ความสัมพันธ์ลำดับบนเซต สั่งซื้อความสัมพันธ์
แผนการบรรยายครั้งที่ 14 การจำแนกความสัมพันธ์แบบทวิภาค
1. การจำแนกประเภทของความสัมพันธ์แบบแอนติสมมาตร
2. การจำแนกความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ
2.1. ความสัมพันธ์กึ่งสั่ง
2.2. ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วนที่ไม่เข้มงวด
2.3. ความสัมพันธ์ที่ไม่เคร่งครัด
2.4. สั่งคุณภาพหละหลวม
2.5. หละหลวมคำสั่งที่อ่อนแอ
2.6. ออเดอร์หลวม
3. ความเป็นคู่ของความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดและไม่เข้มงวด
4. การทบทวนคุณสมบัติของความสัมพันธ์ประเภทต่างๆ
การจำแนกความสัมพันธ์แบบแอนติสมมาตร
โครงสร้างของกราฟความสัมพันธ์แบบอะไซคลิก
โครงสร้างของกราฟความสัมพันธ์ลำดับเชิงคุณภาพ
โครงสร้างของกราฟความสัมพันธ์ลำดับที่อ่อนแอ
ความสัมพันธ์ที่เข้มงวด
ลำดับที่เข้มงวด (การตั้งค่าที่เข้มงวด ลำดับที่เข้มงวด ลำดับเชิงเส้นที่เข้มงวด) เป็นการต่อต้านการสะท้อน สกรรมกริยา และมีความสัมพันธ์แบบไบนารีที่เชื่อมโยงอย่างอ่อน (12)
ลำดับที่เข้มงวดเป็นกรณีพิเศษของลำดับที่อ่อนแอ (การตั้งค่าบางส่วนที่เข้มงวด) โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมของการมีเพศสัมพันธ์ที่อ่อนแอ
ตัวอย่าง: ความสัมพันธ์ "น้อยกว่าอย่างเคร่งครัด" บนเซตของจำนวนเต็ม
การจำแนกความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ
ความสัมพันธ์กึ่งสั่ง
ความสัมพันธ์แบบไบนารี่เหล่านี้ทำให้สามารถเปรียบเทียบองค์ประกอบของชุดบางชุดได้ แต่ไม่ใช่ด้วยความคล้ายคลึงกัน แต่โดยการจัดเรียงองค์ประกอบของกลุ่มตามลำดับที่แน่นอน เช่น โดยการสั่งซื้อบางส่วน
กึ่งสั่ง (การตั้งค่าบางส่วนหละหลวม) คือความสัมพันธ์ไบนารีแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา (3)
ตัวอย่าง: “เป็นพี่ชาย” (Ivan-Peter, Andrey-Anna)
คุณสมบัติของคำสั่งเสมือน
1. จุดตัดของคำสั่งเสมือนยังคงเป็นคำสั่งเสมือน
2. ส่วนสมมาตรของลำดับเสมือนมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเปลี่ยนแปลงทางผ่าน ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน R c = R / R อินพุต
3. การใช้จุดตัดนี้ ทำให้สามารถระบุกลุ่มของตัวเลือกที่เทียบเท่ากัน จากนั้นจึงสามารถสร้างความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวดที่สร้างโดยความสัมพันธ์ดั้งเดิมระหว่างกลุ่มที่เลือกได้
4. ส่วนที่ไม่สมมาตรของลำดับกึ่งคือความสัมพันธ์แบบสกรรมกริยาและป้องกันการสะท้อนกลับ = ลำดับเชิงคุณภาพ
ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วนที่ไม่เข้มงวด
ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวด (4) คือความสัมพันธ์ที่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ปฏิกิริยาต่อต้านสมมาตร และการเคลื่อนที่ผ่าน
ลำดับบางส่วนที่อ่อนแอคือลำดับกึ่งสมมาตรแบบแอนติสมมาตร
ตัวอย่าง: ความสัมพันธ์ "เป็นส่วนหนึ่ง" ที่กำหนดไว้สำหรับชุด (และชุดย่อย)
คุณสมบัติของคำสั่งบางส่วนที่ไม่เข้มงวด
1. จุดตัดของคำสั่งบางส่วนที่ไม่เข้มงวดยังคงเป็นคำสั่งบางส่วนที่ไม่เข้มงวด
2. ส่วนสมมาตรของลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดนั้นเป็นเส้นทแยงมุม
3. ส่วนที่ไม่สมมาตรของลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดนั้นเป็นลำดับเชิงคุณภาพ (เข้มงวด)
4. ในทฤษฎีของระบบอัจฉริยะ ชุดที่ได้รับคำสั่งบางส่วน - โดเมน มีบทบาทสำคัญ ร่วมกับความสัมพันธ์ของคำสั่งบางส่วนที่ไม่เข้มงวดซึ่งกำหนดไว้
5. ชุดที่ได้รับคำสั่งบางส่วนพร้อมคุณสมบัติเพิ่มเติมของการมีอยู่ของขอบเขตบนและล่างสำหรับองค์ประกอบแต่ละคู่เรียกว่าตาข่าย กรณีพิเศษของโปรยคือพีชคณิตแบบบูล
ความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อที่ไม่เข้มงวด
ลำดับที่หลวมเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนที่มีคุณสมบัติเชื่อมโยงอย่างอ่อน (5)
การสั่งซื้อแบบหลวมๆ ยังสามารถกำหนดเป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงโดยสมบูรณ์ได้
ความสัมพันธ์ในการจัดลำดับที่หลวมสามารถแสดงได้เป็นผลจากการผสมผสานความสัมพันธ์ระหว่างความอดทนและการครอบงำเข้าด้วยกัน
คุณสมบัติของความสัมพันธ์ในการเรียงลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวด
1. จุดตัดและการรวมกันของความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ยังคงเป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันอย่างเต็มที่
2. ส่วนที่สมมาตรของการเรียงลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดคือความอดทน
3. ส่วนที่ไม่สมมาตรของการเรียงลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดคือการครอบงำ
4. สำหรับความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการผ่านผ่านคือความปฏิเสธของความสัมพันธ์
5. สำหรับความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ คุณสมบัติของการเปลี่ยนแปลงเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความสัมพันธ์เชิงลบ
ความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวด
ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R เรียกว่าลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวด หากเป็นแบบลบ-สกรรมกริยาและเชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์ (6)
คำสั่งซื้อเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวดคือการเรียงลำดับเชิงลบที่ไม่เข้มงวด
ความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวดสามารถแสดงได้เป็นผลมาจากการรวมความสัมพันธ์ระหว่างความอดทนและลำดับเชิงคุณภาพเข้าด้วยกัน
คุณสมบัติของความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวด
1. ส่วนที่สมมาตรของลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวดคือความอดทน NT?
