlarna och punkterna för extrema, d.v.s. lägsta och högsta poäng. Punkten x0 kallas minimipunkten för funktionen om för alla X från närheten av x0 villkoren f (x) > f (x0) är uppfyllda. En punkt x0 kallas en maxpunkt för en funktion om för alla x i närheten av x0 f(x)< f (x0). 6. funktioner kan ha intervall av tecken på konstanthet, d.v.s. dessa är de delmängder, definitionsdomäner, vars element gör funktionen antingen bara positiv eller endast negativ. 7. en funktion kan ha brytpunkter, dvs. de värden av variabeln x där y inte finns (funktioner av omvänd proportionalitet). y = , om x = 0 Sök på sajten: Inaktivera adBlock! En viktig typ av binära relationer är orderrelationer. Strikt ordningsförhållande - en binär relation som är antireflexiv, antisymmetrisk och transitiv: beteckning - (A föregått b). Exempel inkluderar relationer "mer", "mindre", "äldre" etc. För siffror är den vanliga notationen tecknen "<", ">". Icke strikt orderrelation - binär reflexiv, antisymmetrisk och transitiv relation. Tillsammans med naturliga exempel på icke-strikta ojämlikheter för siffror, kan ett exempel vara relationen mellan punkter i ett plan eller ett utrymme "för att vara närmare ursprunget för koordinater." Icke-strikt ojämlikhet, för heltal och reella tal, kan också betraktas som en disjunktion av relationerna mellan likhet och strikt ordning. Om en sportturnering inte ger platsfördelning (dvs. varje deltagare får en viss, endast ät-/tilldelad plats), så är detta ett exempel på en strikt ordning; annars är det inte strikt. Ordningsrelationer etableras på en mängd när för några eller alla par av dess element relationen företräde . Uppgiften - för en uppsättning av någon ordningsrelation kallas dess "arrangemang, och själva "uppsättningen" som ett resultat av detta blir beordrade. Ordningsrelationer kan introduceras på olika sätt. För en finit mängd sätter varje permutation av dess element någon strikt ordning. En oändlig mängd kan ordnas på ett oändligt antal sätt. Endast de ordningar som har en meningsfull betydelse är av intresse. Om för beställningsrelationen R på ett set .M och några olika element har åtminstone en av relationerna aRb eller behå sedan elementen A Och b kallas jämförbar, annars - makalös. En helt (eller linjärt) beställd uppsättning M -
en uppsättning för vilken en orderrelation specificeras, och två valfria element i uppsättningen M jämförbar; delvis beställt set- samma, men par av ojämförliga element är tillåtna. Linjärt ordnad är uppsättningen av punkter på en linje med relationen "mer till höger", uppsättningen av heltal, rationella tal, reella tal med relationen "större än" etc. Ett exempel på en delvis ordnad uppsättning skulle vara tredimensionella vektorer, om ordningen ges enligt följande, om Det vill säga, om företrädet utförs längs alla tre koordinaterna, är vektorerna (2, 8, 5) och (6, 9, 10) jämförbara, men vektorerna (2, 8, 5) och (12, 7, 40) är inte jämförbara. Denna ordningsmetod kan utökas till vektorer av vilken dimension som helst: vektor Och gjort Vi kan överväga andra exempel på ordning på uppsättningen vektorer. 1) delordning: De där. genom vektorlängd; vektorer av samma längd är ojämförliga. 2) linjär ordning: Det sista exemplet introducerar begreppet alfabetisk ordning. Alfabetär en tuppel av parvis distinkta tecken som kallas bokstäver i alfabetet. Ett exempel är alfabetet för alla europeiska språk, samt alfabetet med 10 arabiska siffror. På en dator bestämmer tangentbordet och några stödjande verktyg alfabetet för giltiga tecken. Ord i alfabetetA - tuppel av alfabetet tecken A. Ordet skrivs i alfabetiska symboler i rad, från vänster till höger, utan mellanslag. Ett naturligt tal är ett ord i det digitala alfabetet. En formel är inte alltid ett ord på grund av det icke-linjära arrangemanget av symboler; förekomsten av upphöjda (exponenter) och nedsänkta (index för variabler, baser av logaritmer) symboler, bråkstaplar, teckenradikaler, etc.; men enligt vissa konventioner kan det skrivas in i en sträng, som används till exempel i datorprogrammering (exponentieringstecknet skrivs till exempel som 2 multiplikationstecken i rad: 5**3 betyder tredje potensen av nummer 5. Lexikografisk (alfabetisk) ordning - för olika ord i alfabetet med ordnade symboler anger ordningen: , if presentation möjlig (underord kan vara tomt), eller - tomt underord I denna definition - ett prefix (initial underord) som är samma för båda orden - eller de första till vänster är olika tecken, antingen - det sista tecknet i ordet - svans underord. Således bestäms den alfabetiska ordningen av ord av den första symbolen till vänster som särskiljer dem (till exempel ordet KONUS föregår ordet COSINE eftersom de först skiljer sig åt i den tredje bokstaven, och N föregår S i det ryska alfabetet). Mellanslagstecknet anses också föregå alla tecken i alfabetet - för fallet när ett av orden är ett prefix till ett annat (till exempel CON och CONE) Träning. Kontrollera att den alfabetiska ordningen för naturliga tal som har samma antal decimaler sammanfaller med deras storleksordning. Låta A - delvis beställt set. Elementet kallas maximal V A, om det inte finns något element för vilket A< b.
