จากสองวงเป็นหนึ่งเป็นตัวอย่าง แหวน
คำนิยาม 4.1.1. แหวน (K, +, ) เป็นระบบพีชคณิตที่มีเซตไม่ว่าง Kและการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตแบบไบนารีสองตัวบนนั้น ซึ่งเราจะเรียกว่า ส่วนที่เพิ่มเข้าไปและ การคูณ. แหวนเป็นกลุ่มสารเติมแต่ง Abelian และการคูณและการบวกมีความสัมพันธ์กันโดยกฎการกระจาย: ( เอ + ข) ค = เอ ค + ข คและ กับ (เอ + ข) = ค เอ + ค ขโดยพลการ เอ, ข, ค K.
ตัวอย่าง 4.1.1. เราให้ตัวอย่างแหวน
1. (Z, +, ), (คิว, +, ), (R, +, ), (ค, +, ) คือวงแหวนของจำนวนเต็ม ตรรกยะ จริง และเชิงซ้อน ตามลำดับ โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณ แหวนเหล่านี้เรียกว่า ตัวเลข.
2. (Z/นZ, +, ) เป็นวงแหวนของคลาสเรซิดิวโมดูโล น นู๋ด้วยการดำเนินการของการบวกและการคูณ
3. พวงของ เอ็ม น (K) ของเมทริกซ์กำลังสองทั้งหมดของลำดับคงที่ น นู๋โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( K, +, ) พร้อมการดำเนินการของการบวกและการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, Kเท่ากันได้ Z, คิว, R, คหรือ Z/nZที่ น นู๋.
4. ชุดของฟังก์ชันจริงทั้งหมดที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาคงที่ ( เอ; ข) เส้นจำนวนจริงที่มีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณของฟังก์ชัน
5. ชุดของพหุนาม (พหุนาม) K[x] โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( K, +, ) จากตัวแปรเดียว xกับ ปฏิบัติการทางธรรมชาติการบวกและการคูณพหุนาม โดยเฉพาะวงแหวนของพหุนาม Z[x], คิว[x], R[x], ค[x], Z/นZ[x] ที่ น นู๋.
6. วงแหวนของเวกเตอร์ ( วี 3 (R), +, ) พร้อมการบวกและการคูณเวกเตอร์
7. วงแหวน ((0), +, ) พร้อมการบวกและการคูณ: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
คำนิยาม 4.1.2. แยกแยะ ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุดแหวน (ตามจำนวนขององค์ประกอบของชุด K) แต่การจำแนกประเภทหลักขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ แยกแยะ สมาคมดังขึ้นเมื่อการดำเนินการคูณเป็นแบบเชื่อมโยง (ข้อ 1-5, 7 ของตัวอย่าง 4.1.1) และ ไม่เกี่ยวโยงกันแหวน (ข้อ 6 ของตัวอย่าง 4.1.1: ที่นี่ ,) แหวนรองแบ่งออกเป็น หน่วยแหวน(มีองค์ประกอบเป็นกลางเกี่ยวกับการคูณ) และ ไม่มีหน่วย, สับเปลี่ยน(การดำเนินการของการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน) และ ไม่สับเปลี่ยน.
ทฤษฎีบท4.1.1. ปล่อยให้เป็น ( K, +, ) เป็นวงแหวนที่เชื่อมโยงกับหน่วย แล้วชุด K* ย้อนกลับได้ภายใต้การคูณองค์ประกอบแหวน Kเป็นกลุ่มคูณ
ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามคำจำกัดความของกลุ่ม 3.2.1 ปล่อยให้เป็น เอ, ข K*. แสดงว่า เอ ข K * .
(เอ ข) –1 = ข –1 เอ –1 K. จริงๆ,
(เอ ข) (ข –1 เอ –1) = เอ (ข ข –1) เอ –1 = เอ 1 เอ –1 = 1,
(ข –1 เอ –1) (เอ ข) = ข –1 (เอ –1 เอ) ข = ข –1 1 ข = 1,
ที่ไหน เอ –1 , ข –1 Kเป็นองค์ประกอบผกผันกับ เอและ ขตามลำดับ
1) การคูณใน K* เชื่อมโยงตั้งแต่ Kเป็นแหวนที่เชื่อมโยง
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K* , 1 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณใน K * .
3) สำหรับ เอ K * ,
เอ –1 K* , เช่น ( เอ –1) เอ = เอ (เอ –1) = 1
(เอ –1) –1
=
เอ.
คำนิยาม 4.1.3. พวงของ K* กลับด้านในแง่ของการคูณองค์ประกอบของแหวน ( K, +, ) เรียกว่า กลุ่มคูณของวงแหวน.
ตัวอย่าง 4.1.2. ให้เรายกตัวอย่างกลุ่มการคูณของวงแหวนต่างๆ
1. Z * = {1, –1}.
2. เอ็ม น (คิว) * = GL น (คิว), เอ็ม น (R) * = GL น (R), เอ็ม น (ค) * = GL น (ค).
3.
Z/นZ* เป็นเซตของคลาสสารตกค้างที่ย้อนกลับได้ Z/นZ * = {
| (k, น) = 1,
0 k < น), ที่ น > 1
| Z/นZ * | =
(น), ที่ไหน
คือฟังก์ชันออยเลอร์
4. (0) * = (0) เนื่องจากในกรณีนี้ 1 = 0
คำนิยาม 4.1.4. หากอยู่ในวงแหวนเชื่อมโยง ( K, +, ) พร้อมกลุ่มหน่วย K * = K\(0) โดยที่ 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการบวก วงแหวนดังกล่าวจะเรียกว่า ร่างกายหรือ พีชคณิตกับแผนก. ร่างกายสับเปลี่ยนเรียกว่า สนาม.
