≡×เมนู

• สุขภาพ
• การตั้งครรภ์
• เด็ก
• ความสัมพันธ์
• การคลอดบุตร

คุณสมบัติของความสัมพันธ์ในชุด ความสัมพันธ์แบบไบนารีและคุณสมบัติของมัน ความสัมพันธ์ a r

ภาษา T-SQL ใน SQL Server นั้นใช้ภาษา SQL มาตรฐาน ซึ่งอิงตามแบบจำลองเชิงสัมพันธ์ ซึ่งในทางกลับกันก็ขึ้นอยู่กับพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีเซตและตรรกะเพรดิเคต บทความนี้กล่าวถึงหัวข้อพื้นฐานจากทฤษฎีเซต: คุณสมบัติของความสัมพันธ์ในชุด ผู้อ่านสามารถใช้รหัส T-SQL ที่เสนอเพื่อตรวจสอบการมีอยู่ของคุณสมบัติบางอย่างของความสัมพันธ์บางอย่าง แต่คุณยังสามารถลองเขียนสคริปต์ในเวอร์ชันของคุณเองได้ (เพื่อพิจารณาว่าความสัมพันธ์มีคุณสมบัติเฉพาะหรือไม่) ก่อนที่จะลองใช้วิธีแก้ปัญหาในบทความนี้

ชุดและความสัมพันธ์

Georg Cantor ผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซต ให้นิยามเซตว่า “การรวมเป็น M ทั้งหมดของเซตของวัตถุที่กำหนดไว้อย่างดี m ของการไตร่ตรองหรือการคิดของเรา (ซึ่งจะเรียกว่าองค์ประกอบของเซต M)” องค์ประกอบของเซตสามารถเป็นวัตถุที่มีลักษณะตามอำเภอใจ: คน ตัวเลข และแม้แต่เซตเอง สัญลักษณ์ ∈ และ ∉ หมายถึง ตัวดำเนินการที่แสดงถึงการเป็นสมาชิก (การเกิดขึ้น การเป็นสมาชิก) และการไม่เป็นสมาชิกขององค์ประกอบในชุด ดังนั้น สัญกรณ์ x ∈ V หมายความว่า x เป็นองค์ประกอบของเซต V และสัญกรณ์ x ∉ V หมายความว่า x ไม่ใช่องค์ประกอบของ V

ความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุดคือชุดของคู่ขององค์ประกอบของชุดดั้งเดิม ดังนั้น สำหรับชุดขององค์ประกอบ V = (a, b, c) ความสัมพันธ์แบบไบนารี R บน ชุดที่ให้มา V จะเป็นสับเซตตามอำเภอใจของเซตของคู่ลำดับทั้งหมดของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน V × ​​V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b ), (b, c) , (c, a), (c, b), (c, c)). ความสัมพันธ์ R = ((a, b), (b, c), (a, c)) เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ถูกต้องบน V เราสามารถพูดได้ว่า a เกี่ยวข้องกับ b โดย R สมมติว่า R = ((a , b ), (b, c), (c, d)). R ดังกล่าวไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่ถูกต้องกับ V เนื่องจากคู่ (c, d) ไม่ได้อยู่ในผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน V × ​​V โปรดทราบว่าลำดับขององค์ประกอบในชุดไม่สำคัญ เซต V สามารถกำหนดเป็น (a, b, c) หรือเป็น (b, a, c) เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ลำดับของคู่คำสั่ง เช่น ใน (a, b) ของความสัมพันธ์แบบไบนารีมีความสำคัญ ดังนั้น (a, b) ≠ (b, a)

เป็นตัวอย่างที่สมจริงมากขึ้นของความสัมพันธ์แบบไบนารี ให้พิจารณาเซต F ของสมาชิกในครอบครัว: (Itzik, Mickey, Inna, Mila, Gabi) มิกกี้เป็นน้องชายฝาแฝดของอิทซิก อินนาเป็นของเขา พี่สาว, Mila เป็นแม่และ Gabi เป็นพ่อ ตัวอย่างของความสัมพันธ์ R ในชุด F คือ: "เป็นพี่น้องกัน" องค์ประกอบของความสัมพันธ์นี้คือ ((Itzik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itzik, Inna), (Mickey, Inna)) โปรดทราบว่าคู่ที่สั่งซื้อ (Itzik, Inna) ปรากฏใน R แต่คู่ (Inna, Itzik) ไม่ปรากฏขึ้น แม้ว่า Itzik จะเป็นพี่ชายของ Inna แต่เธอก็ไม่ใช่พี่ชายของเขา

คุณสมบัติของความสัมพันธ์ในชุด

ตอนนี้เราได้ทบทวนความเข้าใจเกี่ยวกับเซตและความสัมพันธ์แล้ว มาลงที่หัวข้อของบทความ - คุณสมบัติของความสัมพันธ์ในชุด เป็นตัวอย่างข้อมูล ลองใช้รหัสในรายการ 1 เพื่อสร้างตาราง V และ R V จะแสดงชุด และ R จะแสดงความสัมพันธ์แบบไบนารีบนนั้น ใช้รหัสในรายการ 2 เพื่อสร้างขั้นตอน ClearTables ที่คุณสามารถใช้เพื่อล้างตารางทั้งสองนี้ก่อนที่จะเติมข้อมูลตัวอย่างใหม่ สุดท้าย ใช้รหัสในรายการ 3, 4 และ 5 เพื่อเติมตาราง V และ R ด้วยชุดข้อมูลทดสอบที่แตกต่างกัน (เราจะเรียกข้อมูลเหล่านี้ว่า 1, 2 และ 3 ตามลำดับ)

การสะท้อนกลับความสัมพันธ์ R บนเซต V จะสะท้อนกลับ หากองค์ประกอบ v ใดๆ ของเซต V, v ∈ V เป็นไปตามนั้น (v, v) ∈ R นั่นคือคู่ (v, v) เป็นของ R เสมอ และความสัมพันธ์ R บน V ไม่สะท้อน หากมีองค์ประกอบ v ∈ V ที่คู่ (v, v) ∉ R. ลองพิจารณาอีกครั้งตัวอย่างของชุด F - สมาชิกในครอบครัวของฉัน

ความสัมพันธ์ "มีอายุเท่ากัน" ใน F นั้นสะท้อนกลับอย่างเห็นได้ชัด องค์ประกอบความสัมพันธ์จะเป็นคู่ต่อไปนี้: ((Itzik, Itzik), (Itzik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi, Gaby )).

มาเริ่มเขียนแบบสอบถาม T-SQL บนตาราง V และ R (แทนชุดและความสัมพันธ์ในชุดนี้) ตรวจสอบว่า R มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับหรือไม่:

เลือก
กรณี
เมื่อมีอยู่
(เลือก v, v จาก dbo.V
ยกเว้น
เลือก r1, r2 จาก dbo.R)
แล้ว "ไม่"
อย่างอื่น "ใช่"
END AS สะท้อนกลับ

เคียวรีย่อยแรกในการดำเนินการ EXCEPT จะคืนค่าชุดของคู่ที่เรียงลำดับทั้งหมด (v, v) สำหรับแถวทั้งหมดของตาราง V เคียวรีย่อยที่สองส่งคืนชุดของคู่ที่สั่งซื้อ (r1, r2) - แถวทั้งหมดของตาราง R การดำเนินการยกเว้น ดังนั้นจะส่งคืนคู่ที่สั่งซื้อทั้งหมดที่เกิดขึ้นในชุดแรกและขาดในชุดที่สอง เพรดิเคต EXISTS ใช้เพื่อทดสอบการมีอยู่ของเร็กคอร์ดอย่างน้อยหนึ่งรายการในชุดผลลัพธ์ หากมีอย่างน้อยหนึ่งเร็กคอร์ดดังกล่าว นิพจน์ CASE จะส่งกลับ "ไม่" (ไม่มีการสะท้อนกลับ) แต่ยัง "ใช่" ด้วย มิฉะนั้น(มีการสะท้อนกลับ).

ดูตัวอย่างชุดข้อมูลสามชุดในรายการ 3, 4 และ 5 แล้วลองพิจารณาว่ารายการใดจะสะท้อนกลับโดยไม่ต้องเรียกใช้คิวรี คำตอบจะได้รับในภายหลังในเนื้อหาของบทความ

ไม่สะท้อนความสัมพันธ์ R บนเซต V เรียกว่า irreflexive (เพื่อไม่ให้สับสนกับการไม่สะท้อนกลับ) หากสำหรับแต่ละองค์ประกอบ v ∈ V เป็นไปตามนั้น (v, v) ∉ R ความสัมพันธ์จะไม่สะท้อนหากมีองค์ประกอบ v ∈ V ซึ่ง (v, v) ∈ R. ตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนในชุด F ของสมาชิกในครอบครัวของฉันคือความสัมพันธ์ "การเป็นพ่อแม่" เนื่องจากไม่มีใครสามารถเป็นพ่อแม่ของตัวเองได้ สมาชิกของความสัมพันธ์นี้ใน F จะเป็นคู่ต่อไปนี้: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gaby, Itzik), (Gaby, Mickey), (Gaby, Inna)) .

