• สุขภาพ
• การตั้งครรภ์
• เด็ก
• ความสัมพันธ์
• การคลอดบุตร

วงแหวนของจำนวนเต็ม p-adic ปัญหาการแสดงข้อมูล ชุดของจำนวนเต็มเป็นวงแหวน

ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ เช่นเดียวกับการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในเทคโนโลยี มักมีสถานการณ์ที่การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตไม่ได้ดำเนินการกับตัวเลข แต่กับวัตถุที่มีลักษณะแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น การบวกเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ การบวกเวกเตอร์ การดำเนินการกับพหุนาม การดำเนินการเกี่ยวกับการแปลงเชิงเส้น ฯลฯ

คำจำกัดความ 1 วงแหวนคือชุดของออบเจกต์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีการกำหนดการกระทำสองอย่าง - "การบวก" และ "การคูณ" ซึ่งเปรียบเทียบคู่ขององค์ประกอบที่มีลำดับกับ "ผลรวม" และ "ผลคูณ" ซึ่งเป็นองค์ประกอบของชุดเดียวกัน การดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

1.a+b=b+a(การเปลี่ยนแปลงของการบวก).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(การเชื่อมโยงของการบวก).

3. มีองค์ประกอบศูนย์ 0 เช่นนั้น เอ+0=เอ, สำหรับใด ๆ เอ.

4. สำหรับใครก็ได้ เอมีองค์ประกอบตรงข้าม − เอดังนั้น เอ+(−เอ)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(การกระจายด้านซ้าย).

5".c(a+b)=ca+cb(การกระจายสิทธิ์).

ข้อกำหนด 2, 3, 4 หมายความว่าชุดของออบเจกต์ทางคณิตศาสตร์สร้างกลุ่ม และร่วมกับรายการที่ 1 เรากำลังจัดการกับกลุ่มสับเปลี่ยน (Abelian) ในส่วนที่เกี่ยวกับการบวก

ดังที่เห็นได้จากคำจำกัดความ ในคำจำกัดความทั่วไปของวงแหวน ไม่มีข้อจำกัดใดๆ ในการคูณ ยกเว้นการแจกแจงด้วยการเติม อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์ต่าง ๆ จำเป็นต้องพิจารณาแหวนที่มีข้อกำหนดเพิ่มเติม

6. (ab)c=a(bc)(ความเชื่อมโยงของการคูณ).

7.ab=ba(การสับเปลี่ยนของการคูณ).

8. การมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์ 1 เช่น เช่น เอ 1=1 a=a, สำหรับองค์ประกอบใด ๆ เอ.

9. สำหรับองค์ประกอบใด ๆ ขององค์ประกอบ เอมีองค์ประกอบผกผัน เอ-1 เช่นนั้น อ้า −1 =เอ −1 ก= 1.

ในวงแหวนต่างๆ 6, 7, 8, 9 สามารถทำได้ทั้งแบบแยกและผสมกัน

วงแหวนจะเรียกว่าการเชื่อมโยงกันหากเป็นไปตามเงื่อนไข 6 การสับเปลี่ยนหากเป็นไปตามเงื่อนไข 7 การสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงหากเป็นไปตามเงื่อนไข 6 และ 7 วงแหวนจะเรียกว่าวงแหวนที่มีหน่วยหากเป็นไปตามเงื่อนไข 8

ตัวอย่างแหวน:

1. ชุดเมทริกซ์สี่เหลี่ยม

จริงๆ. การปฏิบัติตามคะแนน 1-5, 5 "นั้นชัดเจน องค์ประกอบศูนย์คือเมทริกซ์ศูนย์ นอกจากนี้ ยังดำเนินการจุดที่ 6 (ความเชื่อมโยงของการคูณ) จุดที่ 8 (องค์ประกอบของหน่วยคือเมทริกซ์เอกลักษณ์) จุดที่ 7 และ 9 ไม่ได้ดำเนินการเพราะในกรณีทั่วไป การคูณของเมทริกซ์กำลังสองนั้นไม่สลับกัน และไม่มีการผกผันกับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเสมอไป

2. เซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด

3. เซตของจำนวนจริงทั้งหมด

4. เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

5. เซตของจำนวนเต็มทั้งหมด

คำจำกัดความ 2 ระบบของตัวเลขใด ๆ ที่มีผลรวมส่วนต่างและผลคูณของตัวเลขสองตัวใด ๆ เรียกว่า แหวนตัวเลข.

ตัวอย่างที่ 2-5 คือวงแหวนตัวเลข วงแหวนตัวเลขยังเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เช่นเดียวกับจำนวนเต็มทั้งหมดที่หารด้วยจำนวนธรรมชาติ n ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ โปรดทราบว่าชุดของเลขคี่ไม่ใช่เสียงกริ่งตั้งแต่ ผลรวมของเลขคี่สองตัวเป็นเลขคู่

คำนิยาม:

ผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็ม p-adic ที่กำหนดโดยลำดับ u คือจำนวนเต็ม p-adic ที่กำหนดตามลำดับโดยลำดับ u

เพื่อให้แน่ใจในความถูกต้องของคำจำกัดความนี้ เราต้องพิสูจน์ว่าลำดับและกำหนดจำนวนเต็มบางจำนวน - เลขเอดิก และตัวเลขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการเลือกลำดับที่กำหนดเท่านั้น คุณสมบัติทั้งสองนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการตรวจสอบที่ชัดเจน

เห็นได้ชัดว่า เมื่อพิจารณาจากนิยามของการกระทำกับจำนวนเต็ม - เลขแอดิกแล้ว พวกมันจะสร้างวงแหวนสื่อสารที่มีวงแหวนของจำนวนตรรกยะจำนวนเต็มเป็นวงแหวนย่อย

การหารของจำนวนเต็ม - ตัวเลข adic ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับวงแหวนอื่น ๆ : หากมีจำนวนเต็ม - จำนวน adic ที่