จากนิยามนี้ชัดเจนว่าในร่างกาย K* และ 1 K* ดังนั้น 1 0 ดังนั้นเนื้อหาขั้นต่ำซึ่งเป็นฟิลด์ประกอบด้วยสององค์ประกอบ: 0 และ 1
ตัวอย่าง 4.1.3.
1. (คิว, +, ), (R, +, ), (ค, +, ) – ตามลำดับ ช่องตัวเลขจำนวนตรรกยะ จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน
2. (Z/พีZ, +, ) เป็นช่องสุดท้ายจาก พีองค์ประกอบ if พี- จำนวนเฉพาะ. ตัวอย่างเช่น, ( Z/2Z, +, ) คือฟิลด์ขั้นต่ำของสององค์ประกอบ
3.
ร่างกายที่ไม่สับเปลี่ยนคือ ร่างกายสี่ส่วน- ชุด quaternions, นั่นคือการแสดงออกของรูปแบบ ชม.=
เอ + สอง + cj + dk, ที่ไหน เอ,
ข,
ค,
d R,
ฉัน 2 =
= เจ 2 = k 2 = – 1,
ฉัน เจ= k= – เจ ฉัน,
เจ k= ฉัน= – k เจ,
ฉัน k= – เจ= – k ฉันกับการดำเนินการของการบวกและการคูณ Quaternions ถูกเพิ่มและคูณเทอมด้วยเทอม โดยคำนึงถึงสูตรข้างต้น สำหรับทุกคน ชม. 0 ควอเทอร์เนียนผกผันมีรูปแบบ: 
.
มีวงแหวนที่มีตัวหารศูนย์และวงแหวนที่ไม่มีตัวหารศูนย์
คำนิยาม 4.1.5. หากมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในวงแหวน เอและ ขดังนั้น เอ ข= 0 แล้วจึงเรียกว่า ตัวหารศูนย์, และแหวนนั้นเอง แหวนตัวหารศูนย์. ที่ มิฉะนั้นแหวนเรียกว่า แหวนที่ไม่มีตัวหารศูนย์.
ตัวอย่าง 4.1.4.
1. แหวน ( Z, +, ), (คิว, +, ), (R, +, ), (ค, +, ) คือวงแหวนที่ไม่มีตัวหารศูนย์
2.
ในวงแหวน ( วี 3 (R), +, ) องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัวเป็นตัวหารศูนย์ตั้งแต่ 
เพื่อทุกสิ่ง 
วี 3 (R).
3.
ในวงแหวนของเมทริกซ์ เอ็ม 3 (Z) ตัวอย่างของตัวหารศูนย์คือเมทริกซ์
และ
, เช่น อา บี = อู๋(ศูนย์เมทริกซ์).
4.
ในวงแหวน ( Z/นZ, +, ) ด้วยคอมโพสิต น = k มที่ไหน 1< k,
ม < น, คลาสสารตกค้าง 
และ 
เป็นตัวหารศูนย์ตั้งแต่
ด้านล่างเรานำเสนอคุณสมบัติหลักของวงแหวนและฟิลด์
ชุดไม่ว่าง ถึง,ซึ่งมีการระบุการดำเนินการไบนารีสองรายการ - การบวก (+) และการคูณ ( ) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข:
1) เกี่ยวกับการดำเนินการเพิ่มเติม ถึง- กลุ่มสับเปลี่ยน;
2) เกี่ยวกับการดำเนินการของการคูณ ถึง- เซมิกรุ๊ป;
3) การดำเนินการของการบวกและการคูณนั้นสัมพันธ์กันโดยกฎการกระจายเช่น . (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cbเพื่อทุกสิ่ง a,b,cK, ถูกเรียก แหวน (K,+, ).
โครงสร้าง (ถึง,+) เรียกว่า กลุ่มสารเติมแต่งแหวน ถ้าการดำเนินการของการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน นั่นคือ ab=ba.เพื่อทุกสิ่ง เอ, ข,แล้วแหวนนั้นเรียกว่า สับเปลี่ยน
หากเกี่ยวกับการดำเนินการของการคูณมีองค์ประกอบเอกลักษณ์ซึ่งในวงแหวนมักจะแสดงด้วยหน่วย 1, แล้วพวกเขาก็พูดว่า ถึงมี หน่วยแหวน
เซตย่อย L ของวงแหวนเรียกว่า ซับริง,ถ้า หลี่เป็นกลุ่มย่อยของหมู่เสริมของวงแหวนและ หลี่ถูกปิดภายใต้การดำเนินการของการคูณ กล่าวคือ สำหรับทั้งหมด ก, ข L กำลังวิ่ง a+bLและ เอบีแอล
จุดตัดของวงย่อยจะเป็นวงย่อย จากนั้นในกรณีของกลุ่มโดย subring สร้างขึ้นมากมาย เอสเคเรียกว่าจุดตัดของวงแหวนย่อยทั้งหมด ถึง,ประกอบด้วยเอส
1. เซตของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการคูณและการบวกคือวงแหวนสับเปลี่ยน (Z, +, ) ชุด nZจำนวนเต็มหารด้วย พีจะเป็นวงย่อยที่ไม่มีความสามัคคีสำหรับ n>1.
