• zdravie
• Tehotenstvo
• deti
• Vzťahy
• pôrodu

Kruh celých p-adických čísel. Problém reprezentácie údajov Množina celých čísel je kruh

V rôznych odvetviach matematiky, ako aj pri aplikácii matematiky v technike, často dochádza k situácii, keď sa algebraické operácie nevykonávajú na číslach, ale na objektoch inej povahy. Napríklad sčítanie matíc, násobenie matíc, sčítanie vektorov, operácie s polynómami, operácie s lineárnymi transformáciami atď.

Definícia 1. Prsteň je množina matematických objektov, v ktorých sú definované dve akcie – „sčítanie“ a „násobenie“, ktoré porovnávajú usporiadané dvojice prvkov s ich „súčtom“ a „súčinom“, ktoré sú prvkami tej istej množiny. Tieto akcie spĺňajú nasledujúce požiadavky:

1.a+b=b+a(komutivita sčítania).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívnosť sčítania).

3. Existuje nulový prvok 0 taký, že a+0=a, pre akékoľvek a.

4. Pre kohokoľvek a existuje opačný prvok − a také že a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(ľavicová distributivita).

5".c(a+b)=ca+cb(pravá distribúcia).

Požiadavky 2, 3, 4 znamenajú, že množina matematických objektov tvorí grupu a spolu s položkou 1 máme do činenia s komutatívnou (abelovskou) grupou vzhľadom na sčítanie.

Ako je možné vidieť z definície, vo všeobecnej definícii kruhu nie sú kladené žiadne obmedzenia na násobenia, s výnimkou distribúcie s pridaním. V rôznych situáciách je však potrebné zvážiť krúžky s dodatočnými požiadavkami.

6. (ab)c=a(bc)(asociatívnosť násobenia).

7.ab=ba(komutivita násobenia).

8. Existencia prvku identity 1, t.j. taký a 1 = 1 a=a, pre akýkoľvek prvok a.

9. Pre ľubovoľný prvok prvku a existuje inverzný prvok a−1 taký, že aa −1 =a −1 a= 1.

V rôznych krúžkoch 6, 7, 8, 9 je možné vykonávať samostatne aj v rôznych kombináciách.

Krúžok sa nazýva asociatívny, ak je splnená podmienka 6, komutatívny, ak je splnená podmienka 7, komutatívny a asociatívny, ak sú splnené podmienky 6 a 7. Kruh sa nazýva kruh s jednotkou, ak je splnená podmienka 8.

Príklady prsteňov:

1. Množina štvorcových matíc.

naozaj. Splnenie bodov 1-5, 5 "je zrejmé. Nulovým prvkom je nulová matica. Okrem toho sa vykonáva bod 6 (asociativita násobenia), bod 8 (jednotkovým prvkom je matica identity). Body 7 a 9 sa nevykonávajú, pretože vo všeobecnom prípade je násobenie štvorcových matíc nekomutatívne a tiež nie vždy existuje inverzia k štvorcovej matici.

2. Množina všetkých komplexných čísel.

3. Množina všetkých reálnych čísel.

4. Množina všetkých racionálnych čísel.

5. Množina všetkých celých čísel.

Definícia 2. Nazýva sa ľubovoľná číselná sústava obsahujúca súčet, rozdiel a súčin dvoch ľubovoľných jej čísel číselný krúžok.

Príklady 2-5 sú číselné krúžky. Číselné kruhy sú tiež všetky párne čísla, ako aj všetky celé čísla bezo zvyšku deliteľné nejakým prirodzeným číslom n. Všimnite si, že množina nepárnych čísel odvtedy nie je prsteň súčet dvoch nepárnych čísel je párne číslo.

Definícia:

Súčet a súčin celých p-adických čísel definovaných postupnosťami u sú celé čísla p-adických definovaných postupnosťami u.

Aby sme si boli istí správnosťou tejto definície, musíme dokázať, že postupnosti a určiť nejaké celé čísla - adické čísla, a že tieto čísla závisia iba od výberu postupností, ktoré ich definujú, a nie od neho. Obe tieto vlastnosti sú dokázané zrejmou kontrolou.

Je zrejmé, že vzhľadom na definíciu akcií na celých - adických číslach tvoria komunikačný kruh obsahujúci kruh celých racionálnych čísel ako podkruh.

Deliteľnosť celočíselných adických čísel je definovaná rovnakým spôsobom ako v akomkoľvek inom kruhu: ak existuje také celé číslo - adické číslo, ktoré

Na štúdium vlastností delenia je dôležité vedieť, aké sú tie celé čísla - adičné čísla, pre ktoré existujú recipročné celé čísla - adičné čísla. Takéto čísla sa nazývajú jednotkové deliče alebo jednotky. Budeme ich nazývať - ​​adicové jednotky.