แบบสอบถามต่อไปนี้เป็นการทดสอบ - ไม่ว่าความสัมพันธ์ R บน V จะไม่สะท้อน:

เลือก
กรณี
เมื่อมีอยู่
(เลือก * จาก dbo.R
โดยที่ r1 = r2)
แล้ว "ไม่"
อย่างอื่น "ใช่"
END AS ไม่สะท้อน

คีย์ต่างประเทศในคำจำกัดความตาราง R ถูกนำมาใช้เพื่อให้แน่ใจว่ามีเพียงองค์ประกอบของ V เท่านั้นที่สามารถเขียนแอตทริบิวต์ r1 และ r2 ของรายการ R ได้ ดังนั้น สิ่งเดียวที่ต้องทำคือตรวจสอบว่ามีรายการใดใน R ที่มีการจับคู่ r1 และ แอตทริบิวต์ r2 หากมีเร็กคอร์ดดังกล่าว ความสัมพันธ์ R จะไม่สะท้อน หากไม่มีเรกคอร์ด ความสัมพันธ์ R จะไม่สะท้อน

สมมาตร.ความสัมพันธ์ R บนเซต V เรียกว่า สมมาตร หากร่วมกับ (r1, r2) ∈ R เรามี (r2, r1) ∈ R เสมอ ความสัมพันธ์จะไม่สมมาตรหากมีคู่บางคู่ (r1, r2) ∈ R ซึ่ง (r2, r1) ∉ R. ในเซต F ของสมาชิกในครอบครัว Ben-Gan ความสัมพันธ์ "เป็นพี่น้องของ" เป็นตัวอย่าง ความสัมพันธ์แบบสมมาตร. คู่ของความสัมพันธ์นี้จะเป็นชุดต่อไปนี้: ((Itzik, Mickey), (Itzik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey))

แบบสอบถามต่อไปนี้เป็นการทดสอบ - ไม่ว่าความสัมพันธ์ R บน V จะสมมาตรหรือไม่:

เลือก
กรณี
เมื่อมีอยู่
(เลือก r1, r2 จาก dbo.R
ยกเว้น
เลือก r2, r1 จาก dbo.R)
แล้ว "ไม่"
อย่างอื่น "ใช่"
END AS สมมาตร

รหัสคำขอใช้การดำเนินการยกเว้น เคียวรีย่อยแรกของการดำเนินการ EXCEPT จะส่งกลับชุดของคู่คำสั่ง (r1, r2) - บันทึกของตาราง R และชุดที่สอง - ชุดของคู่ที่สั่งซื้อ (r2, r1) สำหรับแต่ละเร็กคอร์ด R หากความสัมพันธ์ R บน set V ไม่สมมาตร ดังนั้นการดำเนินการ EXCEPT จะส่งกลับชุดผลลัพธ์ที่ไม่ว่างเปล่า และเพรดิเคต EXISTS ตามลำดับ ค่า TRUE และสุดท้ายนิพจน์ CASE จะส่งกลับ "No"

หากความสัมพันธ์เป็นแบบสมมาตร นิพจน์ CASE จะส่งกลับ "ใช่"

ไม่สมมาตรความสัมพันธ์ R บนเซต V ไม่สมมาตร (คุณสมบัตินี้ไม่ควรสับสนกับความไม่สมมาตร) หากสำหรับแต่ละเซต (r1, r2) ∈ R โดยที่ r1 ≠ r2 เป็นจริงที่ (r2, r1) ∉ R. ตัวอย่างของ ความสัมพันธ์แบบอสมมาตรในชุด F ของสมาชิกในครอบครัวของผู้เขียนจะเป็นความสัมพันธ์แบบ "เป็นพ่อแม่" ที่อธิบายไว้ข้างต้น ในแบบฝึกหัด ให้ลองคิดตัวอย่างความสัมพันธ์ในชุดที่ไม่ว่างที่มีทั้งสมมาตรและไม่สมมาตร ตรวจสอบข้อมูลตัวอย่างในบทความนี้สำหรับวิธีแก้ปัญหา

เลือก
กรณี
เมื่อมีอยู่
(เลือก r1, r2 จาก dbo.R โดยที่ r1 r2
ตัด
เลือก r2, r1 จาก dbo.R โดยที่ r1 r2)
แล้ว "ไม่"
อย่างอื่น "ใช่"
END AS ไม่สมมาตร

รหัสใช้การดำเนินการ INTERSECT แบบสอบถามย่อยแรกในการดำเนินการนี้ส่งคืนคู่ที่เรียงลำดับ (r1, r2) สำหรับแต่ละระเบียนของตาราง R โดยที่ r1 r2

แบบสอบถามย่อยที่สองของการดำเนินการ INTERSECT ส่งกลับคู่ที่สั่งซื้อ (r2, r1) สำหรับแต่ละระเบียนของตาราง R โดยที่ r1 r2 ถ้าชุดผลลัพธ์ (ผลลัพธ์ของการตัดกันของเซตเหล่านี้) มีอย่างน้อยหนึ่งรายการ นี่จะหมายความว่า R ไม่สมมาตร มิฉะนั้น R จะไม่สมมาตร

ทรานซิทีฟความสัมพันธ์ R บนเซต V เป็นสกรรมกริยา ถ้าการรวม (a, b) ∈ R และ (b, c) ∈ R บอกเป็นนัยเสมอว่า (a, c) ∈ R ตัวอย่างของความสัมพันธ์สกรรมกริยาบนเซตของสมาชิกของ ครอบครัว F คือความสัมพันธ์ "เป็นพี่ชายหรือน้องสาว" ซึ่งได้กล่าวถึงข้างต้น

รหัสด้านล่างตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ R เป็นสกรรมกริยา:

เลือก
กรณี
เมื่อมีอยู่
(เลือก *
จาก dbo.R AS RA
เข้าร่วมภายใน dbo.R AS RB
บน RA.r2 = RB.r1
ซ้าย OUTER เข้าร่วม dbo.R AS RC
บน RA.r1 = RC.r1 และ RB.r2 = RC.r2
โดยที่ RC.r1 เป็นโมฆะ)
แล้ว "ไม่"
อย่างอื่น "ใช่"
END AS สกรรมกริยา

โค้ดแรกใช้การรวมภายในระหว่างสองอินสแตนซ์ของ R เพื่อเลือกเฉพาะแถวที่ r2 ในอินสแตนซ์แรกตรงกับ r1 ในอินสแตนซ์ที่สอง ประการที่สอง รหัสใช้การรวมภายนอกด้านซ้ายกับอินสแตนซ์ที่สามของตาราง R โดยที่ r1 ของอินสแตนซ์แรกของ R จะเหมือนกับ r1 ของอินสแตนซ์ที่สาม และ r2 ของอินสแตนซ์ที่สองจะเหมือนกับ r2 ของอินสแตนซ์ที่สาม หากมีแถวผลลัพธ์อย่างน้อยหนึ่งแถวในเคียวรีย่อยภายใน (เงื่อนไขการเลือกสำหรับอินสแตนซ์ที่สาม: r1 คือ Null) แสดงว่าความสัมพันธ์ไม่มีสกรรมกริยา มิฉะนั้นความสัมพันธ์ R จะเป็นสกรรมกริยา

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันความสัมพันธ์สมมูลคือความสัมพันธ์ที่มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ความสมมาตร และการส่งผ่าน คุณสามารถใช้ข้อความค้นหาที่แนะนำข้างต้นเพื่อตรวจสอบการมีอยู่ของแต่ละคุณสมบัติแยกกัน หากความสัมพันธ์มีทั้งสาม คุณควรสรุปว่ามีความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน นอกจากนี้ คุณสามารถใช้รหัสในรายการ 6 เพื่อทดสอบคุณสมบัติทั้งหมดของ R บน V ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ในบทความ รวมถึงการทดสอบคุณสมบัติให้เป็นความสัมพันธ์ที่สมมูล หากคุณเรียกใช้รายการ 6 สำหรับตัวอย่างข้อมูล 1, 2 และ 3 (มาจากรายการ 3, 4 และ 5 ตามลำดับ) คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แสดงในตารางที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ

กลับสู่พื้นฐานของ T-SQL

ดังนั้นเราจึงพิจารณาหัวข้อพื้นฐานจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของเซต นั่นคือ คุณสมบัติของความสัมพันธ์บนเซต ฉันเสนอรหัสตรวจสอบ T-SQL เพื่อตรวจสอบคุณสมบัติของความสัมพันธ์ที่แสดงโดยตาราง R (คู่ขององค์ประกอบที่เรียงลำดับ) บนชุดขององค์ประกอบที่แสดงโดยตาราง V

การใช้โครงสร้าง T-SQL พื้นฐานช่วยให้เราตั้งค่าและใช้เครื่องมือของภาษานี้ได้อย่างถูกต้องเพื่อให้เข้าใจคุณสมบัติของความสัมพันธ์ในเซตได้ดียิ่งขึ้น

อิทซิก เบน-กัน ( [ป้องกันอีเมล]) - อาจารย์และที่ปรึกษาผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับ T-SQL มีชื่อเรื่องว่า SQL Server MVP

ให้เซตที่ไม่ว่างบางเซต A และ R เป็นเซตย่อยของจตุรัสคาร์ทีเซียนของเซต A: R  อา  อา.