ในทำนองเดียวกัน เซตของตรรกยะและ ตัวเลขจริงเป็นวงแหวนสลับกับเอกลักษณ์
2. เซตของเมทริกซ์กำลังสองของออร์เดอร์ พีเกี่ยวกับการดำเนินการของการบวกและการคูณของเมทริกซ์มีวงแหวนที่มีเอกลักษณ์ อี- เมทริกซ์เอกลักษณ์. ที่ n>1มันไม่สามารถสับเปลี่ยนได้
3. ให้แหวนสลับสับเปลี่ยน K-arbitrary พิจารณาพหุนามที่เป็นไปได้ทั้งหมด
กับตัวแปร Xและสัมประสิทธิ์ 0, 1, 2,..., และ นจาก ถึง.สำหรับการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตของการบวกและการคูณของพหุนาม นี่คือวงแหวนสลับเปลี่ยน ก็เรียกว่า วงแหวนพหุนาม Kจากตัวแปร Xเหนือวงแหวน ถึง(เช่น บนวงแหวนของจำนวนเต็ม, ตรรกยะ, จำนวนจริง) วงแหวนของพหุนามถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน Kจาก tตัวแปรเป็นวงแหวนพหุนามในตัวแปรเดียว x tเหนือวงแหวน เค
4. ให้ X- ชุดโดยพลการ ถึง- แหวนโดยพลการ พิจารณาเซตของฟังก์ชันทั้งหมด f: เอ็กซ์เค,ที่กำหนดไว้ในชุด Xด้วยค่านิยมใน ถึงเรากำหนดผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันตามปกติโดยความเท่าเทียมกัน
(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
โดยที่ + และ - การดำเนินการในวงแหวน ถึง.
ง่ายต่อการตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่รวมอยู่ในคำจำกัดความของแหวน และวงแหวนที่สร้างขึ้นจะสับเปลี่ยนหากวงแหวนเดิมมีการสับเปลี่ยน K. ก็เรียกว่า วงแหวนฟังก์ชันในชุด Xที่มีค่าในวงแหวน ถึง.
คุณสมบัติหลายอย่างของวงแหวนได้รับการปรับรูปแบบคุณสมบัติใหม่ให้สอดคล้องกันของกลุ่มและเซมิกรุ๊ป เช่น a m a n = a m + n, (a t) n = a tpเพื่อทุกสิ่ง ม, นและทั้งหมด เอ.
คุณสมบัติเฉพาะอื่น ๆ ของคุณสมบัติแบบจำลองวงแหวนของตัวเลข:
1) สำหรับทุกคน เอ 0=0 เป็=0;
2) .(-a)b=a(-b)=-(ab);
3) - a=(-1)a.
จริงๆ:
2) 0=a(คล้ายกับ (-a)b=-(ab));
3) โดยใช้คุณสมบัติที่สอง เรามี- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.
สนาม
ในวงแหวนของจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะและจำนวนจริงจากข้อเท็จจริงที่ผลิตภัณฑ์ ab=0,ตามมาด้วยว่า เอ=0, หรือ ข=0. แต่ในวงแหวนของเมทริกซ์กำลังสองของระเบียบ น>1 คุณสมบัตินี้ไม่พอใจอีกต่อไปเพราะ ตัวอย่างเช่น =
ถ้าอยู่ในวงแหวน K ab=0ที่ เอ 0, ข, แล้ว เอเรียกว่าซ้าย ข-ขวา ตัวหารศูนย์ถ้าใน ถึงไม่มีตัวหารศูนย์ (ยกเว้นองค์ประกอบ 0 ซึ่งเป็นตัวหารศูนย์เล็กน้อย) แล้ว Kเรียกว่าแหวน ไม่มีตัวหารศูนย์
1. ในฟังก์ชันวงแหวน ฉ: R R ในชุดของจำนวนจริง R พิจารณาฟังก์ชัน ฉ 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x.สำหรับพวกเขา ฉ 1 (x)=0 ที่ xและ f2(x)=0 at xและด้วยเหตุนี้ผลิตภัณฑ์ ฉ 1 (x) ฉ 2 (x)เป็นฟังก์ชันว่างแม้ว่า ฉ 1 (x)และ f2(x).ดังนั้นจึงไม่มีตัวหารในวงแหวนนี้
2. พิจารณาเซตของคู่ของจำนวนเต็ม ( ก, ข)โดยให้การดำเนินการของการบวกและการคูณ:
(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);
(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2)
เซตนี้ก่อรูปวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกภาพ (1,1) และตัวหารศูนย์ เนื่องจาก (1,0)(0,1)=(0,0)
หากไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ในวงแหวน แสดงว่ากฎการลดลงนั้นเป็นไปตามนั้น กล่าวคือ ab=ac, เป็=ค.จริงๆ, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
ปล่อยให้เป็น ถึง- แหวนพร้อมหน่วย องค์ประกอบ เอเรียกว่า ย้อนกลับได้หากมีองค์ประกอบดังกล่าว -1 ,ซึ่ง aa -1 =a -1 a=1.
องค์ประกอบที่ย้อนกลับได้ไม่สามารถเป็นตัวหารศูนย์ได้เนื่องจาก ถ้า อะบี=0 , แล้ว a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(คล้ายกัน ba=0 ).
ทฤษฎีบท. องค์ประกอบที่พลิกกลับได้ทั้งหมดของวงแหวน K ที่มีเอกลักษณ์เป็นหมู่เกี่ยวกับการคูณ
แท้จริงการคูณ ถึงในเชิงสัมพันธ์กัน หน่วยนั้นอยู่ในชุดขององค์ประกอบที่พลิกกลับได้ และผลิตภัณฑ์ไม่ได้อนุมานจากชุดขององค์ประกอบที่พลิกกลับได้ เนื่องจากถ้า เอและ ขย้อนกลับได้แล้ว
(ab) -1 = b -1 a -1 .
โครงสร้างพีชคณิตที่สำคัญประกอบด้วยวงแหวนสลับเปลี่ยน ถึง,โดยที่แต่ละองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถกลับด้านได้ กล่าวคือ ในส่วนที่เกี่ยวกับการดำเนินการของการคูณ เซต K\(0) สร้างกลุ่ม สามการดำเนินการถูกกำหนดไว้ในวงแหวนดังกล่าว: การบวก การคูณ และการหาร
แหวนสับเปลี่ยน Rด้วยความสามัคคี 1 0 ซึ่งทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จะกลับด้านได้ เรียกว่า สนาม.