Veta 1:

Celé číslo je adické číslo definované postupnosťou vtedy a len vtedy, ak je jedna.

Dôkaz:

Nech je jednotka, potom existuje také celé číslo - adické číslo, že. Ak je určená postupnosťou, potom podmienka to znamená. Najmä, a teda, Naopak, nech Z podmienky ľahko vyplýva, že tak. Preto pre každé n možno nájsť také, že porovnanie je platné. Odvtedy a potom. To znamená, že postupnosť určuje nejaké celé číslo - adické číslo.Porovnania ukazujú, že t.j. čo je jednotka.

Z dokázanej vety vyplýva, že celé číslo je racionálne číslo. Za prvok krúžku sa považuje vtedy a len vtedy je jednotkou kedy. Ak je táto podmienka splnená, potom Z toho vyplýva, že každé racionálne celé číslo b je deliteľné takýmto in, t.j. že každé racionálne číslo tvaru b/a, kde a a b sú celé čísla a, je obsiahnuté v Racionálne čísla tohto tvaru sa nazývajú -celé čísla. Tvoria zrejmý prstenec. Náš výsledok možno teraz formulovať takto:

Dôsledok:

Kruh celočíselných adických čísel obsahuje vedľajší kruh, kruh izomorfný- celočíselné racionálne čísla.

Zlomkové p-adické čísla

Definícia:

Zlomok tvaru k >= 0 definuje zlomkové p-adické číslo alebo jednoducho p-adické číslo. Dva zlomky a, určia rovnaké p-adické číslo, ak c.

Súbor všetkých p-adických čísel označujeme p. Je ľahké skontrolovať, či operácie sčítania a násobenia pokračujú od p do p a premenia p na pole.

2.9. Veta. Každé p-adické číslo je vo forme jednoznačne zastúpené

kde m je celé číslo a je jednotkou kruhu p .

2.10. Veta. Akékoľvek nenulové p-adické číslo môže byť vo formulári jednoznačne zastúpené

Vlastnosti: Pole p-adických čísel obsahuje obor racionálnych čísel. Je ľahké dokázať, že akékoľvek celé číslo p-adické, ktoré nie je násobkom p, je invertovateľné v kruhu p a násobok p je jednoznačne zapísaný v tvare, kde x nie je násobkom p, a preto je invertovateľný, a. Preto každý nenulový prvok poľa p možno zapísať v tvare, kde x nie je násobkom p, ale m je ľubovoľné; ak je m záporné, potom na základe reprezentácie celých p-adických čísel ako postupnosti číslic v p-árnej číselnej sústave môžeme takéto p-adické číslo zapísať ako postupnosť, teda formálne ho reprezentovať ako p-árny zlomok s konečným počtom číslic za desatinnou čiarkou a prípadne nekonečným počtom nenulových číslic pred desatinnou čiarkou. Rozdelenie takýchto čísel sa môže tiež vykonať podobne ako v "školskom" pravidle, ale začína sa skôr nižšími ako vyššími číslicami čísla.

Z kurzu programovania je známe, že celé číslo môže byť v pamäti počítača reprezentované rôznymi spôsobmi, najmä táto reprezentácia závisí od toho, ako je opísaná: ako hodnota typu integer , alebo real , alebo string . Zároveň sa vo väčšine programovacích jazykov celé čísla chápu ako čísla z veľmi obmedzeného rozsahu: typický prípad je od -2 15 = -32768 do 2 15 - 1 = 32767 . systémy počítačová algebra poradí si s veľkými celými číslami, najmä každý takýto systém dokáže vypočítať a zobraziť čísla ako 1000 v desiatkovom zápise! (viac ako tisíc znakov).

V tomto kurze budeme uvažovať o reprezentácii celých čísel v symbolickej forme a nebudeme zachádzať do podrobností o tom, koľko pamäte je alokované na zápis jedného znaku (bitu, bajtu alebo iného). Najbežnejšie je zastúpenie celých čísel v pozičné číselné sústavy. Takýto systém je určený výberom základu čísla, napríklad 10. Množina celých desatinných čísel je zvyčajne opísaná takto:

