Alternatif sıralar. Leibniz işareti
Sonsuz sayıda pozitif ve sonsuz sayıda negatif terim içeren bir sayı dizisine dönüşümlü denir.
Mutlak ve koşullu yakınsaklık
Seriler de yakınsaksa, bir diziye mutlak yakınsak denir.
Bir dizi mutlak yakınsaksa, o zaman yakınsaktır (genel anlamda). Bunun tersi doğru değil.
Bir serinin kendisi yakınsaksa ve üyelerinin modüllerinden oluşan seriler birbirinden uzaklaşıyorsa koşullu yakınsak olduğu söylenir.
Yakınsama serisini araştırın 
.
Alternatif seriler için Leibniz yeterli testini uygulayalım. alırız 
kadar. Bu nedenle, bu seri yakınsaktır.
38. Alternatif sıralar. Leibniz işareti.
Bir alternatif serinin özel bir durumu, bir alternatif seridir, yani ardışık terimlerin zıt işaretlere sahip olduğu bir seridir.
Leibniz işareti
Yakınlarda değişenler için Leibniz yeterli yakınsama testi uygulanır.
(an) öyle bir sayı dizisi olsun ki
1. bir+1< an для всех n;
Sonra alternatif seriler gidiyor.
39. Fonksiyonel satırlar. Güç serisi. yakınsama yarıçapı. Yakınsama aralığı.
Fonksiyonel seri ve kuvvet serisi kavramı
Her zamanki sayı serisi, hatırlayın, sayılardan oluşur:
Serinin tüm üyeleri NUMBERS'dir.
İşlevsel satır, FONKSİYONLAR'dan oluşur:
Polinomlar, faktöriyeller ve diğer hediyelerin yanı sıra, dizinin ortak terimi kesinlikle "x" harfini içerir. Şuna benziyor, örneğin:
Bir sayı dizisi gibi, herhangi bir işlevsel dizi, genişletilmiş biçimde yazılabilir:
Gördüğünüz gibi, fonksiyonel serinin tüm üyeleri fonksiyondur.
Fonksiyonel serilerin en popüler türü güç serisi.
Tanım:
Kuvvet serisi, ortak terimi bağımsız değişkenin pozitif tamsayı kuvvetlerini içeren bir seridir.
Pek çok ders kitabında basitleştirilmiş bir kuvvet serisi şu şekilde yazılmıştır: , sayı serilerinin (polinomlar, dereceler, sadece “en”e bağlı olan faktöriyeller) eski tanıdık “doldurulması” nerededir. En basit örnek:
Bu genişlemeye bakalım ve tanımı yeniden düşünelim: kuvvet serisinin üyeleri, pozitif tamsayı (doğal) kuvvetlerde "x" içerir.
Çoğu zaman, bir kuvvet serisi aşağıdaki "değişikliklerde" bulunabilir: veya a'nın sabit olduğu yerde. Örneğin:
Açıkça söylemek gerekirse, güç serilerinin basitleştirilmiş temsilleri ya da tam olarak doğru değil. Üste, tek "en" harfi yerine daha karmaşık bir ifade yerleştirilebilir, örneğin: 
Veya bu güç serisi:
Keşke "xAx" daki üsler doğal olsaydı.
Güç Serisi Yakınsama.
Yakınsama aralığı, yakınsama yarıçapı ve yakınsama alanı
Bu kadar çok terimden korkmaya gerek yok, “yan yana” gidiyorlar ve anlaşılması özellikle zor değil. Bazı basit deneysel seriler seçmek ve hemen anlamaya başlamak daha iyidir.
Sizden kuvvet serilerini sevmenizi ve kayırmanızı istiyorum Değişken, "eksi sonsuz"dan "artı sonsuz"a kadar herhangi bir gerçek değeri alabilir. Serinin ortak terimine birkaç rastgele x değeri koyun:
x=1 ise
x=-1 ise, o zaman
tanım 1
Üyeleri rastgele işaretlere (+), (?) sahip olan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı dizisine alternatif dizi denir.
Yukarıda ele alınan alternatif seriler, alternatif serilerin özel bir halidir; her alternatif serinin dönüşümlü olmadığı açıktır. Örneğin, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) dizisi ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ değişen ancak karakter değiştirmeyen diziler.