ในส่วนที่เกี่ยวกับการคูณ องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของสนามจะรวมกันเป็นกลุ่มที่เรียกว่า กลุ่มคูณฟิลด์
งาน ab -1เขียนเป็นเศษส่วนและสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อ ข 0. องค์ประกอบเป็นคำตอบเดียวของสมการ bx=กการกระทำที่มีเศษส่วนเป็นไปตามกฎที่เราคุ้นเคย:
ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างที่สองของพวกเขา ปล่อยให้เป็น x=และ y=- การแก้สมการ bx=a, dy=c.จากสมการจะได้ดังนี้ dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=เป็นคำตอบเดียวของสมการ bdt=da+bc.
1. วงแหวนของจำนวนเต็มไม่สร้างฟิลด์ ฟิลด์คือเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนจริง
8.7. งานสำหรับ งานอิสระบทที่ 8
8.1. พิจารณาว่าการดำเนินการค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ในสเปซยูคลิดมิติ n เป็นสับเปลี่ยนและเชื่อมโยงหรือไม่ พิสูจน์คำตอบของคุณ
8.2. กำหนดว่าเซตของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ n เทียบกับการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์เป็นกลุ่มหรือโมโนออยด์
8.3. ระบุว่าชุดใดต่อไปนี้จัดกลุ่มตามการดำเนินการของการคูณ:
ก) ชุดของจำนวนเต็ม
b) ชุดของจำนวนตรรกยะ;
c) เซตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์
8.4. พิจารณาว่าโครงสร้างใดต่อไปนี้เป็นเซตของเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ n โดยมีดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับหนึ่ง: สัมพันธ์กับการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณเมทริกซ์:
ก) กลุ่ม
นำมา;
8.5. ระบุโครงสร้างใดที่เซตของจำนวนเต็มสร้างขึ้นตามการดำเนินการของการคูณและการบวก:
ก) วงแหวนที่ไม่เปลี่ยน;
b) วงแหวนสลับ;
8.6. โครงสร้างใดต่อไปนี้สร้างชุดของเมทริกซ์ของรูปแบบที่มีค่าจริง a และ b เทียบกับการดำเนินการปกติของการบวกและการคูณเมทริกซ์:
ก) แหวน
8.7. จำนวนใดจะต้องแยกออกจากชุดของจำนวนจริงเพื่อให้ตัวเลขที่เหลือรวมกันเป็นกลุ่มตามการดำเนินการคูณตามปกติ:
8.8. ค้นหาว่าโครงสร้างใดต่อไปนี้เป็นเซตที่ประกอบด้วยสององค์ประกอบ a และ e โดยมีการดำเนินการแบบไบนารีที่กำหนดไว้ดังนี้:
ee=e, ea=a, แอะ=อะ, แอะ=อี
ก) กลุ่ม
b) กลุ่มอาเบเลียน
8.9. ตัวเลขคู่เป็นวงแหวนเมื่อเทียบกับการดำเนินการปกติของการบวกและการคูณหรือไม่? พิสูจน์คำตอบของคุณ
8.10. ชุดของตัวเลขในรูปแบบ a+b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะใดๆ วงแหวนที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณหรือไม่? ให้เหตุผลคำตอบ
หมายเหตุ: ในการบรรยายครั้งนี้ จะพิจารณาถึงแนวคิดเรื่องวงแหวน ให้คำจำกัดความหลักและคุณสมบัติขององค์ประกอบแหวน พิจารณาแหวนเชื่อมโยง พิจารณาปัญหาลักษณะเฉพาะจำนวนหนึ่ง ทฤษฎีบทหลักได้รับการพิสูจน์แล้ว และให้ปัญหาสำหรับการพิจารณาอย่างอิสระ
แหวน
ชุด R ที่มีสอง การดำเนินการไบนารี(บวก + และคูณ) เรียกว่า เชื่อมโยงวงแหวนกับหน่วย, ถ้า:
ถ้าการดำเนินการของการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน วงแหวนจะเรียกว่า สับเปลี่ยนแหวน. วงแหวนสลับเป็นหนึ่งในวัตถุหลักของการศึกษาในพีชคณิตเชิงสลับและเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต
หมายเหตุ 1.10.1.
ตัวอย่าง 1.10.2 (ตัวอย่างวงแหวนเชื่อมโยง).
เราได้เห็นแล้วว่ากลุ่มของสารตกค้าง (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, โมดูโล n กับการดำเนินการของการบวก เป็นกลุ่มสับเปลี่ยน (ดูตัวอย่าง 1.9.4, 2)).
เรากำหนดการดำเนินการของการคูณด้วยการตั้งค่า ตรวจสอบความถูกต้องของการดำเนินการนี้ ถ้า C k =C k" , C l =C l" แล้ว k"=k+nu , l"=l+nv ดังนั้น C k"l" =C kl
เนื่องจาก (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C ม.จากนั้นเป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่เชื่อมโยงที่มีความเฉพาะตัว C 1 โมดูโลวงแหวนเรซิดิว n )
คุณสมบัติของแหวน (R,+,.)
เล็มมา 1.10.3 (นิวตันทวินาม). ให้ R เป็นวงแหวนที่มี 1 , , . แล้ว:
การพิสูจน์.
คำจำกัดความ 1.10.4. เซตย่อย S ของริง R เรียกว่า ซับริง, ถ้า:
a) S เป็นกลุ่มย่อยที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มในกลุ่ม (R,+) ;
b) สำหรับเรามี ;
c) สำหรับแหวน R ที่มี 1 จะถือว่า .
