สั่งซื้อความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวด ความสัมพันธ์ของคำสั่งในชุดของตัวเลขธรรมชาติ

ตัวอย่างสุดท้ายแนะนำแนวคิดของการเรียงลำดับตัวอักษร

ตัวอักษรเป็นทูเพิลของอักขระที่แยกออกมาเป็นคู่ที่เรียกว่า ตัวอักษรของพยัญชนะ ตัวอย่างคือตัวอักษรของภาษายุโรปใด ๆ เช่นเดียวกับตัวอักษรของตัวเลขอารบิก 10 ตัว ในคอมพิวเตอร์ แป้นพิมพ์และตัวช่วยบางตัวจะกำหนดตัวอักษรของอักขระที่ถูกต้อง

คำในตัวอักษรแต่ -ทูเพิลของตัวอักษร แต่.คำที่เขียนด้วยตัวอักษรเรียงกันเป็นแถวจากซ้ายไปขวาไม่มีช่องว่าง ตัวเลขธรรมชาติคือคำในตัวอักษรดิจิทัล สูตรไม่ใช่คำเสมอไปเนื่องจากการจัดเรียงอักขระที่ไม่เป็นเชิงเส้น การมีอยู่ของตัวยก (เลขชี้กำลัง) ) และตัวห้อย (ดัชนีของตัวแปร ฐานของลอการิทึม) อักขระ แถบเศษส่วน เครื่องหมาย เครื่องหมายราก ฯลฯ อย่างไรก็ตาม โดยบางข้อตกลง มันสามารถเขียนเป็นสตริง ซึ่งใช้ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (เช่น เครื่องหมายยกกำลังเขียนเป็นเครื่องหมายคูณ 2 ตัวในแถว: 5**3 หมายถึง ยกกำลังสามของ หมายเลข 5

การจัดลำดับ Lexico-graphic (ตัวอักษร) -สำหรับคำต่าง ๆ ในตัวอักษรที่มีการเรียงลำดับ

ชุดอักขระการเรียงลำดับ: if

การนำเสนอที่เป็นไปได้ ซึ่งทั้ง

(คำย่อยสามารถเว้นว่างได้) หรือ - คำย่อยว่าง

ในคำจำกัดความนี้ - คำนำหน้า (คำย่อยเริ่มต้น) ที่เหมือนกันสำหรับทั้งสองคำ - หรือคำแรกในแถวทางด้านซ้ายจะต่างกัน

อักขระ หรือ - อักขระตัวสุดท้ายในคำ - หาง

คำย่อย

ดังนั้น การเรียงลำดับตัวอักษรของคำจึงถูกกำหนดโดยอักขระตัวแรกที่แยกคำออกจากด้านซ้าย (เช่น คำว่า KONUS นำหน้าคำว่า COSINUS เนื่องจากตัวแรกต่างกันในตัวอักษรตัวที่สาม และ H นำหน้า C ในอักษรรัสเซีย) นอกจากนี้ยังถือว่าอักขระช่องว่างนำหน้าอักขระใด ๆ ของตัวอักษร - สำหรับกรณีที่คำใดคำหนึ่งเป็นคำนำหน้าของอีกคำหนึ่ง (เช่น KOH และ CONE)

การออกกำลังกาย.ตรวจสอบว่าการเรียงลำดับตามตัวอักษรของจำนวนธรรมชาติที่มีจำนวนหลักเท่ากันในรูปแบบทศนิยมเหมือนกับการเรียงลำดับตามขนาด

อนุญาต แต่ -ชุดที่สั่งบางส่วน ธาตุเรียกว่า ขีดสุดใน แต่,หากไม่มีองค์ประกอบที่ เอ< b. ธาตุ เอเรียกว่า ยิ่งใหญ่ที่สุดใน แต่,ถ้าสำหรับอย่างอื่นนอกจาก เอรายการเสร็จสมบูรณ์ ข<а-

ถูกกำหนดอย่างสมมาตร ขั้นต่ำและน้อยที่สุดองค์ประกอบ แนวคิดขององค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดและสูงสุด (ตามลำดับที่เล็กที่สุดและต่ำสุด) นั้นแตกต่างกัน - ดู ตัวอย่างในรูปที่ 14 ชุดในรูป 14a มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด อาร์นอกจากนี้ยังเป็นค่าสูงสุด มีองค์ประกอบขั้นต่ำสองประการ: s และ tไม่มีที่เล็กที่สุด ในรูปที่ 14b ในทางกลับกัน ชุดที่มีองค์ประกอบสูงสุดสองตัว / และ เจ ,ไม่มีที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ต่ำสุด น้อยที่สุด - หนึ่ง: ที