Element A kallad den största V A, om för alla olika A element färdigt b<а-
Bestäms symmetriskt minimala och minsta element. Begreppen största och maximala (respektive minsta och minsta) element är olika - se. exempel i fig. 14. Uppsättningen i fig. 14,a har det största elementet R, det är också max, det finns två minimielement: s och t, det finns ingen minsta. I fig. 14b, tvärtom, finns det en uppsättning som har två maximala element / och j, det finns ingen störst, minimal, aka den minsta - en: T. I allmänhet, om en uppsättning har det största (respektive minsta) elementet, så finns det bara ett (det kan inte finnas någon). Det kan finnas flera maximi- och minimumelement (det kanske inte finns några alls - i en oändlig mängd; i det sista fallet - måste det finnas). Låt oss titta på ytterligare två exempel. - relation på en uppsättning N: "Y delar upp X", eller "Xär en divisor av ett tal Y"(Till exempel, ) är reflexiv och transitiv. Låt oss betrakta det på en ändlig uppsättning delare av talet 30. Relationen är en partiell ordningsrelation (icke-strikt) och representeras av följande matris av ordning 8, innehållande 31 tecken Motsvarande krets med 8 hörn måste innehålla 31 länkar. . Det kommer dock att vara bekvämare för visning om vi utesluter 8 connectives-loops som skildrar relationens reflexivitet (diagonala element i matrisen) och transitiva connectives, d.v.s. ligament Om det finns ett mellantal Z så att (till exempel kopplingen sedan). Sedan i schemat 12 ligament kommer att finnas kvar (fig. 15); saknade länkar antyds "av transitivitet". Siffran 1 är den minsta och siffran 30 största inslagen i . Om vi utesluter från siffran 30 och överväg samma delordning på uppsättningen, då det finns inget maxelement, men det finns 3 maxelement: 6, 10, 15 Låt oss nu bygga samma krets för en relation på en Boolean (mängden av alla delmängder) av en treelementsmängd Innehåller 8 element: Kontrollera att om du matchar elementen a, b, c, siffrorna 2, 3, 5 och operationerna för att kombinera mängder är multiplikation av motsvarande siffror (dvs., till exempel, delmängden motsvarar produkt 2 5 = 10), så blir relationsmatrisen exakt så här samma som för relation ; diagram över dessa två samband med de som beskrivs förkortningar av loopar och transitiva kopplingar sammanfaller upp till notation (se fig. 16). Det minsta elementet är Och den största - Binära relationer R på ett set A Och S på ett set I kallas isomorf, om mellan A och B det är möjligt att upprätta en en-till-en-korrespondens Г, där, om (dvs. element är i relation R), sedan (bilder dessa element är i relation S). Således är partiellt ordnade uppsättningar isomorfa. Det övervägda exemplet tillåter generalisering. En boolesk relation är en delordning. Om De där. ett gäng E innehåller P element, sedan var och en motsvarar delmängden P-dimensionell vektor med komponenter , var är den karakteristiska funktionen ställ in A/ . Uppsättningen av alla sådana vektorer kan betraktas som en uppsättning punkter P-dimensionellt aritmetiskt utrymme med koordinaterna 0 eller 1, eller med andra ord som hörn P-dimensionell enhetskub, betecknad med , d.v.s. kub med kanter av enhetslängd. För n = 1, 2, 3 indikerade punkter representerar respektive ändarna på ett segment, hörnen på en kvadrat och en kub - därav det vanliga namnet. För /7=4 finns en grafisk representation av detta förhållande i fig. 17. Nära varje hörn av en 4-dimensionell kub motsvarande delmängd av 4-elementuppsättning och fyrdimensionell en vektor som representerar den karakteristiska funktionen för denna delmängd. De hörn som motsvarar delmängder som skiljer sig i närvaro av exakt ett element är anslutna till varandra. I fig. 17 är en fyrdimensionell kub avbildad på ett sådant sätt att på