Písomná definícia celých čísel udáva jedinečnosť reprezentácie každého takéhoto čísla a podobná definícia (len možno s iným základom) sa používa vo väčšine systémov. počítačová algebra. Pomocou tejto reprezentácie je vhodné implementovať aritmetické operácie na celých číslach. Sčítanie a odčítanie sú zároveň pomerne „lacné“ operácie, kým násobenie a delenie sú „drahé“. Pri posudzovaní zložitosti aritmetických operácií by sa mali brať do úvahy náklady na elementárnu operáciu (jednobitová) a počet jednobitových operácií na vykonanie akejkoľvek operácie s viaccifernými číslami. Zložitosť násobenia a delenia je spôsobená predovšetkým skutočnosťou, že so zväčšovaním dĺžky čísla (jeho zápisu v ľubovoľnej číselnej sústave) rastie počet elementárnych operácií podľa kvadratického zákona, na rozdiel od tzv. lineárny na sčítanie a odčítanie. Navyše to, čo zvyčajne nazývame viacmiestnym deliacim algoritmom, je v skutočnosti založené na sčítaní (často veľmi významnej) možnej ďalšej číslice kvocientu a nestačí len použiť pravidlá delenia jednociferných čísel. Pri veľkej základni číselnej sústavy (často to môže byť rádovo 2 30 ) je táto metóda neúčinná.

Nech je prirodzené číslo (zapísané v desiatkovej sústave). Získať jeho záznam v -árnom číselnom systéme môžete použiť nasledujúci algoritmus ( označuje celú časť čísla):

Dané: A-prirodzené číslo v desiatkovej číselnej sústave k > 1-prirodzené číslo Potreba: A-záznam čísla A v k-árnej číselnej sústave Začiatok i:= 0 cyklu, pričom A > 0 bi:= A (mod k) A: = i:= i + 1 koniec cyklu dA:= i - 1 koniec

Nasledujúci algoritmus sa používa na obnovenie desatinného čísla zo sekvencie jeho k-ary notácie:

Dané: k > 1-prirodzené číslo postupnosť číslic reprezentujúca číslo A v k-árovej sústave Potreba: A-záznam čísla A v desiatkovom zápise Začiatok A:= 0 cyklus až do konca postupnosti b:= ďalší prvok postupnosti A:= A * k + b koncová slučka Koniec

1.2. CVIČENIE. Vysvetlite, prečo sa delenie používa na prevod čísla z desiatkovej sústavy na k -dial a násobenie sa používa na prevod z k -číselnej sústavy do desiatkovej.

Vynásobením "stĺpcom" dvoch dvojciferných čísel v desiatkovej číselnej sústave vykonáme nasledujúce operácie:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

teda 4 operácie násobenia jednociferných čísel, 3 operácie sčítania a 2 operácie násobenia mocninou číselného základu, ktoré sú zmenšené na posun. Pri odhadovaní zložitosti je možné brať do úvahy všetky elementárne operácie bez toho, aby sme ich oddeľovali váhami (v tomto príklade máme 9 elementárnych operácií). Úloha optimalizácie algoritmu je v tomto prístupe redukovaná na minimalizáciu celkového počtu elementárnych operácií. Dá sa však uvažovať, že násobenie je „drahšia“ operácia ako sčítanie, ktoré je zase „drahšie“ ako posun. Ak vezmeme do úvahy len najdrahšie operácie, dostaneme to multiplikatívne zložitosť násobenia dvojciferných čísel „stĺpcom“ je 4.

Časť 5 sa zaoberá algoritmami na výpočet najväčších spoločných deliteľov a hodnotí ich zložitosť.

Uvažovaná reprezentácia nie je jedinou kanonickou reprezentáciou celých čísel. Ako už bolo uvedené, na výber kanonickej reprezentácie je možné použiť jedinečnosť rozkladu prirodzeného čísla na prvočísla. Takáto reprezentácia celého čísla sa dá použiť v tých úlohách, kde sa používajú iba operácie násobenia a delenia, keďže sa stávajú veľmi „lacnými“, avšak neúmerne sa zvyšujú náklady na operácie sčítania a odčítania, čo bráni použitiu takejto reprezentácie. V niektorých problémoch odmietnutie kanonickej reprezentácie výrazne zvyšuje rýchlosť, najmä je možné použiť čiastočnú faktorizáciu čísla. Podobná metóda je užitočná najmä pri práci nie s číslami, ale s polynómami.

Ak je známe, že počas činnosti programu sú všetky celé čísla, s ktorými sa stretávame pri výpočtoch, obmedzené v absolútnej hodnote nejakou danou konštantou, potom na nastavenie takýchto čísel musí byť ich systém zvyškov v module niektorých koprimových čísel, ktorých súčin presahuje uvedená konštanta, možno použiť. Výpočty s triedami zvyškov sú vo všeobecnosti rýchlejšie ako aritmetika s viacnásobnou presnosťou. A pri tomto prístupe by sa aritmetika s viacnásobnou presnosťou mala používať iba pri zadávaní alebo výstupe informácií.

Všimnite si, že spolu s kanonickými reprezentáciami v systémoch počítačová algebra používajú sa aj iné reprezentácie. Predovšetkým je žiaduce, aby prítomnosť alebo neprítomnosť znamienka „+“ pred celým číslom neovplyvňovala vnímanie tohto čísla počítačom. Pre kladné čísla sa teda získa nejednoznačná reprezentácia, hoci tvar záporných čísel je jednoznačne určený.