ในการศึกษาคุณสมบัติของการหาร สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าจำนวนเต็มเหล่านั้นคืออะไร - เลขเอดิก ซึ่งมีจำนวนเต็มส่วนกลับ - เลขเอดิก ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าตัวหารหน่วยหรือหน่วย เราจะเรียกพวกเขาว่า - หน่วยโฆษณา

ทฤษฎีบท 1:

จำนวนเต็มคือจำนวน adic ที่กำหนดโดยลำดับถ้าเป็นหนึ่งเมื่อเท่านั้น

การพิสูจน์:

อนุญาต เป็นหน่วย แล้วมีจำนวนเต็ม - เลขเอดิกนั่น หากถูกกำหนดโดยลำดับเงื่อนไขก็หมายความว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งและด้วยเหตุนี้ ในทางกลับกัน ให้ จากเงื่อนไขมันได้อย่างง่ายดายตามนั้นดังนั้น ดังนั้นสำหรับใครก็ตามสามารถพบว่าการเปรียบเทียบนั้นถูกต้อง นับแต่นั้นเป็นต้นมา ซึ่งหมายความว่าลำดับจะกำหนดจำนวนเต็ม - จำนวน adic การเปรียบเทียบแสดงว่า i.e. ซึ่งเป็นหน่วย

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ ถือว่าเป็นองค์ประกอบของแหวนถ้าเท่านั้นแล้วเป็นหน่วยเมื่อ ถ้าตรงตามเงื่อนไขนี้ มันตามมาว่าจำนวนเต็มตรรกยะ b หารด้วย a ในนั่นคือ ว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ของรูปแบบ b/a โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และมีอยู่ในจำนวนตรรกยะของแบบฟอร์มนี้เรียกว่า -จำนวนเต็ม พวกมันก่อตัวเป็นวงแหวนที่ชัดเจน ผลลัพธ์ของเราสามารถกำหนดได้ดังนี้:

ผลที่ตามมา:

วงแหวนของจำนวนเต็ม - ตัวเลข adic ประกอบด้วยวงแหวนย่อย แหวน isomorphic- จำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม

ตัวเลข p-adic เศษส่วน

คำนิยาม:

เศษส่วนของรูปแบบ k >= 0 กำหนดจำนวน p-adic ที่เป็นเศษส่วนหรือเพียงแค่ตัวเลข p-adic เศษส่วนสองส่วน และหาเลข p-adic เดียวกัน ถ้า c

การรวบรวมหมายเลข p-adic ทั้งหมดแสดง p ง่ายต่อการตรวจสอบว่าการดำเนินการของการบวกและการคูณดำเนินต่อไปจาก p ถึง p และเปลี่ยน p เป็นฟิลด์

2.9. ทฤษฎีบท. ทุกหมายเลข p-adic จะแสดงในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน

โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและเป็นหน่วยของวงแหวน p

2.10. ทฤษฎีบท. ตัวเลข p-adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ สามารถแสดงในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันได้

คุณสมบัติ:ฟิลด์ของตัวเลข p-adic ประกอบด้วยฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเลขจำนวนเต็ม p-adic ใดๆ ที่ไม่ใช่ผลคูณของ p นั้นกลับด้านในวงแหวน p และจำนวนเต็มของ p นั้นเขียนอย่างไม่ซ้ำกันในรูปแบบที่ x ไม่ใช่ผลคูณของ p ดังนั้นจึงไม่สามารถแปลงกลับได้ ก. ดังนั้นองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟิลด์ p สามารถเขียนในรูปแบบที่ x ไม่ใช่ผลคูณของ p แต่ m เป็นค่าใดๆ ถ้า m เป็นค่าลบ ตามการแทนค่าของจำนวนเต็ม p-adic เป็นลำดับของตัวเลขในระบบเลข p-ary เราสามารถเขียนเลข p-adic ดังกล่าวเป็นลำดับ กล่าวคือ แสดงอย่างเป็นทางการว่า เศษส่วน p-ary ที่มีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมจำกัด และอาจเป็นจำนวนอนันต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ก่อนจุดทศนิยม การแบ่งตัวเลขดังกล่าวสามารถทำได้เช่นเดียวกันกับกฎ "โรงเรียน" แต่เริ่มต้นด้วยตัวเลขที่ต่ำกว่าแทนที่จะเป็นตัวเลขที่สูงขึ้น

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากหลักสูตรการเขียนโปรแกรมว่าจำนวนเต็มสามารถแสดงได้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ในรูปแบบต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการอธิบาย: เป็นค่าของชนิด integer หรือ real หรือ string ในเวลาเดียวกัน ในภาษาการเขียนโปรแกรมส่วนใหญ่ เข้าใจจำนวนเต็มเป็นตัวเลขจากช่วงที่จำกัดมาก: กรณีทั่วไปคือตั้งแต่ -2 15 = -32768 ถึง 2 15 - 1 = 32767 ระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์จัดการกับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบดังกล่าวสามารถคำนวณและแสดงตัวเลข เช่น 1,000 ในรูปแบบทศนิยม! (มากกว่าหนึ่งพันตัวอักษร)

ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาการแสดงจำนวนเต็มในรูปแบบสัญลักษณ์ และไม่ลงรายละเอียดเกี่ยวกับจำนวนหน่วยความจำที่จัดสรรให้เขียนอักขระหนึ่งตัว (บิต ไบต์ หรืออื่นๆ) ที่พบมากที่สุดคือการแทนจำนวนเต็มใน ระบบเลขตำแหน่ง. ระบบดังกล่าวกำหนดโดยการเลือกฐานของตัวเลข เช่น 10 ชุดของจำนวนเต็มทศนิยมมักจะอธิบายดังนี้:

คำจำกัดความที่เป็นลายลักษณ์อักษรของจำนวนเต็มทำให้เกิดความเป็นเอกลักษณ์ของการแสดงตัวเลขแต่ละจำนวนดังกล่าว และมีการใช้คำจำกัดความที่คล้ายกัน (เท่านั้น อาจใช้พื้นฐานที่แตกต่างกัน) ในระบบส่วนใหญ่ พีชคณิตคอมพิวเตอร์. การใช้การแทนค่านี้ เป็นการสะดวกที่จะใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเต็ม ในเวลาเดียวกัน การบวกและการลบเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้าง "ถูก" ในขณะที่การคูณและการหารนั้น "แพง" เมื่อประเมินความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ควรพิจารณาทั้งต้นทุนของการดำเนินการเบื้องต้น (หนึ่งบิต) และจำนวนการดำเนินการหนึ่งบิตเพื่อดำเนินการกับตัวเลขหลายหลัก ความซับซ้อนของการคูณและการหารเกิดขึ้น ประการแรก เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของความยาวของตัวเลข (สัญกรณ์ของมันในระบบตัวเลขใดๆ) จำนวนการดำเนินการเบื้องต้นจะเพิ่มขึ้นตามกฎหมายกำลังสอง ตรงกันข้ามกับ เส้นตรงสำหรับการบวกและการลบ นอกจากนี้ สิ่งที่เราเรียกว่าอัลกอริธึมการหารแบบหลายหลักนั้นจริง ๆ แล้วขึ้นอยู่กับการแจงนับ (มักจะมีนัยสำคัญมาก) ของหลักถัดไปที่เป็นไปได้ของผลหาร และแค่ใช้กฎในการหารตัวเลขหลักเดียวไม่เพียงพอ ด้วยฐานขนาดใหญ่ของระบบตัวเลข (มักจะเป็นลำดับที่ 2 30 ) วิธีนี้ไม่ได้ผล

อนุญาต เป็นจำนวนธรรมชาติ (เขียนในระบบทศนิยม). เพื่อรับบันทึกของเขา ในระบบตัวเลข -ary คุณสามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้ ( หมายถึงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข ):

ให้: จำนวนธรรมชาติในระบบเลขฐานสิบ k > 1 จำนวนธรรมชาติ ต้องการ: บันทึก A ของจำนวน A ในระบบเลข k-ary เริ่ม i:= 0 รอบในขณะที่ A > 0 bi:= A (mod k) A: = i:= i + 1 สิ้นสุดรอบ dA:= i - 1 สิ้นสุด

อัลกอริทึมต่อไปนี้ใช้เพื่อกู้คืนตัวเลขทศนิยมจากลำดับของสัญกรณ์ k-ary:

ให้: k > 1 เลขธรรมชาติ ลำดับของหลักแทนตัวเลข A ในระบบ k-ary ต้องการ: บันทึก A ของตัวเลข A ในรูปแบบทศนิยม เริ่ม A:= 0 รอบจนกระทั่งสิ้นสุดลำดับ b:= ถัดไป องค์ประกอบของลำดับ A:= A * k + b end loop End

1.2. การออกกำลังกาย. อธิบายว่าเหตุใดจึงใช้การหารเพื่อแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็น k -dial และการคูณใช้เพื่อแปลงจากระบบ k -number เป็นทศนิยม

โดยการคูณด้วย "คอลัมน์" ตัวเลขสองหลักสองหลักในระบบเลขฐานสิบ เราดำเนินการดังต่อไปนี้:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(โฆษณา + bc) + bd,

เช่น การดำเนินการคูณเลข 1 หลัก 4 ครั้ง การบวก 3 ครั้ง และการคูณ 2 ครั้งด้วยกำลังของฐานตัวเลข ซึ่งลดลงเป็นกะ เมื่อประเมินความซับซ้อน เราสามารถพิจารณาการดำเนินการเบื้องต้นทั้งหมดโดยไม่ต้องแยกด้วยน้ำหนัก (ในตัวอย่างนี้ เรามีการดำเนินการเบื้องต้น 9 รายการ) งานของการเพิ่มประสิทธิภาพอัลกอริธึมจะลดลงในแนวทางนี้เพื่อลดจำนวนการดำเนินการเบื้องต้นทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เราสามารถพิจารณาว่าการคูณเป็นการดำเนินการที่ "แพง" มากกว่าการบวก ซึ่งจะ "แพงกว่า" มากกว่ากะ พิจารณาเฉพาะการดำเนินการที่แพงที่สุดเท่านั้น เราได้รับสิ่งนั้น คูณความซับซ้อนของการคูณตัวเลขสองหลักด้วย "คอลัมน์" คือ 4

ส่วนที่ 5 พิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและประเมินความซับซ้อน

การเป็นตัวแทนที่พิจารณาแล้วไม่ได้เป็นเพียงการแสดงจำนวนเต็มตามบัญญัติบัญญัติเท่านั้น ดังที่ระบุไว้แล้ว ในการเลือกการแสดงแทนบัญญัติ เราสามารถใช้เอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวประกอบเฉพาะ การแสดงจำนวนเต็มดังกล่าวสามารถใช้ได้ในปัญหาเหล่านั้นซึ่งใช้เฉพาะการคูณและการหารเท่านั้น เนื่องจากพวกมัน "ถูก" มาก อย่างไรก็ตาม ค่าใช้จ่ายในการบวกและการลบเพิ่มขึ้นอย่างไม่สมส่วน ซึ่งทำให้ไม่สามารถใช้การแทนค่าดังกล่าวได้ ในบางปัญหา การปฏิเสธการแทนค่ามาตรฐานทำให้ความเร็วเพิ่มขึ้นอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแยกตัวประกอบบางส่วนของตัวเลขสามารถนำมาใช้ได้ วิธีการที่คล้ายกันนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อไม่ได้ใช้งานกับตัวเลข แต่ใช้กับพหุนาม

หากทราบว่าในระหว่างการทำงานของโปรแกรม จำนวนเต็มทั้งหมดที่พบในการคำนวณถูกจำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์ด้วยค่าคงที่ที่กำหนด จากนั้นให้ตั้งค่าตัวเลขดังกล่าว ระบบการตกค้างของพวกมันในโมดูลัสของจำนวนโคไพรม์บางตัว ซึ่งผลคูณมีค่าเกิน ค่าคงที่ดังกล่าวสามารถใช้ได้ การคำนวณด้วยคลาสเรซิดิวโดยทั่วไปจะเร็วกว่าเลขคณิตที่มีความแม่นยำแบบทวีคูณ และด้วยวิธีนี้ ควรใช้เลขคณิตที่มีความแม่นยำหลายตัวเมื่อป้อนหรือส่งออกข้อมูลเท่านั้น

โปรดทราบว่าพร้อมกับการแสดงตามบัญญัติในระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์นอกจากนี้ยังใช้การแสดงแทนอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควรมีหรือไม่มีเครื่องหมาย "+" หน้าจำนวนเต็มไม่ส่งผลต่อการรับรู้ของคอมพิวเตอร์ ดังนั้น สำหรับจำนวนบวก จะได้การแทนค่าที่คลุมเครือ แม้ว่ารูปแบบของจำนวนลบจะถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงก็ตาม

ข้อกำหนดอีกประการหนึ่งคือการรับรู้ตัวเลขไม่ควรได้รับผลกระทบจากการมีเลขศูนย์ก่อนเลขนัยสำคัญตัวแรก

1.3. การออกกำลังกาย.