2. ส่วนที่ไม่สมมาตรของลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวดนั้นเป็นแบบสกรรมกริยา ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพ
3. ดังนั้น ความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพที่ไม่เข้มงวดสามารถแสดงได้โดยเป็นผลมาจากการรวมความสัมพันธ์ของความอดทนและลำดับเชิงคุณภาพที่สร้างขึ้นโดยความสัมพันธ์ดั้งเดิม
4. ความสัมพันธ์แบบคู่มีคุณสมบัติของความไม่สมมาตรและการผ่านผ่าน ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพ
ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อที่อ่อนแอแบบไม่เข้มงวด
คำสั่งอ่อนแบบไม่เข้มงวดคือความสัมพันธ์สกรรมกริยาและสกรรมกริยาเชิงลบที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์ (7)
ความสัมพันธ์ทางสกรรมกริยาที่เชื่อมโยงอย่างสมบูรณ์เรียกว่าลำดับที่อ่อนแอแบบไม่เข้มงวด
คำสั่งที่ไม่เข้มงวดที่ไม่เข้มงวดคือคำสั่งที่ไม่เข้มงวดแบบสกรรมกริยา
คุณสมบัติของความสัมพันธ์ของลำดับอ่อนแบบไม่เคร่งครัด
1. ส่วนที่สมมาตรของลำดับอ่อนที่ไม่เข้มงวดนั้นมีความเท่าเทียมกัน
2. ส่วนที่ไม่สมมาตร R ac ของลำดับอ่อนที่ไม่เข้มงวดนั้นเป็นสกรรมกริยา ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงคุณภาพ
3. ดังนั้น ความสัมพันธ์ลำดับที่อ่อนแอแบบไม่เข้มงวดสามารถแสดงได้เป็นผลจากการรวมความสัมพันธ์ระหว่างความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์ลำดับที่อ่อนแอที่สร้างโดยความสัมพันธ์ดั้งเดิม
4. ลำดับที่อ่อนแอที่ไม่เข้มงวดสามารถแสดงเป็นชุดของเลเยอร์ที่มีการเรียงลำดับบางส่วน ซึ่งแต่ละชั้นเป็นคลาสที่เท่าเทียมกัน
ความสัมพันธ์ของลำดับที่ไม่เข้มงวด (เชิงเส้น)
ลำดับที่ไม่เข้มงวด (ลำดับเชิงเส้นที่ไม่เข้มงวด) เป็นความสัมพันธ์ไบนารี่แบบแอนติสมมาตร สกรรมกริยา และเชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์ (8)
ลำดับที่ไม่เข้มงวดคือลำดับที่ไม่เข้มงวดแบบต่อต้านสมมาตร
คำสั่งที่ไม่เข้มงวดคือคำสั่งที่ไม่เข้มงวดแบบป้องกันสมมาตร
คุณสมบัติของความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้นแบบไม่เข้มงวด
1. ส่วนที่สมมาตรของคำสั่งที่ไม่เข้มงวดนั้นเป็นเส้นทแยงมุม
2. ส่วนที่ไม่สมมาตร R ac ของลำดับที่ไม่เข้มงวดนั้นเป็นสกรรมกริยาและเชื่อมโยงอย่างอ่อนดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวด
3. ความสัมพันธ์แบบคู่มีคุณสมบัติของความไม่สมดุล การถ่ายทอดเชิงลบ และการเชื่อมต่อที่อ่อนแอ ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์แบบเข้มงวด นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นพร้อมกับ R ac
4. ดังนั้น ความสัมพันธ์ลำดับแบบไม่เข้มงวดสามารถแสดงได้โดยเป็นผลมาจากการรวมลำดับแนวทแยงและลำดับเข้มงวดที่สร้างขึ้นโดยความสัมพันธ์ดั้งเดิม
ความเป็นคู่ของความสัมพันธ์แบบเข้มงวดและไม่เข้มงวด
ภาพรวมคุณสมบัติของความสัมพันธ์ประเภทต่างๆ
คุณสมบัติของความสัมพันธ์:
1) การสะท้อนกลับ;
2) สมมาตร;
3) การขนส่ง
4) ความเชื่อมโยง
ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า สะท้อนแสง,ถ้าเกี่ยวกับแต่ละองค์ประกอบของชุด เอ็กซ์เราสามารถพูดได้ว่าเขากำลังมีความสัมพันธ์ รกับตัวเอง: เอ็กซ์รับหากความสัมพันธ์เป็นแบบสะท้อนกลับ ก็จะมีการวนซ้ำที่แต่ละจุดยอดของกราฟ ในทางกลับกัน กราฟที่ทุกจุดยอดมีการวนซ้ำจะเป็นกราฟความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ
ตัวอย่างของความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ ได้แก่ ความสัมพันธ์ “หลายค่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ (แต่ละจำนวนเป็นผลคูณของตัวมันเอง) และความสัมพันธ์ของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม (แต่ละรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกับตัวมันเอง) และความสัมพันธ์ของ “ความเท่าเทียมกัน” ( แต่ละจำนวนจะเท่ากับตัวมันเอง) เป็นต้น
มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ของการตั้งฉากของเซ็กเมนต์: เอ่อ บะ(ไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่งที่สามารถกล่าวได้ว่าตั้งฉากกับตัวมันเอง) . ดังนั้นจึงไม่มีการวนซ้ำในกราฟของความสัมพันธ์นี้
ความสัมพันธ์ "ยาวขึ้น" สำหรับเซ็กเมนต์ "มากกว่า 2" สำหรับจำนวนธรรมชาติ ฯลฯ ไม่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ
ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ป้องกันแสงสะท้อนถ้าสำหรับองค์ประกอบใดๆ จากเซต เอ็กซ์เท็จเสมอ เอ็กซ์รับ: .
มีความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับหรือต่อต้านการสะท้อนกลับ ตัวอย่างของความสัมพันธ์ดังกล่าวคือความสัมพันธ์ “จุด” เอ็กซ์สมมาตรจนถึงจุด ที่ค่อนข้างตรง ล" ซึ่งกำหนดไว้บนชุดจุดต่างๆ ของระนาบ แท้จริงแล้วทุกจุดเป็นเส้นตรง ลมีความสมมาตรกับตัวเองและมีจุดที่ไม่เป็นเส้นตรง ลิตรพวกมันไม่สมมาตร
ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า สมมาตร, หากตรงตามเงื่อนไข: จากข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบนั้น เอ็กซ์มีความสัมพันธ์กับองค์ประกอบ ยเป็นไปตามองค์ประกอบนั้น ยมีความสัมพันธ์กัน รด้วยองค์ประกอบ เอ็กซ์:xRyyRx.
กราฟความสัมพันธ์แบบสมมาตรมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: พร้อมด้วยลูกศรแต่ละอันที่มาจาก เอ็กซ์ถึง ยกราฟจะมีลูกศรที่ไปจาก ยถึง เอ็กซ์(รูปที่ 35)
ตัวอย่างของความสัมพันธ์แบบสมมาตรอาจเป็นดังต่อไปนี้: ความสัมพันธ์ของ "ความขนาน" ของเซ็กเมนต์, ความสัมพันธ์ของ "ตั้งฉาก" ของเซ็กเมนต์, ความสัมพันธ์ของ "ความเท่าเทียมกัน" ของเซ็กเมนต์, ความสัมพันธ์ของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม, ความสัมพันธ์ของ "ความเท่าเทียมกัน" ของ เศษส่วน ฯลฯ
มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติสมมาตร
แท้จริงแล้วถ้าส่วนนั้น เอ็กซ์ยาวกว่าส่วน ที่จากนั้นส่วน ที่ต้องไม่ยาวกว่าส่วน เอ็กซ์- กราฟของความสัมพันธ์นี้มีลักษณะเฉพาะ: ลูกศรที่เชื่อมต่อจุดยอดนั้นพุ่งไปในทิศทางเดียวเท่านั้น
ทัศนคติ รเรียกว่า ต่อต้านสมมาตรหากเป็นองค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์และ ยจากความจริง เอ็กซ์เรย์ควรจะเป็นเท็จ yRx: : xRyyRx.
นอกจากความสัมพันธ์ที่ "ยาวกว่า" แล้ว ยังมีความสัมพันธ์แบบแอนติสมมาตรอื่นๆ ในหลายส่วนด้วย ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ "มากกว่า" สำหรับตัวเลข (ถ้า เอ็กซ์มากกว่า ที่, ที่ ที่ไม่มีอีกแล้ว เอ็กซ์) ทัศนคติ "เพิ่มเติม" ฯลฯ
มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีทั้งคุณสมบัติของสมมาตรและคุณสมบัติของ antisymmetry
ความสัมพันธ์ R บนเซต เอ็กซ์เรียกว่า สกรรมกริยา,ถ้าจากองค์ประกอบนั้น เอ็กซ์มีความสัมพันธ์กัน รด้วยองค์ประกอบ ใช่และองค์ประกอบ ยมีความสัมพันธ์กัน รด้วยองค์ประกอบ zเป็นไปตามองค์ประกอบนั้น เอ็กซ์มีความสัมพันธ์กัน รด้วยองค์ประกอบ z: เอ็กซ์เรย์และ ปีอาร์ซxRz.
กราฟความสัมพันธ์สกรรมกริยากับลูกศรแต่ละคู่ที่มาจาก เอ็กซ์ถึง ยและจาก ยถึง zมีลูกศรที่ไปจาก เอ็กซ์ถึง z.
ความสัมพันธ์ “อีกต่อไป” บนชุดของเซ็กเมนต์ก็มีคุณสมบัติการผ่านผ่านเช่นกัน: ถ้าเซกเมนต์นั้น กยาวกว่าส่วน ข, ส่วนของเส้นตรง ขยาวกว่าส่วน กับจากนั้นส่วน กยาวกว่าส่วน กับ.ความสัมพันธ์ของ "ความเท่าเทียมกัน" บนชุดของเซ็กเมนต์ก็มีคุณสมบัติของการผ่านผ่านเช่นกัน: (ก=ข, ข=ค)(ก=ค)
มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีสมบัติการผ่านผ่าน ความสัมพันธ์ดังกล่าวคือ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ของการตั้งฉาก: ถ้าเป็นเซ็กเมนต์ กตั้งฉากกับส่วน ขและส่วน ขตั้งฉากกับส่วน กับจากนั้นส่วนต่างๆ กและ กับไม่ตั้งฉาก!
มีทรัพย์สินของความสัมพันธ์อีกประการหนึ่งซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติของความเชื่อมโยง และความสัมพันธ์ที่มีสิ่งนี้เรียกว่าการเชื่อมต่อ
ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า เชื่อมต่อ,หากเป็นองค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์และ ยจากชุดนี้เงื่อนไขจะเป็นที่พอใจ: ถ้า เอ็กซ์และ ยแตกต่างกันแล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง เอ็กซ์มีความสัมพันธ์กัน รด้วยองค์ประกอบ ยหรือองค์ประกอบ ยมีความสัมพันธ์กัน รด้วยองค์ประกอบ เอ็กซ์- การใช้สัญลักษณ์สามารถเขียนได้ดังนี้: เอ็กซ์ซีเอ็กซ์เรย์หรือ คุณRx.
ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ “มากกว่า” สำหรับจำนวนธรรมชาติมีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงกัน สำหรับจำนวน x และ y ที่แตกต่างกันใดๆ เราสามารถระบุได้ x>y, หรือ ใช่>x
ในกราฟความสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อกัน จุดยอดสองจุดใดๆ จะเชื่อมต่อกันด้วยลูกศร ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน
มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงกัน ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ดังกล่าวคือความสัมพันธ์ของการหารลงตัวของเซตของจำนวนธรรมชาติ เราสามารถตั้งชื่อตัวเลขดังกล่าวว่า x และ ยไม่ว่าจะเป็นหมายเลขใดก็ตาม เอ็กซ์ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน ยหรือตัวเลข ยไม่ใช่ตัวหารของจำนวน เอ็กซ์(ตัวเลข 17 และ 11 , 3 และ 10 ฯลฯ) .
