≡×เมนู

• สุขภาพ
• การตั้งครรภ์
• เด็ก
• ความสัมพันธ์
• การคลอดบุตร

ความสัมพันธ์แบบไบนารี การดำเนินการเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบไบนารี

1. การสะท้อนกลับ:

2. การสะท้อนกลับที่อ่อนแอ:

3. การสะท้อนกลับที่แข็งแกร่ง:

4. การต้านการสะท้อนกลับ:

5. การต้านการสะท้อนกลับที่อ่อนแอ:

6. ป้องกันการสะท้อนกลับที่แข็งแกร่ง:

7. สมมาตร:

8. ความไม่สมมาตร:

9. ความไม่สมมาตร:

10. ความเป็นเส้นตรงที่แข็งแกร่ง:

11. ความเป็นเส้นตรงที่อ่อนแอ:

12. การเปลี่ยนแปลง:

การสะท้อนกลับซึ่งเป็นคุณสมบัติของเลขฐานสอง (ไบนารี, ทวินาม) ความสัมพันธ์,แสดงความพอใจสำหรับคู่ของวัตถุที่มีสมาชิกที่ตรงกัน (เช่น ระหว่างวัตถุกับ "การสะท้อนของกระจก"): ความสัมพันธ์ Rเรียกว่าสะท้อนกลับถ้าสำหรับวัตถุใด ๆ Xจากขอบเขตของคำจำกัดความ xRx.ตัวอย่างทั่วไปและสำคัญที่สุดของความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ: ประเภทความสัมพันธ์ ความเท่าเทียมกัน (อัตลักษณ์ ความเท่าเทียมกัน ความคล้ายคลึงกันฯลฯ: วัตถุใด ๆ เท่ากับตัวมันเอง) และความสัมพันธ์ไม่ใช่ คำสั่งที่เข้มงวด(วัตถุใด ๆ ไม่น้อยและไม่เกินตัวมันเอง) ความคิดที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับ "ความเท่าเทียมกัน" (ความเท่าเทียมกัน ความคล้ายคลึง ฯลฯ ) ประกอบเข้าด้วยกันด้วยคุณสมบัติอย่างเห็นได้ชัด สมมาตรและ สกรรมกริยาคุณสมบัติของ R. ก็ "ถูกบังคับ" เช่นกัน เพราะคุณสมบัติสุดท้ายจะตามมาจากสองคุณสมบัติแรก ดังนั้นปรากฎว่าความสัมพันธ์หลายอย่างที่ใช้ในคณิตศาสตร์ซึ่งตามคำจำกัดความไม่มี R กลายเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะกำหนดใหม่ในลักษณะที่สะท้อนกลับเช่นการพิจารณาว่าแต่ละบรรทัดหรือ ระนาบขนานกับตัวเองเป็นต้น

บทที่ 1 องค์ประกอบของทฤษฎีเซต

1.1 ชุด

โครงสร้างข้อมูลที่ง่ายที่สุดที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลที่แยกออกมาต่างหาก จำนวนรวมของข้อมูลดังกล่าวคือ พวงของ. แนวคิดของเซตเป็นแนวคิดที่ไม่ได้กำหนดไว้ ชุดไม่มีโครงสร้างภายใน ชุดสามารถคิดได้ว่าเป็นชุดขององค์ประกอบที่มีคุณสมบัติร่วมกันบางอย่าง สำหรับการรวบรวมองค์ประกอบที่จะเรียกว่าชุดต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ต้องมีกฎเกณฑ์ในการพิจารณาว่าองค์ประกอบที่ระบุเป็นของคอลเลกชันที่กำหนดหรือไม่

ต้องมีกฎเกณฑ์ในการแยกแยะองค์ประกอบออกจากกัน (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตหนึ่งต้องไม่มีสอง เหมือนกันองค์ประกอบ)

ชุดมักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ถ้าธาตุ

เป็นของ set แล้วมันจะแสดง:

ถ้าแต่ละองค์ประกอบของเซต

เป็นองค์ประกอบของเซตด้วย แล้วเซตนั้นเรียกว่าเป็น เซตย่อยชุด :

เซตย่อย

ชุดเรียกว่า เซตย่อยของตัวเอง, ถ้า

ด้วยการใช้แนวคิดของเซต คุณสามารถสร้างออบเจกต์ที่ซับซ้อนและมีความหมายมากขึ้นได้

1.2 การดำเนินการกับชุด

การดำเนินการหลักในชุดคือ ยูเนี่ยน, จุดตัดและ ความแตกต่าง.

คำจำกัดความ 1. สมาคม

คำจำกัดความ 2. ข้ามสองชุดเรียกว่าชุดใหม่

คำจำกัดความ 3. ความแตกต่างสองชุดเรียกว่าชุดใหม่

หากคลาสของอ็อบเจ็กต์ที่มีการกำหนดเซตต่างกันแสดงว่า

(จักรวาล), แล้ว ส่วนที่เพิ่มเข้าไปชุดเรียกส่วนต่างสั่ง n-ku, call พลังความสัมพันธ์ .

ความคิดเห็น แนวคิดเรื่องความสัมพันธ์มีความสำคัญมากไม่เพียงแต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แนวคิดของความสัมพันธ์จริง ๆ แล้วสนับสนุนทฤษฎีฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ทั้งหมด ดังที่แสดงด้านล่าง อัตราส่วนเป็นคู่ทางคณิตศาสตร์ โต๊ะ. คำว่า "การแสดงข้อมูลเชิงสัมพันธ์" ในระยะแรกเริ่มโดย Codd มาจากคำว่า ความสัมพันธ์เข้าใจในความหมายของคำนิยามนี้

เนื่องจากเซตใด ๆ ก็ถือเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของดีกรี 1 ได้ ดังนั้นเซตย่อยใดๆ ก็สามารถถือเป็นความสัมพันธ์ของดีกรี 1 ได้ เช่นเดียวกับเซตใดๆ นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่น่าสนใจมาก ซึ่งบ่งชี้เพียงว่าคำว่า "ความสัมพันธ์ของดีกรี 1" และ "เซตย่อย" เป็นคำพ้องความหมาย ความไม่สำคัญของแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์จะปรากฏเมื่อระดับของความสัมพันธ์มากกว่า 1 ประเด็นสำคัญที่นี่คือสอง:

ก่อนอื่นเลย, องค์ประกอบทั้งหมดของความสัมพันธ์คือ คล้ายกันสิ่งอันดับ ความสม่ำเสมอของ tuples ทำให้เราสามารถพิจารณาว่าเป็นแอนะล็อกของแถวในตารางง่าย ๆ เช่น ในตารางที่แถวทั้งหมดมีจำนวนเซลล์เท่ากัน และเซลล์ที่ตรงกันมีประเภทข้อมูลเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยสิ่งอันดับสามสิ่งต่อไปนี้ ( (1, "Ivanov", 1000), (2, "Petrov", 2000), (3, "Sidorov", 3000) ) สามารถถือเป็นตารางที่มีข้อมูลเกี่ยวกับ พนักงานและเงินเดือนของพวกเขา ตารางดังกล่าวจะมีสามแถวและสามคอลัมน์ โดยแต่ละคอลัมน์จะมีข้อมูลประเภทเดียวกัน

ในทางตรงกันข้าม ให้พิจารณาเซต ( (1), (1,2), (1, 2,3) ) ประกอบด้วย ต่างกันทูเพิลที่เป็นตัวเลข ชุดนี้ไม่สัมพันธ์กันทั้งนั้น

, ทั้ง ใน , หรือ ใน . เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างโต๊ะธรรมดาจากสิ่งอันดับที่รวมอยู่ในชุดนี้ จริง เราสามารถพิจารณาเซตนี้เป็นความสัมพันธ์ของดีกรี 1 กับเซตของทูเพิลตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดขององศาที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ปล่อยให้เป็น R- ความสัมพันธ์แบบไบนารีบางส่วนในชุด X และ x, y, z เป็นองค์ประกอบใดๆ หากองค์ประกอบ x มีความสัมพันธ์ R กับองค์ประกอบ y เราก็เขียน ร.ร.

1. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่า การสะท้อนกลับ หากแต่ละองค์ประกอบของเซตอยู่ในความสัมพันธ์นี้กับตัวเอง

R -reflexively บน X<=>xRx สำหรับ x€ X . ใดๆ

ถ้าความสัมพันธ์ R เป็นรีเฟล็กซ์ แสดงว่ามีการวนซ้ำที่จุดยอดแต่ละอันของกราฟ ตัวอย่างเช่น ความเสมอภาคและความสัมพันธ์แบบขนานสำหรับส่วนของเส้นตรงจะสะท้อนกลับ ในขณะที่ความสัมพันธ์ในแนวตั้งฉากและความสัมพันธ์ที่ "ยาวกว่า" จะไม่สะท้อนกลับ สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในกราฟในรูปที่ 42

2. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่าสมมาตร หากข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับองค์ประกอบ y แสดงว่าองค์ประกอบ y มีความสัมพันธ์เดียวกันกับองค์ประกอบ x

R - สมมาตรบน (xYau => y Rx)

กราฟความสัมพันธ์แบบสมมาตรประกอบด้วยลูกศรคู่ที่เคลื่อนไปในทิศทางตรงกันข้าม ความสัมพันธ์ของการขนาน ความตั้งฉาก และความเท่าเทียมกันสำหรับส่วนนั้นมีความสมมาตร และความสัมพันธ์ "ยาวกว่า" นั้นไม่สมมาตร (รูปที่ 42)

3. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่า ต้านสมมาตร หากองค์ประกอบ x และ y จากเซต X ต่างกัน ความจริงที่ว่าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับองค์ประกอบ y แสดงว่าองค์ประกอบ y ไม่อยู่ในความสัมพันธ์นี้ ด้วยองค์ประกอบ x

R - ต้านสมมาตรบน X" (xRy และ xy ≠ yRx)

หมายเหตุ: โอเวอร์ไลน์แสดงถึงการปฏิเสธคำสั่ง

บนกราฟอัตราส่วนต้านสมมาตร ลูกศรเดียวสามารถเชื่อมจุดสองจุดได้ ตัวอย่างของความสัมพันธ์ดังกล่าวคือความสัมพันธ์ที่ "ยาวขึ้น" สำหรับเซ็กเมนต์ (รูปที่ 42) ความสัมพันธ์ของการขนาน ความตั้งฉาก และความเท่าเทียมกันนั้นไม่สมมาตรกัน มีความสัมพันธ์ที่ไม่สมมาตรและไม่สมมาตร เช่น ความสัมพันธ์ "การเป็นพี่น้อง" (ภาพที่ 40)

4. ความสัมพันธ์ R ในชุด X เรียกว่าสกรรมกริยา ถ้าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับองค์ประกอบ y และองค์ประกอบ y อยู่ในความสัมพันธ์นี้กับองค์ประกอบ z หมายความว่าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนด ด้วยองค์ประกอบZ

R - สกรรมกริยาบน A≠ (xRy และ yRz=> xRz)

บนกราฟของความสัมพันธ์ "ยาวกว่า" ความขนานและความเท่าเทียมกันในรูปที่ 42 คุณจะเห็นว่าหากลูกศรเปลี่ยนจากองค์ประกอบแรกไปยังองค์ประกอบที่สองและจากองค์ประกอบที่สองไปยังองค์ประกอบที่สาม จำเป็นต้องมีลูกศรจากองค์ประกอบแรก ที่สาม ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสกรรมกริยา ความตั้งฉากของเซ็กเมนต์ไม่มีคุณสมบัติของทรานซิติวิตี

มีคุณสมบัติอื่น ๆ ของความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของชุดเดียวกันซึ่งเราไม่พิจารณา

ความสัมพันธ์เดียวกันสามารถมีคุณสมบัติหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มของเซ็กเมนต์ ความสัมพันธ์ "เท่ากับ" เป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร สกรรมกริยา ความสัมพันธ์ "มากกว่า" นั้นไม่สมมาตรและสกรรมกริยา

หากความสัมพันธ์บนเซต X เป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นเทียบเท่ากับเซตนี้ ความสัมพันธ์ดังกล่าวแบ่งเซต X ออกเป็นคลาส

ความสัมพันธ์เหล่านี้แสดงให้เห็น เช่น เมื่อปฏิบัติงาน: “หยิบแถบที่มีความยาวเท่ากันและจัดเรียงเป็นกลุ่ม”, “กระจายลูกบอลเพื่อให้แต่ละกล่องบรรจุลูกบอลที่มีสีเดียวกัน” ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ("ให้มีความยาวเท่ากัน", "มีสีเดียวกัน") กำหนดในกรณีนี้ให้แบ่งชุดของแถบและลูกบอลออกเป็นชั้นเรียน

หากความสัมพันธ์ในชุดที่ 1 เป็นสกรรมกริยาและไม่สมมาตร จะเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับในชุดนี้

ชุดที่มีความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อที่กำหนดไว้เรียกว่าชุดที่สั่งซื้อ

ตัวอย่างเช่น เมื่อทำงานเสร็จ: “เปรียบเทียบแถบตามความกว้างและจัดเรียงจากส่วนที่แคบที่สุดไปหากว้างที่สุด”, “เปรียบเทียบตัวเลขและเรียงไพ่ตามลำดับ” เด็กๆ จะจัดเรียงองค์ประกอบของชุดแถบและบัตรตัวเลขโดยใช้ ลำดับความสัมพันธ์; "กว้างขึ้น", "ทำตาม"

โดยทั่วไป ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและระเบียบมีบทบาทสำคัญในการก่อตัวในเด็กของแนวคิดที่ถูกต้องเกี่ยวกับการจำแนกและการเรียงลำดับของเซต นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์อื่น ๆ อีกมากมายที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือไม่มีระเบียบ

6. คุณสมบัติเฉพาะของเซตคืออะไร?