โดยทั่วไป หากเซตมีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (ตามลำดับ เล็กที่สุด) แสดงว่ามีเพียงชุดเดียว (อาจไม่มี)

อาจมีองค์ประกอบสูงสุดและต่ำสุดได้หลายรายการ (อาจไม่มีเลย - ในชุดอนันต์ ในกรณีสุดท้าย ต้องมี)

ลองดูอีกสองตัวอย่าง - ความสัมพันธ์กับเซต นู๋:

"ยแบ่ง เอ็กซ์",หรือ "Xเป็นตัวหารของจำนวน จ"(ตัวอย่างเช่น,

) เป็นแบบสะท้อนและสกรรมกริยา พิจารณาจากชุดตัวหารจำนวนจำกัดของจำนวน 30

ความสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์ของคำสั่งบางส่วน (ไม่เข้มงวด)

และแสดงโดยเมทริกซ์ลำดับ 8 ต่อไปนี้ ซึ่งประกอบด้วยอักขระ 31 ตัว

แบบแผนที่สอดคล้องกันที่มีจุดยอด 8 จุดต้องมี 31 บันเดิล . แต่ถ้าไม่รวม 8 . จะสะดวกกว่าในการดู

ลิงค์ลูปแสดงการสะท้อนกลับของความสัมพันธ์ (องค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์) และลิงก์สกรรมกริยาเช่น การรวมกลุ่ม

หากมีเลขกลาง Z เช่นนั้น

(ตัวอย่างเช่น พวง เพราะ ) จากนั้นในโครงการ

จะมีเอ็น 12 เส้น (รูปที่ 15); ลิงก์ที่ขาดหายไปจะมีความหมายโดยนัย "โดยการเปลี่ยนผ่าน" หมายเลข 1 มีขนาดเล็กที่สุดและหมายเลข 30

องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดใน. ถ้าเราแยกจากหมายเลข 30 และ

พิจารณาลำดับบางส่วนเดียวกันในชุด แล้ว

ไม่มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด แต่มีองค์ประกอบสูงสุด 3 ตัว: 6, 10, 15

ตอนนี้ มาสร้างโครงร่างเดียวกันสำหรับความสัมพันธ์บูลีน

(เซตของเซตย่อยทั้งหมด) ของเซตสามองค์ประกอบ

ประกอบด้วย 8 องค์ประกอบ:

ตรวจสอบว่าคุณตรงกับองค์ประกอบ ก, ข, ค,ตัวเลข 2, 3, 5 ตามลำดับ และการดำเนินการของการรวมเซตเป็นการคูณตัวเลขที่สอดคล้องกัน (เช่น เซตย่อยสอดคล้องกับ

ผลิตภัณฑ์ 2 5 = 10) จากนั้นเมทริกซ์ความสัมพันธ์จะเท่ากัน

เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ ; แบบแผนของความสัมพันธ์ทั้งสองนี้กับที่อธิบายไว้

ตัวย่อของลูปและสกรรมกริยาสัมพันธ์กันกับสัญกรณ์ (ดูรูปที่ 16) องค์ประกอบที่เล็กที่สุดคือ

และที่ใหญ่ที่สุด -

ความสัมพันธ์แบบไบนารี Rในชุด แต่และ สในชุด ที่เรียกว่า isomorphicถ้าระหว่าง A และ Bเป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบตัวต่อตัว Г ซึ่งถ้า (เช่น

องค์ประกอบมีความเกี่ยวข้องกัน ร),แล้ว (ภาพ

องค์ประกอบเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องกัน ส).

ดังนั้นชุดที่เรียงลำดับบางส่วนและเป็นไอโซมอร์ฟิค

ตัวอย่างที่พิจารณายอมรับลักษณะทั่วไป

ความสัมพันธ์บูลีนเป็นคำสั่งบางส่วน ถ้า

เหล่านั้น. เยอะ อีประกอบด้วย พีองค์ประกอบ แล้วแต่ละ

เซตย่อยสอดคล้อง พี-เวกเตอร์มิติด้วย

ส่วนประกอบ ฟังก์ชันคุณลักษณะอยู่ที่ไหน

ชุด A/ . เซตของเวกเตอร์ดังกล่าวถือเป็นเซตของจุด พี-ปริภูมิเลขคณิตที่มีพิกัด 0 หรือ 1 หรืออีกนัยหนึ่งคือจุดยอด พี-มิติ