ลองดูตัวอย่างบางส่วน ในชุด X=(1, 2, 4, 8, 12)ให้ความสัมพันธ์ "หมายเลข" เอ็กซ์หลายจำนวน ย- มาสร้างกราฟของความสัมพันธ์นี้และกำหนดคุณสมบัติของมันกัน
ความสัมพันธ์ของความเท่ากันของเศษส่วนเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เท่ากัน
ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันถ้ามันมีคุณสมบัติสะท้อนแสง สมมาตร และทรานซิติวิตี้ไปพร้อมๆ กัน
ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ได้แก่ ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของรูปทรงเรขาคณิต ความสัมพันธ์ของความขนานของเส้น (โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นที่ประชิดกันจะถือว่าขนานกัน)
ในความสัมพันธ์ของ “ความเท่ากันของเศษส่วน” ที่กล่าวถึงข้างต้น เซต เอ็กซ์แบ่งออกเป็นสามชุดย่อย: ( ; ; }, {; } , - เซตย่อยเหล่านี้ไม่ได้ตัดกัน และการรวมกันจะเกิดขึ้นพร้อมกับเซตนั้น เอ็กซ์, เช่น. เรามีพาร์ติชั่นของชุดเป็นคลาส
ดังนั้น, หากกำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันให้กับเซต X มันจะสร้างพาร์ติชั่นของเซตนี้ให้เป็นเซตย่อยที่ไม่เชื่อมต่อแบบคู่ - คลาสที่เทียบเท่า
ดังนั้นเราจึงได้กำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมไว้ในฉากนี้แล้ว
เอ็กซ์=( ;; ; ; ; ) สอดคล้องกับพาร์ติชันของเซตนี้เป็นคลาสที่เทียบเท่า ซึ่งแต่ละคลาสประกอบด้วยเศษส่วนที่เท่ากัน
หลักการแบ่งเซตออกเป็นคลาสต่างๆ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเป็นหลักการสำคัญของคณิตศาสตร์ ทำไม
ประการแรก เทียบเท่า หมายถึง เทียบเท่า ใช้แทนกันได้ ดังนั้นองค์ประกอบของคลาสความเท่าเทียมกันจึงสามารถใช้แทนกันได้ ดังนั้นเศษส่วนที่อยู่ในคลาสเทียบเท่าเดียวกัน (; ; ) แยกไม่ออกจากมุมมองของความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและเศษส่วน สามารถถูกแทนที่ด้วยสิ่งอื่นได้เช่น . และการแทนที่นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงผลการคำนวณ
ประการที่สอง เนื่องจากคลาสความเท่าเทียมกันมีองค์ประกอบที่ไม่สามารถแยกแยะได้จากมุมมองของความสัมพันธ์บางอย่าง จึงเชื่อกันว่าคลาสความเท่าเทียมกันถูกกำหนดโดยตัวแทนคนใดคนหนึ่ง เช่น องค์ประกอบตามอำเภอใจของชั้นเรียน ดังนั้นจึงสามารถระบุคลาสที่มีเศษส่วนเท่ากันได้โดยการระบุเศษส่วนที่อยู่ในคลาสนี้ คลาสที่เทียบเท่าโดยตัวแทนหนึ่งคนทำให้คุณสามารถศึกษาชุดของตัวแทนจากคลาสที่เทียบเท่าแทนองค์ประกอบทั้งหมดของเซต ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูล "เพื่อให้มีจำนวนจุดยอดเท่ากัน" ซึ่งกำหนดบนชุดของรูปหลายเหลี่ยม จะสร้างพาร์ติชันของชุดนี้ออกเป็นคลาสต่างๆ ของสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น คุณสมบัติที่มีอยู่ในบางประเภทจะได้รับการพิจารณาจากตัวแทนคนใดคนหนึ่ง
ประการที่สาม การแบ่งชุดออกเป็นคลาสโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่ากันจะถูกนำมาใช้เพื่อแนะนำแนวคิดใหม่ ตัวอย่างเช่น แนวคิดของ "มัดเส้น" สามารถกำหนดได้ว่าเส้นคู่ขนานมีอะไรเหมือนกัน
ความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกประเภทหนึ่งคือความสัมพันธ์ตามลำดับ ลองพิจารณาปัญหาในกองถ่าย เอ็กซ์={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) ความสัมพันธ์ “มีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3 - ความสัมพันธ์นี้จะสร้างพาร์ติชันของชุด เอ็กซ์แบ่งเป็นชั้นเรียน: ตัวเลขทั้งหมดจะตกอยู่ในหนึ่งเมื่อหารด้วย 3 มันกลายเป็นส่วนที่เหลือ 0 (นี่คือตัวเลข 3, 6, 9 - ในวินาที - ตัวเลขเมื่อหารด้วย 3 ส่วนที่เหลือคือ 1 (นี่คือตัวเลข 4, 7, 10 - ที่สามจะมีตัวเลขทั้งหมดที่เมื่อหารด้วย 3 ส่วนที่เหลือคือ 2 (นี่คือตัวเลข 5, 8 - อันที่จริงเซตผลลัพธ์จะไม่ตัดกันและการรวมกันของเซตนั้นจะเกิดขึ้นพร้อมกัน เอ็กซ์- ดังนั้นความสัมพันธ์ “จะมีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3 " ซึ่งกำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
อีกตัวอย่างหนึ่ง นักเรียนจำนวนมากในชั้นเรียนสามารถจัดเรียงตามส่วนสูงหรืออายุได้ โปรดทราบว่าความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติของการต่อต้านสมมาตรและการเปลี่ยนแปลง หรือทุกคนรู้ลำดับของตัวอักษรในตัวอักษร มันมาจากทัศนคติ "ควร"
ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดถ้ามันมีคุณสมบัติต่อต้านสมมาตรและทรานซิติวิตี้พร้อมกัน เช่น ความสัมพันธ์ " เอ็กซ์< ย».
หากความสัมพันธ์มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ปฏิสมมาตร และทรานซิติวิตี ก็จะเป็นเช่นนั้น ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด- เช่น ความสัมพันธ์" เอ็กซ์ย».
ตัวอย่างของความสัมพันธ์เชิงลำดับ ได้แก่ ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" บนชุดของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์ "สั้นกว่า" บนชุดเซ็กเมนต์ หากความสัมพันธ์เชิงลำดับมีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงด้วย ก็กล่าวได้ว่าเป็นเช่นนั้น ความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น- ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ
พวงของ เอ็กซ์เรียกว่า เป็นระเบียบเรียบร้อยหากมีการระบุความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อไว้
ตัวอย่างเช่นมากมาย เอ็กซ์={2, 8, 12, 32 ) สามารถเรียงลำดับได้โดยใช้ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" (รูปที่ 41) หรือสามารถทำได้โดยใช้ความสัมพันธ์ "หลายรายการ" (รูปที่ 42) แต่เนื่องจากความสัมพันธ์แบบลำดับ ความสัมพันธ์แบบ "น้อยกว่า" และ "หลายตัว" จึงจัดลำดับเซตของจำนวนธรรมชาติในรูปแบบที่ต่างกัน ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวจากชุดได้ เอ็กซ์แต่ความสัมพันธ์ "หลายรายการ" ไม่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นตัวเลขสองสามตัว 8 และ 12 ไม่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ “หลายอย่าง” ไม่สามารถพูดอย่างนั้นได้ 8 หลายรายการ 12 หรือ 12 หลายรายการ 8.
เราไม่ควรคิดว่าความสัมพันธ์ทั้งหมดแบ่งออกเป็นความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์ของระเบียบ มีความสัมพันธ์จำนวนมากที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือความสัมพันธ์เชิงลำดับ
คำว่า "สั่ง" มักใช้ในประเด็นต่างๆ เจ้าหน้าที่ออกคำสั่ง: "ตามลำดับของตัวเลขคำนวณ" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการในลำดับที่แน่นอนนักกีฬาจะถูกจัดอันดับตามความสูงมีคำสั่งสำหรับการดำเนินการเมื่อทำชิ้นส่วนและลำดับของคำ ในประโยค
เป็นเรื่องปกติในทุกกรณีเมื่อพูดถึงคำสั่งซื้อ? ความจริงก็คือคำว่า "ลำดับ" มีความหมายดังต่อไปนี้: หมายความว่าองค์ประกอบใดของชุดที่กำหนดจะตามหลังสิ่งใด (หรือองค์ประกอบใดอยู่ข้างหน้า)
ทัศนคติ " เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่" สกรรมกริยา: ถ้า " เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่" และ " ที่ดังต่อไปนี้ z", ที่ " xดังต่อไปนี้ z- นอกจากนี้ ความสัมพันธ์นี้จะต้องไม่สมมาตร: สำหรับสองความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน เอ็กซ์และ ที่, ถ้า เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่, ที่ ที่ไม่ปฏิบัติตาม เอ็กซ์.