1. ประมาณการจำนวนการคูณหนึ่งหลักที่ใช้เมื่อคูณตัวเลข m กับตัวเลข n หลักด้วยคอลัมน์
2. แสดงว่าเลขสองหลักสามารถคูณได้โดยใช้การคูณเลขหลักเดียวเพียง 3 ตัวและเพิ่มจำนวนการบวก
3. ค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการหารจำนวนยาวที่ไม่ต้องการการแจงนับจำนวนมากเพื่อค้นหาตัวเลขแรกของผลหาร
4. อธิบายอัลกอริธึมการแปล ตัวเลขธรรมชาติจากระบบเลข m -ary ถึง n -ary
5. ใน เลขโรมันสัญลักษณ์ต่อไปนี้ใช้สำหรับเขียนตัวเลข: I - หนึ่ง V - ห้า X - สิบ L - ห้าสิบ, C - หนึ่งร้อย, D - ห้าร้อย, M - หนึ่งพัน สัญลักษณ์จะถือเป็นค่าลบ หากมีสัญลักษณ์ของตัวเลขที่มากกว่าอยู่ทางด้านขวาของสัญลักษณ์นั้น และมิฉะนั้นจะเป็นค่าบวก ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1948 ในระบบนี้จะเขียนดังนี้: MCMXLVIII กำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากโรมันเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน ใช้อัลกอริทึมผลลัพธ์ในภาษาอัลกอริทึม (เช่น C ) ข้อจำกัดของข้อมูลเริ่มต้น: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. กำหนดอัลกอริธึมและเขียนโปรแกรมสำหรับบวกจำนวนธรรมชาติในการเลขโรมัน
7. เราจะบอกว่าเรากำลังติดต่อกับระบบตัวเลขด้วย แบบผสมหรือแบบเวกเตอร์หากเราได้รับเวกเตอร์ของ n จำนวนธรรมชาติ M = (m 1 , . . . ,m n) (ฐาน) และสัญกรณ์ K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) หมายถึงตัวเลข k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). เขียนโปรแกรมที่ให้ข้อมูล (วันในสัปดาห์ ชั่วโมง นาที วินาที) เป็นตัวกำหนดจำนวนวินาทีที่ผ่านไปตั้งแต่ต้นสัปดาห์ (วันจันทร์ 0, 0, 0) = 0และทำการแปลงผกผัน

วงแหวนที่มีการแนะนำความสัมพันธ์ "มากกว่าศูนย์" (แสดงโดย a > 0) เรียกว่า ตั้งอยู่แหวนหากเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการสำหรับองค์ประกอบใด ๆ ของวงแหวนนี้:

1) เงื่อนไขเดียวเท่านั้นที่เป็นจริง

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0

ชุดที่มีการแนะนำความสัมพันธ์ของคำสั่งบางอย่าง - ไม่เข้มงวด (สะท้อนกลับ, ต่อต้านสมมาตรและสกรรมกริยา) หรือเข้มงวด (ต่อต้านการสะท้อนและสกรรมกริยา) เรียกว่า เป็นระเบียบ. ถ้าเป็นไปตามกฎไตรโคโตมีแล้ว เซตจะเรียกว่า เชิงเส้นเป็นระเบียบ หากเราพิจารณาว่าไม่ใช่เซตโดยอำเภอใจ แต่เป็นระบบพีชคณิตบางระบบ ตัวอย่างเช่น วงแหวนหรือฟิลด์ ดังนั้นสำหรับการเรียงลำดับของระบบดังกล่าว ข้อกำหนดความซ้ำซากจำต้องถูกนำมาใช้ในส่วนที่เกี่ยวกับการดำเนินการที่แนะนำในระบบนี้ (โครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิต) ดังนั้น สั่งแหวน/สนามเป็นวงแหวน/ฟิลด์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีการแนะนำความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้น (a > b) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => a c > b c;

ทฤษฎีบทที่ 1วงแหวนที่อยู่ใดๆ เป็นระบบสั่งการ (วงแหวน)

อันที่จริง ถ้าความสัมพันธ์ “มากกว่า 0” ถูกนำมาใช้ในวงแหวน ก็เป็นไปได้ที่จะแนะนำความสัมพันธ์ที่มากขึ้นสำหรับองค์ประกอบตามอำเภอใจสององค์ประกอบ หากเราคิดว่า

a > b  a - b > 0

ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้นที่เข้มงวด

ความสัมพันธ์ที่ "มากกว่า" นี้เป็นการต้านการสะท้อน เนื่องจากเงื่อนไข a > a เทียบเท่ากับเงื่อนไข a - a > 0 ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า a - a = 0 (ตามเงื่อนไขแรกของวงแหวนที่อยู่ องค์ประกอบไม่สามารถเป็นได้ทั้งมากกว่า 0 และเท่ากับ 0) ดังนั้น คำสั่ง a > a จะเป็นเท็จสำหรับองค์ประกอบ a ใดๆ ดังนั้น ความสัมพันธ์จึงต้านการสะท้อนกลับ