7. ความสัมพันธ์ใดที่สามารถกำหนดได้? ให้คำอธิบายสำหรับแต่ละกรณีและอธิบายโดยใช้วงกลมออยเลอร์

8. กำหนดเซตย่อย ยกตัวอย่างชุด ซึ่งชุดหนึ่งเป็นชุดย่อยของชุดอื่น เขียนความสัมพันธ์ของพวกเขาโดยใช้สัญลักษณ์

9. กำหนดชุดที่เท่ากัน ยกตัวอย่างชุดที่เท่ากันสองชุด เขียนความสัมพันธ์ของพวกเขาโดยใช้สัญลักษณ์

10. กำหนดจุดตัดของสองชุดและวาดโดยใช้วงกลมออยเลอร์สำหรับแต่ละกรณี

11. กำหนดการรวมกันของสองชุดและแสดงโดยใช้วงกลมออยเลอร์สำหรับแต่ละกรณี

12. กำหนดความแตกต่างของสองชุดและพรรณนาโดยใช้วงกลมออยเลอร์สำหรับแต่ละกรณี

13. กำหนดส่วนประกอบและวาดภาพโดยใช้วงกลมออยเลอร์

14. สิ่งที่เรียกว่าการแบ่งชุดออกเป็นชั้นเรียน? ตั้งชื่อเงื่อนไขสำหรับการจัดประเภทที่ถูกต้อง

15. สิ่งที่เรียกว่าการโต้ตอบระหว่างสองชุดคืออะไร? ตั้งชื่อวิธีการตั้งค่าการโต้ตอบ

16. การติดต่อโต้ตอบแบบใดที่เรียกว่าตัวต่อตัว?

17. ชุดใดที่เรียกว่าเทียบเท่า?

18. ชุดใดเรียกว่าเท่ากัน?

19. ตั้งชื่อวิธีการกำหนดความสัมพันธ์ในชุด

20. ความสัมพันธ์ใดในเซตที่เรียกว่าการสะท้อนกลับ?

21. ความสัมพันธ์ใดของเซตที่เรียกว่าสมมาตร?

22. ความสัมพันธ์แบบใดในชุดหนึ่งเรียกว่าไม่สมมาตร

23. ความสัมพันธ์ใดของเซตที่เรียกว่าสกรรมกริยา?

24. กำหนดความสัมพันธ์เทียบเท่า

25. กำหนดความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อ

26. ชุดอะไรเรียกว่าสั่งได้?

ความสัมพันธ์แบบไบนารี

ให้ A และ B เป็นเซตตามอำเภอใจ ลองนำองค์ประกอบหนึ่งชุดจากแต่ละชุด a จาก A, b จาก B แล้วเขียนแบบนี้: (องค์ประกอบของชุดแรกก่อน จากนั้นองค์ประกอบของชุดที่สอง - นั่นคือลำดับขององค์ประกอบที่มีความสำคัญต่อเรา) วัตถุดังกล่าวจะเรียกว่า สั่งคู่. เท่ากับเราจะพิจารณาเฉพาะคู่ที่องค์ประกอบที่มีตัวเลขเท่ากันเท่านั้น = , ถ้า a = c และ b = d แน่นอน ถ้า a ≠ b แล้ว ≠ .

ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนเซตโดยพลการ A และ B (แสดง: AB) เป็นเซตที่ประกอบด้วยคู่ลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด องค์ประกอบแรกเป็นของ A และชุดที่สองเป็นของ B ตามคำจำกัดความ: AB = ( | AA และ bB) แน่นอน ถ้า A≠B แล้วก็ AB ≠ BA ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A ด้วยตัวมันเองเรียกว่า n ครั้ง องศาคาร์ทีเซียน A (แสดง: A n).

ตัวอย่างที่ 5 ให้ A = (x, y) และ B = (1, 2, 3)

เอบี=( , , , , , }.

บธ=(<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

บีบี = บี 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

ความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุด M คือชุดของคู่ขององค์ประกอบของชุด M ถ้า r เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีและคู่ เป็นของความสัมพันธ์นี้ เราเขียน: r หรือ x r y เห็นได้ชัดว่า r Н M 2 .

ตัวอย่างที่ 6 ตั้งค่า (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุด (1, 2, 3, 4, 5)

ตัวอย่างที่ 7 ความสัมพันธ์ ³ บนเซตของจำนวนเต็มเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี นี่คือชุดอนันต์ของคู่ลำดับของรูปแบบ โดยที่ x ³ y, x และ y เป็นจำนวนเต็ม ความสัมพันธ์นี้รวมถึง ตัวอย่างเช่น คู่<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>และไม่เป็นของคู่ครอง<5, 7>, <-3, 2>.

ตัวอย่างที่ 8 ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันในชุด A เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี: I A = ( | x О A). I A เรียกว่า เส้นทแยงมุมชุด A

เนื่องจากความสัมพันธ์แบบไบนารีเป็นเซต การดำเนินการของยูเนียน ทางแยก การบวก และความแตกต่างจึงมีผลกับพวกมัน

ขอบเขตของคำนิยามความสัมพันธ์แบบไบนารี r คือเซต D(r) = ( x | มี y เช่นนั้น xry ) พื้นที่ความคุ้มค่าความสัมพันธ์แบบไบนารี r คือเซต R(r) = ( y | มี x เช่นนั้น xry )

ทัศนคติ, ย้อนกลับกับความสัมพันธ์แบบไบนารี r Н M 2 เรียกว่าความสัมพันธ์แบบไบนารี r -1 = ( | โอ ร). เห็นได้ชัดว่า D(r -1) = R(r), R(r -1) = D(r), r - 1 Í M 2 .