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านสมมาตร
ให้เราค้นหาคุณสมบัติของกราฟและกราฟความสัมพันธ์ของลำดับที่เข้มงวด
ลองดูตัวอย่าง ในชุด เอ็กซ์= (5, 7, 10, 15, 12) อัตราส่วนที่กำหนด ร: « เอ็กซ์ < ที่- ให้เรากำหนดความสัมพันธ์นี้โดยการแสดงรายการคู่ต่างๆ
ร = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
มาสร้างกราฟกัน เราจะเห็นว่ากราฟของความสัมพันธ์นี้ไม่มีการวนซ้ำ ไม่มีลูกศรคู่บนกราฟ ถ้าจาก เอ็กซ์ลูกศรไปที่ ที่และจาก ที่- วี zจากนั้นจาก เอ็กซ์ลูกศรไปที่ z(รูปที่ 8)
กราฟที่สร้างขึ้นช่วยให้คุณสามารถจัดเรียงองค์ประกอบของชุดได้ เอ็กซ์ตามลำดับนี้:
{5, 7, 10, 12, 15}.
ในรูปที่ 6 (§ 6 ของบทนี้) คอลัมน์ VII, VIII เป็นกราฟของความสัมพันธ์ที่มีลำดับที่เข้มงวด
ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด
สิ่งที่ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” ในชุดจำนวนจริงคือความสัมพันธ์ “ไม่น้อยกว่า” มันไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เคร่งครัดอีกต่อไป ประเด็นคือเมื่อไร เอ็กซ์ = ที่ความสัมพันธ์ก็สมหวัง เอ็กซ์ ³ ที่และ ที่ ³ เอ็กซ์, เช่น. ทัศนคติ "ไม่น้อย" สะท้อนกลับได้
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวดถ้าเป็นการสะท้อนกลับ ต่อต้านสมมาตร และสกรรมกริยา
ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นการรวมตัวกันของความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดกับความสัมพันธ์ด้านอัตลักษณ์
พิจารณาความสัมพันธ์ “no more” (£) สำหรับเซตนี้
เอ็กซ์= (5, 7, 10, 15, 12) มาสร้างกราฟกันเถอะ (รูปที่ 9)
กราฟความสัมพันธ์ลำดับแบบไม่เข้มงวด ต่างจากกราฟความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวด โดยมีการวนซ้ำที่แต่ละจุดยอด
ในรูป 6 (§ 6 ของบทนี้) คอลัมน์ V, VI เป็นกราฟของความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด
ชุดที่สั่ง
ชุดหนึ่งอาจกลายเป็นได้รับคำสั่ง (ยังกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าได้รับคำสั่งอย่างสมบูรณ์) โดยความสัมพันธ์เชิงลำดับบางอย่าง ในขณะที่อีกชุดหนึ่งอาจไม่เรียงลำดับหรือถูกสั่งบางส่วนโดยความสัมพันธ์ดังกล่าว
คำนิยาม.พวงของ เอ็กซ์เรียกว่า สั่งความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อบางอย่าง รถ้าสำหรับสององค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์, ยจาก เอ็กซ์:
(เอ็กซ์, ที่) Î รหรือ ( ใช่, x) Î ร.
ถ้า รเป็นความสัมพันธ์ของการสั่งที่เข้มงวดแล้วเซต เอ็กซ์ได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์นี้: ถ้า เอ็กซ์, ที่องค์ประกอบที่ไม่เท่ากันสองรายการใดๆ ของเซต เอ็กซ์, ที่ ( เอ็กซ์, ที่) Î รหรือ ( ใช่, x) Î รหรือสององค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์, ยชุด เอ็กซ์มีความเท่าเทียมกัน
จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนจะทราบกันดีว่าชุดตัวเลข เอ็น , ซี , ถาม , ร เรียงตามความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” (<).
เซตของเซตย่อยของเซตใดเซตหนึ่งไม่ได้ถูกเรียงลำดับโดยการแนะนำความสัมพันธ์แบบรวม (I) หรือการรวมแบบเข้มงวด (S) ในความหมายข้างต้น เนื่องจาก มีชุดย่อย ซึ่งไม่มีชุดใดรวมอยู่ในชุดอื่นๆ ในกรณีนี้ เราบอกว่าเซตที่กำหนดบางส่วนได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์ Í (หรือ Ì)
พิจารณาชุด เอ็กซ์= (1, 2, 3, 4, 5, 6) และประกอบด้วยความสัมพันธ์สองค่า “น้อยกว่า” และ “หารด้วย” เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับ กราฟความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สามารถแสดงเป็นรังสีได้
กราฟของความสัมพันธ์ “หารด้วย” สามารถแสดงได้บนระนาบเท่านั้น
นอกจากนี้ กราฟของความสัมพันธ์ที่สองยังมีจุดยอดที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยลูกศร เช่น ไม่มีลูกศรเชื่อมระหว่างตัวเลข 4 และ 5 (รูปที่ 10)
ความสัมพันธ์ครั้งแรก” เอ็กซ์ < ที่“เรียกว่าเป็นเส้นตรง โดยทั่วไปแล้วถ้าความสัมพันธ์เป็นระเบียบ ร(เข้มงวดและไม่เข้มงวด) บนชุด เอ็กซ์มีทรัพย์สิน : เพื่อใดๆ เอ็กซ์, ที่Î เอ็กซ์หรือ เอ็กซ์เรย์, หรือ คุณRxแล้วเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น และเซต เอ็กซ์– ชุดเรียงลำดับเชิงเส้น
ถ้าเป็นชุด เอ็กซ์แน่นอนและประกอบด้วย nองค์ประกอบแล้วเรียงลำดับเชิงเส้น เอ็กซ์ลงมาเพื่อกำหนดหมายเลของค์ประกอบด้วยตัวเลข 1,2,3, ..., n.
ชุดที่เรียงลำดับเชิงเส้นมีคุณสมบัติหลายประการ:
1° อนุญาต ก ข ค– องค์ประกอบของชุด เอ็กซ์, เรียงลำดับตามความสัมพันธ์ ร- ถ้าจะรู้อย่างนั้น. อาร์ฟและ ใน Rсแล้วพวกเขาก็บอกว่าธาตุนั้น วีอยู่ระหว่างองค์ประกอบ กและ กับ.
2° พวงของ เอ็กซ์เรียงลำดับเชิงเส้นโดยความสัมพันธ์ รเรียกว่าไม่ต่อเนื่อง ถ้าระหว่างสององค์ประกอบใดๆ มีเพียงเซตขององค์ประกอบที่มีจำกัดของเซตนี้
3° เซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นจะเรียกว่าหนาแน่น หากองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองรายการใดๆ ของเซตนี้ มีองค์ประกอบของเซตอยู่ระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้น
2) ความสัมพันธ์บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์ ตามลำดับอย่างเคร่งครัดถ้ามันเป็นแบบแอนติสมมาตรและสกรรมกริยา เรียกว่าความสัมพันธ์ ต่อต้านสมมาตรถ้าจากข้อเท็จจริงที่ว่า a สัมพันธ์กับ c ในนั้น ไม่เป็นไปตามที่ b สัมพันธ์กับ a (a ใน ∈ X และ R ใน → ใน R a) R - มีความสัมพันธ์กันเรียกว่าความสัมพันธ์ สกรรมกริยา, ถ้าสำหรับองค์ประกอบใดๆ a, b, c จากข้อเท็จจริงที่ว่า R ในและใน R c → นั่นคือ R c, a, b, c ∈ X ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ "มาก น้อย" ชุดที่กำหนดความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดเรียกว่า สั่งมากมาย.