Ďalšou požiadavkou je, že vnímanie čísla by nemalo byť ovplyvnené prítomnosťou núl pred prvou platnou číslicou.

1.3. CVIČENIA.

1. Odhadnite počet jednociferných násobení použitých pri vynásobení m-ciferného čísla n-ciferným číslom stĺpcom.
2. Ukážte, že dve dvojciferné čísla je možné vynásobiť iba pomocou 3 jednociferných násobení a zvýšením počtu sčítaní.
3. Nájdite algoritmus na delenie dlhých čísel, ktorý nevyžaduje veľa enumerácie na nájdenie prvej číslice kvocientu.
4. Popíšte algoritmus prekladu prirodzené čísla z m -árnej číselnej sústavy do n -árnej.
5. IN Rímske číslovanie na písanie číslic sa používajú tieto symboly: I - jeden, V - päť, X - desať, L - päťdesiat, C - sto, D - päťsto, M - tisíc. Symbol sa považuje za negatívny, ak sa napravo od neho nachádza symbol väčšieho čísla, inak za kladný. Napríklad číslo 1948 v tomto systéme bude napísané takto: MCMXLVIII. Vytvorte algoritmus na prevod čísla z rímskeho na desatinné číslo a naopak. Implementujte výsledný algoritmus v jednom z algoritmických jazykov (napríklad C). Obmedzenia počiatočných údajov: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Sformulujte algoritmus a napíšte program na sčítanie prirodzených čísel v rímskych číslach.
7. Povieme, že máme do činenia s číselným systémom s zmiešané alebo založené na vektoroch, ak dostaneme vektor n prirodzených čísel M = (m 1 , . . . , m n) (základ) a zápis K = (k 0, k 1, . . . , k n) označuje číslo k = k 0 + m 1 (k 1 + m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Napíšte program, ktorý na základe údajov (deň v týždni, hodiny, minúty, sekundy) určí, koľko sekúnd uplynulo od začiatku týždňa (pondelok, 0, 0, 0) = 0 a vykoná inverznú transformáciu.

Kruh, v ktorom je zavedený vzťah „byť väčší ako nula“ (označený a > 0), sa nazýva umiestnený krúžok, ak sú splnené dve podmienky pre niektoré prvky tohto kruhu:

1) je splnená iba jedna z podmienok

a > 0 \/ –a > 0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Množina, v ktorej je zavedená určitá relácia rádu – nestriktívna (reflexívne, antisymetricky a tranzitívne) alebo striktná (antireflexívne a tranzitívne) sa nazýva usporiadaný. Ak je splnený zákon trichotómie, potom sa volá množina lineárne usporiadaný. Ak neberieme do úvahy ľubovoľnú množinu, ale nejaký algebraický systém, napríklad kruh alebo pole, potom sa pre usporiadanie takéhoto systému zavedú aj požiadavky na monotónnosť vzhľadom na operácie zavedené v tomto systéme (algebraická štruktúra). Takže objednaný krúžok/pole je nenulový kruh/pole, v ktorom je zavedený vzťah lineárneho poriadku (a > b), ktorý spĺňa dve podmienky:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

Veta 1. Akýkoľvek umiestnený krúžok je usporiadaný systém (prsteň).

V skutočnosti, ak sa do kruhu zavedie vzťah „byť väčší ako 0“, potom je tiež možné zaviesť väčší vzťah pre dva ľubovoľné prvky, ak predpokladáme, že

a > b  a - b > 0.

Takýto vzťah je vzťahom prísneho, lineárneho poriadku.

Tento vzťah „väčší ako“ je antireflexný, keďže podmienka a > a je ekvivalentná podmienke a - a > 0, tá je v rozpore s tým, že a - a = 0 (podľa prvej podmienky lokalizovaného kruhu, prvok nemôže byť väčší ako 0 a zároveň rovný 0). Výrok a > a je teda nepravdivý pre ľubovoľný prvok a, takže vzťah je antireflexívny.

Dokážme tranzitivitu: ak a > b a b > c, potom a > c. Podľa definície z podmienok vety vyplýva, že a - b > 0 a b - c > 0. Sčítaním týchto dvoch prvkov väčších ako nula dostaneme opäť prvok väčší ako nula (podľa druhej podmienky lokalizovaného kruhu ):

a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.