องค์ประกอบความสัมพันธ์แบบไบนารี r 1 และ r 2 ที่กำหนดไว้ในชุด M เรียกว่าความสัมพันธ์แบบไบนารี r 2 o r 1 = ( | มีอยู่อย่างนั้น О r 1 และ น ร 2 ). แน่นอน r 2 o r 1 Í M 2 .

ตัวอย่างที่ 9 กำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารี r ในชุด M = (a, b, c, d), r = ( , , , ). จากนั้น D(r) = (a, c), R(r) = (b, c, d), r -1 = ( , , , ), r o r = ( , , , ), r -1 o r = ( , , , ), r o r -1 = ( , , , , , , }.

ให้ r เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุด M ความสัมพันธ์ r เรียกว่า สะท้อนแสง, ถ้า x r x สำหรับ x О M ใดๆ ความสัมพันธ์ r เรียกว่า สมมาตร, ถ้ามากันคนละคู่ นอกจากนี้ยังมีคู่ . อัตราส่วน r เรียกว่า สกรรมกริยา, ถ้าจากข้อเท็จจริงที่ว่า x r y และ y r z เป็นไปตามนั้น x r z อัตราส่วน r เรียกว่า ไม่สมมาตร, ถ้ามันไม่มีคู่พร้อมกัน และ องค์ประกอบต่างๆ x ¹ y ของเซต M

ให้เราระบุเกณฑ์สำหรับการปฏิบัติตามคุณสมบัติเหล่านี้

ความสัมพันธ์แบบไบนารี r บนเซต M จะสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อ I M Н r

ความสัมพันธ์แบบไบนารี r จะสมมาตรก็ต่อเมื่อ r = r -1

ความสัมพันธ์แบบไบนารี r บนเซต M จะต้านสมมาตรก็ต่อเมื่อ r З r -1 = I M

ความสัมพันธ์แบบไบนารี r เป็นสกรรมกริยาก็ต่อเมื่อ r o r н r

ตัวอย่างที่ 10 ความสัมพันธ์จากตัวอย่างที่ 6 เป็นแบบต้านสมมาตร แต่ไม่สมมาตร สะท้อนกลับ และสกรรมกริยา ความสัมพันธ์ในตัวอย่างที่ 7 เป็นแบบสะท้อนกลับ ต้านสมมาตร และสกรรมกริยา แต่ไม่สมมาตร ความสัมพันธ์ I A มีคุณสมบัติที่พิจารณาทั้งสี่ประการ ความสัมพันธ์ r -1 o r และ r o r -1 มีความสมมาตร สกรรมกริยา แต่ไม่ต้านสมมาตรและสะท้อนกลับ

ทัศนคติ ความเท่าเทียมกันบนเซต M เรียกว่า ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่มีสกรรมกริยา สมมาตร และสะท้อนกลับบน M

ทัศนคติ คำสั่งบางส่วนในชุด M เรียกว่า สกรรมกริยา ต้านสมมาตร และ สะท้อนกลับ บนความสัมพันธ์แบบไบนารี M r

ตัวอย่างที่ 11 ความสัมพันธ์จากตัวอย่างที่ 7 เป็นความสัมพันธ์ลำดับบางส่วน ความสัมพันธ์ I A เป็นความสัมพันธ์สมมูลและลำดับบางส่วน ความสัมพันธ์ของการขนานบนเซตของเส้นเป็นความสัมพันธ์ที่สมมูล

คุณสมบัติความสัมพันธ์:

1) การสะท้อนกลับ;

2) สมมาตร;

3) ทรานซิชัน

4) ความเชื่อมโยง

ทัศนคติ Rในชุด Xเรียกว่า สะท้อนแสงถ้าเกี่ยวกับแต่ละองค์ประกอบของเซต Xเรียกได้ว่าเกี่ยวกัน Rกับตัวเอง: Xอาร์เอ็กซ์หากความสัมพันธ์เป็นแบบสะท้อนกลับ แสดงว่ามีการวนซ้ำที่จุดยอดแต่ละอันของกราฟ ในทางกลับกัน กราฟที่จุดยอดทุกอันมีลูปเป็นกราฟความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ

ตัวอย่างของความสัมพันธ์สะท้อนกลับ ได้แก่ ความสัมพันธ์แบบ "หลายส่วน" บนเซตของจำนวนธรรมชาติ (แต่ละจำนวนเป็นตัวคูณของตัวเอง) และความสัมพันธ์ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม (แต่ละรูปสามเหลี่ยมจะเหมือนกันกับตัวมันเอง) และความสัมพันธ์ "ความเท่าเทียมกัน" (แต่ละตัวเลข เท่ากับตัวมันเอง) เป็นต้น

มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ของการตั้งฉากของเซ็กเมนต์: ab, บา(ไม่มีส่วนไหนที่จะบอกว่าตั้งฉากกับตัวมันเองได้) . ดังนั้นจึงไม่มีลูปบนกราฟของความสัมพันธ์นี้

ไม่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับและอัตราส่วน "ยาวกว่า" สำหรับส่วน "มากขึ้น 2" สำหรับจำนวนธรรมชาติ ฯลฯ

ทัศนคติ Rในชุด Xเรียกว่า ป้องกันแสงสะท้อน, ถ้าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ จากชุด Xเท็จเสมอ Xอาร์เอ็กซ์: .

มีความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนและไม่สะท้อนแสง ตัวอย่างของความสัมพันธ์ดังกล่าวคือความสัมพันธ์ "จุด Xสมมาตรถึงจุด ที่ค่อนข้างตรง l” ซึ่งกำหนดไว้บนเซตของจุดบนระนาบ แน่นอนทุกจุดของเส้น lมีความสมมาตรในตัวเอง และจุดที่ไม่ติดเส้น ล,ไม่สมมาตรกับตนเอง

ทัศนคติ Rในชุด Xเรียกว่า สมมาตร, ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไข: จากข้อเท็จจริงที่ว่าธาตุ Xสัมพันธ์กับธาตุ y, ตามมาด้วยว่าธาตุ yอยู่ในความสัมพันธ์ Rด้วยองค์ประกอบ เอ็กซ์:xRyyRx

กราฟของความสัมพันธ์แบบสมมาตรมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: พร้อมกับลูกศรแต่ละอันที่มาจาก Xถึง y, กราฟประกอบด้วยลูกศรไปจาก yถึง X(รูปที่ 35).