ลูกบาศก์หน่วย แทนด้วย , เช่น ลูกบาศก์ที่มีขอบของความยาวหน่วย สำหรับ น = 1, 2, 3 จุดที่ระบุแสดงถึงจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์ ตามลำดับ - จึงเป็นชื่อสามัญ สำหรับ /7=4 การแสดงกราฟิกของความสัมพันธ์นี้อยู่ในรูปที่ 17 ใกล้จุดยอดแต่ละอันของลูกบาศก์ 4 มิติที่สอดคล้องกัน

เซตย่อยของเซต 4 องค์ประกอบและสี่มิติ

เวกเตอร์แทนฟังก์ชันคุณลักษณะของเซตย่อยนี้ จุดยอดเชื่อมต่อกันซึ่งสอดคล้องกับส่วนย่อยที่แตกต่างกันเมื่อมีองค์ประกอบเดียว

ในรูปที่ 17 ลูกบาศก์สี่มิติถูกวาดในลักษณะที่หนึ่ง

ระดับ มีองค์ประกอบที่หาตัวจับยากคู่ที่มีจำนวนหน่วยเท่ากันในบันทึก (จาก 0 ถึง 4) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวนองค์ประกอบเท่ากันในชุดย่อยที่แสดง

ในรูปที่ 18a,b - การแสดงภาพอื่นๆ ของลูกบาศก์ 4 มิติ

ในรูปที่ 18a แกนของตัวแปรแรก โอ้ชี้ขึ้น (ตั้งใจเบี่ยงเบนจากแนวตั้งเพื่อไม่ให้ขอบต่าง ๆ ของลูกบาศก์รวมกัน):

ในขณะที่ subcube 3 มิติที่สอดคล้องกับ X= 0 อยู่ด้านล่างและสำหรับ X= 1 - สูงกว่า ในรูป 186 เพลาเดียวกัน โอ้ชี้นำจากภายในลูกบาศก์สู่ภายนอก ลูกบาศก์ย่อยภายในสอดคล้องกับ X= โอ้และภายนอก - X= 1.

ที่
ไฟล์วัสดุแสดงรูปภาพของลูกบาศก์หน่วย 5 มิติ (หน้า 134)

2) ความสัมพันธ์ของเซต X เรียกว่า ความสัมพันธ์ สั่งซื้ออย่างเคร่งครัดถ้ามันไม่สมมาตรและสกรรมกริยา ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า ไม่สมมาตร, หากไม่เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่า a สัมพันธ์กับ c กับ v นั้นสัมพันธ์กับ a (a, c ∈ X, และ R c → c R a) R - อยู่ในความสัมพันธ์ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า สกรรมกริยา, ถ้าองค์ประกอบใด ๆ a, b, c จากข้อเท็จจริงที่ว่า a R ในและใน R c → นั้น a R c, a, c, c ∈ X. ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ "มาก, น้อย" ชุดที่ให้ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดเรียกว่า เป็นระเบียบมากมาย.

3) ความสัมพันธ์ของเซต X เรียกว่า ความสัมพันธ์ ไม่เป็นระเบียบถ้ามันสะท้อนกลับไม่สมมาตรและสกรรมกริยา ตัวอย่างเช่น: อัตราส่วน ≥ ≤ ถ้าความสัมพันธ์เชิงสั่งมีคุณสมบัติของการเชื่อมต่อก็เรียกว่าความสัมพันธ์ ลำดับเชิงเส้น. ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า ที่เกี่ยวข้องในชุด X หากองค์ประกอบใด ๆ x และ y เป็นไปตามเงื่อนไข: จากข้อเท็จจริงที่ว่า x ≠ y จะเป็นไปตามนั้น x R y หรือ y R x หากกำหนดความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้นในชุด จะเป็นลำดับเชิงเส้น ชุดที่ให้มา.