3) ความสัมพันธ์บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์ ไม่ได้อยู่ในลำดับที่เข้มงวดถ้าเป็นการสะท้อนกลับ ไม่สมมาตร และสกรรมกริยา ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ ≥ ≤ ถ้าความสัมพันธ์เชิงลำดับมีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงกัน ก็จะเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์ ลำดับเชิงเส้น- เรียกว่าความสัมพันธ์ ที่เกี่ยวข้องบนเซต X หากองค์ประกอบใด ๆ x และ y ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: จากข้อเท็จจริงที่ว่า x ≠ y ตามนั้น x R y หรือ y R x หากมีการกำหนดความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นให้กับเซตหนึ่งๆ ก็จะเรียงลำดับเชิงเส้นตรงของเซตที่กำหนด
5. เซตของจำนวนจริง คุณสมบัติของมัน- การขยายชุดของจำนวนตรรกยะนำไปสู่ความจำเป็นในการวัดความยาวของส่วน พื้นที่ ฯลฯ พื้นฐานของการวัดใดๆ ก็ตามมีหลักการเดียวกัน: วัตถุที่วัดจะถูกเปรียบเทียบกับมาตรฐาน (วัตถุหรือปรากฏการณ์) ซึ่งค่านั้นมีค่าตัวเลขเท่ากับ 1 แต่ส่วนของหน่วยไม่ได้ฝังอยู่ในวัตถุที่วัดเสมอไป ดังนั้น เมื่อทำการวัด จึงมีการตั้งสมมติฐานสองประการ ซึ่งในทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นสัจพจน์: 1) มาตรฐานเดียวสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนเท่าๆ กันหรือส่วนเท่าๆ กันก็ได้ 2) มาตรฐานที่เลือกสามารถใช้เพื่อวัดวัตถุใด ๆ ที่มีขนาดใหญ่ได้ตามต้องการ สำหรับเซ็กเมนต์ สัจพจน์เหล่านี้ถูกกำหนดโดยอาร์คิมิดีส: ไม่ว่าเซ็กเมนต์ AB จะเล็กแค่ไหน และไม่ว่า CD ส่วนจะใหญ่แค่ไหน ก็จะมีเลขธรรมชาติ N ที่ทำให้ N*AB>CD ถ้า CD ส่วนที่วัดมีค่าเท่ากัน จำนวนเซ็กเมนต์ AB จากนั้นความยาวของซีดีเซกเมนต์จะแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติ ถ้าใน CD ส่วนที่วัดนั้น ส่วน AB ถูกวางในจำนวนครั้งไม่เท่ากัน AB จะถูกแบ่งออกเป็น 10 ส่วนเหมือนกัน เรียกว่า 10 ของมาตรฐาน หากจำเป็นหนึ่งในสิบสามารถแบ่งออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กันเป็นต้น หากตัวเลขเท่ากัน 10, 100 ฯลฯ พอดีกับซีดีส่วน เศษส่วนของเซกเมนต์ AB จากนั้นความยาวของเซกเมนต์ CD จะแสดงเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ความยาวของส่วนไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนตรรกยะได้เสมอไป มีส่วนที่ไม่สามารถเทียบเคียงได้เช่น ส่วนความยาวไม่ได้แสดงด้วยจำนวนตรรกยะ (ทฤษฎีบทดูคำถามที่ 32)
ตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบของทศนิยมอนันต์ได้เรียกว่าจำนวนตรรกยะ การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง ()
คุณสมบัติของเซตของจำนวนจริง- 1). เซตของจุดบนเส้นจำนวนเท่ากับเซตของจำนวนจริง
0 M 1 ใช้จุด M ใด ๆ บนส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1
D วาดครึ่งวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่
จุดกึ่งกลางของส่วนนี้และรัศมี
K O S เท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน ลองวาดเส้นตั้งฉากจาก M จนกระทั่งมันตัดกับครึ่งวงกลม เราได้ D จุดนี้เป็นจุดเฉพาะ เนื่องจากครึ่งวงกลมและเส้นตรงตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น จากตรงกลางของส่วนนี้ ให้ลากเส้นตรงผ่าน D จนกระทั่งตัดกับแกนตัวเลข เราได้ค่า K ซึ่งถูกกำหนดด้วยวิธีเฉพาะ เนื่องจากเส้นตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น โดยการเลือกจุดอื่นที่ต้องการบนส่วนที่กำหนดและทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมด เราจะได้ว่าจุดใดๆ บนส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1 สอดคล้องกับจุดเดียวบนเส้นจำนวน การใช้เหตุผลในลำดับย้อนกลับเราสามารถแสดงว่าจุดใด ๆ บนเส้นจำนวนยังสอดคล้องกับจุดเดียวตั้งแต่ 0 ถึง 1 หากจุด E ใด ๆ ที่เป็นของเส้นจำนวนก็สามารถวาดได้เพียงเส้นเดียวผ่านจุด M และ E ที่ตัดครึ่งวงกลม จากครึ่งวงกลม คุณสามารถลดตั้งฉากลงไปยังส่วนที่กำหนดได้ ดังนั้นการแมปที่เหมือนกันจึงถูกสร้างขึ้นระหว่างจุดของเซ็กเมนต์ตั้งแต่ 0 ถึง 1 และจุดของเส้นจำนวนเช่น พวกมันก็มีพลังไม่แพ้กัน
2) เซตของจำนวนจริงนับไม่ได้ เช่น มันไม่เท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ
3). เซตของจำนวนจริงเป็นเซตต่อเนื่อง ความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงคือระหว่างจำนวนจริงสองตัวใดๆ จะมีเซตอนันต์ของจำนวนจริงเท่านั้น
6. การแบ่งพาร์ติชั่นเป็นคลาส ตัวอย่างของการจำแนกประเภท ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติของมัน ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและการแบ่งส่วนของเซตออกเป็นคลาส ลองดูตัวอย่าง ให้เซต M (เซตของรูปหลายเหลี่ยมนูน) เราจะสร้างเซตย่อยทั้งหมดของเซตนี้: A 1 – เซตของสามเหลี่ยม; A2 – ชุดของรูปสี่เหลี่ยม; A3 – ชุดรูปห้าเหลี่ยม; Ak คือเซตของเคกอน เซต M จะถือว่าแบ่งออกเป็นคลาสหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ทุกเซตย่อย A ไม่ว่างเปล่า
- จุดตัดกันของสองเซตย่อยใดๆ จะเป็นเซตว่าง
- การรวมกันของเซตย่อยทั้งหมดคือเซต M ที่กำหนด
เรียกว่าการแบ่งชุดเป็นคลาส การจัดหมวดหมู่.
ทัศนคติบนเซต X เรียกว่า เทียบเท่า ถ้าเป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา เรียกว่าความสัมพันธ์ สะท้อนแสงถ้าองค์ประกอบใดๆ จากเซต X มีความสัมพันธ์กับตัวเอง a ∈ X และ R a (R อยู่ในความสัมพันธ์) เรียกว่าความสัมพันธ์ สมมาตรถ้าองค์ประกอบสองตัวใดๆ ของเซต X (a และ b) จากข้อเท็จจริงที่ว่า a มีความสัมพันธ์กับ b มันจะตามมาด้วยว่า b อยู่ในความสัมพันธ์กับ a (a, b ∈ X และ R b → ใน ร ก) เรียกว่าความสัมพันธ์ สกรรมกริยาถ้าสำหรับองค์ประกอบใดๆ a, b, c จากข้อเท็จจริงที่ว่า R ในและใน R c → นั่นคือ R c, a, b, c ∈ X บนกราฟของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจะมีลูป ลูกศรผกผันร่วมกันและสามเหลี่ยม ลูกศร ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเท่านั้นที่สัมพันธ์กับพาร์ติชั่นของเซตเป็นคลาส คำสั่งนี้สามารถกำหนดเป็น ทฤษฎีบท: หากมีการระบุความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนเซต X ความสัมพันธ์นี้จะแบ่งเซต X ออกเป็นคลาส และในทางกลับกัน หากเซต X ถูกแบ่งออกเป็นคลาส ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันก็จะเป็นไปตามเซตที่กำหนด ตัวอย่างเช่น. ให้ทัศนคติได้รับ - อาศัยอยู่ในบ้านหลังเดียวกัน ให้เราแสดงว่าชุดผู้อยู่อาศัยในบ้านจะแบ่งออกเป็นชั้นเรียน และแต่ละชั้นเรียนเป็นอพาร์ตเมนต์แยกต่างหาก สำหรับการแบ่งส่วนนี้ จะต้องตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแบ่งชุดออกเป็นคลาส: ก) แต่ละคลาสไม่ว่างเปล่า เนื่องจาก ในแต่ละอพาร์ทเมนต์มีการลงทะเบียนอย่างน้อย 1 คน b) ชั้นเรียนไม่ทับซ้อนกัน (1 คนไม่ได้ลงทะเบียนในอพาร์ทเมนต์สองแห่งที่แตกต่างกัน) c) สหภาพของทุกชั้นเรียนเช่น ผู้พักอาศัยในแต่ละอพาร์ทเมนต์ และประกอบกันเป็นชุดของผู้พักอาศัยในบ้าน
18 - แนวทางเซตทฤษฎีเพื่อสร้างทฤษฎีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ความสัมพันธ์แห่งความเท่าเทียมมากขึ้น(น้อยลง) ชุด A และ B สองชุดเรียกว่าเทียบเท่าหรือมีพลังเท่ากันหากสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดเหล่านั้นได้ นั่นคือถ้าแต่ละองค์ประกอบของชุด A เชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของชุด B และในทางกลับกัน กำลังหรือจำนวนเชิงการนับเป็นคุณสมบัติที่มีอยู่ในเซต B ใดๆ ที่เทียบเท่ากับเซต A และไม่มีอยู่ในเซตอื่นใดที่ไม่เท่ากับเซต A A~B n (A) = a คือกำลัง ความสัมพันธ์ของกำลังที่เท่ากันคือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนั่นคือ คุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ความสมมาตร และการผ่านผ่านนั้นเป็นไปตามที่ต้องการ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจะแบ่งเซตของเซตทั้งหมดออกเป็นคลาสที่เท่าเทียมกัน ในการกำหนดแนวคิดของจำนวนธรรมชาติและศูนย์ ให้พิจารณาพาร์ติชันของเซตจำกัดทั้งหมด