ตัวอย่าง ความสัมพันธ์แบบสมมาตรสามารถเป็นดังต่อไปนี้: อัตราส่วนของ "เส้นขนาน" ของส่วน, อัตราส่วนของ "แนวตั้งฉาก" ของส่วน, อัตราส่วนของ "ความเท่าเทียมกัน" ของส่วน, อัตราส่วนของความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม, อัตราส่วนของ "ความเท่าเทียมกัน" ของเศษส่วน ฯลฯ

มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติของความสมมาตร

แท้จริงแล้วถ้าส่วน Xยาวกว่าส่วน ที่จากนั้นส่วน ที่ยาวเกินเซ็กเมนต์ไม่ได้ X. กราฟของความสัมพันธ์นี้มีภาวะเอกฐาน: ลูกศรที่เชื่อมต่อจุดยอดมีทิศทางเดียวเท่านั้น

ทัศนคติ Rเรียกว่า ไม่สมมาตร, ถ้าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ Xและ yออกจากความจริง xRyความเท็จตามมา yRx: : xRyyRx.

นอกจากความสัมพันธ์ที่ "ยาวขึ้น" แล้ว ยังมีความสัมพันธ์แบบแอนสมมาตรอื่นๆ ในชุดของเซ็กเมนต์อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ "มากกว่า" สำหรับตัวเลข (ถ้า Xมากกว่า ที่, แล้ว ที่ไม่สามารถมากขึ้น X) อัตราส่วน "มากขึ้นโดย" ฯลฯ

มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติของความสมมาตรหรือคุณสมบัติของความสมมาตร

ความสัมพันธ์ R บนชุด Xเรียกว่า สกรรมกริยาถ้ามาจากธาตุอะไร Xอยู่ในความสัมพันธ์ Rด้วยองค์ประกอบ คุณและธาตุ yอยู่ในความสัมพันธ์ Rด้วยองค์ประกอบ z, ตามมาด้วยว่าธาตุ Xอยู่ในความสัมพันธ์ Rด้วยองค์ประกอบ z: xRyและ yRzxRz

กราฟความสัมพันธ์สกรรมกริยากับลูกศรแต่ละคู่ที่เริ่มจาก Xถึง yและจาก yถึง zมีลูกศรไปจาก Xถึง ซี

ความสัมพันธ์ "ยาวกว่า" ในชุดของเซ็กเมนต์ยังมีคุณสมบัติของทรานซิติฟด้วย: ถ้าเซกเมนต์ เอยาวกว่าส่วน ข, ส่วนเส้น ขยาวกว่าส่วน กับจากนั้นส่วน เอยาวกว่าส่วน กับ.ความสัมพันธ์ "ความเท่าเทียมกัน" ในชุดของเซ็กเมนต์ยังมีคุณสมบัติของทรานซิกทีฟด้วย: (ก=ข, ข=ค)(ก=ค).

มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติของทรานซิชันซิสเต็ม ความสัมพันธ์ดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ในแนวตั้งฉาก: ถ้าเซกเมนต์ เอตั้งฉากกับส่วน ขและส่วน ขตั้งฉากกับส่วน กับแล้วส่วนต่างๆ เอและ กับไม่ตั้งฉาก!

มีคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของความสัมพันธ์ที่เรียกว่าคุณสมบัติที่เชื่อมต่อและความสัมพันธ์ที่มีมันเรียกว่าเชื่อมต่อ

ทัศนคติ Rในชุด Xเรียกว่า ที่เกี่ยวข้อง,ถ้าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ Xและ yจาก ชุดที่ให้มาตรงตามเงื่อนไข: if Xและ yต่างกันแล้ว Xอยู่ในความสัมพันธ์ Rด้วยองค์ประกอบ y, หรือองค์ประกอบ yอยู่ในความสัมพันธ์ Rด้วยองค์ประกอบ X. การใช้สัญลักษณ์สามารถเขียนได้ดังนี้: xyxRyหรือ yRx

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ "มากกว่า" สำหรับจำนวนธรรมชาติมีคุณสมบัติของการเชื่อมต่อ: สำหรับตัวเลข x และ y ที่แตกต่างกันเราสามารถยืนยันได้ x>y, หรือ y>x.

ในกราฟความสัมพันธ์ จุดยอดสองจุดใดๆ จะถูกเชื่อมต่อด้วยลูกศร การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน

มีความสัมพันธ์ที่ไม่มีคุณสมบัติเกี่ยวโยงกัน ความสัมพันธ์ดังกล่าว เช่น ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวของเซตของจำนวนธรรมชาติ เราสามารถเรียกตัวเลขดังกล่าวว่า x และ yไม่ว่าเลขไหน Xไม่ใช่ตัวหาร y,ไม่มีเบอร์ yไม่ใช่ตัวหาร X(ตัวเลข 17 และ 11 , 3 และ 10 เป็นต้น) .

มาดูตัวอย่างกัน ในชุด X=(1, 2, 4, 8, 12)ความสัมพันธ์ "จำนวน Xทวีคูณของ y". ให้เราสร้างกราฟของความสัมพันธ์นี้และกำหนดคุณสมบัติของมัน

เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของเศษส่วน มันคือความสัมพันธ์สมมูล

ทัศนคติ Rในชุด Xเรียกว่า ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันถ้ามันมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ, สมมาตรและทรานสิชันพร้อมๆ กัน

ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันคือ: ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน รูปทรงเรขาคณิต, อัตราส่วนความขนานของเส้น

ในความสัมพันธ์ของ "ความเท่าเทียมกันของเศษส่วน" ที่กล่าวข้างต้น เซต Xแบ่งออกเป็นสามส่วนย่อย: ; ; }, {; } , (). เซตย่อยเหล่านี้ไม่ตัดกัน และยูเนียนของเซตนั้นตรงกับเซต X, เช่น. เรามีพาร์ติชั่นของเซ็ตเป็นคลาส

ดังนั้น, ถ้าความสัมพันธ์สมมูลได้รับในชุด X จะสร้างพาร์ติชันของชุดนี้ลงในชุดย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อแบบคู่ - คลาสสมมูล

ดังนั้นเราจึงได้กำหนดความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันบนเซต
X=( ;; ; ; ; ) สอดคล้องกับการแบ่งส่วนของเซตนี้เป็นคลาสสมมูล ซึ่งแต่ละอันประกอบด้วยเศษส่วนเท่ากัน

หลักการของการแบ่งชุดออกเป็นชั้นเรียนโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเป็นหลักการสำคัญของคณิตศาสตร์ ทำไม