ทัศนคติ Rในชุด แต่เรียกว่าสับเซตของเซต แต่ แต่(หรือ แต่ 2 ). ทางนี้ ทัศนคติมีกรณีพิเศษในการจับคู่พื้นที่ขาเข้าเหมือนกับพื้นที่ขาออก เช่นเดียวกับการจับคู่ ความสัมพันธ์คือคู่ที่มีลำดับซึ่งองค์ประกอบทั้งสองอยู่ในชุดเดียวกัน

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

ความจริงที่ว่า ( เอ, ข)R สามารถเขียนได้ดังนี้: เอ R ข. มันอ่านว่า: " เออยู่ในความสัมพันธ์ R ถึง ข" หรือ "ระหว่าง เอและ ขความสัมพันธ์ R ถือ มิฉะนั้น เขียน: เอ, ข)R หรือ เอR ข.

ตัวอย่างของความสัมพันธ์ในชุดตัวเลขมีดังต่อไปนี้: "=", "", "", ">" เป็นต้น ในชุดพนักงานของ บริษัท ใด ๆ ทัศนคติ "เป็นเจ้านาย" หรือ "เป็นผู้ใต้บังคับบัญชา" เกี่ยวกับกลุ่มญาติ - "เป็นบรรพบุรุษ", "เป็นพี่น้อง", "เป็นพ่อ" ” เป็นต้น

ความสัมพันธ์ที่พิจารณาเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันแบบไบนารี (สองตำแหน่ง) และมีความสำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ พวกเขายังพิจารณา พี-ท้องถิ่นหรือ พี-ความสัมพันธ์อารี:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

เนื่องจากความสัมพันธ์เป็นกรณีพิเศษของการติดต่อทางจดหมาย สามารถใช้วิธีการที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ทั้งหมดเพื่อตั้งค่าได้

แน่นอน โดยการกำหนดอัตราส่วนด้วยวิธีเมทริกซ์ เราจะได้เมทริกซ์กำลังสอง

ด้วยการแสดงความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต (กราฟิก) เราได้รับไดอะแกรมที่ประกอบด้วย:

จุดยอดแสดงด้วยจุดหรือวงกลมซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบของชุด

และส่วนโค้ง (เส้น) ที่สอดคล้องกับคู่ขององค์ประกอบที่รวมอยู่ในความสัมพันธ์แบบไบนารีซึ่งแสดงด้วยเส้นที่มีลูกศรชี้จากจุดยอดที่สอดคล้องกับองค์ประกอบ เอ ไปด้านบนที่สอดคล้องกับองค์ประกอบ ข , ถ้า เอ Rข .

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่ากราฟกำกับ (หรือ digraph) ของความสัมพันธ์แบบไบนารี

งาน 4.9.1 . อัตราส่วน "เป็นตัวหารในชุด M = (1, 2, 3, 4)" ได้ เมทริกซ์:

การแจงนับ: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4 ));

ทางเรขาคณิต (กราฟิก):

1. เขียนคู่ลำดับที่เป็นของความสัมพันธ์แบบไบนารีต่อไปนี้ในชุด A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7):

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. ความสัมพันธ์ R ในชุด X = (a, b, c, d) ถูกกำหนดโดยเมทริกซ์

,

ซึ่งลำดับของแถวและคอลัมน์สอดคล้องกับลำดับขององค์ประกอบที่เขียนออกมา ระบุคู่ลำดับที่เป็นของความสัมพันธ์ที่กำหนด แสดงความสัมพันธ์โดยใช้กราฟ

3. ความสัมพันธ์ในชุด A = (1, 2, 3, 4) แสดงด้วยกราฟ จำเป็น:

แสดงรายการคู่ลำดับที่เป็นของ R;

เขียนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน

กำหนดความสัมพันธ์นี้โดยใช้เพรดิเคต

(คำตอบ: ab= 1).

4.10. ประเภทพื้นฐาน (คุณสมบัติ) ของความสัมพันธ์แบบไบนารี

ให้ความสัมพันธ์แบบไบนารี Rในชุด แต่ 2 : R  A  A = (( เอ, ข) | เอA, ขA, ( เอ, ข)R)

ความสัมพันธ์แบบไบนารี R ในชุด แต่ เรียกว่า สะท้อนแสง, ถ้ามี เอA ดำเนินการ เอRเอ, นั่นคือ ( เอ,เอ)ร. เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับประกอบด้วยเส้นทแยงมุม กราฟความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับจำเป็นต้องมีการวนซ้ำทุกจุดยอด

ตัวอย่างความสัมพันธ์สะท้อนกลับ: , =,  บนชุด ตัวเลขจริง, "อย่าเป็นเจ้านาย" กับชุดพนักงาน

ความสัมพันธ์แบบไบนารี Rในชุด A เรียกว่า ป้องกันแสงสะท้อน (ไม่สะท้อน) ถ้ามี เอA ไม่ถือความสัมพันธ์ เอRเอ, นั่นคือ ( เอ,เอ)ร. เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับประกอบด้วยศูนย์ กราฟของความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับไม่มีการวนซ้ำ

ตัวอย่างความสัมพันธ์ป้องกันการสะท้อน:<, >บนเซตของจำนวนจริง, ความตั้งฉากของเส้นตรงบนเซตของเส้น

ความสัมพันธ์แบบไบนารี R ในชุด A เรียกว่า สมมาตร, ถ้ามี เอ, ขแต่จาก เอRขควร ขRเอนั่นคือถ้า ( เอ, ข)R, จากนั้นและ ( ข, เอ)R. เมทริกซ์อัตราส่วนสมมาตรนั้นสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก ( σ อิจ = σ จิ). กราฟของความสัมพันธ์แบบสมมาตรไม่ได้ชี้นำ (ขอบจะแสดงโดยไม่มีลูกศร) จุดยอดแต่ละคู่ที่นี่เชื่อมต่อกันด้วยขอบที่ไม่มีทิศทาง

ตัวอย่างความสัมพันธ์สมมาตร:  ในชุดของจำนวนจริง "เป็นญาติ" ในชุดของคน

ความสัมพันธ์แบบไบนารี R ในชุด A เรียกว่า:

ต่อต้านสมมาตร, ถ้ามี เอ, ขแต่จาก เอRขและ ขRเอตามนั้น เอ=ข. นั่นคือถ้า ( เอ, ข)Rและ( ข, เอ)Rแล้วมันตามมาว่า เอ=ข. เมทริกซ์อัตราส่วนต้านสมมาตรตามแนวทแยงหลักมี 1 ทั้งหมด และไม่มีคู่ของ 1 อยู่ที่ตำแหน่งสมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก กล่าวอีกนัยหนึ่งทุกอย่าง σ ii=1 และถ้า σ อิจ=1, ดังนั้น จำเป็น σ จิ=0. กราฟความสัมพันธ์แบบแอนสมมาตรจะมีลูปที่จุดยอดแต่ละจุด และจุดยอดนั้นเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้งที่ชี้ตรงเพียงจุดเดียว

ตัวอย่างความสัมพันธ์ไม่สมมาตร: , ,  ในชุดของจำนวนจริง; ,  ในชุด;

เอสมมาตร, ถ้ามี เอ, ขแต่จาก เอRข ตามมาด้วยความล้มเหลว ขRเอนั่นคือถ้า ( เอ, ข)R, แล้ว ( ข, เอ) R. เมทริกซ์อัตราส่วนเบ้ตามแนวทแยงหลักมีศูนย์ ( σ อิจ=0) คู่ทั้งหมดและไม่สมมาตร (if σ อิจ=1, ดังนั้น จำเป็น σ จิ=0). กราฟของความสัมพันธ์แบบอสมมาตรไม่มีลูป และจุดยอดเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้งเดี่ยว