en nivå, ojämförbara element är placerade i par, som innehåller samma antal enheter i posten (från 0 till 4), eller, med andra ord, samma antal element i de representerade delmängderna. I fig. 18a, b - andra visuella representationer av en 4-dimensionell kub; i fig. 18a axeln för den första variabeln ÅH riktad uppåt (avsiktlig avvikelse från vertikalen så att olika kanter på kuben inte smälter samman): i detta fall den 3-dimensionella subkuben som motsvarar X= 0 finns nedanför, och för X= 1 - högre. I fig. 186 samma axel ÅH riktad från insidan av kuben till utsidan, den inre subkuben motsvarar X= Åh, och den externa är X = 1. I Ett gäng X (\displaystyle X), på vilken den partiella ordningsrelationen introduceras, kallas delvis beställd. En icke-strikt partiell ordningsrelation betecknas ofta med ≼ (\displaystyle \preccurlyeq ).
Partiell orderrelation R (\displaystyle R) kallad linjär ordning, om villkoret är uppfyllt Ett gäng X (\displaystyle X), på vilken en linjär ordningsrelation introduceras, kallas linjärt ordnade, eller kedja. Attityd R (\displaystyle R), att uppfylla endast villkoren för reflexivitet och transitivitet kallas förbeställning eller kvasibeställning. Om villkoret reflexivitet ersätts med villkoret antireflexivitet: då får vi definitionen sträng, eller antireflexiv delordning(vanligtvis indikerat med symbolen ≺ (\displaystyle \prec )). Kommentar. En relations samtidiga antireflexivitet och transitivitet innebär antisymmetri. Därför är relationen förhållande av en strikt ordning om och bara om det är antireflexivt och transitivt. I allmänhet, om R (\displaystyle R)är alltså en transitiv, antisymmetrisk relation Tecken
<
{\displaystyle <}
Och > (\displaystyle >) uppfunnit
7. Konceptet med en tuppel av ett beställt par. Kartesisk produkt av uppsättningar och dess egenskaper. Antalet element i en dekret produkt av mängder. För att introducera konceptet med en kartesisk produkt av uppsättningar, överväg konceptet kortege. Detta koncept, liksom begreppet mängd, är ett grundläggande obestämt begrepp. För en tupel är ordningen på elementen viktig. Element i en tupel kan upprepas. Antalet element i en given tuppel kallas dess längd. En tuppel av längd 2 kallas ett ordnat par. Kortet är betecknat med () eller< >. × är en beteckning för den kartesiska produkten av uppsättningar. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Kartesisk produkt av uppsättningar A och B är en uppsättning som består av alla ordnade par där den första komponenten är ett element i den första uppsättningen och den andra komponenten är ett element i den andra uppsättningen. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) Egenskapen för den kartesiska produkten av mängder (DPM). DPM har inte egenskapen kommutativitet och associativitet: A×B≠B×A. De fördelande egenskaperna för DPM är uppfyllda: 1) med avseende på föreningen av mängder A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) angående skärningspunkten mellan mängderna A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). För att hitta antalet element i en DP i två eller flera uppsättningar behöver du veta antalet element i varje uppsättning. Om antalet element är n. Om n(A)=n, och n(B)=m, då n(A×B)=n*m. Låt A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Låt oss komponera DPM A och B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) I varje rad det finns em-par, sådana linjer sv, det betyder att det totala antalet listade objekt är em on en pairs, därför är antalet element i DPM A och B lika med produkten av antalet element i set A och antalet element i uppsättning B. 8. Begreppet överensstämmelse mellan uppsättningar. Metoder för att specificera efterlevnad. Typer av korrespondenser. Överensstämmelsen ef mellan elementen