ให้ M เป็นเซตของเซตจำกัดทั้งหมด M = K 0 Ka Kv โดยที่ Ko คือคลาสของเซตว่าง Ka คือเซตที่มีเซตเท่ากับ 1, 2, a 3 เป็นต้น Kv คือเซต ประกอบด้วยเซตที่มีจำนวนการนับเท่ากันใน 1, 2, ใน 3 เป็นต้น เซต M อาจมีเซตย่อย K อื่นๆ ที่มีลักษณะต่างกัน ซึ่งประกอบด้วยเซตที่มีกำลังเท่ากัน แต่ละคลาสที่เทียบเท่า K มีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน ไม่มีคุณสมบัติอื่นที่เหมือนกัน จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ จากมุมมองของเซต-ทฤษฎี เป็นสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดที่มีกำลังเท่ากัน จำนวนธรรมชาติเป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีจำนวนเชิงการนับเท่ากัน แต่ละคลาสถูกกำหนดให้เป็นเลขสำคัญ (เชิงการนับ) ชุดว่างของคลาสถูกกำหนดให้เป็นพิกัดหมายเลข 0 คลาสที่ประกอบด้วยชุดที่มี 1 องค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข 1 คลาสที่ประกอบด้วยเซตที่มี 2 องค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข 2 (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a)
ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน- จำนวนเต็มไม่เป็นลบ a และ b เรียกว่าเท่ากันถ้าเซต A และ B ซึ่งเป็นจำนวนที่เซตทั้งสองแสดงออกมาเท่ากัน (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( ก)=n(B) ก=ค)
ทฤษฎีบท: ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน การพิสูจน์- ขอให้เราพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันมีคุณสมบัติของสมมาตร การผ่านผ่าน และการสะท้อนกลับ
เพราะ สมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเปลี่ยนแปลงสภาพเป็นที่น่าพอใจ จากนั้นความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันก็คือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
อัตราส่วนก็น้อย- จำนวนเต็มไม่เป็นลบ a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) ทฤษฎีบท: ความสัมพันธ์ที่น้อยกว่าในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือความสัมพันธ์ที่มีลำดับอย่างเคร่งครัด หลักฐาน: ให้เราพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ที่น้อยกว่ามีคุณสมบัติของการต่อต้านสมมาตรและการเปลี่ยนแปลง C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) เอ บี ซี 1 ซี บี 1 ซี 2 19
. การบวกและการลบในทฤษฎีเชิงปริมาณของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ คุณสมบัติของพวกเขา. จำนวนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสองตัว a และ b เรียกว่าจำนวนเต็มไม่เป็นลบ เลข c ซึ่งเป็นจำนวนเชิงการนับของการรวมกันของเซต A และ B ที่ไม่ต่อเนื่องกัน ซึ่งมีจำนวนเชิงการนับเท่ากับ a และ b ตามลำดับ a+b=c, n(C)=n(АУВ), n(АУВ)=n(А)+n(В) คุณสมบัติของการบวก- 1. การบวกในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบจะมีอยู่เสมอและถูกกำหนดในลักษณะเฉพาะ ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีอยู่เสมอ พิจารณา A และ B โดยที่จุดตัดกันคือเซตว่าง และจำนวนสมาชิกของ A คือ a และภาวะเชิงการนับของ B คือ b มาหาการรวมกันของ A และ B กัน เนื่องจากการรวมกันของสองเซตที่แยกจากกันจะมีอยู่เสมอ นั่นหมายความว่าผลรวมนั้นมีอยู่ด้วย และจากคำจำกัดความของผลรวม ผลรวมดังกล่าวจึงมีการบวกอยู่เสมอ ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมถูกกำหนดด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร มี C 1 และ C 2 เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ C 1 = ก + ข และ ค 2 = ก + ข ผลรวมของตัวเลข a และ b ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเซต A และ B ที่เราเลือกจากคลาสของเซ็ตกำลังที่เท่ากัน ดังนั้นการรวมกันของ A และ B ที่นำมาจากคลาสของเซตกำลังที่เท่ากันจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก เซต A และ B เนื่องจากกำลังในแต่ละคลาสเท่ากัน ดังนั้น C 1 = C 2 2. การบวกสับเปลี่ยน สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a และ b คุณสมบัติ a+b=b+a จะเป็นค่าคงที่ จากทฤษฎีเซต เรารู้ว่าสำหรับ АУВ = ВУА หากเซตเท่ากัน ค่าตัวเลขจะเท่ากัน n(АУА)=n(ВУА) จากทฤษฎีเซต เรารู้ว่าพลังของสหภาพเท่ากับผลรวมของพลัง N(A)+n(B)=n(B)+n(A) 3. ทรัพย์สินของการสมาคม สำหรับจำนวนใดๆ a, b, c คุณสมบัติต่อไปนี้คงอยู่: a+(b+c)=(a+b)+c จากทฤษฎีเซตเป็นที่ทราบกันดีว่าการรวมชุดเข้าด้วยกันนั้นมีคุณสมบัติการเชื่อมโยงกัน: АU(ВУС)=(АУВ)UC หากชุดเท่ากัน ค่าตัวเลขจะเท่ากัน n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC) จากทฤษฎีเซต เป็นที่ทราบกันว่ากำลังของเซตนั้นเท่ากับผลรวมของกำลังของเซตเหล่านี้ n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c โดยความแตกต่างจำนวนเต็มไม่เป็นลบ a และ b เรียกว่า จำนวนเต็มไม่เป็นลบ c ซึ่งเป็นกำลังของส่วนเติมเต็มของเซต B ต่อเซต A โดยที่ B เป็นสมาชิกของ A, n(A)=a, n(B) =ข. คุณสมบัติความแตกต่าง- 1. เพื่อให้ผลต่างของจำนวนเต็มไม่เป็นลบดำรงอยู่ จำเป็นและเพียงพอที่ a มากกว่าหรือเท่ากับ b มาพิสูจน์กัน: 1) เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของความแตกต่าง ให้ไว้: a - b = c พิสูจน์: a c ตามคำจำกัดความของความแตกต่าง จะตามมาว่ามีส่วนประกอบของเซต B เข้ากับเซต A และส่วนประกอบนี้มีกำลัง ซึ่งสามารถพบได้จากความเท่าเทียมกันที่ทราบจากทฤษฎีเซต n() = n(A)-n(B) จากข้อเท็จจริงที่ว่า B เป็นสับเซตของ A จะตามมาว่าจำนวนองค์ประกอบใน B น้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบของ A. n (B) 2). เงื่อนไขที่จำเป็น ให้ค. พิสูจน์การมีอยู่ของความแตกต่าง (a-c) ถ้า a>b ตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จะมีเซต A 1 ที่ A 1 รวมอยู่ใน A และ A 1 ~B มาสร้างความแตกต่างระหว่าง A และ A 1 กัน ความแตกต่างนี้มีอยู่เสมอ (A - A 1 = C) และดังนั้นจึงมี C อยู่ ซึ่งก็คือความแตกต่างนี้ จากเงื่อนไขเหล่านี้ จะตามมาว่า C คือส่วนเติมเต็มของ A 1 ถึง A C = 1A กำลังของ C คือกำลังของส่วนเสริมของ A 1 ถึง A n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1) เนื่องจาก A 1 ~ B ดังนั้น n(A 1)=n(B) ดังนั้น n(C)=n(A)-n(B) ดังนั้น c=a-b 2. ผลต่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบพบได้ในลักษณะเฉพาะ เนื่องจากความแตกต่างคือพลังของการเสริมของเซตย่อยของเซต และส่วนเสริมถูกกำหนดด้วยวิธีเฉพาะ ดังนั้นผลต่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือ กำหนดไว้อย่างมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว 3. คุณสมบัติของการแลกเปลี่ยนและการเชื่อมโยงไม่เป็นที่พอใจสำหรับการลบ 4. การลบจำนวนเงินออกจากตัวเลข ก-(ข+ค)=(ก-ค)-ค จากทฤษฎีเซต เรียกว่า A\(BUC)=(A\B)\C และ B Ì A; ส Ì A; บัสก้า. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) ก-(ข+ค)=(ก-ค)-ค 5. การลบตัวเลขออกจากผลต่าง (a-c)-c=(a-c)-c การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของผลต่างของเซต (A\B)\C=(A\C)\B 6. การลบตัวเลขออกจากผลรวม (a+b)-c=(a-c)+c การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเซต (АУВ)\С=(А\С) УВ คุณสมบัติของฟังก์ชันตัวเลข 1. แต่ละฟังก์ชันมีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า 2. ฟังก์ชั่นสามารถเพิ่มหรือลดได้ กล่าวกันว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา a b ถ้า x1 และ x2 x1 > x2 ใดๆ ตามหลัง f (x1) > f (x2) ฟังก์ชันเรียกว่าการลดลงในช่วงเวลา a b ถ้าสำหรับ x1 และ x2 ใดๆ จากช่วงเวลานี้ จากข้อเท็จจริงที่ว่า x1 > x2 เป็นไปตาม f (x1) แม้จะไม่ได้ก็ตาม ในทางปฏิบัติ เรามักจะพบกับฟังก์ชันที่ไม่เป็นคู่หรือเป็นคู่ 4. ฟังก์ชั่นสามารถเป็นระยะ ฟังก์ชันจะเรียกว่าคาบถ้ามีตัวเลข T ตามเงื่อนไข f(x+T)=f(x) ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์) เป็นแบบคาบ< f (x0). 