To posledné znamená, že a > c. Zavedený vzťah je teda vzťahom prísneho poriadku. Navyše, tento vzťah je vzťahom lineárneho poriadku, teda pre množinu prirodzených čísel, trichotomická veta:

Pre akékoľvek dve prirodzené čísla platí iba jedno z nasledujúcich troch tvrdení:

Vskutku (vzhľadom na prvú podmienku umiestneného prstenca) pre číslo a - b platí jedna a iba jedna z podmienok:

1) a - b > 0 => a > b

2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a

3) a - b = 0 => a = b.

Vlastnosti monotónnosti platia aj pre akýkoľvek umiestnený prstenec. naozaj

1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;

2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (podľa druhej podmienky lokalizovaného kruhu) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .

Takto sme dokázali, že každý umiestnený kruh je usporiadaný kruh (usporiadaný systém).

Pre každý umiestnený prstenec budú platiť aj nasledujúce vlastnosti:

a) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

c) a > b / \ c< 0=>ac< bc;

Rovnaké vlastnosti platia aj pre ostatné znamenia.<, , .

Dokážme napríklad vlastnosť (c). Podľa definície z podmienky a > b vyplýva, že a - b > 0 a z podmienky c< 0 (0 >c) z toho vyplýva, že 0 - c > 0, a teda číslo - c > 0, vynásobíme dvoma kladnými číslami (a - b) (-c). Výsledok bude pozitívny aj druhou podmienkou umiestneného prstenca, t.j.

(a - b)  (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Q.E.D.

d) aa = a 2  0;

Dôkaz: Podľa prvej podmienky lokalizovaného kruhu buď a > 0, alebo –a > 0, alebo a = 0. Zvážte tieto prípady oddelene:

1) a > 0 => aa > 0 (podľa druhej podmienky lokalizovaného prstenca) => a 2 > 0.

2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, ale vlastnosťou kruhu (–a)(–a) = aa = a 2 > 0.

3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0.

Vo všetkých troch prípadoch je teda a 2 buď väčšie ako nula alebo sa rovná 0, čo len znamená, že a 2 ≥ 0 a vlastnosť je dokázaná (všimnite si, že sme tiež dokázali, že druhá mocnina prvku umiestneného kruhu je 0 práve vtedy, ak samotný prvok je 0).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

Dôkaz: Predpokladajme opak (ab = 0, ale ani a ani b sa nerovnajú nule). Potom sú pre a možné len dve možnosti, buď a > 0 alebo – a > 0 (možnosť a = 0 je podľa nášho predpokladu vylúčená). Každý z týchto dvoch prípadov sa rozdelí na dva ďalšie prípady v závislosti od b (buď b > 0 alebo – b > 0). Potom sú možné 4 možnosti:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a > 0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0.

Ako vidíme, každý z týchto prípadov je v rozpore s podmienkou ab = 0. Vlastnosť je dokázaná.

Posledná vlastnosť znamená, že umiestnený krúžok je oblasťou integrity, ktorá je tiež povinnou vlastnosťou objednaných systémov.

Veta 1 ukazuje, že každý umiestnený kruh je usporiadaný systém. Platí to aj naopak - akýkoľvek objednaný prsteň sa nachádza. V skutočnosti, ak v kruhu existuje vzťah a > b a akékoľvek dva prvky kruhu sú navzájom porovnateľné, potom 0 je tiež porovnateľná s akýmkoľvek prvkom a, to znamená buď a > 0 alebo a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Aby sme to dokázali, aplikujeme vlastnosť monotónnosti usporiadaných systémov: na pravú a ľavú stranu nerovnosti a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Druhá podmienka lokalizovaného kruhu vyplýva z vlastností monotónnosti a tranzitivity:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

Veta 2. Kruh celých čísel je usporiadaný kruh (usporiadaný systém).

dôkaz: Použime definíciu 2 kruhu celých čísel (pozri 2.1). Podľa tejto definície je akékoľvek celé číslo buď prirodzené číslo (číslo n je dané ako [ ], alebo opak prirodzeného (– n zodpovedá triede [<1, n / >] alebo 0 (trieda [<1, 1>]). Predstavme si definíciu „byť väčší ako nula“ pre celé čísla podľa pravidla:

a > 0  a  N

Potom je prvá podmienka lokalizovaného kruhu automaticky splnená pre celé čísla: ak je a prirodzené, potom je väčšie ako 0, ak je a opakom prirodzeného, ​​potom –a je prirodzené, to znamená, že je tiež väčšie ako 0, možný je aj variant a = 0, čo tiež robí skutočnú disjunkciu v prvej podmienke lokalizovaného kruhu. Platnosť druhej podmienky lokalizovaného kruhu vyplýva zo skutočnosti, že súčet a súčin dvoch prirodzených čísel (celé čísla väčšie ako nula) je opäť prirodzené číslo, a teda väčšie ako nula.