Hem (+) işaretiyle hem de (-) işaretiyle değişen bir dizi terimde sonsuz sayıda olduğuna dikkat edin. Örneğin, bu doğru değilse, dizi sonlu sayıda negatif terim içeriyorsa, bunlar atılabilir ve yalnızca pozitif terimlerden oluşan bir dizi düşünülebilir ve bunun tersi de geçerlidir.
tanım 2
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı dizisi yakınsarsa ve toplamı S'ye eşitse ve kısmi toplam $S_n$'a eşitse, o zaman $r_(n ) =S-S_( n) $ dizinin geri kalanı olarak adlandırılır ve $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ için \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, yani yakınsak serinin geri kalanı 0 olma eğilimindedir.
tanım 3
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ dizisi, üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan dizi $\sum \limits _(n=1) ise mutlak yakınsak olarak adlandırılır. )^(\ infty )\sol|u_(n)\sağ| $.
tanım 4
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı dizisi yakınsarsa ve $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\sağ| $, üyelerinin mutlak değerlerinden oluşur, uzaklaşır, daha sonra orijinal seriye koşullu (mutlak olmayan) yakınsak denir.
Teorem 1 (alternatif serilerin yakınsaklığı için yeterli bir kriter)
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ alternatif dizisi, üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan dizi$\sum \limits _(n=1) ise kesinlikle yakınsar ^ yakınsar (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Yorum
Teorem 1, alternatif serilerin yakınsaklığı için yalnızca yeterli bir koşul verir. Tersi teorem doğru değil, yani. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ değişken serisi yakınsarsa, o zaman modüllerden oluşan serinin $\sum \limits _(n=1)^ olması gerekli değildir ( \infty )\sol|u_(n) \sağ| $ (ya yakınsak ya da ıraksak olabilir). Örneğin, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( serisi \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ Leibniz testine göre yakınsar ve terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonik seri) ıraksar.
Mülk 1
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ dizisi mutlak olarak yakınsarsa, o zaman üyelerinin herhangi bir permütasyonu için kesinlikle yakınsar ve dizinin toplamı sıraya bağlı değildir üyelerden. $S"$ tüm pozitif terimlerinin toplamıysa ve $S""$, negatif terimlerinin tüm mutlak değerlerinin toplamıysa, dizinin toplamı $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ eşittir $S=S"-S""$.
Mülk 2
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ dizisi kesinlikle yakınsarsa ve $C=(\rm const)$ ise, o zaman $\sum \limits dizisi _(n=1) )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ da mutlak yakınsaktır.
Mülk 3
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ve $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ dizisi mutlak olarak yakınsarsa, o zaman $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ serisi de kesinlikle yakınsaktır.
Özellik 4 (Riemann teoremi)
Eğer seri koşullu olarak yakınsarsa, o zaman hangi A sayısını alırsak alalım, bu dizinin terimlerini, toplamı tam olarak A'ya eşit olacak şekilde yeniden düzenleyebiliriz; dahası, koşullu yakınsak bir serinin terimlerini, ondan sonra uzaklaşacak şekilde yeniden düzenlemek mümkündür.
örnek 1
Serileri koşullu ve mutlak yakınsama için inceleyin
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Karar. Bu seri, ortak terimini belirttiğimiz işaret dönüşümlüdür: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Örnek 2
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ serisini mutlak ve koşullu yakınsama için inceleyin.
- Serileri mutlak yakınsaklık için inceliyoruz. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ belirtin ve bir dizi mutlak değer oluşturun $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| dizisini elde ederiz. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $, seri karşılaştırma için limit kriterini uyguladığımız pozitif terimlerle. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) ile karşılaştırma için (n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty şeklinde olan bir dizi düşünün )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu seri, $p=\frac(1)(2) üslü bir Dirichlet serisidir.
- Ardından, koşullu için $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ orijinal dizisini inceleyeceğiz yakınsama. Bunu yapmak için Leibniz testinin koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz. Koşul 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, burada $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , yani bu dizi dönüşümlü. Serinin terimlerinin monoton azalmasına ilişkin 2) koşulunu doğrulamak için aşağıdaki yöntemi kullanıyoruz. $x\in için tanımlanan $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ yardımcı fonksiyonunu düşünün
Karar. Bu seri, ortak terimini belirttiğimiz işaret dönüşümlüdür: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Örnek 2
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ serisini mutlak ve koşullu yakınsama için inceleyin.
- Serileri mutlak yakınsaklık için inceliyoruz. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ belirtin ve bir dizi mutlak değer oluşturun $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| dizisini elde ederiz. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $, seri karşılaştırma için limit kriterini uyguladığımız pozitif terimlerle. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) ile karşılaştırma için (n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty şeklinde olan bir dizi düşünün )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu seri, $p=\frac(1)(2) üslü bir Dirichlet serisidir.
- Ardından, koşullu için $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ orijinal dizisini inceleyeceğiz yakınsama. Bunu yapmak için Leibniz testinin koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz. Koşul 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, burada $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , yani bu dizi dönüşümlü. Serinin terimlerinin monoton azalmasına ilişkin 2) koşulunu doğrulamak için aşağıdaki yöntemi kullanıyoruz. $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ $x\in 'de tanımlanan yardımcı fonksiyonunu göz önünde bulundurun)