อย่างแรก, เทียบเท่า - หมายถึง เทียบเท่า, ใช้แทนกันได้. ดังนั้น องค์ประกอบของคลาสสมมูลเดียวกันจึงใช้แทนกันได้ ดังนั้น เศษส่วนที่อยู่ในคลาสสมมูลเดียวกัน (; ; ) แยกไม่ออกในแง่ของความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและเศษส่วน สามารถใช้แทนกันได้ เช่น . และการแทนที่นี้จะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการคำนวณ

ประการที่สอง เนื่องจากมีองค์ประกอบในคลาสสมมูลที่ไม่สามารถแยกแยะได้จากมุมมองของความสัมพันธ์บางอย่าง จึงเชื่อกันว่าคลาสสมมูลถูกกำหนดโดยตัวแทนใดๆ เช่น องค์ประกอบโดยพลการของชั้นเรียน ดังนั้น สามารถระบุชั้นใด ๆ ของเศษส่วนเท่ากันโดยระบุเศษส่วนใด ๆ ที่เป็นของชั้นนี้ คลาสสมมูลที่เกี่ยวกับตัวแทนหนึ่งคน แทนที่จะศึกษาองค์ประกอบทั้งหมดของเซต ในการศึกษาชุดของตัวแทนจากคลาสสมมูล ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูล "มีจำนวนจุดยอดเท่ากัน" ที่กำหนดบนชุดของรูปหลายเหลี่ยมจะสร้างพาร์ติชันของชุดนี้ออกเป็นชั้นของรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และอื่นๆ คุณสมบัติที่มีอยู่ในคลาสใดประเภทหนึ่งได้รับการพิจารณาจากตัวแทนคนใดคนหนึ่ง

ประการที่สาม การแบ่งชุดออกเป็นคลาสโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเพื่อแนะนำแนวคิดใหม่ ตัวอย่างเช่น แนวคิดของ "มัดของเส้น" สามารถกำหนดได้ว่าเป็นสิ่งที่ทั่วไปที่เส้นคู่ขนานมีต่อกัน

ความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อเป็นความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกประเภทหนึ่ง พิจารณาปัญหา ในชุด X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) ความสัมพันธ์ “มีเศษเหลือเท่ากันเมื่อหารด้วย 3 ". ความสัมพันธ์นี้สร้างพาร์ติชันของ set Xเป็นชั้นเรียน: หนึ่งจะรวมตัวเลขทั้งหมดเมื่อหารด้วย 3 ได้รับในส่วนที่เหลือ 0 (นี่คือตัวเลข 3, 6, 9 ). ในวินาที - ตัวเลขเมื่อหารด้วย 3 ที่เหลือคือ 1 (นี่คือตัวเลข 4, 7, 10 ). ที่สามจะรวมตัวเลขทั้งหมดเมื่อหารด้วย 3 ที่เหลือคือ 2 (นี่คือตัวเลข 5, 8 ). อันที่จริง เซตผลลัพธ์ไม่ตัดกัน และการรวมของเซตนั้นตรงกับเซต X. ดังนั้นความสัมพันธ์ "จะมีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย 3 » กำหนดไว้ในชุด Xเป็นความสัมพันธ์สมมูล

หากต้องการยกตัวอย่างอื่น นักเรียนจำนวนมากในชั้นเรียนสามารถจัดเรียงตามส่วนสูงหรืออายุได้ โปรดทราบว่าความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติของความสมมาตรและการถ่ายทอด หรือทุกคนรู้ลำดับของตัวอักษรในตัวอักษร มีให้โดยทัศนคติ "ควร"

ทัศนคติ Rในชุด Xเรียกว่า ความสัมพันธ์ที่เข้มงวดถ้ามันมีคุณสมบัติของ antisymmetry และทรานซิชันพร้อมกัน ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ X< y».

หากความสัมพันธ์มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และทรานสซิกทีฟ มันก็จะเป็นเช่นนั้น ความสัมพันธ์ที่ไม่เคร่งครัด. ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ Xy».

ตัวอย่างของความสัมพันธ์ของลำดับ ได้แก่ ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ในชุดของจำนวนธรรมชาติ ความสัมพันธ์ "สั้นกว่า" ในชุดของเซ็กเมนต์ ถ้าความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อมีคุณสมบัติเชื่อมต่อด้วยก็จะเรียกว่าเป็น ความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น. ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ในชุดของจำนวนธรรมชาติ

พวงของ Xเรียกว่า เป็นระเบียบหากมีความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อ

ตัวอย่างเช่น มากมาย X={2, 8, 12, 32 ) สามารถสั่งซื้อโดยใช้ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" (รูปที่ 41) หรือสามารถทำได้โดยใช้ความสัมพันธ์ "หลายรายการ" (รูปที่ 42) แต่เป็นความสัมพันธ์แบบลำดับ ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" และ "คูณ" เรียงลำดับเซตของจำนวนธรรมชาติในรูปแบบต่างๆ ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ให้คุณเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวใดก็ได้จากเซต Xและความสัมพันธ์ "คูณ" ไม่มีคุณสมบัติดังกล่าว ใช่สองสามตัวเลข 8 และ 12 ไม่ผูกมัดด้วยความสัมพันธ์ "ทวีคูณ" พูดไม่ได้ 8 หลายรายการ 12 หรือ 12 หลายรายการ 8.

ไม่ควรคิดว่าความสัมพันธ์ทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและความสัมพันธ์แบบมีระเบียบ มีความสัมพันธ์จำนวนมากที่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือความสัมพันธ์แบบลำดับ

แนวคิดของ "ความสัมพันธ์" นั้นแน่นอนสำหรับคุณอยู่แล้ว เรามักใช้ในการพูด ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าฉันรู้สึกดีกับนักเรียนทุกคนในกลุ่มของฉัน

ในชีวิตเราอยู่ในความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่องและเข้าสู่ความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน กับสมาชิกในครอบครัวของเรา เรามีความเกี่ยวข้องกับเครือญาติ กับเพื่อนร่วมโรงเรียน - เกี่ยวกับมิตรภาพ กับผู้นำของสถาบันที่เราศึกษาหรือทำงาน - เกี่ยวกับการอยู่ใต้บังคับบัญชา ฯลฯ ในแง่นี้ ความสัมพันธ์เป็นลักษณะเฉพาะของการเชื่อมต่อ

ในหัวข้อ 2.2 เราได้พูดถึงความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น องค์ประกอบที่สัมพันธ์กับเซตนั้นสัมพันธ์กับการเป็นเจ้าของ สองเซตสามารถอยู่ในความสัมพันธ์ของการรวมหรือความเท่าเทียมกัน