ตัวอย่าง 1.10.5 (ตัวอย่างของ subring). 
งาน 1.10.6. อธิบายซับริงทั้งหมดในวงแหวนเรซิดิว Z n โมดูโล n .
หมายเหตุ 1.10.7. ในวงแหวน Z 10 ธาตุที่หารด้วย 5 ลงตัวจะสร้างวงแหวนที่มี 1 ซึ่งไม่ใช่วงแหวนย่อยใน Z 10 (วงแหวนเหล่านี้มีองค์ประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน)
คำจำกัดความ 1.10.8. หาก R เป็นวงแหวน และ , , ab=0 ดังนั้นองค์ประกอบ a จะถูกเรียกว่าตัวหารศูนย์ด้านซ้ายใน R องค์ประกอบ b จะถูกเรียกว่าตัวหารศูนย์ด้านขวาใน R
หมายเหตุ 1.10.9. แน่นอน ในวงแหวนสับเปลี่ยน ไม่มีความแตกต่างระหว่างตัวหารศูนย์ซ้ายและขวา
ตัวอย่าง 1.10.10. Z , Q , R ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์
ตัวอย่าง1.10.11. วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่อง C มีตัวหารเป็นศูนย์ แท้จริงแล้วถ้า
แล้ว , , fg=0
ตัวอย่าง 1.10.12. ถ้า n=kl , 1 เล็มมา 1.10.13. หากไม่มีตัวหารศูนย์ (ซ้าย) ในวงแหวน R จากนั้นจาก ab=ac โดยที่ การพิสูจน์. ถ้า ab=ac แล้ว a(b-c)=0 เนื่องจาก a ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ด้านซ้าย ดังนั้น b-c=0 เช่น b=c คำจำกัดความ 1.10.14. ธาตุเรียกว่า ไม่มีอำนาจ, ถ้า x n =0 สำหรับบางคน เป็นที่ชัดเจนว่าองค์ประกอบที่ไม่มีอำนาจเป็นตัวหารศูนย์ (ถ้า n>1 แล้ว แบบฝึกหัด 1.10.15. แหวน Z n มีองค์ประกอบที่ไม่มีศูนย์ก็ต่อเมื่อ n หารด้วย m 2 ลงตัว ที่ไหน , . คำจำกัดความ 1.10.16. องค์ประกอบ x ของวงแหวน R เรียกว่า idempotent, ถ้า x 2 \u003d x. เป็นที่ชัดเจนว่า 0 2 =0 , 1 2 =1 . ถ้า x 2 =x และ , ดังนั้น x(x-1)=x 2 -x=0 และดังนั้น idempotents ที่ไม่สำคัญจึงเป็นตัวหารศูนย์ เราแสดงโดย U(R) ชุดขององค์ประกอบพลิกกลับของวงแหวนเชื่อมโยง R นั่นคือองค์ประกอบที่มีองค์ประกอบผกผัน s=r -1 (เช่น rr -1 =1=r -1 r ) เรียกว่าลำดับของธาตุ ก. หากไม่มี n เช่นนั้น ธาตุ a จะถูกเรียกว่า องค์ประกอบของลำดับอนันต์ ทฤษฎีบท 2.7 (ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์) ถ้า G และ G เป็นกลุ่มจำกัด ดังนั้น a |G| = อี ยอมรับโดยไม่มีหลักฐาน โปรดจำไว้ว่าแต่ละกลุ่ม G °เป็นพีชคณิตที่มีการดำเนินการแบบไบนารีหนึ่งรายการซึ่งมีการปฏิบัติตามเงื่อนไขสามข้อคือ สัจพจน์ที่ระบุของกลุ่ม เซตย่อย G 1 ของเซต G ที่มีการดำเนินการเหมือนกับในกลุ่มจะเรียกว่ากลุ่มย่อย ถ้า G 1 , ° เป็นกลุ่ม สามารถพิสูจน์ได้ว่าชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่า G 1 ของชุด G เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม G °ก็ต่อเมื่อชุด G 1 ร่วมกับองค์ประกอบใดๆ a และ b มีองค์ประกอบ a° b -1 เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 2.8 กลุ่มย่อยของกลุ่มไซคลิกคือวงจร พิจารณาพีชคณิตที่มีการดำเนินการแบบไบนารีสองรายการ วงแหวนคือเซต R ที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีการดำเนินการไบนารีสองตัว + และ ° เรียกว่าการบวกและการคูณ ในลักษณะที่ว่า: 1) อาร์; + เป็นกลุ่มอาเบเลียน 2)
การคูณเป็นแบบเชื่อมโยง กล่าวคือ สำหรับ a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ; 3)
การคูณเป็นการแจกแจงด้วยการบวก กล่าวคือ สำหรับ a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(a° c) และ (a + b)° c= (a° c)+(b° c). แหวนเรียกว่าสับเปลี่ยนถ้าสำหรับ a,b R: a ° b=b ° a . แหวนเขียนเป็น R; +,° . เนื่องจาก R เป็นกลุ่ม Abelian (สับเปลี่ยน) ในส่วนที่เกี่ยวกับการบวก R จึงมีหน่วยการบวกซึ่งเขียนแทนด้วย 0 หรือ θ และเรียกว่าศูนย์ ค่าผกผันการบวกสำหรับ R ถูกแทนด้วย -a ยิ่งกว่านั้นในวงแหวน R เรามี: 0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x. แล้วเราจะได้สิ่งนั้น x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 สำหรับ x R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 สำหรับ y R ดังนั้นเราจึงแสดงให้เห็นว่าสำหรับ x R: x ° 0 \u003d 0 ° x \u003d 0 อย่างไรก็ตาม จากความเท่าเทียมกัน x ° y \u003d 0 จะไม่เป็นไปตามนั้น x \u003d 0 หรือ y \u003d 0 มาดูกัน นี้ด้วยตัวอย่าง ตัวอย่าง. ให้เราพิจารณาชุดของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันเป็นช่วงๆ เรามาแนะนำการทำงานปกติของการบวกและการคูณสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้: f(x)+ ϕ (x) และ f(x) · ϕ (x) มันง่ายที่จะเห็นว่าเราได้แหวนซึ่งเขียนแทนด้วย C . พิจารณาฟังก์ชัน f(x) และ ϕ (x) ที่แสดงในรูปที่ 2.3. จากนั้นเราจะได้ f(x) ≡ / 0 และ ϕ (x) ≡ / 0 แต่ f(x) · ϕ (x) ≡0 เราพิสูจน์แล้วว่าผลคูณเท่ากับศูนย์หากตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์: a ° 0= 0 สำหรับ R และแสดงให้เห็นโดยตัวอย่างว่า a ° b= 0 สำหรับ a ≠ 0 และ b ≠ 0 ได้ หากในวงแหวน R เรามี a ° b = 0 แล้ว a จะถูกเรียกว่าตัวหารศูนย์ด้านซ้ายและ b ด้านขวา องค์ประกอบ 0 ถือเป็นตัวหารศูนย์เล็กน้อย