i mängderna X och Y kallas en trippel av mängder (X;U; G f (ji från ef), ji från ef är en delmängd av DP (kartesisk produkt). Mängden X kallas avgångsregionen, mängden Y kallas ankomstregionen ji från ef - kallas grafen för denna överensstämmelse. Domänen för bestämning av överensstämmelse ef är mängden av de element i den första uppsättningen (d.v.s. avgångsområdet) till vilken elementen i den andra uppsättningen (dvs ankomstområdet) överensstämmer. Uppsättningen av korrespondensvärdet ef är uppsättningen av element i ankomstområdet som i enlighet med vissa delar av avgångsområdet. Metoder för att specificera överensstämmelse: listar dess element, använder en graf, använder en graf, använder en tabell, verbalt, algebraiskt, d.v.s. ekvation, ojämlikhet. Typer av korrespondenser. Korrespondenserna kallas överallt definierat, om sändningsområdet sammanfaller med definitionsområdet. I grafen för en sådan korrespondens avviker åtminstone en pil från varje element i den första uppsättningen. Efterlevnad kallas surjektiv, om dess uppsättning värden sammanfaller med ankomstregionen. I en graf av sådan korrespondens matchar minst 1 pil varje element i den andra uppsättningen. Efterlevnad kallas injektiv, om inga olika element i den 1:a uppsättningen motsvarar samma element i den andra uppsättningen. I en graf av sådan korrespondens matchas inget element i den andra uppsättningen av mer än en pil. Efterlevnad kallas funktionell, om varje element i den 1:a uppsättningen inte motsvarar mer än 1 element i den andra uppsättningen. På en graf av en sådan överensstämmelse, om det bara finns en pil som avviker från varje element i den första uppsättningen. Funktionell korrespondens kallas fungera. Bland alla funktionella korrespondenser finns det universellt definierande korrespondenser, som kallas visa. Efterlevnad kallas en till en, om följande villkor är uppfyllda: 1) alla två olika element i mängden X motsvarar olika element i mängden Y, 2) vilket som helst element i mängden Y motsvarar minst ett element i mängden X. Två överensstämmelser mellan uppsättningarna X och Y kallas motsatt, om deras grafer ömsesidigt kompletterar den kartesiska produkten av X och Y. Korrespondensen kallas omvänd till en given korrespondens om en given korrespondens håller om och endast om det omvända gäller. Om en given överensstämmelse är en delmängd av den kartesiska produkten av mängderna X och Y, så är den omvända överensstämmelsen en delmängd av den kartesiska produkten av mängderna X och Y. För att erhålla den omvända överensstämmelsen med den givna. På dess graf är det nödvändigt att ändra pilarnas riktning.
9.Funktionell efterlevnad. Egenskaper för numeriska funktioner. Efterlevnad kallas funktionell, om varje element i den 1:a uppsättningen inte motsvarar mer än 1 element i den andra uppsättningen. På en graf av en sådan överensstämmelse, om det bara finns en pil som avviker från varje element i den första uppsättningen. En funktionell överensstämmelse definierad på en numerisk uppsättning kallas numerisk kallas fungera. Egenskaper för numeriska funktioner. 1. Varje funktion har en definitionsdomän och en uppsättning värden. 2. Funktionen kan vara ökande eller minskande. En funktion sägs öka på intervallet a b om den för någon x1 och x2 x1 > x2 följer efter f (x1) > f (x2). En funktion kallas att minska på intervallet a b om för någon x1 och x2 från detta intervall, från det faktum att x1 > x2 följer f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
2015-2020 hemsida - Kontakter - Senaste tillskottet
mycket nödvändigt
föregår yector if
, Om
, Om a 
, vid vilken heller
Materialfilen visar en bild av en 5-dimensionell enhetskub (s. 134).alternativ
Strikt ordning
Exempel
Dushnik-Miller dimension
Berättelse