5.ฟังก์ชันสามารถมีจุดเอกพจน์ได้ เหล่านี้คือจุดตัดกับแกนพิกัดและจุดสุดขั้วเช่น คะแนนต่ำสุดและสูงสุด จุด x0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ถ้า X ทั้งหมดจากบริเวณใกล้เคียงของ x0 เป็นไปตามเงื่อนไข f (x) > f (x0) จุด x0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้า x ทั้งหมดอยู่ใกล้ x0 f(x) 7. ฟังก์ชันอาจมีเบรกพอยท์ เช่น ค่าเหล่านั้นของตัวแปร x ซึ่ง y ไม่มีอยู่ (ฟังก์ชันของสัดส่วนผกผัน) ย = ,ถ้า x = 0 ค้นหาบนเว็บไซต์: ปิดการใช้งาน AdBlock! คำว่า "สั่ง" มักใช้ในประเด็นต่างๆ มากมาย เจ้าหน้าที่ออกคำสั่ง: "คำนวณตามลำดับตัวเลข" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการในลำดับที่แน่นอน นักกีฬาได้รับการจัดอันดับตามความสูง ผู้เล่นหมากรุกชั้นนำทั้งหมดจะถูกจัดเรียงตามลำดับที่แน่นอนตามที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ Elo (ศาสตราจารย์ชาวอเมริกัน ผู้พัฒนาค่าสัมประสิทธิ์ระบบทำให้สามารถคำนึงถึงความสำเร็จและความล้มเหลวของผู้เล่นทั้งหมด) หลังการแข่งขันชิงแชมป์ทีมฟุตบอลทั้งหมดอยู่ในลำดับที่แน่นอน ฯลฯ มีลำดับการดำเนินการเมื่อผลิตชิ้นส่วน ลำดับคำในประโยค (พยายามทำความเข้าใจว่าประโยค "แก่เขา" หมายความว่าฉันไม่ได้ปลูกลา!” ด้วยการจัดเรียงองค์ประกอบของฉากหนึ่งๆ ทีละชิ้น ดังนั้นเราจึงจัดลำดับหรือสร้างความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างพวกมัน ตามลำดับตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือลำดับธรรมชาติของจำนวนธรรมชาติ ความเป็นธรรมชาติของมันอยู่ที่ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติสองตัวใดๆ เรารู้ว่าจำนวนใดตามหลังอีกจำนวนหนึ่งหรือจำนวนใดมากกว่าจำนวนอื่นๆ ดังนั้นเราจึงสามารถจัดเรียงจำนวนธรรมชาติตามลำดับเพื่อให้จำนวนที่มากกว่านั้นอยู่ เป็นต้น ด้านขวาของอันเล็กกว่า: 1, 2, 3, ... . แน่นอนว่าลำดับขององค์ประกอบสามารถเขียนไปในทิศทางใดก็ได้ ไม่ใช่แค่จากซ้ายไปขวา แนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติมีแนวคิดเรื่องลำดับอยู่แล้ว โดยการสร้างการจัดเรียงสัมพัทธ์ขององค์ประกอบของชุดใดๆ ก็ตาม เราจึงกำหนดความสัมพันธ์ลำดับไบนารี่ซึ่งในแต่ละกรณีอาจมีชื่อเป็นของตัวเอง เช่น "น้อยกว่า" "มีอายุมากกว่า" "ถึง มีอยู่ใน ", "ติดตาม" ฯลฯ การกำหนดสัญลักษณ์ของลำดับสามารถเปลี่ยนแปลงได้เช่น Í เป็นต้น ลักษณะเด่นที่สำคัญของความสัมพันธ์เชิงลำดับคือมันมีคุณสมบัติของการผ่านผ่าน ดังนั้นหากเรากำลังเผชิญกับลำดับของวัตถุบางอย่าง x 1, x 2, ..., xn,... เรียงลำดับตามความสัมพันธ์จากนั้นจากสิ่งที่ดำเนินการ x1x2... เอ็กซ์เอ็น...ก็ควรจะเป็นไปตามนั้นทุกคู่ x ฉัน x เจองค์ประกอบของลำดับนี้ก็ถูกเติมเต็มเช่นกัน x ฉันเอ็กซ์เจ: สำหรับธาตุคู่หนึ่ง x ฉันเจในกราฟความสัมพันธ์เราวาดลูกศรจากจุดยอด x ฉันไปด้านบน เอ็กซ์เจนั่นคือจากองค์ประกอบที่เล็กกว่าไปจนถึงองค์ประกอบที่ใหญ่กว่า กราฟความสัมพันธ์ลำดับสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้วิธีที่เรียกว่า แผนภาพฮาสส์แผนภาพ Hasse ถูกสร้างขึ้นดังนี้ องค์ประกอบที่เล็กกว่าจะถูกวางไว้ด้านล่าง และองค์ประกอบที่ใหญ่กว่าจะถูกวางไว้ที่สูงกว่า เนื่องจากกฎดังกล่าวเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอสำหรับการพรรณนา จึงมีการลากเส้นเพื่อแสดงว่าองค์ประกอบใดในสององค์ประกอบที่มีขนาดใหญ่กว่าและองค์ประกอบใดเล็กกว่าองค์ประกอบอื่น ในกรณีนี้ การวาดเฉพาะเส้นสำหรับองค์ประกอบที่อยู่ติดกันทันทีก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างของแผนภาพ Hasse แสดงในรูป: คุณไม่จำเป็นต้องใส่ลูกศรในไดอะแกรม Hasse แผนภาพ Hasse สามารถหมุนได้ในระนาบ แต่ไม่สามารถหมุนได้ตามใจชอบ เมื่อหมุนจำเป็นต้องรักษาตำแหน่งสัมพัทธ์ (บน - ล่าง) ของจุดยอดของแผนภาพ: ทัศนคติ รในความอุดมสมบูรณ์ เอ็กซ์เรียกว่า ทัศนคติของการสั่งซื้อที่เข้มงวดถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและไม่สมมาตร ชุดที่กำหนดความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดเรียกว่า สั่งตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติเรียงลำดับตามความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" แต่ชุดเดียวกันนี้ยังได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์อื่น - "แบ่งออกเป็น" และ "เพิ่มเติม" กราฟของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ในชุดของจำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นรังสีได้: ทัศนคติ รวี เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ คำสั่งที่ไม่เข้มงวด (บางส่วน)ถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านสมมาตร ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่ไม่เข้มงวดใดๆ ก็สามารถสะท้อนกลับได้ ฉายา "บางส่วน" เป็นการแสดงออกถึงความจริงที่ว่าบางทีองค์ประกอบทั้งหมดของเซตอาจไม่สามารถเทียบเคียงได้ในแง่ที่กำหนด ตัวอย่างทั่วไปของความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนคือความสัมพันธ์ "ไม่มากกว่า" "ไม่น้อยกว่า" และ "ไม่มากกว่า" อนุภาค "ไม่ใช่" ในชื่อของความสัมพันธ์ทำหน้าที่เพื่อแสดงการสะท้อนกลับ ความสัมพันธ์ “ไม่เกิน” เกิดขึ้นพร้อมกับความสัมพันธ์ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ” และความสัมพันธ์ “ไม่น้อยกว่า” ก็เหมือนกับความสัมพันธ์ “มากกว่าหรือเท่ากับ” ในเรื่องนี้เรียกอีกอย่างว่าคำสั่งซื้อบางส่วน ไม่เข้มงวดตามลำดับ บ่อยครั้งที่ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วน (ไม่เข้มงวด) จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" ความสัมพันธ์แบบรวม Í ระหว่างเซตย่อยของเซตใดเซตหนึ่งก็เป็นลำดับบางส่วนเช่นกัน แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกๆ สองเซ็ตย่อยจะเทียบเคียงได้ในส่วนนี้ รูปด้านล่างแสดงลำดับการรวมบางส่วนบนเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซต (1,2,3) ลูกศรบนกราฟที่ควรชี้ขึ้นจะไม่แสดง ชุดที่ได้รับคำสั่งบางส่วนจะถูกเรียก สั่งบางส่วน,หรือเพียงแค่ สั่งชุด องค์ประกอบ เอ็กซ์และ ที่ชุดสั่งบางส่วนเรียกว่า เปรียบเทียบกับเราถ้า เอ็กซ์ที่หรือ ที่เอ็กซ์ไม่อย่างนั้นก็เทียบไม่ได้ ชุดเรียงลำดับซึ่งมีสององค์ประกอบใด ๆ ที่สามารถเทียบเคียงได้เรียกว่า สั่งเป็นเส้นตรงและลำดับนั้นเป็นลำดับเชิงเส้น ลำดับเชิงเส้นเรียกอีกอย่างว่าลำดับที่สมบูรณ์แบบ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่มีลำดับธรรมชาติ รวมถึงเซตย่อยทั้งหมดจะถูกเรียงลำดับเชิงเส้น สามารถสั่งซื้อวัตถุที่มีลักษณะหลากหลายที่สุดได้ ตามลำดับชั้นนี่คือตัวอย่างบางส่วน. ตัวอย่างที่ 1: ส่วนของหนังสือถูกจัดเรียงเพื่อให้หนังสือมีบท บทมีส่วน และส่วนมีส่วนย่อย ตัวอย่างที่ 2 โฟลเดอร์ในระบบไฟล์ของคอมพิวเตอร์ซ้อนกันอยู่ภายใน ทำให้เกิดโครงสร้างการแยกย่อย ตัวอย่างที่ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างพ่อแม่กับลูกสามารถอธิบายได้เป็นสิ่งที่เรียกว่า แผนภูมิต้นไม้ครอบครัว,ซึ่งแสดงให้เห็นว่าใครเป็นบรรพบุรุษ (หรือลูกหลาน) ปล่อยให้อยู่ในชุด กได้รับคำสั่งบางส่วน องค์ประกอบ เอ็กซ์เรียกว่า สูงสุด (ขั้นต่ำ)องค์ประกอบของเซต A ถ้าจากข้อเท็จจริงนั้น เอ็กซ์ที่(ที่เอ็กซ์),ความเท่าเทียมกันตามมา เอ็กซ์= ยู.กล่าวอีกนัยหนึ่งคือองค์ประกอบ เอ็กซ์คือสูงสุด (ขั้นต่ำ) หากเป็นองค์ประกอบใดๆ ที่หรือว่ามันไม่จริงอย่างนั้น เอ็กซ์ที่(ที่เอ็กซ์) หรือถูกดำเนินการ เอ็กซ์=ยู.ดังนั้น องค์ประกอบสูงสุด (ขั้นต่ำ) จึงมากกว่า (เล็ก) มากกว่าองค์ประกอบทั้งหมดที่แตกต่างจากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง องค์ประกอบ เอ็กซ์เรียกว่า ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด)ถ้าเพื่อใครก็ตาม ที่Î กดำเนินการ ที่< х (х< у).