ให้เราพิสูจน์การถ่ายทอด: ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c ตามคำจำกัดความ จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทนั้น a - b > 0 และ b - c > 0 เมื่อเพิ่มองค์ประกอบทั้งสองนี้ที่มากกว่าศูนย์ เราจะได้องค์ประกอบที่มากกว่าศูนย์อีกครั้ง (ตามเงื่อนไขที่สองของวงแหวนที่อยู่) ):

a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0

หลังหมายความว่า a > c. ดังนั้นความสัมพันธ์ที่แนะนำจึงเป็นความสัมพันธ์ของระเบียบที่เข้มงวด นอกจากนี้ ความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้น นั่นคือ สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติ ทฤษฎีบทไตรโคโตมี:

สำหรับจำนวนธรรมชาติสองจำนวนใดๆ ข้อความสามข้อต่อไปนี้เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น:

แน่นอน (เนื่องจากเงื่อนไขแรกของวงแหวนที่อยู่) สำหรับหมายเลข a - b หนึ่งและเงื่อนไขเดียวเท่านั้นที่เป็นจริง:

1) a - b > 0 => a > b

2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a

3) a - b = 0 => a = b.

คุณสมบัติ monotonicity ยังยึดไว้สำหรับวงแหวนที่ตั้งอยู่ จริงๆ

1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;

2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (ตามเงื่อนไขที่สองของวงแหวนที่อยู่) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าวงแหวนที่อยู่ใดๆ เป็นวงแหวนสั่งการ (ระบบสั่งการ)

สำหรับวงแหวนที่อยู่ใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริงด้วย:

ก) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

c) a > b / \ c< 0=>แอค< bc;

คุณสมบัติเดียวกันถือเป็นสัญญาณอื่นๆ<, , .

ให้เราพิสูจน์ เช่น ทรัพย์สิน (c) ตามคำจำกัดความ จากเงื่อนไข a > b เป็นไปตามที่ a - b > 0 และจากเงื่อนไข c< 0 (0 >c) ตามมาด้วย 0 - c > 0 และด้วยเหตุนี้ตัวเลข - c > 0 เราคูณจำนวนบวกสองตัว (a - b) (-c) ผลลัพธ์จะเป็นบวกด้วยเงื่อนไขที่สองของวงแหวนที่อยู่นั่นคือ

(a - b)  (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

คิวอีดี

d) aa = a 2  0;

การพิสูจน์: ตามเงื่อนไขแรกของวงแหวนที่อยู่ a > 0, หรือ –a > 0 หรือ a = 0 พิจารณากรณีเหล่านี้แยกกัน:

1) a > 0 => aa > 0 (ตามเงื่อนไขที่สองของวงแหวนที่อยู่) => a 2 > 0

2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0 แต่โดยคุณสมบัติของวงแหวน (–a)(–a) = aa = a 2 > 0

3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0

ดังนั้น ในทั้งสามกรณี a 2 มีค่ามากกว่าศูนย์หรือเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่า 2 ≥ 0 และคุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว (โปรดทราบว่าเราได้พิสูจน์ด้วยว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสขององค์ประกอบของวงแหวนที่ตั้งอยู่คือ 0 ต่อเมื่อองค์ประกอบนั้นเป็น 0).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0

การพิสูจน์: ถือว่าตรงกันข้าม (ab =0 แต่ไม่มี a หรือ b เท่ากับศูนย์) จากนั้นมีเพียงสองตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นไปได้สำหรับ a ไม่ว่าจะเป็น a > 0 หรือ – a > 0 (ตัวเลือก a = 0 นั้นไม่รวมอยู่ในสมมติฐานของเรา) สองกรณีนี้แต่ละกรณีแบ่งออกเป็นสองกรณีเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับ b (ทั้ง b > 0 หรือ – b > 0) จากนั้น 4 ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a > 0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0

ดังที่เราเห็น แต่ละกรณีเหล่านี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ab = 0 คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติสุดท้ายหมายความว่าวงแหวนที่อยู่นั้นเป็นพื้นที่แห่งความสมบูรณ์ซึ่งเป็นคุณสมบัติบังคับของระบบที่สั่งซื้อ

ทฤษฎีบทที่ 1 แสดงว่าวงแหวนที่อยู่ใด ๆ เป็นระบบที่ได้รับคำสั่ง การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน - มีแหวนที่สั่งซื้ออยู่ อันที่จริง หากมีความสัมพันธ์ a > b ในวงแหวนและสององค์ประกอบของวงแหวนนั้นเปรียบเทียบกันได้ ดังนั้น 0 ก็เปรียบได้กับองค์ประกอบใดๆ a นั่นคือ a > 0 หรือ a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. เพื่อเป็นการพิสูจน์อย่างหลัง เราใช้คุณสมบัติความซ้ำซากจำเจของระบบสั่งการ: ทางด้านขวาและด้านซ้ายของอสมการ a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

เงื่อนไขที่สองของวงแหวนที่อยู่ตามคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจและทรานซิชัน:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0

ทฤษฎีบท 2วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่จัดเรียง (ระบบที่เรียงลำดับ)

การพิสูจน์:ให้เราใช้นิยาม 2 ของวงแหวนของจำนวนเต็ม (ดู 2.1) ตามคำจำกัดความนี้ จำนวนเต็มใดๆ อาจเป็นจำนวนธรรมชาติ (ตัวเลข n ถูกกำหนดเป็น [ ] หรือตรงกันข้ามกับธรรมชาติ (– n สอดคล้องกับคลาส [<1, n / >] , หรือ 0 (คลาส [<1, 1>]) มาแนะนำคำจำกัดความของ "มากกว่าศูนย์" สำหรับจำนวนเต็มตามกฎ:

a > 0  a  N

จากนั้นเงื่อนไขแรกของวงแหวนที่ตั้งอยู่จะถูกเติมเต็มโดยอัตโนมัติสำหรับจำนวนเต็ม: ถ้า a เป็นธรรมชาติ ก็จะมากกว่า 0 ถ้า a อยู่ตรงข้ามกับธรรมชาติ ดังนั้น –a เป็นธรรมชาติ นั่นคือ มากกว่า 0 เช่นกัน ตัวแปร a = 0 ก็เป็นไปได้เช่นกัน ซึ่งทำให้เกิดการแตกแยกอย่างแท้จริงในเงื่อนไขแรกของวงแหวนที่อยู่ ความถูกต้องของเงื่อนไขที่สองของวงแหวนที่อยู่ตามความจริงที่ว่าผลรวมและผลคูณของตัวเลขธรรมชาติสองตัว (จำนวนเต็มที่มากกว่าศูนย์) เป็นจำนวนธรรมชาติอีกครั้ง ดังนั้นจึงมากกว่าศูนย์