ตอนนี้เราจะพิจารณาความสัมพันธ์ที่สามารถมีได้ระหว่างองค์ประกอบของเซต ดังนั้นเราจึงกล่าวว่าความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นระหว่างองค์ประกอบของเซตในตัวอย่างที่พิจารณาเรียกว่าไบนารี

โดยพื้นฐานแล้ว ในตัวอย่าง เราได้รวบรวมผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตที่ให้มา นั่นคือ ชุดขององค์ประกอบทุกคู่ของชุดเหล่านี้ เพื่อให้องค์ประกอบแรกของคู่เป็นของชุดแรกและชุดที่สองเป็นชุดที่สอง จากนั้น จากชุดของคู่เหล่านี้ เราเลือกชุดย่อยของคู่ที่แสดงว่านักเรียนแต่ละคนเรียนอยู่ที่คณะใด

คำจำกัดความ 2.8. ความสัมพันธ์แบบไบนารี ระหว่างชุดโกหก ที่ เซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนเรียกว่า อา ว.

ความสัมพันธ์แบบไบนารีมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรของตัวอักษรกรีก: p ("ro"), a ("sigma"), | / ("psi") เป็นต้น

ถ้า p เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่างเซต แต่ และ ที่, ตามนิยามของความสัมพันธ์แบบไบนารี เราสามารถเขียนได้ว่า p c c L x B

หากเป็นคู่ (ก, ข ) เป็นของความสัมพันธ์แบบไบนารี p นั่นคือ (ก, ข ) e p แล้วเราจะบอกว่าธาตุ เออยู่ในความสัมพันธ์ p กับองค์ประกอบ ขและเขียน arb จากตัวอย่างข้างต้น พิจารณาความสัมพันธ์ “ไปเรียนที่คณะ” พูดได้เลยว่าปีเตอร์อยู่ในความสัมพันธ์นี้กับคณะคณิตศาสตร์

สำหรับความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่างมีสัญญาณบางอย่าง ตัวอย่างเช่น,

เนื่องจากความสัมพันธ์แบบไบนารีเป็นชุดของคู่ ดังนั้น จึงสามารถระบุได้โดยการระบุคู่เหล่านี้ หรือโดยการระบุคุณสมบัติเฉพาะสำหรับการเลือกคู่ที่เป็นของความสัมพันธ์นี้จากผลคูณคาร์ทีเซียน

ตัวอย่าง2.6

ให้ชุดตัวเลขสองชุด: เอ =(1, 3.5) และ ข =(2, 8, 10). มากำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารี o ระหว่างเซตเหล่านี้โดยการแจงนับ: เอ= ((1, 2), (5, 10)). เราสามารถตั้งค่าความสัมพันธ์เดียวกันกับคุณสมบัติลักษณะเฉพาะได้: ความสัมพันธ์แบบไบนารีเกิดขึ้นจากคู่ของตัวเลข ดังนั้นตัวเลขจากชุดแรกจะน้อยกว่าตัวเลขจากชุดที่สองสองเท่า

ตัวอย่าง 2.7

พิจารณาชุดนักเรียนในกลุ่มวิชาการของคุณ ให้เราสร้างสัมพันธ์ “เป็นเพื่อน” ในชุดนี้ สำหรับนักเรียนคู่ใดในกลุ่มวิชาการ เราสามารถพูดได้ว่าพวกเขาอยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดหรือไม่ มันอาจเกิดขึ้นได้ว่าความสัมพันธ์แบบไบนารีนี้จะสร้างเซตว่าง จะเป็นในกรณีใด?

ในตัวอย่างที่แล้ว คุณต้องให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าเราได้สร้างความสัมพันธ์ ไม่ใช่ระหว่างองค์ประกอบของสองชุด แต่ระหว่างองค์ประกอบของชุดเดียว สิ่งนี้เป็นไปได้เช่นกันและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของความสัมพันธ์แบบไบนารี ในกรณีนี้ แทนที่จะเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนของชุดสองชุด เราควรพิจารณาสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนของชุด

ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่กำหนดในชุดสามารถมีคุณสมบัติที่แตกต่างกัน ลองพิจารณาพวกเขา

1. คุณสมบัติของการสะท้อนกลับ

คำจำกัดความ 2.9 สะท้อนแสง , ถ้ามี เอ เอฟ หลี่คู่ (a > a) eร.

ทัศนคติ "

2. คุณสมบัติของความสมมาตร

คำจำกัดความ 2.10.ว่ากันว่าความสัมพันธ์แบบไบนารี p ที่กำหนดในเซต A คือ สมมาตร , ถ้าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ a และ ข จาก L จากคู่อะไร ( เอ , ข ) อยู่ในความสัมพันธ์ p ตามด้วยคู่ ( ข , ก) มีความสัมพันธ์กับอาร์

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันที่กำหนดไว้ในเซต ตัวเลขจริง, สมมาตร, เนื่องจากถ้าเป็นตัวเลข k เท่ากับจำนวน ป ) แล้วเลข พี เท่ากับจำนวน เค ความสัมพันธ์ "การเป็นเพื่อน" ก็มีความสมมาตรเช่นกัน

ในทางกลับกัน อัตราส่วนของการเรียงลำดับขนาด (

3. คุณสมบัติของ antisymmetry

คำจำกัดความ 2.11 ว่ากันว่าความสัมพันธ์แบบไบนารี p ที่กำหนดในเซต A คือ ไม่สมมาตร ที่ ถ้าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ เอ และ ข จาก A จากข้อเท็จจริงที่ว่าคู่ (i, /;) และ (/;, ก) มีความสัมพันธ์ p ตามมาว่า เอ = ข.