f(x) ϕ(x)≡0 ϕ(x) วงแหวนสับเปลี่ยนที่ไม่มีตัวหารศูนย์อื่นที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์น้อยเรียกว่า วงแหวนอินทิกรัล หรืออินทิกรัลโดเมน ง่ายที่จะเห็นว่า 0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y ดังนั้น x ° (-y)=(-x) ° y คือค่าผกผันขององค์ประกอบ x° y นั่นคือ x ° (-y) \u003d (-x) ° y \u003d - (x ° y) ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า (- x) ° (- y) \u003d x ° y ถ้าในวงแหวน R มีหน่วยเกี่ยวกับการคูณ หน่วยคูณนี้จะถูกแทนด้วย 1 เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าหน่วยคูณ (เช่นเดียวกับหน่วยบวก) นั้นไม่ซ้ำกัน ค่าผกผันการคูณสำหรับ R (ค่าผกผันของการคูณ) จะแสดงด้วย a-1 ทฤษฎีบท 2.9 องค์ประกอบ 0 และ 1 เป็นองค์ประกอบที่แตกต่างกันของวงแหวนที่ไม่ใช่ศูนย์ R การพิสูจน์. ให้ R ไม่ใช่แค่ 0 ดังนั้นสำหรับ ≠ 0 เรามี a° 0= 0 และ a° 1= a ≠ 0 ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น 0 ≠ 1 เพราะถ้า 0= 1 ผลคูณของ a จะตรงกัน ทฤษฎีบท 2.10. หน่วยเสริม กล่าวคือ 0 ไม่มีการผกผันการคูณ การพิสูจน์. a° 0= 0° a= 0 ≠ 1 สำหรับ R ดังนั้น วงแหวนที่ไม่ใช่ศูนย์จะไม่เป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการคูณ ลักษณะของวงแหวน R คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด k ดังนั้น a + a + ... + a = 0 สำหรับ a R ทั้งหมด ลักษณะแหวน k - ครั้ง เขียนว่า k=char R หากไม่มีหมายเลขที่ระบุ k เราจะตั้งค่า char R= 0 ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด Q คือเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด R คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด C คือเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด แต่ละชุด Z, Q, R, C ที่มีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณคือวงแหวน วงแหวนเหล่านี้มีการสับเปลี่ยน โดยมีหน่วยคูณเท่ากับหมายเลข 1 วงแหวนเหล่านี้ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นโดเมนของความสมบูรณ์ ลักษณะของวงแหวนเหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์ วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องบน (วงแหวน C ) ยังเป็นวงแหวนที่มีหน่วยการคูณซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันที่เท่ากันกับหน่วยบน วงแหวนนี้มีตัวหารศูนย์ ดังนั้นจึงไม่ใช่ขอบเขตความสมบูรณ์และอักขระ C= 0 ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้ M เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า และ R= 2M เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซต M เราแนะนำการดำเนินการสองอย่างบน R: ค่าความต่างสมมาตร A+ B= AB (ซึ่งเราเรียกว่าการบวก) และทางแยก (ซึ่งเราเรียกว่าการคูณ ). คุณสามารถมั่นใจได้ว่าคุณจะได้รับ หน่วยแหวน; หน่วยเสริมของวงแหวนนี้จะเป็น และหน่วยคูณของวงแหวนจะเป็นเซต M สำหรับวงแหวนนี้ สำหรับ А, А R ใดๆ เรามี: А+ А = А А= . ดังนั้น charR = 2 ฟิลด์คือวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ก่อตัวเป็นกลุ่มการสับเปลี่ยนภายใต้การคูณ เราให้คำจำกัดความโดยตรงของเขตข้อมูล โดยแสดงรายการสัจพจน์ทั้งหมด ฟิลด์คือเซต P ที่มีการดำเนินการไบนารีสองตัว "+" และ "°" เรียกว่าการบวกและการคูณ ในลักษณะที่ว่า: 1)
นอกจากนี้เชื่อมโยง: for a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ; 2)
มีหน่วยเสริม: 0 P ซึ่งสำหรับ P: a+0 =0 +a=a; 3)
มีองค์ประกอบผกผันโดยการบวก: for aP(-a)P: (-a)+a=a+(-a)=0; 4)
บวกคือสับเปลี่ยน: for a, b P: a+b=b+a ; (สัจพจน์ 1-4 หมายความว่าภาคสนามเป็นกลุ่มอาเบเลียนโดยการบวก); 5)
การคูณเป็นแบบเชื่อมโยง: for a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ; 6)
มีหน่วยคูณ: 1 P ซึ่งสำหรับ P: 1°a=a° 1=a; 7)
สำหรับองค์ประกอบที่ไม่เป็นค่าว่างใดๆ(a ≠ 0) มีการผกผันโดยการคูณ: สำหรับ a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1; 8)
การคูณเป็นการสับเปลี่ยน: for a,b P: a ° b=b ° a ; (สัจพจน์ 5–8 หมายความว่าสนามที่ไม่มีองค์ประกอบศูนย์สร้างกลุ่มการสับเปลี่ยนโดยการคูณ); 9) การคูณเป็นการแจกจ่ายโดยคำนึงถึงการบวก: สำหรับ a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a). ตัวอย่างภาคสนาม: 1) R;+, - ฟิลด์ของจำนวนจริง; 2) Q;+, - ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ; 3) C;+, - ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน; 4) ให้ P 2 \u003d (0.1) เรากำหนดว่า 1 +2 0=0 +2 1=1 1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. จากนั้น F 2 = P 2 ;+ 2 เป็นฟิลด์และเรียกว่าเลขคณิตไบนารี ทฤษฎีบท 2.11. ถ้า ≠ 0 สมการ a ° x \u003d b จะแก้ได้เฉพาะในสนาม การพิสูจน์ . a° x=b a-1° (a° x)=a-1° b (a-1° a)° x=a-1° b คำนิยาม 4.1.1.