Všetky vlastnosti usporiadaných kruhov sa teda automaticky prenesú na všetky celé čísla. Okrem toho pre celé čísla (ale nie pre ľubovoľne usporiadané kruhy) platí teorém o diskrétnosti:

Veta o diskrétnosti. Medzi dve susediace celé čísla nemožno vložiť žiadne celé číslo:

( a, x  Z) .

Dôkaz: zvážte všetky možné prípady pre a, a budeme predpokladať opak, teda že existuje x takých, že

ale< x < a +1.

1) ak a je prirodzené číslo, potom a + 1 je tiež prirodzené číslo. Potom podľa vety o diskrétnosti pre prirodzené čísla nemôže byť žiadne prirodzené číslo x vložené medzi a a / = a + 1, to znamená, že x v žiadnom prípade nemôže byť prirodzené. Ak predpokladáme, že x = 0, potom náš predpoklad je taký

ale< x < a +1

nás privedie do stavu a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. Potom a + 1 = 1. Ak podmienka a< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a je záporné (–a > 0), potom a + 1  0. Ak a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

to znamená, že sa dostávame k situácii uvažovanej v prvom prípade (keďže -a-1 aj -a sú prirodzené), odkiaľ - x nemôže byť celé číslo, a teda x nemôže byť celé číslo. Situácia, keď a + 1 = 0 znamená, že a = -1, t.j.

–1 < x < 0.

Vynásobením tejto nerovnosti (–1) sa dostaneme k prípadu 2. Veta teda platí vo všetkých situáciách.

Terem Archimedes. Pre akékoľvek celé číslo a a celé číslo b > 0 existuje kladné celé číslo n také, že a< bn.

Pre prirodzené a je veta už dokázaná, keďže podmienka b > 0 znamená, že číslo b je prirodzené. Pre a  0 je veta tiež zrejmá, keďže pravá strana bn je prirodzené číslo, to znamená, že je tiež väčšia ako nula.

V kruhu celých čísel (ako v každom umiestnenom kruhu) môžeme predstaviť koncept modulu:

|a| = .

Platné vlastnosti modulu:

1) |a + b|  |a| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |a|  |b|.

dôkaz: 1) Všimnite si, že z definície je zrejmé, že |a| je hodnota, ktorá je vždy nezáporná (v prvom prípade |a| = a ≥ 0, v druhom prípade |a| = –a, ale a< 0, откуда –а >0). Nerovnosti |a| ≥ a, |a| ≥ –a (modul sa rovná zodpovedajúcemu výrazu, ak nie je záporný, a väčší ako je, ak je záporný). Podobné nerovnosti platia pre b: |b| ≥ b, |b| ≥ -b. Sčítaním príslušných nerovností a aplikáciou vlastnosti (b) usporiadaných prstencov dostaneme

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

Podľa definície modulu

|a+b| =
,

ale oba výrazy na pravej strane rovnosti, ako je uvedené vyššie, nepresahujú |a| + |b|, čo dokazuje prvú vlastnosť modulov.

2) Nahraďme v prvej vlastnosti a za a - b. Dostaneme:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|a| ≤ |a – b| + |b|

Presunúť |b| z pravej strany doľava s opačným znamienkom

|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b|  |a| – |b|.

Dôkaz o vlastnosti 3 je ponechaný na čitateľa.

Úloha: Riešte rovnicu v celých číslach

2r 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2r \u003d 5.

Riešenie: Faktorizácia ľavej strany. Na tento účel predstavujeme výraz 3xy = – xy + 4xy

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2 roky \u003d

Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).

Naša rovnica sa teda môže prepísať ako

(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.

Keďže to musíme riešiť v celých číslach, x a y musia byť celé čísla, čo znamená, že faktory na ľavej strane našej rovnice sú tiež celé čísla. Číslo 5 na pravej strane našej rovnice môže byť reprezentované ako súčin celočíselných faktorov iba 4 spôsobmi:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Preto sú možné nasledujúce možnosti:

1)
2)
3)
4)

Spomedzi uvedených systémov má iba (4) celočíselné riešenie:

x = 1, y = -2.

Úlohy pre nezávislé riešenie

č. 2.4. Pre prvky a, b, c, d ľubovoľne umiestneného kruhu dokážte vlastnosti:

a) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d.

č. 2.5. Riešte rovnice v celých číslach:

č. 2.6. Nájdite štvorciferné číslo, ktoré je presným štvorcom a také, že jeho prvé dve číslice sú rovnaké a posledné dve číslice sú rovnaké.

č. 2.7. Nájdite dvojciferné číslo, ktoré sa rovná súčtu jeho desiatok a druhej mocniny jeho jednotiek.

č. 2.8. Nájdite dvojciferné číslo, ktoré sa rovná dvojnásobku súčinu jeho číslic.