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ของการเรียงลำดับขนาดของเซตของจำนวนจริงนั้นไม่สมมาตร ท้ายที่สุดถ้ารู้ว่าสำหรับตัวเลข X และ ที่ เสร็จแล้ว X และ ที่ ก็หมายความว่า x - y แต่ความสัมพันธ์ของการขนานกันของเส้นนั้นไม่สมมาตรกัน เนื่องจากถ้าเป็นเส้น / ขนานกับเส้นตรง tและกำกับ tขนานกับเส้นตรง /, แล้วนี่ไม่ได้หมายความว่าโดยตรง / และ t การแข่งขัน. พวกเขาอาจแตกต่างกัน

4. คุณสมบัติของทรานซิชัน

คำจำกัดความ 2.12ว่ากันว่าความสัมพันธ์แบบไบนารี p ที่กำหนดในเซต A คือ สกรรมกริยา ที่ถ้าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ เอ, ข และ กับจาก L จากสิ่งที่คู่รัก (i, ข ) และ (/?, c) มีความสัมพันธ์ p ตามมาด้วยคู่ (ก, ค)ยังสัมพันธ์กับ r

คุณสมบัติของทรานซิทีฟนั้นครอบครองโดยความสัมพันธ์ของการเรียงลำดับในขนาด ความขนาน ความสัมพันธ์ "การเป็นญาติ"

ความสัมพันธ์ในแนวตั้งฉากของเส้นไม่เป็นสกรรมกริยา (แสดงด้วยรูปภาพ) นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ "การเป็นเพื่อน" โดยพื้นฐานแล้วไม่ใช่สกรรมกริยา (แม้ว่าจะมีคำพูดที่แสดงความปรารถนาที่จะเปลี่ยนผ่านของความสัมพันธ์นี้: "เพื่อนของเพื่อนของฉันคือเพื่อนของฉัน")

เราได้พิจารณาเฉพาะคุณสมบัติหลักของความสัมพันธ์แบบไบนารี ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์สองประเภทที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน (หรือสมมูล) เป็นความสัมพันธ์แบบเลขฐานสองที่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และทรานสซิวิตี

ความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อ (หรือการจัดลำดับ) เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีที่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ, ความไม่สมมาตรและการทรานซิทีฟ

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ “การเป็นเพื่อนร่วมชั้น” นั้นมีความเท่าเทียมกัน เพราะมันมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ความสมมาตร และการถ่ายทอด ความสัมพันธ์ "จะไม่สูง" ในกลุ่มคนเป็นความสัมพันธ์ของระเบียบ

ความเท่าเทียมกันและความสัมพันธ์ในการเรียงลำดับมีความสำคัญมากในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์ และความเท่าเทียมกันจะใช้เมื่อทำการจำแนกประเภทของวัตถุต่างๆ เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ อันดับแรกให้เราหันไปใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่นการแบ่งชุด

คำจำกัดความ 2.13 แยกออก ชุด/! เรียกว่า การแทนเซตนี้เป็นการรวมของเซตย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อกัน ซึ่งเรียกว่า คลาสพาร์ติชัน

ในการตรวจสอบว่าเรากำลังจัดการกับพาร์ติชั่นของชุด เราต้องตรวจสอบสองเงื่อนไข:

• ยูเนี่ยนของเซตย่อยที่ได้จากการแยกเป็นเซตดั้งเดิม
• จุดตัดของชุดย่อยที่แตกต่างกันสองชุดคือชุดว่าง

เมื่อทำการจำแนกประเภท คลาสพาร์ติชั่นจะเรียกว่า ชั้นเรียนที่เท่าเทียมกัน ชั้นเรียนเหล่านี้สร้างขึ้นอย่างไร?

ปล่อยให้อยู่ในชุด แต่ มีการแนะนำความสัมพันธ์สมมูลบางอย่าง p ใช้องค์ประกอบใด ๆ เอ จาก แต่ และองค์ประกอบทั้งหมดจาก แต่, อยู่กับใคร เอ เกี่ยวกับ r องค์ประกอบทั้งหมดเหล่านี้จะสร้างคลาสสมมูลขององค์ประกอบ ก. เป็นที่ชัดเจนว่าธาตุนั้นเอง เอ ตกอยู่ในชั้นนี้ อันที่จริง ถ้า p เป็นความสัมพันธ์สมมูล มันก็จะมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ นั่นคือ (ก) ก) e p ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบนั้นเอง เอ อยู่ในคลาสสมมูลที่มันก่อตัว

สามารถพิสูจน์ได้ว่าคลาสสมมูลขององค์ประกอบต่าง ๆ ของเซตนั้นตรงกันหรือไม่ตัดกัน ในเรื่องนี้เราสามารถสรุปได้ว่าคลาสเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นคลาสพาร์ติชั่น

อันที่จริง มีทฤษฎีบทหนึ่งที่บอกว่าถ้าให้ความสัมพันธ์สมมูลกับเซต เซตของคลาสสมมูลทั้งหมดที่มีองค์ประกอบของเซตนี้ก็คือพาร์ติชั่นของเซตนี้

ในทางกลับกัน สามารถพิสูจน์ได้ว่าหากมีพาร์ติชั่นของเซตและความสัมพันธ์แบบไบนารีถูกกำหนดบนเซ็ตนี้ในลักษณะที่คู่ขององค์ประกอบของเซ็ตอยู่ในความสัมพันธ์นี้ก็ต่อเมื่อทั้งคู่เป็นของ คลาสพาร์ติชั่นเดียวกัน ดังนั้นความสัมพันธ์แบบไบนารีนี้จะมีความเท่าเทียมกัน

คุณสามารถลองพิสูจน์แต่ละข้อความเหล่านี้ด้วยตัวเองหรือวิเคราะห์ข้อพิสูจน์ที่ให้ไว้ในงาน

เมื่อใช้คลาสสมมูล เราแบ่งเซ็ตออกเป็นเซ็ตย่อย ซึ่งแต่ละเซ็ตมีอิลิเมนต์ "เหมือนกัน" บางประเภท ตัวอย่างเช่น เซตของเศษส่วนบวกทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นคลาสสมมูลได้ดังนี้: 1) หาค่าที่ไม่ลดจำนวนแต่ละตัว

เศษส่วนเวลา (เช่น -); 2) ในแต่ละคลาสเทียบเท่า

2 4 6 8 ชั่วโมง t

สำหรับเศษส่วนที่มีอยู่ ให้นำเศษส่วนที่เท่ากันทั้งหมดมา - = - = - = 1akim

ดังนั้นเราจึงแยกเศษส่วนบวกทั้งหมดออกเป็นคลาสสมมูลที่สอดคล้องกัน แต่ละชั้นดังกล่าวเป็นจำนวนตรรกยะบวก

• สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่กล่าวว่า “ทัศนคติเป็นทัศนคติที่เปลี่ยนแปลงตามอารมณ์ของบุคคลที่มีต่อบางสิ่งบางอย่าง กล่าวคือ การแสดงออกถึงตำแหน่งของเธอ การวางเคียงกันทางจิตใจของวัตถุหรือแง่มุมต่าง ๆ ของวัตถุที่กำหนด ในพจนานุกรมอธิบายของ D. N. Ushakov “ความสัมพันธ์คือการสื่อสารซึ่งกันและกัน ความเชื่อมโยงระหว่างผู้คน สังคม ประเทศ ฯลฯ เกิดขึ้นจากการสื่อสารในบางพื้นฐาน”