ตัวอย่างของความสัมพันธ์แบบอสมมาตร:<, >ในชุดเลขจริง "เป็นพ่อ" ในชุดคน

ความสัมพันธ์แบบไบนารี R ในชุด A เรียกว่า สกรรมกริยาnym, ถ้ามี เอ, ข, กับแต่จาก เอRขและ ขRเอมันเป็นไปตามนั้นและ เอRกับ. นั่นคือถ้า ( เอ, ข)Rและ( ข, กับ)Rมันเป็นไปตามนั้น ( เอ, กับ)R. เมทริกซ์ความสัมพันธ์สกรรมกริยานั้นมีลักษณะโดยข้อเท็จจริงที่ว่า if σ อิจ=1 และ σ jm=1, ดังนั้น จำเป็น σ ฉัน=1. กราฟความสัมพันธ์เชิงสกรรมกริยานั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าจุดยอดที่หนึ่งและสองในสามเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้ง แสดงว่ามีส่วนโค้งจากจุดยอดที่หนึ่งถึงจุดยอดที่สาม

ตัวอย่างความสัมพันธ์สกรรมกริยา:<, , =, >,  บนเซตของจำนวนจริง; "การเป็นเจ้านาย" ในชุดพนักงาน

ความสัมพันธ์แบบไบนารี R ในชุด A เรียกว่า สารต้านจุลชีพnym, ถ้ามี เอ, ข, กับแต่จาก เอRขและ ขRเอย่อมตามมาไม่สำเร็จ เอRกับ. นั่นคือถ้า ( เอ, ข)Rและ( ข, กับ)Rมันเป็นไปตามนั้น ( เอ, กับ) R. เมทริกซ์ความสัมพันธ์ต้านทรานส์ซิทีฟนั้นมีลักษณะโดยข้อเท็จจริงที่ว่าถ้า σ อิจ=1 และ σ jm=1, ดังนั้น จำเป็น σ ฉัน=0. กราฟของความสัมพันธ์ต้านทรานส์ซิทีฟนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าจุดยอดที่หนึ่งและสองในสามเชื่อมต่อกันด้วยส่วนโค้ง ไม่จำเป็นต้องมีส่วนโค้งจากจุดยอดที่หนึ่งถึงจุดยอดที่สาม

ตัวอย่างของความสัมพันธ์ต้านกรรมพันธุ์: "parity mismatch" บนเซตของจำนวนเต็ม; "เป็นหัวหน้างานโดยตรง" ในชุดพนักงาน

หากความสัมพันธ์ไม่มีคุณสมบัติ การเพิ่มคู่ที่ขาดหายไป คุณจะได้รับความสัมพันธ์ใหม่กับคุณสมบัตินี้ เซตของคู่ที่หายไปนั้นเรียกว่า ปิดความสัมพันธ์สำหรับคุณสมบัตินี้ กำหนดให้เป็น R* . วิธีนี้จะทำให้คุณได้การปิดแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา

ปัญหา 4.10.1 ในชุด A = (1, 2, 3, 4) ความสัมพันธ์ R=(( เอ,ข)| เอ,ขA, เอ+ขเลขคู่). กำหนดประเภทของความสัมพันธ์นี้

วิธีการแก้. เมทริกซ์ของความสัมพันธ์นี้คือ:

. เห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์คือ สะท้อนแสงเนื่องจากมีหน่วยตามแนวทแยงหลัก มัน สมมาตร: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . สกรรมกริยา: (1,3)R, (3,1)R และ (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R และ (2,2)R เป็นต้น

ปัญหา 4.10.2 คุณสมบัติอะไรในชุด A = ( เอ, ข, ค, d) มีความสัมพันธ์แบบไบนารี R = (( เอ,ข), (ข,d), (เอ,d), (ข,เอ), (ข,ค)}?

วิธีการแก้ . มาสร้างเมทริกซ์ของความสัมพันธ์นี้และกราฟของมันกัน:

ทัศนคติ อย่างไม่สะท้อน, เนื่องจากทั้งหมด σ ii= 0. มัน ไม่ สมมาตรเนื่องจาก σ 23 =1 และ σ 32 =0 อย่างไรก็ตาม σ 12 =σ 21 =1 ทัศนคติ ไม่ สกรรมกริยาเนื่องจาก σ 12 =1, σ 23 =1 และ σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 และ σ 11 =0; แต่ในขณะเดียวกัน σ 12 =1, σ 24 =1 และ σ 14 =1

งาน 4.10.3 ในชุด A = (1,2,3,4,5) ความสัมพันธ์ R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)) จะได้รับ กำหนดประเภทของความสัมพันธ์และค้นหาการปิดต่อไปนี้สำหรับ R:

สะท้อนแสง;

สมมาตร;

สกรรมกริยา

วิธีการแก้. ความสัมพันธ์ไม่สะท้อนเนื่องจากไม่มีองค์ประกอบของแบบฟอร์ม ( เอ,เอ). ไม่สมมาตร เนื่องจากไม่มีคู่ของแบบฟอร์ม ( เอ,ข) และ ( ข,เอ) และองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเป็น 0 สารต้านการเปลี่ยนรูปตั้งแต่ (1,2)R, (2,3)R แต่ (1,3)R ในทำนองเดียวกัน (2.4)R, (4.5)R และ (2.5)R เป็นต้น

การปิดสะท้อนของความสัมพันธ์ที่กำหนด R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

การปิดแบบสมมาตร: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

การปิดสกรรมกริยา: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ดั้งเดิมและความสัมพันธ์เชิงสกรรมกริยาที่ได้

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1. ความสัมพันธ์ R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) กำหนดประเภทและค้นหาการปิดด้วยการสะท้อนกลับ ความสมมาตร และการเคลื่อนผ่าน

2. ความสัมพันธ์ของชุดคำในภาษารัสเซียมีการกำหนดดังนี้: เอ R ขถ้าพวกเขามีอย่างน้อยหนึ่งตัวอักษรทั่วไป กำหนดประเภทของความสัมพันธ์ในชุด A = (วัว, เกวียน, ด้าย, ขวาน)

3. ระบุตัวอย่าง ความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุด A = (1, 2) และ B = (1, 2, 3) ซึ่งจะเป็น:

ไม่สะท้อน ไม่สมมาตร ไม่ถ่ายทอด;

สะท้อนกลับไม่สมมาตรไม่สกรรมกริยา;

สมมาตร แต่ไม่สะท้อนและไม่สกรรมกริยา

สกรรมกริยา แต่ไม่สะท้อนและไม่สมมาตร

สะท้อน สมมาตร แต่ไม่สกรรมกริยา;

สะท้อน, สกรรมกริยา แต่ไม่สมมาตร;

ไม่สะท้อนแสง, สมมาตร, สกรรมกริยา;

สะท้อน, สมมาตร, สกรรมกริยา

คำจำกัดความ

• 1. ความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่างองค์ประกอบของเซต A และ B คือเซตย่อยใดๆ ของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน RAB, RAA
• 2. ถ้า A=B แล้ว R เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีบน A
• 3. สัญกรณ์: (x, y)R xRy.
• 4. โดเมนของความสัมพันธ์แบบไบนารี R คือเซต R = (x: มี y ที่ (x, y)R)
• 5. ช่วงของความสัมพันธ์แบบไบนารี R คือเซต R = (y: มี x ที่ (x, y)R)
• 6. ส่วนเสริมของความสัมพันธ์แบบไบนารี R ระหว่างองค์ประกอบ A และ B คือเซต R = (AB) R
• 7. ความสัมพันธ์ผกผันสำหรับความสัมพันธ์ไบนารี R คือเซต R1 = ((y, x) : (x, y)R)
• 8. ผลคูณของความสัมพันธ์ R1AB และ R2BC คือความสัมพันธ์ R1 R2 = ((x, y) : มี zB เช่นนั้น (x, z)R1 และ (z, y)R2)
• 9. ความสัมพันธ์ f เรียกว่าฟังก์ชันจาก A ถึง B หากตรงตามเงื่อนไขสองประการ:
  • ก) f \u003d A, f B
  • b) สำหรับ x, y1, y2 ทั้งหมด ความจริงที่ว่า (x, y1)f และ (x, y2)f หมายถึง y1=y2
• 10. ความสัมพันธ์ f เรียกว่าฟังก์ชันจาก A ถึง B ถ้าในย่อหน้าแรก f = A, f = B
• 11. สัญกรณ์: (x, y)f y = f(x)
• 12. ฟังก์ชันเอกลักษณ์ iA: AA ถูกกำหนดดังนี้: iA(x) = x
• 13. ฟังก์ชัน f เรียกว่าฟังก์ชัน 1-1 ถ้าสำหรับ x1, x2, y ใดๆ ความจริงที่ว่า y = f(x1) และ y = f(x2) หมายถึง x1=x2
• 14. ฟังก์ชัน f: AB ทำการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง A และ B ถ้า f = A, f = B และ f เป็นฟังก์ชัน 1-1
• 15. คุณสมบัติของความสัมพันธ์แบบไบนารี R ในชุด A:
  • - การสะท้อนกลับ: (x, x)R สำหรับ xA ทั้งหมด
  • - irreflexivity: (x, x)R สำหรับ xA ทั้งหมด
  • - สมมาตร: (x, y)R (y, x)R.
  • - antisymmetry: (x, y)R และ (y, x)R x=y
  • - Transitivity: (x, y)R และ (y, z)R (x, z)R.
  • - การแบ่งขั้ว: (x, y)R หรือ (y, x)R สำหรับ xA และ yA ทั้งหมด
• 16. ชุด A1, A2, ..., Ar จาก P(A) สร้างพาร์ติชันของชุด A if
• - ai ผม = 1, ..., r,
• - A = A1A2...อ
• - AiAj = , ฉันเจ