č. 2.9. Dokážte, že rozdiel medzi trojciferným číslom a číslom napísaným rovnakými číslicami v opačnom poradí nemôže byť druhou mocninou prirodzeného čísla.

č. 2.10. Nájdite všetky prirodzené čísla končiace na 91, ktoré sa po vymazaní týchto číslic znížia o celé číslo.

č. 2.11. Nájdite dvojciferné číslo, ktoré sa rovná druhej mocnine jeho jednotiek plus tretej mocnine desiatok.

č. 2.12. Nájdite šesťciferné číslo začínajúce číslom 2, ktoré sa zväčší 3-krát preskupením tohto čísla na koniec čísla.

č. 2.13. Na tabuli je napísaných viac ako 40, ale menej ako 48 celých čísel. Aritmetický priemer všetkých týchto čísel je 3, aritmetický priemer kladných čísel je 4 a aritmetický priemer záporných čísiel 8. Koľko čísel je napísaných na tabuli? Ktoré číslo je väčšie, kladné alebo záporné? Aký je maximálny možný počet kladných čísel?

č. 2.14. Môže byť podiel trojciferného čísla a súčet jeho číslic 89? Môže sa tento podiel rovnať 86? Aká je maximálna možná hodnota tohto kvocientu?

Prirodzené čísla nie sú kruh, pretože 0 nie je prirodzené číslo a pre prirodzené čísla neexistujú žiadne prirodzené protiklady. Štruktúra tvorená prirodzenými číslami je tzv polkruh. Presnejšie,

polkruh sa nazýva komutatívna pologrupa vzhľadom na sčítanie a pologrupa vzhľadom na násobenie, v ktorých operácie sčítania a násobenia súvisia distributívnymi zákonmi.

Teraz zavedieme presné definície celých čísel a dokážeme ich ekvivalenciu. Na základe konceptu algebraických štruktúr a skutočnosti, že množina prirodzených čísel je semiring, ale nie kruh, môžeme zaviesť nasledujúcu definíciu:

Definícia 1. Kruh celých čísel je najmenší kruh, ktorý obsahuje polopočet prirodzených čísel.

Táto definícia nič nehovorí vzhľad takéto čísla. V školskom kurze sú celé čísla definované ako prirodzené čísla, ich protiklady a 0. Túto definíciu je možné brať aj ako základ pre zostavenie striktnej definície.

Definícia 2. Kruh celých čísel je kruh, ktorého prvkami sú prirodzené čísla, ich protiklady a 0 (a iba oni).

Veta 1. Definície 1 a 2 sú ekvivalentné.

Dôkaz: Označme Z 1 kruh celých čísel v zmysle Definície 1 a Z 2 kruh celých čísel v zmysle Definície 2. Najprv dokážeme, že Z 2 je zahrnuté v Z 1 . Všetky prvky Z 2 sú buď prirodzené čísla (patria do Z 1, keďže Z 1 obsahuje polopočet prirodzených čísel), alebo ich protiklady (tiež patria do Z 1, keďže Z 1 je kruh, čo znamená, že pre každý prvok tohto kruhu existuje opačný prvok a pre každé prirodzené n н Z 1 -n patrí tiež do Z 1), alebo 0 (0 н Z 1 , keďže Z 1 je kruh a v akomkoľvek kruhu existuje 0), teda akýkoľvek prvok zo Z 2 tiež patrí do Z 1 , a teda Z 2 Í Z 1 . Na druhej strane Z 2 obsahuje polopočet prirodzených čísel a Z 1 je minimálny kruh obsahujúci prirodzené čísla, to znamená, že nemôže obsahovať žiadne ďalší prsteň, ktorý spĺňa túto podmienku. Ale ukázali sme, že obsahuje Z 2 , a teda Z 1 = Z 2 . Veta bola dokázaná.

Definícia 3. Kruh celých čísel je kruh, ktorého prvky sú všetky možné prvky reprezentovateľné ako rozdiel b - a (všetky možné riešenia rovnice a + x = b), kde a a b sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Veta 2. Definícia 3 je ekvivalentná dvom predchádzajúcim.

Dôkaz: Označme Z 3 kruh celých čísel v zmysle Definície 3 a Z 1 = Z 2, ako predtým, kruh celých čísel v zmysle Definície 1 a 2 (ich rovnosť už bola stanovená). Najprv dokážeme, že Z 3 je zahrnuté v Z 2 . Všetky prvky Z 3 možno totiž reprezentovať ako nejaké rozdiely prirodzených čísel b – a. Pre akékoľvek dve prirodzené čísla sú podľa trichotomickej vety možné tri možnosti:

V tomto prípade je rozdiel b – a tiež prirodzené číslo, a preto patrí do Z 2 .