แหวน
(K, +, ) เป็นระบบพีชคณิตที่มีเซตไม่ว่าง Kและการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตแบบไบนารีสองตัวบนนั้น ซึ่งเราจะเรียกว่า ส่วนที่เพิ่มเข้าไปและ การคูณ. แหวนเป็นกลุ่มสารเติมแต่ง Abelian และการคูณและการบวกมีความสัมพันธ์กันโดยกฎการกระจาย: ( เอ + ข) ค =
เอ ค + ข คและ กับ (เอ + ข) =
ค เอ + ค ขโดยพลการ เอ, ข, ค K. ตัวอย่าง 4.1.1.
เราให้ตัวอย่างแหวน 1.
(Z, +, ),
(คิว, +, ),
(R, +, ),
(ค, +, ) คือวงแหวนของจำนวนเต็ม ตรรกยะ จริง และเชิงซ้อน ตามลำดับ โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณ แหวนเหล่านี้เรียกว่า ตัวเลข. 2.
(Z/
นZ, +, ) เป็นวงแหวนของคลาสเรซิดิวโมดูโล น นู๋ด้วยการดำเนินการของการบวกและการคูณ 3.
พวงของ เอ็ม น (K) ของเมทริกซ์กำลังสองทั้งหมดของลำดับคงที่ น นู๋โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( K, +, ) พร้อมการดำเนินการของการบวกและการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, Kเท่ากันได้ Z,
คิว,
R,
คหรือ Z/nZที่ น นู๋. 4.
ชุดของฟังก์ชันจริงทั้งหมดที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาคงที่ ( เอ; ข) แกนจำนวนจริง โดยมีการดำเนินการตามปกติของการบวกและการคูณของฟังก์ชัน 5.
ชุดของพหุนาม (พหุนาม) K[x] โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวน ( K, +, ) จากตัวแปรเดียว xด้วยการดำเนินการตามธรรมชาติของการบวกและการคูณพหุนาม โดยเฉพาะวงแหวนของพหุนาม Z[x],
คิว[x],
R[x],
ค[x],
Z/นZ[x] ที่ น นู๋. 6.
วงแหวนของเวกเตอร์ ( วี 3 (R), +, ) พร้อมการบวกและการคูณเวกเตอร์ 7.
วงแหวน ((0), +, ) พร้อมการบวกและการคูณ: 0 + 0 =
0,
0 0 =
= 0.
คำนิยาม 4.1.2.
แยกแยะ ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุดแหวน (ตามจำนวนขององค์ประกอบของชุด K) แต่การจำแนกประเภทหลักขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณ แยกแยะ สมาคมดังขึ้นเมื่อการดำเนินการคูณเป็นแบบเชื่อมโยง (ข้อ 1-5, 7 ของตัวอย่าง 4.1.1) และ ไม่เกี่ยวโยงกันแหวน (ข้อ 6 ของตัวอย่าง 4.1.1: ที่นี่ , ) แหวนรองแบ่งออกเป็น หน่วยแหวน(มีองค์ประกอบเป็นกลางเกี่ยวกับการคูณ) และ ไม่มีหน่วย,
สับเปลี่ยน(การดำเนินการของการคูณเป็นแบบสับเปลี่ยน) และ ไม่สับเปลี่ยน. ทฤษฎีบท4.1.1.
ปล่อยให้เป็น ( K, +, ) เป็นวงแหวนที่เชื่อมโยงกับหน่วย แล้วชุด K* ย้อนกลับได้ภายใต้การคูณองค์ประกอบแหวน Kเป็นกลุ่มคูณ (เอ ข) (ข –1 เอ –1) = เอ (ข ข –1) เอ –1 = เอ 1 เอ –1 = 1, (ข –1 เอ –1) (เอ ข) = ข –1 (เอ –1 เอ) ข = ข –1 1 ข = 1, ที่ไหน เอ –1 ,
ข –1 Kเป็นองค์ประกอบผกผันกับ เอและ ขตามลำดับ 1) การคูณใน K* เชื่อมโยงตั้งแต่ Kเป็นแหวนที่เชื่อมโยง 2) 1 –1 = 1:
1 1 = 1
1 K* , 1 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการคูณใน K * . 3) สำหรับ เอ K * ,
เอ –1 K* , เช่น ( เอ –1) เอ=
เอ (เอ –1) =
1
คำนิยาม 4.1.3.