ดังนั้น คุณสมบัติทั้งหมดของวงแหวนที่จัดเรียงจะถูกโอนไปยังจำนวนเต็มทั้งหมดโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ สำหรับจำนวนเต็ม (แต่ไม่ใช่สำหรับวงแหวนที่จัดเรียงตามอำเภอใจ) ทฤษฎีบทความไม่ต่อเนื่องถือ:

ทฤษฎีบทไม่ต่อเนื่องไม่สามารถแทรกจำนวนเต็มระหว่างสองจำนวนเต็มที่อยู่ติดกัน:

( ก x  Z) .

การพิสูจน์: พิจารณาทุกกรณีที่เป็นไปได้สำหรับ a และถือว่าตรงกันข้าม นั่นคือ มี x เช่นนั้น

แต่< x < a +1.

1) ถ้า a เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว a + 1 ก็เป็นจำนวนธรรมชาติด้วย จากนั้น โดยทฤษฎีบทที่ไม่ต่อเนื่องกันสำหรับจำนวนธรรมชาติ จะไม่มีการแทรกจำนวนธรรมชาติ x ระหว่าง a และ a / = a + 1 นั่นคือ x ไม่ว่าในกรณีใดๆ จะต้องไม่เป็นธรรมชาติ หากสมมุติว่า x = 0 สมมุติฐานของเราคือ

แต่< x < a +1

จะพาเราไปสู่สภาวะ a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0 แล้ว a + 1 = 1 ถ้าเงื่อนไข a< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a เป็นลบ (–a > 0) แล้ว a + 1  0 ถ้า a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

นั่นคือ เรามาถึงสถานการณ์ที่พิจารณาในกรณีแรก (เนื่องจากทั้ง -a-1 และ -a เป็นธรรมชาติ) ดังนั้น - x ไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ และด้วยเหตุนี้ x ไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ สถานการณ์ที่ a + 1 = 0 หมายความว่า a = -1 เช่น

–1 < x < 0.

การคูณอสมการนี้ด้วย (–1) เรามาถึงกรณีที่ 2 ดังนั้น ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ในทุกสถานการณ์

เทเรมแห่งอาร์คิมิดีสสำหรับจำนวนเต็ม a และจำนวนเต็ม b > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก n ที่ a< bn.

สำหรับธรรมชาติ a ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วเนื่องจากเงื่อนไข b > 0 หมายความว่าจำนวน b เป็นธรรมชาติ สำหรับ  0 ทฤษฎีบทก็ชัดเจนเช่นกัน เนื่องจากด้านขวาของ bn เป็นจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ มันมากกว่าศูนย์ด้วย

ในวงแหวนของจำนวนเต็ม (เช่นเดียวกับวงแหวนที่อยู่ใดๆ) เราสามารถแนะนำแนวคิดของโมดูลได้:

|a| = .

คุณสมบัติโมดูลที่ถูกต้อง:

1) |a + b|  |a| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |a|  |b|.

การพิสูจน์: 1) สังเกตได้จากคำจำกัดความว่า |a| . ชัดเจน เป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ (ในกรณีแรก |a| = a ≥ 0 ในกรณีที่สอง |a| = –a แต่ a< 0, откуда –а >0). ความไม่เท่าเทียมกัน |a| ≥ a, |a| ≥ –a (โมดูลัสจะเท่ากับนิพจน์ที่สอดคล้องกันถ้าไม่เป็นค่าลบ และมากกว่าถ้าเป็นค่าลบ) ความไม่เท่าเทียมกันที่คล้ายกันถือเป็น b: |b| ≥ b, |b| ≥ -ข. การบวกความไม่เท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันและการใช้คุณสมบัติ (b) ของวงแหวนที่จัดเรียงไว้ เราได้รับ

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

ตามคำจำกัดความของโมดูล

|a+b| =
,

แต่ทั้งสองนิพจน์ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันดังที่แสดงไว้ข้างต้น ไม่เกิน |a| + |b| ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติแรกของโมดูล

2) ลองแทนที่ในคุณสมบัติแรก a ด้วย a - b เราได้รับ:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|a| ≤ |a – b| + |b|

ย้าย |b| จากด้านขวาไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม

|a| – | ข| ≤ |a – b| =>|a-b|  |a| – |b|.

หลักฐานของทรัพย์สิน 3 ถูกทิ้งไว้ให้ผู้อ่าน

งาน:แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.

สารละลาย: แยกตัวประกอบทางด้านซ้าย ในการทำเช่นนี้ เราเป็นตัวแทนของคำว่า 3xy = – xy + 4xy

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d

Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x)

ดังนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่เป็น

(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.

เนื่องจากเราต้องแก้โจทย์เป็นจำนวนเต็ม x กับ y ต้องเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่าตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการของเราก็เป็นจำนวนเต็มด้วย เลข 5 ทางด้านขวาของสมการสามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนเต็มได้เพียง 4 วิธีเท่านั้น:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5) ดังนั้นตัวเลือกต่อไปนี้จึงเป็นไปได้:

1)
2)
3)
4)

ในบรรดาระบบที่ระบุไว้ มีเพียง (4) เท่านั้นที่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม:

x = 1, y = -2.