ชุดย่อย ai , i = 1, ..., r เรียกว่าพาร์ติชั่นบล็อก

• 17. ความเท่าเทียมกันของเซต A เป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ สกรรมกริยา และสมมาตรบน A
• 18. คลาสสมมูลขององค์ประกอบ x โดยสมมูล R คือเซต [x]R=(y: (x, y)R)
• 19. ตัวประกอบที่กำหนด A โดย R คือเซตของคลาสสมมูลขององค์ประกอบของเซต A การกำหนด: A/R
• 20. คลาสสมมูล (องค์ประกอบของชุดแฟคเตอร์ A/R) สร้างพาร์ติชั่นของเซต A ในทางกลับกัน พาร์ติชั่นใดๆ ของเซต A สอดคล้องกับความสัมพันธ์สมมูล R ซึ่งมีคลาสสมมูลตรงกับบล็อคของพาร์ติชั่นที่ระบุ แตกต่างกัน แต่ละองค์ประกอบของเซต A ตกอยู่ในคลาสสมมูลจาก A/R คลาสสมมูลไม่ตัดกันหรือตรงกัน
• 21. การสั่งซื้อล่วงหน้าในชุด A เป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยาบน A
• 22. ลำดับบางส่วนในชุด A เป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ สกรรมกริยา และแบบไม่สมมาตรบน A
• 23. ลำดับเชิงเส้นของเซต A เป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ สกรรมกริยา และแบบแอนสมมาตรบน A ที่ตอบสนองคุณสมบัติการแบ่งขั้ว

ให้ A=(1, 2, 3), B=(a, b). ลองเขียนผลคูณคาร์ทีเซียน: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ) หาเซตย่อยใดๆ ของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนนี้: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ) R คือความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุด A และ B

ความสัมพันธ์นี้จะเป็นฟังก์ชันหรือไม่? ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขสองข้อ 9a) และ 9b) โดเมนของความสัมพันธ์ R คือเซต R = (1, 2) (1, 2, 3) นั่นคือเงื่อนไขแรกไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นต้องเพิ่มคู่ใดคู่หนึ่งใน R: (3, a) หรือ (3, ข) หากเพิ่มทั้งสองคู่ เงื่อนไขที่สองจะไม่เป็นที่พอใจ เนื่องจาก ab ด้วยเหตุผลเดียวกัน ต้องถอดคู่ใดคู่หนึ่ง (1, a) หรือ (1, b) จาก R ดังนั้นความสัมพันธ์ R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) เป็นฟังก์ชัน โปรดทราบว่า R ไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1

ในชุด A และ B ที่กำหนด ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเป็นฟังก์ชัน: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) เป็นต้น

ให้ A=(1, 2, 3). ตัวอย่างของความสัมพันธ์ในชุด A คือ R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ) ตัวอย่างของฟังก์ชันในชุด A คือ f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) )

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

1. ค้นหา R, R, R1, RR, RR1, R1R สำหรับ R = ((x, y) | x, y D และ x+y0)

ถ้า (x, y)R แล้ว x และ y จะวิ่งผ่านจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้น R = R = D

ถ้า (x, y)R แล้ว x+y0 ดังนั้น y+x0 และ (y, x)R ดังนั้น R1=R

สำหรับ xD ใดๆ yD เราใช้ z=-|max(x, y)|-1 จากนั้น x+z0 และ z+y0, เช่น (x, z)R และ (z, y)R ดังนั้น RR = RR1 = R1R = D2

2. ความสัมพันธ์แบบไบนารีใด R คือ R1= R จริง?

ให้ RAB เป็นไปได้สองกรณี:

• (1) เอบี มาลองหา xAB กัน จากนั้น (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R ความขัดแย้ง.
• (2) AB=. ตั้งแต่ R1BA และ RAB ดังนั้น R1= R= จาก R1 = ตามมาว่า R = . จาก R = ตามด้วย R=AB ความขัดแย้ง.

ดังนั้นถ้า A และ B ความสัมพันธ์ดังกล่าวไม่มีอยู่

3. ในเซต D ของจำนวนจริง เรากำหนดความสัมพันธ์ R ดังนี้: (x, y)R (x-y) เป็นจำนวนตรรกยะ พิสูจน์ว่า R เป็นสมมูล

การสะท้อนกลับ:

สำหรับ xD x-x=0 ใดๆ เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะ (x, x)R.

สมมาตร:

ถ้า (x, y)R แล้ว x-y = . จากนั้น y-x=-(x-y)=- เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น (y, x)R

ทรานซิทีฟ:

ถ้า (x, y)R, (y, z)R แล้ว x-y = และ y-z = เมื่อบวกสมการทั้งสองนี้แล้ว เราจะได้ว่า x-z = + เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น (x, z)R

ดังนั้น R จึงเป็นสมมูล

4. พาร์ติชันของระนาบ D2 ประกอบด้วยบล็อกที่แสดงในรูปที่ a) เขียนความสัมพันธ์สมมูล R ที่สอดคล้องกับพาร์ติชันนี้และคลาสสมมูล

ปัญหาที่คล้ายกันสำหรับ b) และ c)

ก) สองจุดจะเท่ากันหากอยู่บนเส้นตรงของรูปแบบ y=2x+b โดยที่ b เป็นจำนวนจริงใดๆ

b) จุดสองจุด (x1,y1) และ (x2,y2) เท่ากันถ้า (ส่วนจำนวนเต็มของ x1 เท่ากับส่วนจำนวนเต็มของ x2) และ (ส่วนจำนวนเต็มของ y1 เท่ากับส่วนจำนวนเต็มของ y2)

ค) ตัดสินใจด้วยตัวเอง

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

• 1. พิสูจน์ว่าถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ถึง B และ g เป็นฟังก์ชันจาก B ถึง C แล้ว fg เป็นฟังก์ชันจาก A ถึง C
• 2. ให้ A และ B เป็นเซตจำกัดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ m และ n ตามลำดับ

มีความสัมพันธ์แบบไบนารีจำนวนเท่าใดระหว่างองค์ประกอบของเซต A และ B

จาก A ถึง B มีกี่หน้าที่?

จาก A ถึง B มีฟังก์ชัน 1-1 กี่ฟังก์ชัน

สำหรับอะไร m และ n มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง A และ B หรือไม่?

3. พิสูจน์ว่า f เป็นไปตามเงื่อนไข f(AB)=f(A)f(B) สำหรับ A และ B ใด ๆ ถ้าหากว่า f เป็นฟังก์ชัน 1-1

อนุญาต R- ความสัมพันธ์แบบไบนารีบางส่วนในชุด X และ x, y, z เป็นองค์ประกอบใดๆ หากองค์ประกอบ x มีความสัมพันธ์ R กับองค์ประกอบ y เราก็เขียน xRy.

1. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่า การสะท้อนกลับ หากแต่ละองค์ประกอบของเซตอยู่ในความสัมพันธ์นี้กับตัวเอง

R -reflexively บน X<=>xRx สำหรับ x€ X . ใดๆ

ถ้าความสัมพันธ์ R เป็นรีเฟล็กซ์ แสดงว่ามีการวนซ้ำที่จุดยอดแต่ละอันของกราฟ ตัวอย่างเช่น ความเสมอภาคและความสัมพันธ์แบบขนานสำหรับส่วนของเส้นตรงจะสะท้อนกลับ ในขณะที่ความสัมพันธ์ในแนวตั้งฉากและความสัมพันธ์ที่ "ยาวกว่า" จะไม่สะท้อนกลับ สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในกราฟในรูปที่ 42

2. ความสัมพันธ์ R บนเซต X กล่าวกันว่ามีความสมมาตร หากข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับองค์ประกอบ y แสดงว่าองค์ประกอบ y มีความสัมพันธ์เดียวกันกับองค์ประกอบ x

R - สมมาตรบน (xYau => y Rx)

กราฟของความสัมพันธ์แบบสมมาตรประกอบด้วยลูกศรคู่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ความสัมพันธ์ของการขนาน ความตั้งฉาก และความเท่าเทียมกันสำหรับส่วนนั้นมีความสมมาตร และความสัมพันธ์ "ยาวกว่า" นั้นไม่สมมาตร (รูปที่ 42)

3. ความสัมพันธ์ R บนเซต X เรียกว่า ต้านสมมาตร หากองค์ประกอบ x และ y จากเซต X ต่างกัน ความจริงที่ว่าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับองค์ประกอบ y แสดงว่าองค์ประกอบ y ไม่อยู่ในความสัมพันธ์นี้ ด้วยองค์ประกอบ x

R - ต้านสมมาตรบน X" (xRy และ xy ≠ yRx)

หมายเหตุ: โอเวอร์ไลน์แสดงถึงการปฏิเสธคำสั่ง

บนกราฟอัตราส่วนต้านสมมาตร ลูกศรเดียวสามารถเชื่อมจุดสองจุดได้ ตัวอย่างของความสัมพันธ์ดังกล่าวคือความสัมพันธ์ที่ "ยาวขึ้น" สำหรับเซ็กเมนต์ (รูปที่ 42) ความสัมพันธ์ของการขนาน การตั้งฉาก และความเท่าเทียมกันนั้นไม่สมมาตรกัน มีความสัมพันธ์ที่ไม่สมมาตรและไม่สมมาตร เช่น ความสัมพันธ์ "การเป็นพี่น้อง" (รูปที่ 40)

4. ความสัมพันธ์ R ในชุด X เรียกว่า สกรรมกริยา ถ้าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับองค์ประกอบ y และองค์ประกอบ y อยู่ในความสัมพันธ์นี้กับองค์ประกอบ z แสดงว่าองค์ประกอบ x อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนด ด้วยองค์ประกอบZ

R - สกรรมกริยาบน A≠ (xRy และ yRz=> xRz)

บนกราฟของความสัมพันธ์ "ยาวกว่า" ความขนานและความเท่าเทียมกันในรูปที่ 42 คุณจะเห็นว่าหากลูกศรเปลี่ยนจากองค์ประกอบแรกไปยังองค์ประกอบที่สองและจากองค์ประกอบที่สองไปยังองค์ประกอบที่สาม จำเป็นต้องมีลูกศรจากองค์ประกอบแรก ที่สาม ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสกรรมกริยา ความตั้งฉากของเซ็กเมนต์ไม่มีคุณสมบัติของทรานซิติวิตี

มีคุณสมบัติอื่น ๆ ของความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของชุดเดียวกันซึ่งเราไม่พิจารณา

ความสัมพันธ์เดียวกันสามารถมีคุณสมบัติหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มของเซ็กเมนต์ ความสัมพันธ์ "เท่ากับ" เป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร สกรรมกริยา ความสัมพันธ์ "มากกว่า" นั้นไม่สมมาตรและสกรรมกริยา

หากความสัมพันธ์บนเซต X เป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นเทียบเท่ากับเซตนี้ ความสัมพันธ์ดังกล่าวแบ่งเซต X ออกเป็นคลาส

ความสัมพันธ์เหล่านี้แสดงให้เห็น เช่น เมื่อปฏิบัติงาน: “หยิบแถบที่มีความยาวเท่ากันและจัดเรียงเป็นกลุ่ม”, “กระจายลูกบอลเพื่อให้แต่ละกล่องมีลูกบอลสีเดียวกัน” ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ("ให้มีความยาวเท่ากัน", "มีสีเดียวกัน") กำหนดในกรณีนี้ให้แบ่งชุดของแถบและลูกบอลออกเป็นชั้นเรียน

หากความสัมพันธ์ในชุดที่ 1 เป็นสกรรมกริยาและไม่สมมาตร จะเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับในชุดนี้

ชุดที่มีความสัมพันธ์ของคำสั่งกำหนดไว้เรียกว่าชุดที่สั่งซื้อ

ตัวอย่างเช่น เมื่อทำงานเสร็จ: "เปรียบเทียบแถบตามความกว้างและจัดเรียงจากส่วนที่แคบที่สุดไปหากว้างที่สุด", "เปรียบเทียบตัวเลขและเรียงไพ่ตามลำดับ" เด็กๆ จะจัดเรียงองค์ประกอบของชุดแถบและบัตรตัวเลขโดยใช้ ลำดับความสัมพันธ์; "กว้างขึ้น", "ทำตาม"

โดยทั่วไป ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันและระเบียบมีบทบาทสำคัญในการก่อตัวในเด็กของแนวคิดที่ถูกต้องเกี่ยวกับการจำแนกและการเรียงลำดับของเซต นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์อื่นๆ อีกมากที่ไม่สัมพันธ์กับความเท่าเทียมกันหรือเชิงลำดับ

6. คุณสมบัติเฉพาะของเซตคืออะไร?

7. ความสัมพันธ์ใดที่สามารถกำหนดได้? ให้คำอธิบายสำหรับแต่ละกรณีและอธิบายโดยใช้วงกลมออยเลอร์

8. กำหนดเซตย่อย ยกตัวอย่างชุด ซึ่งชุดหนึ่งเป็นชุดย่อยของชุดอื่น เขียนความสัมพันธ์ของพวกเขาโดยใช้สัญลักษณ์

9. กำหนดชุดที่เท่ากัน ยกตัวอย่างชุดที่เท่ากันสองชุด เขียนความสัมพันธ์ของพวกเขาโดยใช้สัญลักษณ์

10. กำหนดจุดตัดของสองชุดและวาดโดยใช้วงกลมออยเลอร์สำหรับแต่ละกรณี

11. กำหนดการรวมกันของสองชุดและแสดงโดยใช้วงกลมออยเลอร์สำหรับแต่ละกรณี

12. กำหนดความแตกต่างของสองชุดและพรรณนาโดยใช้วงกลมออยเลอร์สำหรับแต่ละกรณี

13. กำหนดส่วนประกอบและวาดภาพโดยใช้วงกลมออยเลอร์

14. สิ่งที่เรียกว่าการแบ่งชุดออกเป็นชั้นเรียน? ตั้งชื่อเงื่อนไขสำหรับการจัดประเภทที่ถูกต้อง

15. สิ่งที่เรียกว่าการโต้ตอบระหว่างสองชุดคืออะไร? ตั้งชื่อวิธีการตั้งค่าการโต้ตอบ

16. การติดต่อโต้ตอบแบบใดที่เรียกว่าตัวต่อตัว?

17. ชุดใดที่เรียกว่าเทียบเท่า?

18. ชุดใดเรียกว่าเท่ากัน?

19. ตั้งชื่อวิธีการกำหนดความสัมพันธ์ในชุด

20. ความสัมพันธ์ใดในเซตที่เรียกว่าการสะท้อนกลับ?

21. ความสัมพันธ์ใดของเซตที่เรียกว่าสมมาตร?

22. ความสัมพันธ์ใดของเซตที่เรียกว่าแอนติสมมาตร?

23. ความสัมพันธ์ใดในเซตที่เรียกว่าสกรรมกริยา?

24. กำหนดความสัมพันธ์เทียบเท่า

25. กำหนดความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อ

26. ชุดอะไรเรียกว่าสั่งได้?

แนวคิดของความสัมพันธ์ ร่วมกับแนวคิดของเซต "แทรกซึม" คณิตศาสตร์ทั้งหมด ตามสัญชาตญาณ ความสัมพันธ์จะเข้าใจว่าเป็นความเชื่อมโยงของวัตถุ หน้าที่ของเราคือ ใช้โครงสร้างของทฤษฎีเซตที่กำหนดไว้ข้างต้น กำหนดในภาษาคณิตศาสตร์ว่าคำว่า "ความสัมพันธ์" มีความหมายในคณิตศาสตร์อย่างไร

ความสัมพันธ์แบบไบนารีในเซต

ให้มีชุด แต่.ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบ เฮนน่าชุด แต่จำลองโดยคู่ (du>) ถ้าธาตุ Xที่เกี่ยวข้องกับ คุณดังนั้น เรามีคู่ (n:, y) เป็นองค์ประกอบของบางชุด ถ้าง; ไม่เกี่ยวข้องกับ ที่ดังนั้นคู่ (n: ^) ไม่ใช่วัตถุของชุด ดังนั้นเราจึงมีคำจำกัดความดังต่อไปนี้

ความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซต Aเป็นเซตของคู่ขององค์ประกอบโดยพลการจาก แต่.