V tomto prípade bude rozdiel dvoch rovnakých prvkov označený symbolom 0. Dokážme, že toto je skutočne nula kruhu, teda neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie. Na to použijeme definíciu rozdielu a – a = x ó a = a + x a dokážeme, že b + x = b pre ľubovoľné prirodzené b. Aby sme to dokázali, stačí pridať prvok b na pravú a ľavú stranu rovnosti a = a + x a potom použiť redukčný zákon (všetky tieto akcie možno vykonať na základe známych vlastností prstencov). Nula patrí Z 2 .

Rozdiel a – b je v tomto prípade prirodzené číslo, ktoré označujeme

b - a \u003d - (a - b). Ukážeme, že prvky a - b a b - a sú skutočne opačné, teda ich súčet je nula. V skutočnosti, ak označíme a - b \u003d x, b - a \u003d y, potom dostaneme, že a \u003d b + x, b \u003d y + a. Pridaním získaných rovníc po členoch a znížením b dostaneme a \u003d x + y + a, to znamená x + y \u003d a - a \u003d 0. Teda a - b \u003d - (b - a) je číslo opačné k prirodzenému číslu, to znamená, že opäť patrí do Z2. Teda Z 3 N Z 2 .

Na druhej strane Z 3 obsahuje semiring prirodzených čísel, pretože akékoľvek prirodzené číslo n môže byť vždy reprezentované ako

n = n / – 1 О Z 3,

a teda Z 1 Í Z 3 , keďže Z 1 je minimálny kruh obsahujúci prirodzené čísla. Použitím už dokázaného faktu, že Z 2 = Z 1 dostaneme Z 1 = Z 2 = Z 3 . Veta bola dokázaná.

Aj keď sa na prvý pohľad môže zdať, že v uvedených definíciách celých čísel nie sú žiadne axiómy, tieto definície sú axiomatické, keďže všetky tri definície hovoria, že množina celých čísel je kruh. Preto podmienky z definície kruhu slúžia ako axiómy v axiomatickej teórii celých čísel.

Dokážme to axiomatická teória celých čísel je konzistentná. Na jej dokázanie je potrebné zostrojiť model kruhu celých čísel pomocou známej konzistentnej teórie (v našom prípade to môže byť len axiomatická teória prirodzených čísel).

Podľa definície 3 možno každé celé číslo znázorniť ako rozdiel dvoch prirodzených čísel z = b – a. Priraďte ku každému celému číslu z príslušný pár . Nevýhodou tejto korešpondencie je jej nejednoznačnosť. Najmä číslo 2 zodpovedá páru<3, 1 >, a pár<4, 2>, ako aj mnohé iné. Číslo 0 zodpovedá páru<1, 1>, a pár<2,2>, a pár<3, 3>, atď. Táto myšlienka pomáha vyhnúť sa tomuto problému. ekvivalenčné páry. Povieme, že pár je ekvivalentné pár , ak a + d = b + c (zápis: @ ).

Zavedený vzťah je reflexívny, symetrický a tranzitívny (dôkaz je ponechaný na čitateľa).

Ako každý vzťah ekvivalencie, aj tento vzťah generuje rozdelenie množiny všetkých možných párov prirodzených čísel do tried ekvivalencie, ktoré budeme označovať ako [ ] (každá trieda pozostáva zo všetkých párov ekvivalentných páru ). Teraz je možné priradiť ku každému celému číslu dobre definovanú triedu párov prirodzených čísel, ktoré sú si navzájom ekvivalentné. Množinu takýchto tried párov prirodzených čísel možno použiť ako model celých čísel. Dokážme, že v tomto modeli sú splnené všetky axiómy prsteňa. Na to je potrebné zaviesť pojmy sčítania a násobenia tried párov. Urobme to podľa nasledujúcich pravidiel:

1) [] + [] = [];

Ukážme, že zavedené definície sú správne, to znamená, že nezávisia od výberu konkrétnych zástupcov z tried párov. Inými slovami, ak sú páry ekvivalentné @ A @ , potom sú ekvivalentné aj zodpovedajúce sumy a produkty @ , ako aj @ .

@ ó a + b 1 = b + a 1 (1),

čo je ekvivalentné podmienke @ .

čo znamená, že @ (inými slovami, tu sme to dokázali × @ ,× ).

ó @

(tu sme to dokázali × @ ,× ). Pomocou vlastnosti tranzitivity vzťahu ekvivalencie párov dospejeme k požadovanej rovnosti @ ekvivalentné stavu

× @ ,× .

+ ( +) = + = .

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

[] + [] = [] @ [], pretože

[] + [] = [] = [] @ [].

[] / = [].

[] + [] =[] / = []. naozaj,

[] + [] = [] = [], pretože

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].