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ

หมายเลข 2.4. สำหรับองค์ประกอบ a, b, c, d ของวงแหวนที่อยู่ตามอำเภอใจ ให้พิสูจน์คุณสมบัติ:

ก) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d

หมายเลข 2.5 แก้สมการเป็นจำนวนเต็ม:

หมายเลข 2.6. หาตัวเลขสี่หลักที่เป็นกำลังสองที่แน่นอน และให้สองหลักแรกเท่ากันและสองหลักสุดท้ายมีค่าเท่ากัน

ลำดับที่ 2.7 หาตัวเลขสองหลักที่เท่ากับผลรวมของหลักสิบกับกำลังสองของหลักนั้น

หมายเลข 2.8. ค้นหาตัวเลขสองหลักที่เท่ากับสองเท่าของผลคูณของหลัก

ลำดับที่ 2.9 พิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างตัวเลขสามหลักกับตัวเลขที่เขียนด้วยตัวเลขเดียวกันในลำดับที่กลับกันไม่สามารถเป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติได้

หมายเลข 2.10. ค้นหาจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ลงท้ายด้วย 91 ซึ่งหลังจากลบตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะลดลงตามจำนวนเต็มจำนวนครั้ง

หมายเลข 2.11. หาเลขสองหลักที่เท่ากับกำลังสองของหน่วยบวกลูกบาศก์ของหลักสิบ

หมายเลข 2.12. หาเลขหกหลักที่ขึ้นต้นด้วยเลข 2 ซึ่งเพิ่มขึ้น 3 เท่าโดยการจัดเรียงตัวเลขนี้ใหม่จนท้ายตัวเลข

หมายเลข 2.13. มีการเขียนตัวเลขมากกว่า 40 แต่น้อยกว่า 48 ตัวบนกระดาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้คือ 3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนบวกคือ 4 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนลบคือ 8 กระดานดำเขียนตัวเลขทั้งหมดกี่ตัว จำนวนใดมีค่ามากกว่า บวก หรือ ลบ จำนวนบวกสูงสุดที่เป็นไปได้คือเท่าใด

หมายเลข 2.14. ผลหารของตัวเลขสามหลักและผลรวมของหลักสามารถเป็น 89 ได้หรือไม่? ผลหารนี้สามารถเท่ากับ 86 ได้หรือไม่ ค่าสูงสุดของผลหารนี้เป็นเท่าใด?

ตัวเลขธรรมชาติไม่ใช่วงแหวน เนื่องจาก 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ และไม่มีสิ่งตรงกันข้ามตามธรรมชาติสำหรับจำนวนธรรมชาติ โครงสร้างที่เกิดจากจำนวนธรรมชาติเรียกว่า ครึ่งวงกลมแม่นยำยิ่งขึ้น

ครึ่งวงกลมเรียกว่าเซมิกรุ๊ปสลับกับการบวกและเซมิกรุ๊ปเกี่ยวกับการคูณ ซึ่งการดำเนินการของการบวกและการคูณมีความสัมพันธ์กันโดยกฎการกระจาย

ตอนนี้เราแนะนำคำจำกัดความที่เข้มงวดของจำนวนเต็มและพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน ตามแนวคิดของโครงสร้างพีชคณิตและความจริงที่ว่าเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นเซมิริง แต่ไม่ใช่วงแหวน เราสามารถแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 1วงแหวนของจำนวนเต็มเป็นวงแหวนที่เล็กที่สุดที่มีกึ่งของจำนวนธรรมชาติ

คำจำกัดความนี้ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับ รูปร่างตัวเลขดังกล่าว ในหลักสูตรของโรงเรียน จำนวนเต็มถูกกำหนดเป็นจำนวนธรรมชาติ ค่าตรงข้ามและ 0 คำจำกัดความนี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างคำจำกัดความที่เข้มงวด

คำจำกัดความ 2วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติ ตรงข้ามกัน และ 0 (และมีเพียงพวกเขาเท่านั้น)

ทฤษฎีบท 1. คำจำกัดความ 1 และ 2 เทียบเท่ากัน

การพิสูจน์: แสดงโดย Z 1 วงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 1 และโดย Z 2 วงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 2 อันดับแรก เราพิสูจน์ว่า Z 2 รวมอยู่ใน Z 1 อันที่จริงองค์ประกอบทั้งหมดของ Z 2 นั้นเป็นจำนวนธรรมชาติ (เป็นของ Z 1 เนื่องจาก Z 1 มีตัวเลขกึ่งธรรมชาติ) หรือสิ่งที่ตรงกันข้าม (พวกมันเป็นของ Z 1 ด้วยเนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนซึ่งหมายความว่า สำหรับแต่ละองค์ประกอบของวงแหวนนี้มีองค์ประกอบที่ตรงกันข้ามและสำหรับแต่ละองค์ประกอบตามธรรมชาติ n н Z 1 , –n ยังเป็นของ Z 1) หรือ 0 (0 н Z 1 เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนและในวงแหวนใด ๆ มี 0) ดังนั้นองค์ประกอบใด ๆ จาก Z 2 ยังเป็นของ Z 1 และด้วยเหตุนี้ Z 2 Í Z 1 ในทางกลับกัน Z 2 ประกอบด้วยจำนวนกึ่งธรรมชาติ และ Z 1 เป็นวงแหวนขั้นต่ำที่มีตัวเลขธรรมชาติ กล่าวคือ ไม่สามารถมีตัวเลขใด ๆ ได้ อื่นแหวนที่ตรงตามเงื่อนไขนี้ แต่เราได้แสดงให้เห็นว่ามี Z 2 ดังนั้น Z 1 = Z 2 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำจำกัดความ 3วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งแทนค่าความแตกต่าง b - a (คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ a + x = b) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติโดยอำเภอใจ

ทฤษฎีบท 2. คำจำกัดความ 3 เทียบเท่ากับสองคำก่อนหน้า

การพิสูจน์: แทนด้วย Z 3 วงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 3 และโดย Z 1 = Z 2 วงแหวนของจำนวนเต็มตามความหมายของคำจำกัดความ 1 และ 2 (ความเท่าเทียมกันได้รับการกำหนดไว้แล้ว) ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่า Z 3 รวมอยู่ใน Z 2 . แท้จริงแล้ว องค์ประกอบทั้งหมดของ Z 3 สามารถแสดงเป็นความแตกต่างของจำนวนธรรมชาติ b – a สำหรับจำนวนธรรมชาติสองจำนวนใดๆ ตามทฤษฎีบท Trichotomy มีสามตัวเลือก:

ในกรณีนี้ ผลต่าง b – และยังเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย ดังนั้นจึงเป็นของ Z 2 .