พวงของ K* กลับด้านในแง่ของการคูณองค์ประกอบของแหวน ( K, +, ) เรียกว่า กลุ่มคูณของวงแหวน. ตัวอย่าง 4.1.2.
ให้เรายกตัวอย่างกลุ่มการคูณของวงแหวนต่างๆ 1.
Z * = {1,
–1}. 2.
เอ็ม น (คิว) * = GL น (คิว),
เอ็ม น (R) * = GL น (R),
เอ็ม น (ค) * = GL น (ค). 3.
Z/นZ* เป็นเซตของคลาสสารตกค้างที่ย้อนกลับได้ Z/นZ * = { 4.
(0) * = (0) เนื่องจากในกรณีนี้ 1 = 0
คำนิยาม 4.1.4.
หากอยู่ในวงแหวนเชื่อมโยง ( K, +, ) พร้อมกลุ่มหน่วย K * =
K\(0) โดยที่ 0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเกี่ยวกับการบวก วงแหวนดังกล่าวจะเรียกว่า ร่างกายหรือ พีชคณิตกับแผนก. ร่างกายสับเปลี่ยนเรียกว่า สนาม. จากนิยามนี้ชัดเจนว่าในร่างกาย K* และ 1 K* ดังนั้น 1 0 ดังนั้นเนื้อหาขั้นต่ำซึ่งเป็นฟิลด์ประกอบด้วยสององค์ประกอบ: 0 และ 1 ตัวอย่าง 4.1.3.
1.
(คิว, +, ),
(R, +, ),
(ค, +, ) คือช่องตัวเลขของจำนวนตรรกยะ, จำนวนจริง, และจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับ 2.
(Z/พีZ, +, ) เป็นช่องสุดท้ายจาก พีองค์ประกอบ if พี- จำนวนเฉพาะ. ตัวอย่างเช่น, ( Z/2Z, +, ) คือฟิลด์ขั้นต่ำของสององค์ประกอบ 3.
ร่างกายที่ไม่สับเปลี่ยนคือร่างกายของ quaternions - ชุดของ quaternions นั่นคือการแสดงออกของแบบฟอร์ม ชม.=
เอ + สอง + cj + dk, ที่ไหน เอ,
ข,
ค,
d R,
ฉัน 2 =
= เจ 2 = k 2 = –1,
ฉัน เจ= k= – เจ ฉัน,
เจ k= ฉัน= – k เจ,
ฉัน k= – เจ= – k ฉันกับการดำเนินการของการบวกและการคูณ Quaternions ถูกเพิ่มและคูณเทอมด้วยเทอม โดยคำนึงถึงสูตรข้างต้น สำหรับทุกคน ชม. 0 ควอเทอร์เนียนผกผันมีรูปแบบ: มีวงแหวนที่มีตัวหารศูนย์และวงแหวนที่ไม่มีตัวหารศูนย์ คำนิยาม 4.1.5.
หากมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในวงแหวน เอและ ขดังนั้น เอ ข= 0 แล้วจึงเรียกว่า ตัวหารศูนย์, และแหวนนั้นเอง แหวนตัวหารศูนย์. มิฉะนั้นแหวนจะเรียกว่า แหวนที่ไม่มีตัวหารศูนย์. ตัวอย่าง 4.1.4.
1.
แหวน ( Z, +, ),
(คิว, +, ),
(R, +, ),
(ค, +, ) คือวงแหวนที่ไม่มีตัวหารศูนย์ 2.
ในวงแหวน ( วี 3 (R), +, ) องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัวเป็นตัวหารศูนย์ตั้งแต่ 3.
ในวงแหวนของเมทริกซ์ เอ็ม 3 (Z) ตัวอย่างของตัวหารศูนย์คือเมทริกซ์
4.
ในวงแหวน ( Z/
นZ, +, ) ด้วยคอมโพสิต น=
k มที่ไหน 1< k,
ม < น, คลาสสารตกค้าง ด้านล่างเรานำเสนอคุณสมบัติหลักของวงแหวนและฟิลด์
, , หมายความว่า b=c (เช่น ความสามารถในการยกเลิกโดยองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทางด้านซ้ายหากไม่มีตัวหารศูนย์ด้านซ้าย และทางด้านขวาหากไม่มีตัวหารศูนย์ที่ถูกต้อง)
. จำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุด n เรียกว่า ระดับความไร้ประสิทธิภาพขององค์ประกอบ .
, ) บทสนทนาไม่เป็นความจริง (ไม่มีองค์ประกอบที่ไม่มีศูนย์ใน Z 6 แต่ 2 , 3 , 4 เป็นตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์)§ 7. พีชคณิตที่มีสองการดำเนินการ แหวน
§ 8. แหวนด้วยความสามัคคี
§ 9 สนาม
ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามคำจำกัดความของกลุ่ม 3.2.1 ปล่อยให้เป็น เอ, ข K*. แสดงว่า เอ ข K * .
(เอ ข) –1 = ข –1 เอ –1 K. จริงๆ,
(เอ –1) –1
=
เอ.
| (k, น) = 1,
0 k < น), ที่ น > 1
| Z/นZ * | =
(น), ที่ไหน
คือฟังก์ชันออยเลอร์
.
เพื่อทุกสิ่ง 
วี 3 (R).
และ
, เช่น อา บี =
อู๋(ศูนย์เมทริกซ์).
และ 
เป็นตัวหารศูนย์ เนื่องจาก