กล่าวอีกนัยหนึ่งความสัมพันธ์แบบไบนารีบน set แต่- ชุดย่อยของผลิตภัณฑ์โดยตรง AHA=A 2 .โดยเฉพาะชุดสุด A 2ของทุกคู่เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี

โดยการเปรียบเทียบกับความสัมพันธ์แบบไบนารี (หรือสองตำแหน่ง) เราสามารถพิจารณา n-ความสัมพันธ์ท้องถิ่นบนชุดเป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์โดยตรง แต่".เราจะพิจารณาความสัมพันธ์แบบไบนารีเป็นหลัก แต่เพื่อความกระชับ เราเพียงแค่พูดว่า: “ความสัมพันธ์ในชุด แต่".

แสดงถึงความสัมพันธ์แบบไบนารีโดยพลการด้วยตัวอักษรกรีก p

ฉันบิน )e p แล้วเราว่า l" เป็นความสัมพันธ์ p กับ คุณและเขียน

ถ้า (dy)? P> แสดงว่าเรามีการปฏิเสธคำสั่งที่เกี่ยวข้อง ในกรณีนี้ พร้อมกับสัญกรณ์ ~|(xpy) (หรือ xpy) พวกเขาเขียน dr โดยขีดฆ่าเครื่องหมายความสัมพันธ์

ตัวอย่าง 8.1.1 พิจารณาชุด แต่= (1,2,3,4,5) คู่รักมากมาย

กำหนดบน แต่อัตราส่วน "น้อยกว่า" แสดงด้วยเครื่องหมาย<.>

11ชุดเดียวกัน พิจารณาชุดคู่อื่นได้

มันกำหนดความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง 8.1.2 พิจารณาเซต (N, Z, Q, I, R) ของเซตตัวเลขพื้นฐานและเซตของคู่

เรามีความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยเราในหัวข้อ 2.2 เป็นความสัมพันธ์ของการรวมชุดอย่างเข้มงวด สังเกตว่า ตัวอย่างเช่น คู่ (Q. I) ไม่อยู่ในเซตที่ระบุ เนื่องจาก Qczl ยิ่งกว่านั้น เซตเหล่านี้ไม่ตัดกัน

ตัวอย่าง 8.1.3 กำหนดชุดคำ L = (กระแส, cat, ช็อต, สเตค, วานิช) พิจารณาความสัมพันธ์นี้:

p = ((กระแส, ช็อต), (ช็อต, กระแส), (ช็อต, นับ), (นับ, ช็อต),

(โคล, วานิช), (แล็คเกอร์, คอลล์), (แมว, คอลล์), (โคล, แมว)).

ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ดังนี้: คำพูดของ set แต่มีความสัมพันธ์ p ต่อเมื่อมีตัวอักษรสองตัวเหมือนกันทุกประการ

โปรดทราบว่าชุดของคู่ใดๆ เป็นความสัมพันธ์ ไม่ว่าจะมีคำอธิบายด้วยวาจาที่ดีสำหรับความสัมพันธ์นั้นหรือไม่ก็ตาม

เนื่องจากความสัมพันธ์เป็นเซต สามารถระบุได้ด้วยคุณสมบัติเฉพาะ จากนั้นเน็ตเวิร์กจึงเป็นเพรดิเคต ร(xy): p = ((.*,>>) eL 2 ร(xy)).สัญกรณ์ยังใช้:

พวกเขาอ่านว่า: “g เกี่ยวข้องกับ ที่ถ้าหากว่าจริง ร(หู)".

ตัวอย่าง 8.1.4เรากำหนดในชุด /! = (1,2,3,4,5) อัตราส่วน:

ที่นี่ อาร์(xy)= (ล+2=ย). มากำหนดความสัมพันธ์นี้ด้วยการแจงนับคู่:

ตัวอย่าง 8.1.5ตั้งบนชุด Z(หรือเป็นชุด ไม่มี)สัมพันธ์ด้วยความช่วยเหลือของประโยค: "มีจำนวนเต็ม /? เช่นนั้น x=n y.ในเชิงสัญลักษณ์เราสามารถเขียน:

เรามีความสัมพันธ์การหารลงตัวที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ แทนด้วยเครื่องหมาย: ความสัมพันธ์นี้รวมถึงคู่เช่น (6.2), (6.3), (4.4), (111, -37) และอื่น ๆ ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ชุดของคู่นี้ไม่มีที่สิ้นสุด และจะไม่สามารถระบุคู่ทั้งหมดได้

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดที่ความสัมพันธ์แบบไบนารีในชุดสามารถมีได้

ความสัมพันธ์ p บนเซต แต่เรียกว่า สะท้อนแสงหากมีองค์ประกอบใด ๆ Xจาก แต่อยู่ในความสัมพันธ์ p กับตัวเองนั่นคือสำหรับ q ทั้งหมด; จาก แต่ lrt กำลังทำงาน:

ตัวอย่าง 8.1.6พิจารณาความสัมพันธ์ของการหารในชุด ซี.หาจำนวนเต็มตามอำเภอใจ เอ็กซ์เพราะ x=x 9แล้ว x': x.ดังนั้นจำนวนเต็มทุกตัวหารด้วยตัวมันเอง: V.veZ (ล.ล.).ดังนั้นความสัมพันธ์การหารจึงสะท้อนกลับ

เนื่องจากเซตใด ๆ เป็นเซตย่อยของตัวเอง ความสัมพันธ์การรวมเซตจึงสะท้อนกลับ (ในคอลเล็กชันของเซตใดก็ได้)

ความสัมพันธ์ p บนเซต แต่เรียกว่า ป้องกันแสงสะท้อนถ้าไม่มีองค์ประกอบของเซต แต่ไม่สัมพันธ์กับ p กับตัวเอง:

ตัวอย่าง 8.1.7 Rเป็น antireflexive เนื่องจากไม่มีตัวเลขใดที่น้อยกว่าตัวมันเอง

ให้เราสร้างการปฏิเสธประโยค "ความสัมพันธ์ p สะท้อน":

ดังนั้นความสัมพันธ์ p จะไม่สะท้อนถ้ามีองค์ประกอบ ฮี่ซึ่งไม่สัมพันธ์กับ p กับตัวเอง ความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับไม่จำเป็นต้องสะท้อนกลับ

ตัวอย่าง 8.1.8พิจารณาความสัมพันธ์ของเซต อาร์ให้โดยประโยค "Number Xหมายเลขตรงข้าม ที่".ตัวเลข Xเรียกเลขตรงข้าม คุณถ้าจำนวนเงิน x+yเท่ากับ 0

ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้สะท้อนกลับ ตัวอย่าง: x=1 เนื่องจาก 1 + 1*0, 1 ไม่อยู่ตรงข้ามกับ 1

ความสัมพันธ์นี้ไม่ต้านการสะท้อนกลับ ตัวอย่าง: ,v=0. เนื่องจาก 0+0=0 ดังนั้น 0 จึงอยู่ตรงข้ามกับ 0

ความสัมพันธ์ p บนเซต แต่เรียกว่า สมมาตรถ้ามาจากอะไร Xสัมพันธ์กับ r คุณตามนั้น ที่สัมพันธ์กับ r

ตัวอย่าง 8.1.9จากตัวตน x+y=y+.xข้อความดังต่อไปนี้: สำหรับจำนวนจริงใด ๆ Xและ ที่ถ้า Xตรงข้ามกับ v แล้ว ที่ตรงข้าม เอ็กซ์ดังนั้นความสัมพันธ์นี้จึงสมมาตร มักพูดง่ายๆ ว่า "ตัวเลข Xและ ที่อยู่ตรงข้าม"

อัตราส่วน "จำนวน Xน้อยกว่าจำนวน ที่"ในชุด Rไม่สมมาตร: 3 น้อยกว่า 4 แต่ 4 ไม่น้อยกว่า 3

ความสัมพันธ์ p บนเซต แต่เรียกว่า ไม่สมมาตรหากไม่มีองค์ประกอบที่แตกต่างกัน x และ y จาก A,ดังนั้น xru,ไม่สำเร็จ

เอ่อ:

ตัวอย่าง 8.1.10ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ในชุด Rไม่สมมาตร

คำจำกัดความของความสัมพันธ์แบบแอนสมมาตรสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีอื่น ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

จากตารางความจริงเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสูตร 1 R l M- เทียบเท่ากับสูตร เอ็ม l เค -> พี,ซึ่งในทางกลับกันตามกฎของความขัดแย้งจะเท่ากับ1 R->~|(L/L ถึง).จากสิ่งนี้ เราสามารถพูดได้ว่าความสัมพันธ์ p นั้นไม่สมมาตรก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่าข้อใดข้อหนึ่งเท่านั้น:

ก) เพราะ xruและ เอ่อควร x=y:

B) ไม่มีองค์ประกอบใดที่สามารถมีความสัมพันธ์ p ซึ่งกันและกันได้พร้อมกัน

ตัวอย่าง 8.1.11พิจารณาความสัมพันธ์รวมในตระกูลของเซตตามอำเภอใจ ตั้งแต่ Lsul Y^X=>X=Y,จากนั้นการรวม e จะเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สมมาตร

ตัวอย่าง 8.1.12ความสัมพันธ์การหารลงตัวของเซต Zไม่สมมาตรและไม่สมมาตร ตั้งแต่ 4:2 แต่ 2?4 อัตราส่วนจึงไม่สมมาตร ตั้งแต่ 2:(-2) และ (-2):2 แต่ (-2)^2 ความสัมพันธ์ไม่สมมาตรกัน

อย่างไรก็ตาม ในชุด N ตัวเลขธรรมชาติเรามีความสัมพันธ์ไม่สมมาตร: Vjt^eN (x:y lu:x -> x=y)ตรวจสอบข้อความนี้โดยใช้คำจำกัดความของการหาร

ความสัมพันธ์ p บนเซต แต่เรียกว่า สกรรมกริยาถ้ามาจากอะไร Xสัมพันธ์กับ r คุณเอ ที่สัมพันธ์กับ p กับ z ตามมาด้วยว่า V สัมพันธ์กับ p กับ ซี:

ตัวอย่าง 8.1.13ความสัมพันธ์การหารเป็นแบบสกรรมกริยา (ทั้งในเซต Z และเซต N): x:y l y: z => x:z.เอามาโชว์กัน อนุญาต x:yและ y:z.แล้ว x=nyและ y=kzสำหรับจำนวนเต็มบางส่วน พีและ ถึง.แล้ว x = n(kz) = (nk)z = mz,ที่ไหน tเป็นจำนวนเต็ม นั่นเป็นเหตุผลที่ ซ.

ความสัมพันธ์รวมที่ตั้งไว้ยังเป็นสกรรมกริยา: Xcy l YcZ => XezZ.พิสูจน์สิ.

ความสัมพันธ์ "ตัวเลข Xและ ที่ตรงกันข้าม" ไม่ใช่สกรรมกริยา ตัวอย่าง: x=2, y=-2, 2=2. จากนั้นตัวเลข 2 และ (-2) จะอยู่ตรงข้าม และ (-2) และ 2 อยู่ตรงข้ามกัน แต่ตัวเลข x=2และ z=2 ns อยู่ตรงข้าม

ตัวอย่าง 8.1.14 ลองพิจารณาตัวอย่างความสัมพันธ์บางส่วนจากย่อหน้าก่อน

ความสัมพันธ์จากตัวอย่างที่ 8.1.3 เป็นแบบต้านการสะท้อนและสมมาตร ความสัมพันธ์จากตัวอย่างที่ 8.1.4 เป็นแบบต้านการสะท้อนและต้านสมมาตร ไม่มีความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสกรรมกริยา พิสูจน์โดยพิจารณาจากตัวอย่างที่เหมาะสม

ความสัมพันธ์บางอย่างที่มีคุณสมบัติหลายอย่างพร้อมกันจะได้รับชื่อสามัญ จากตัวอย่างที่พิจารณาข้างต้น ความสัมพันธ์การรวม c และความสัมพันธ์การหารบนเซต N มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ แอนตี้สมมาตร และทรานซิติวิตี พร้อมกัน นอกจากนี้ คุณสมบัติทั้งสามนี้ยังครอบครองโดยความสัมพันธ์ "Xน้อยกว่าหรือเท่ากับ ที่" กำหนดไว้ในชุด R (หรือชุดย่อยใดๆ ของชุด):

ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ ต้านสมมาตร และสกรรมกริยาเรียกว่า ความสัมพันธ์ของการสั่งซื้อ

เยอะ แต่ซึ่งให้ความสัมพันธ์ของคำสั่ง p เรียกว่า สั่งชุด. เขียน (แต่,ร)

ในปัจจุบัน ทฤษฎีชุดคำสั่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่ ซึ่งมีการอุทิศหนังสือทั้งเล่ม เราสังเกตคุณลักษณะบางอย่างของแนวคิด "ชุดที่สั่งซื้อ" เท่านั้น

ตามสัญชาตญาณ คำว่า "ชุดคำสั่ง" มักจะเข้าใจในความหมายที่แคบกว่า พิจารณา l-ku ที่ได้รับคำสั่งซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างกันเป็นคู่ ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรห้าตัว (III, K, O, L, A) กำหนดคำว่า SCHOOL ในกรณีนี้คำว่า "องค์ประกอบจะถูกเขียนใน คำสั่งบางอย่าง» เข้าใจในแง่ที่ว่าเรานับพวกมันด้วยตัวเลขธรรมชาติ 1, 2, 3, 4, 5 และจัดเรียงตามลำดับของตัวเลขจากน้อยไปมาก ลองสรุปตัวอย่างนี้

ให้ "-element set แต่.มีเลของค์ประกอบด้วย a, a 2 > a „,เราได้รับชุดคำสั่งโดยกำหนดความสัมพันธ์ของคำสั่งดังนี้:

เข้าใจอัตราส่วนดังนี้ ธาตุอะไร Xเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบอื่น คุณหมายความว่า Xเขียนในทูเปิลทางซ้าย ย.

ตัวอย่าง 8.1.15เซต /4=(a,b.c,d) จะได้รับ สี่เท่าที่ได้รับคำสั่งขององค์ประกอบที่แตกต่างกัน (b, c, a, d) จะให้ความสัมพันธ์ของลำดับต่อไปนี้:

((b,b), (b,c), (b,a), (b,d), (c,c), (c,a), (c,d), (a,a), ( ก, ง), (ง, ง)).

โปรดทราบว่าลำดับไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติเชิงเส้นที่เรียกว่า

ตัวอย่าง 8.1.16พิจารณาในชุด เอ =(2,4,6,8) อัตราส่วนการหาร:. ระบุความสัมพันธ์นี้ด้วยชุดของคู่ ตั้งแต่ใน แต่โกหกเฉพาะตัวเลขธรรมชาติแล้ว: ความสัมพันธ์ของลำดับ เรามีชุดที่สั่งซื้อ A, :)

คำสั่งดังกล่าวไม่สามารถแสดงเป็นองค์ประกอบสี่ลำดับที่เรียงลำดับกัน คุณสามารถให้ภาพประกอบกราฟิกของความสัมพันธ์โดยใช้จุดและลูกศร: จากจุด Xอย่างแน่นอน ที่ลูกศรนำไปสู่ถ้าและเท่านั้นถ้า x:ย.

พิจารณาเลข 6 และ 4 ทั้งสองตัวหารด้วยตัวอื่นไม่ได้ พวกเขาบอกว่าสิ่งเหล่านี้เป็นองค์ประกอบที่หาที่เปรียบมิได้

ปล่อยให้อยู่ในชุด แต่อัตราส่วนของคำสั่ง p จะได้รับ องค์ประกอบ * และ ที่เรียกว่า เทียบได้, ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสองความสัมพันธ์เป็นที่พอใจ xruหรือ อุรค์

ลำดับของ p ในชุด แต่เรียกว่า เชิงเส้นถ้าสององค์ประกอบของเซต แต่เปรียบเทียบได้ ชุดที่กำหนดลำดับเชิงเส้นเรียกว่า เรียงเป็นเส้นตรง(หรือ โซ่).

ตัวอย่าง 8.1.17ความสัมพันธ์ R เป็นลำดับเชิงเส้น เนื่องจาก Vx^yeR (x ดังนั้น (ร,

สั่งชุด.

อัตราส่วนการหารจำนวนธรรมชาติในกรณีทั่วไปไม่ใช่ลำดับเชิงเส้น ตัวอย่างที่ขัดแย้งให้ไว้ในตัวอย่าง 8.1.16"

โปรดทราบว่าลำดับเชิงเส้นใดๆ บนเซตจำกัดนั้นถูกกำหนดโดยการแจงนับองค์ประกอบของมัน เพื่อเน้นว่าลำดับอาจไม่เป็นเส้นตรง บางครั้งชุดที่สั่งมักจะเรียกว่าชุดที่มีลำดับบางส่วน