ชุดที่เรียงลำดับบางส่วนสามารถมีองค์ประกอบขั้นต่ำและ/หรือสูงสุดได้หลายองค์ประกอบ แต่ไม่สามารถมีองค์ประกอบขั้นต่ำและสูงสุดได้มากกว่าหนึ่งองค์ประกอบ องค์ประกอบที่เล็กที่สุด (ใหญ่ที่สุด) ก็เป็นองค์ประกอบขั้นต่ำ (สูงสุด) เช่นกัน แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง รูปทางด้านซ้ายแสดงลำดับบางส่วนที่มีองค์ประกอบขั้นต่ำสององค์ประกอบและสูงสุดสององค์ประกอบ และทางด้านขวาแสดงลำดับบางส่วนที่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด: ในชุดที่มีลำดับบางส่วนที่มีขอบเขตจำกัด จะมีองค์ประกอบขั้นต่ำและสูงสุดอยู่เสมอ ชุดคำสั่งที่มีองค์ประกอบใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดเรียกว่า ถูก จำกัด.รูปนี้แสดงตัวอย่างเซตที่มีขอบเขตอนันต์ แน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาชุดอนันต์บนหน้าที่จำกัด แต่คุณสามารถแสดงหลักการสร้างได้ ในกรณีนี้จะไม่แสดงลูปใกล้กับจุดยอดเพื่อทำให้การวาดง่ายขึ้น ด้วยเหตุผลเดียวกัน ส่วนโค้งที่แสดงคุณสมบัติการผ่านผ่านจะไม่แสดง รูปภาพนี้แสดงแผนภาพ Hasse ของความสัมพันธ์ลำดับ เซตอนันต์อาจไม่มีองค์ประกอบสูงสุดหรือต่ำสุด หรือทั้งสองอย่าง ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติ (1,2, 3, ...) มีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดคือ 1 แต่ไม่มีค่าสูงสุด เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่มีลำดับธรรมชาติไม่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด อย่างไรก็ตามเซตย่อยประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด เอ็กซ์<
5 มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (หมายเลข 5) แต่ไม่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด
7. แนวคิดเรื่องทูเพิลของคู่อันดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตและคุณสมบัติของเซต จำนวนองค์ประกอบในผลคูณของเซตที่ลดลง หากต้องการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต ให้พิจารณาแนวคิดดังกล่าว คาราวาน- แนวคิดนี้ เช่นเดียวกับแนวคิดเรื่องเซต เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ไม่มีกำหนด สำหรับทูเพิล ลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ องค์ประกอบในทูเพิลสามารถทำซ้ำได้ จำนวนองค์ประกอบในทูเพิลที่กำหนดเรียกว่าความยาว สิ่งอันดับความยาว 2 เรียกว่าคู่อันดับ บัตรถูกกำหนดโดย () หรือ< >- × เป็นการกำหนดผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต (ก,ข,ก); (ก,ข,ค) ≠ (ข,ก,ค); (ก,อี,ค)=(ก,อี,ค) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เป็นเซตที่ประกอบด้วยคู่เรียงลำดับทั้งหมด โดยส่วนประกอบแรกเป็นองค์ประกอบของชุดแรก และส่วนประกอบที่สองเป็นองค์ประกอบของชุดที่สอง A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) คุณสมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต (DPM) DPM ไม่มีคุณสมบัติของการสับเปลี่ยนและความเชื่อมโยง: A×B≠B×A คุณสมบัติการกระจายของ DPM เป็นที่พอใจ: 1) เทียบกับการรวมกันของเซต A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) เกี่ยวกับจุดตัดของเซต A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) หากต้องการค้นหาจำนวนองค์ประกอบใน DP ในชุดตั้งแต่สองชุดขึ้นไป คุณจำเป็นต้องทราบจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุด ถ้าจำนวนองค์ประกอบเป็น n ถ้า n(A)=n และ n(B)=m แล้ว n(A×B)=n*m ให้ A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm) ลองเขียน DPM A และ B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) ในแต่ละบรรทัด มี em-pairs เส้นดังกล่าว en หมายความว่าจำนวนรายการทั้งหมดที่แสดงเป็น em บน en pair ดังนั้นจำนวนองค์ประกอบใน DPM A และ B จึงเท่ากับผลคูณของจำนวนองค์ประกอบในชุด A และ จำนวนองค์ประกอบในชุด B 8. แนวคิดของการโต้ตอบระหว่างชุด วิธีการระบุการปฏิบัติตาม ประเภทของจดหมายโต้ตอบ ความสอดคล้อง ef ระหว่างองค์ประกอบของเซต X และ Y เรียกว่าสามเซต (X;U; G f (ji จาก ef), ji จาก ef เป็นเซตย่อยของ DP (ผลคูณคาร์ทีเซียน) เซต X เรียกว่า ขอบเขตการเดินทาง ชุด Y เรียกว่าขอบเขตการมาถึง ji จาก ef - เรียกว่ากราฟของการติดต่อนี้ โดเมนของการพิจารณาการติดต่อ ef คือชุดขององค์ประกอบเหล่านั้นของชุดแรก (เช่น พื้นที่ออกเดินทาง) ถึง ซึ่งองค์ประกอบของชุดที่สองสอดคล้องกัน (เช่น ชุดของค่าการติดต่อ ef คือชุดขององค์ประกอบของพื้นที่ขาเข้าที่ได้รับมอบหมายให้สอดคล้องกับองค์ประกอบบางส่วนของพื้นที่ออกเดินทาง วิธีการระบุจดหมายโต้ตอบ: การแสดงรายการองค์ประกอบ การใช้กราฟ การใช้กราฟ การใช้ตาราง วาจา พีชคณิต เช่น สมการอสมการ ประเภทของจดหมายโต้ตอบ จดหมายโต้ตอบจะถูกเรียกว่า ทุกที่ที่กำหนดไว้หากพื้นที่ส่งตรงกับพื้นที่กำหนด ในกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว ลูกศรอย่างน้อยหนึ่งลูกจะแยกออกจากแต่ละองค์ประกอบของชุดแรก เรียกว่าการปฏิบัติตาม การผ่าตัดหากชุดค่าของมันตรงกับภูมิภาคที่มาถึง ในกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว ลูกศรอย่างน้อย 1 อันตรงกับแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 2 เรียกว่าการปฏิบัติตาม ฉีดหากไม่มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันของชุดที่ 1 ตรงกับองค์ประกอบเดียวกันของชุดที่ 2 ในกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว ไม่มีองค์ประกอบของชุดที่ 2 ที่จับคู่กับลูกศรมากกว่า 1 อัน เรียกว่าการปฏิบัติตาม การทำงานถ้าแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 สอดคล้องกับไม่เกิน 1 องค์ประกอบของชุดที่ 2 บนกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว หากมีลูกศรเพียง 1 ลูกศรที่แยกออกจากแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 เรียกว่าการติดต่อตามหน้าที่ การทำงาน- ในบรรดาจดหมายโต้ตอบเชิงหน้าที่ทั้งหมด มีจดหมายโต้ตอบที่กำหนดในระดับสากลซึ่งเรียกว่า แสดง- เรียกว่าการปฏิบัติตาม หนึ่งต่อหนึ่งหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 1) สององค์ประกอบที่แตกต่างกันของเซต X สอดคล้องกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันของเซต Y 2) องค์ประกอบใดๆ ของเซต Y สอดคล้องกับอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของเซต X ความสอดคล้องสองรายการระหว่าง เซต X และ Y ถูกเรียก ตรงข้ามหากกราฟของพวกเขาเสริมผลคูณคาร์ทีเซียนของ X และ Y ร่วมกัน เรียกว่าการโต้ตอบ ย้อนกลับต่อการโต้ตอบที่กำหนด หากการโต้ตอบนั้นถืออยู่ก็ต่อเมื่อการสนทนาถือเท่านั้น หากการโต้ตอบที่กำหนดเป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต X และ Y ดังนั้นการโต้ตอบแบบผกผันจะเป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต X และ Y เพื่อให้ได้ค่าความสอดคล้องผกผันกับเซตที่กำหนด บนกราฟจำเป็นต้องเปลี่ยนทิศทางของลูกศร
9.การปฏิบัติตามหน้าที่ คุณสมบัติของฟังก์ชันตัวเลข เรียกว่าการปฏิบัติตาม การทำงานถ้าแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 สอดคล้องกับไม่เกิน 1 องค์ประกอบของชุดที่ 2 บนกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว หากมีลูกศรเพียง 1 ลูกศรที่แยกออกจากแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 การติดต่อเชิงฟังก์ชันที่กำหนดบนชุดตัวเลขเรียกว่า ตัวเลขเรียกว่า การทำงาน-< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
เว็บไซต์ปี 2558-2563 - รายชื่อติดต่อ - เพิ่มเติมล่าสุด
จำเป็นมาก