5. เซตของจำนวนจริง คุณสมบัติ. ความจำเป็นในการวัดความยาวของส่วน พื้นที่ ฯลฯ นำไปสู่การขยายตัวของเซตของจำนวนตรรกยะ การวัดใด ๆ ใช้หลักการเดียวกัน: วัตถุที่วัดได้จะถูกเปรียบเทียบกับมาตรฐาน (วัตถุหรือปรากฏการณ์) ซึ่งค่านั้นมีค่าตัวเลขเท่ากับ 1 แต่จะไม่ฝังส่วนเดียวในวัตถุที่วัดเสมอไป ดังนั้น เมื่อทำการวัด จึงมีสมมติฐาน 2 ข้อ ซึ่งในคณิตศาสตร์ถูกกำหนดเป็นสัจพจน์: 1) มาตรฐานเดียวสามารถแบ่งออกเป็นส่วนหรือส่วนเท่า ๆ กันจำนวนเท่าใดก็ได้ 2) มาตรฐานที่เลือกสามารถใช้วัดวัตถุขนาดใหญ่ตามอำเภอใจได้ สำหรับเซ็กเมนต์ สัจพจน์เหล่านี้ถูกกำหนดโดยอาร์คิมิดีส: ไม่ว่าเซ็กเมนต์ AB จะเล็กแค่ไหน และไม่ว่าซีดีเซ็กเมนต์จะมีขนาดใหญ่เพียงใด จะมีจำนวนธรรมชาติ N ที่ N*AB>CD หากมีจำนวนเซ็กเมนต์ AB เท่ากันพอดีใน ซีดีเซ็กเมนต์ที่วัด จากนั้นความยาวของซีดีเซกเมนต์จะแสดงเป็นตัวเลขธรรมชาติ หากในซีดีส่วนที่วัดได้ ส่วน AB มีจำนวนครั้งไม่เท่ากัน เราจะแบ่ง AB ออกเป็น 10 ส่วนเหมือนกัน เรียกว่าส่วนที่สิบของมาตรฐาน หากจำเป็น ส่วนแบ่งที่สิบสามารถแบ่งออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆ กัน เป็นต้น หากจำนวนเท่ากับ 10, 100 เป็นต้น เข้าในเซกเมนต์ซีดี เศษส่วนของเซ็กเมนต์ AB จากนั้นความยาวของซีดีเซกเมนต์จะแสดงเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถแสดงความยาวของส่วนเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนตรรกยะได้เสมอไป มีส่วนที่เทียบไม่ได้เช่น ส่วนที่มีความยาวไม่แสดงด้วยจำนวนตรรกยะ (ทฤษฎีบทดูคำถามที่ 32)

ตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำได้เรียกว่าจำนวนอตรรกยะ การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง ()

คุณสมบัติของเซตของจำนวนจริง. หนึ่ง). เซตของจุดของแกนตัวเลขนั้นเทียบเท่ากับเซตของจำนวนจริง

0 M 1 ใช้จุดใดก็ได้ M บนเซ็กเมนต์จาก 0 ถึง 1

วาดครึ่งวงกลมตรงกลางที่

กึ่งกลางของส่วนนี้และรัศมี

K O C เท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน วาดเส้นตั้งฉากจาก M ถึงทางแยกที่มีครึ่งวงกลม เราได้ D จุดนี้ไม่ซ้ำกัน เนื่องจากครึ่งวงกลมกับเส้นตรงตัดกันที่จุดเดียว จากตรงกลางของส่วนนี้ถึง D เราวาดเส้นตรงไปยังจุดตัดที่มีแกนจริง เราได้รับ K ซึ่งถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง เนื่องจากเส้นตัดกันที่จุดเดียว การเลือกจุดอื่นบนเซ็กเมนต์ที่กำหนดและทำซ้ำกระบวนการทั้งหมด เราจะได้ว่าจุดใดๆ บนเซ็กเมนต์ตั้งแต่ 0 ถึง 1 จะสอดคล้องกับจุดเดียวบนเส้นจริง การโต้เถียงใน กลับคำสั่งจะเห็นได้ว่าจุดใดๆ บนเส้นจำนวนนั้นสัมพันธ์กับจุดเดียวตั้งแต่ 0 ถึง 1 หากจุดใดก็ได้ E อยู่ในเส้นจำนวน จะสามารถลากเส้นเดียวผ่านจุด M และ E ที่ตัดครึ่งวงกลมได้ . จากครึ่งวงกลม คุณสามารถวางแนวตั้งฉากกับส่วนที่กำหนดได้ ดังนั้น ระหว่างจุดของเซ็กเมนต์ตั้งแต่ 0 ถึง 1 และจุดของเส้นจำนวน จึงมีการสร้างแผนที่ที่เหมือนกันทุกประการ กล่าวคือ พวกเขาเท่าเทียมกัน

2) เซตของจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้ กล่าวคือ มันไม่เท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ

3). เซตของจำนวนจริงเป็นเซตต่อเนื่อง ความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงคือระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนใดๆ จะมีเซตอนันต์ของจำนวนจริงเท่านั้น