ในกรณีนี้ ความแตกต่างขององค์ประกอบที่เท่ากันสององค์ประกอบจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ 0 ให้เราพิสูจน์ว่านี่คือศูนย์ของวงแหวนจริง ๆ นั่นคือองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการบวก ในการทำเช่นนี้ เราใช้คำจำกัดความของความแตกต่าง a – a = x ó a = a + x และพิสูจน์ว่า b + x = b สำหรับ b ตามธรรมชาติใดๆ เพื่อพิสูจน์ เพียงพอที่จะเพิ่มองค์ประกอบ b ทางด้านขวาและด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน a = a + x จากนั้นใช้กฎการลดลง (การกระทำทั้งหมดนี้สามารถทำได้ตามคุณสมบัติที่รู้จักของวงแหวน) Zero เป็นของ Z 2

ในกรณีนี้ ผลต่าง a – b เป็นจำนวนธรรมชาติ เราแสดงว่า

b - a \u003d - (a - b) เราจะพิสูจน์ว่าองค์ประกอบ a - b และ b - a อยู่ตรงข้ามกัน นั่นคือ รวมกันเป็นศูนย์ แน่นอนถ้าเราแสดงว่า a - b \u003d x, b - a \u003d y เราก็จะได้ a \u003d b + x, b \u003d y + a การเพิ่มความเท่าเทียมกันที่ได้รับตามเทอมและลด b เราจะได้ a \u003d x + y + a นั่นคือ x + y \u003d a - a \u003d 0 ดังนั้น a - b \u003d - (b - a) เป็นจำนวนที่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ มันเป็นของ Z2 อีกครั้ง ดังนั้น Z 3 Н Z 2 .

ในทางกลับกัน Z 3 มีเซมิริงของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ n สามารถแสดงเป็น . ได้เสมอ

n = n / – 1 О Z 3 ,

และด้วยเหตุนี้ Z 1 Í Z 3 เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนขั้นต่ำที่มีตัวเลขธรรมชาติ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า Z 2 = Z 1 เราได้รับ Z 1 = Z 2 = Z 3 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แม้ว่าในแวบแรกอาจดูเหมือนว่าไม่มีสัจพจน์ในคำจำกัดความของจำนวนเต็มที่ระบุไว้ แต่คำจำกัดความเหล่านี้เป็นสัจพจน์ เนื่องจากคำจำกัดความทั้งสามกล่าวว่าเซตของจำนวนเต็มเป็นวงแหวน ดังนั้นเงื่อนไขจากคำจำกัดความของวงแหวนจึงเป็นสัจพจน์ในทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็ม

มาพิสูจน์กัน ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มมีความสอดคล้องกัน. ในการพิสูจน์ จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองของวงแหวนของจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีความสม่ำเสมอที่เป็นที่รู้จัก (ในกรณีของเรา นี่อาจเป็นเพียงทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น)

ตามคำจำกัดความที่ 3 จำนวนเต็มแต่ละจำนวนสามารถแทนค่าความแตกต่างของตัวเลขธรรมชาติสองตัว z = b – a เชื่อมโยงกับจำนวนเต็ม z แต่ละคู่ที่สอดคล้องกัน . ข้อเสียของการติดต่อนี้คือความคลุมเครือ โดยเฉพาะเลข 2 ตรงกับคู่<3, 1 >และคู่รัก<4, 2>และอื่นๆอีกมากมาย หมายเลข 0 สอดคล้องกับคู่<1, 1>และคู่รัก<2,2>และคู่รัก<3, 3>ฯลฯ แนวคิดนี้ช่วยหลีกเลี่ยงปัญหานี้ คู่สมมูล. เราจะบอกว่าคู่นี้ เทียบเท่ากับคู่ , ถ้า a + d = b + c (สัญกรณ์: @ ).

ความสัมพันธ์ที่แนะนำนั้นสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา (การพิสูจน์ถูกทิ้งไว้ให้ผู้อ่าน)

เช่นเดียวกับความสัมพันธ์สมมูล ความสัมพันธ์นี้สร้างพาร์ติชันของเซตของจำนวนคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นคลาสสมมูล ซึ่งเราจะแสดงว่า [ ] (แต่ละชั้นประกอบด้วยคู่ทั้งหมดเทียบเท่ากับคู่ ). ตอนนี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดคลาสคู่ของจำนวนธรรมชาติที่เทียบเท่ากันให้กับจำนวนเต็มแต่ละจำนวนเต็ม เซตของคลาสของคู่จำนวนธรรมชาติดังกล่าวสามารถใช้เป็นแบบจำลองของจำนวนเต็มได้ ให้เราพิสูจน์ว่ารูปแบบนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของแหวนทั้งหมด สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดของการบวกและการคูณคลาสของคู่ ลองทำตามกฎต่อไปนี้:

1) [] + [] = [];

ให้เราแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความที่แนะนำนั้นถูกต้องนั่นคือไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนเฉพาะจากคลาสของคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคู่นั้นเท่ากัน @ และ @ จากนั้นผลรวมและผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องก็เท่ากัน @ , เช่นเดียวกับ @ .

@ ó a + b 1 = b + a 1 (1),

ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไข @ .

ซึ่งหมายความว่า @ (กล่าวอีกนัยหนึ่ง ที่นี่เราได้พิสูจน์แล้วว่า × @ ,× ).

ó @

(เราพิสูจน์มาแล้วว่า × @ ,× ). โดยใช้คุณสมบัติของทรานสซิทิฟของความสัมพันธ์สมมูลของคู่ เรามาถึงความเท่าเทียมกันที่ต้องการ @ เทียบเท่ากับเงื่อนไข

× @ ,× .

+ ( +) = + = .

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

[] + [] = [] @ [], เพราะ

[] + [] = [] = [] @ [].

[] / = [].

[] + [] =[] / = []. จริงๆ,

[] + [] = [] = [], เพราะ

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].