6. แบ่งชุดออกเป็นชั้นเรียน ตัวอย่างการจำแนกประเภท ความสัมพันธ์สมมูล คุณสมบัติของมัน ความสัมพันธ์ของความสัมพันธ์สมมูลกับการแบ่งเซตออกเป็นคลาส มาดูตัวอย่างกัน ให้ชุด M (ชุดของรูปหลายเหลี่ยมนูน) เราสร้างชุดย่อยทั้งหมดของชุดนี้: A 1 - ชุดของสามเหลี่ยม; A2 คือเซตของรูปสี่เหลี่ยม А3 – ชุดรูปห้าเหลี่ยม Ak คือเซตของ k-gons ชุด M จะถูกแบ่งออกเป็นคลาสหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. แต่ละเซตย่อย A ไม่ว่างเปล่า
2. จุดตัดของสองเซตย่อยใดๆ คือเซตว่าง
3. ยูเนียนของเซตย่อยทั้งหมดคือเซตที่กำหนด M

การแบ่งเซตออกเป็นคลาสเรียกว่า การจำแนกประเภท.

ทัศนคติในชุด X เรียกว่า เทียบเท่า ถ้ามันสะท้อน สมมาตร และสกรรมกริยา ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า สะท้อนแสง, หากองค์ประกอบใด ๆ จากเซต X มีความสัมพันธ์กับตัวมันเอง a ∈ X และ R a (R อยู่ในความสัมพันธ์) ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า สมมาตร, ถ้าสำหรับสององค์ประกอบของเซต X (a และ c) จากข้อเท็จจริงที่ว่า a สัมพันธ์กับ c จะเป็นไปตามที่สัมพันธ์กับ a (a, c ∈ X และ R c → c R a ). ความสัมพันธ์ที่เรียกว่า สกรรมกริยา, ถ้าองค์ประกอบใด ๆ a, b, c จากข้อเท็จจริงที่ว่า a R ในและใน R c → ที่ R c, a, c, c ∈ X. มีการวนซ้ำลูกศรผกผันซึ่งกันและกันและลูกศรสามเหลี่ยมบนกราฟของ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์สมมูลและมีเพียงมันเท่านั้นที่เชื่อมโยงกับการแบ่งเซตออกเป็นคลาสต่างๆ คำสั่งนี้สามารถกำหนดเป็น ทฤษฎีบท: หากมีการระบุความสัมพันธ์สมมูลในเซต X ความสัมพันธ์นี้จะแบ่งเซต X ออกเป็นคลาส และในทางกลับกัน หากเซต X ถูกแบ่งออกเป็นคลาส ความสัมพันธ์สมมูลจะเป็นไปตามเซตที่กำหนด ตัวอย่างเช่น. ให้ความสัมพันธ์ได้รับ - อาศัยอยู่ในบ้านหลังเดียวกัน ให้เราแสดงว่าชุดของผู้เช่าในบ้านจะแบ่งออกเป็นชั้นเรียน และแต่ละชั้นเป็นอพาร์ตเมนต์แยกต่างหาก สำหรับแผนกนี้ทั้งหมด เงื่อนไขที่จำเป็นแบ่งชุดออกเป็นคลาส: ก) แต่ละคลาสไม่ว่างเพราะ แต่ละอพาร์ทเมนท์มีอย่างน้อย 1 คน แต่ลงทะเบียนแล้ว b) ชั้นเรียนไม่ทับซ้อนกัน (1 คนไม่ได้ลงทะเบียนในอพาร์ทเมนท์สองแห่งที่แตกต่างกัน) c) สหภาพของทุกชั้นเรียนเช่น ผู้เช่าแต่ละห้องชุด และประกอบขึ้นเป็นชุดของผู้เช่าบ้าน

18 . แนวทางเซตทฤษฎีในการสร้างทฤษฎีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันมากขึ้น (น้อยลง) สองชุด A และ B เรียกว่าเทียบเท่าหรือเทียบเท่า ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกัน นั่นคือ หากแต่ละองค์ประกอบของชุด A เชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของชุด B และในทางกลับกัน เลขยกกำลังหรือเลขคาร์ดินัลเป็นคุณสมบัติที่มีอยู่ในเซต B ใด ๆ ซึ่งมีค่าเท่ากับกำลังของเซต A และไม่มีอยู่ในเซตอื่นใด ซึ่งไม่มีกำลังเท่ากับเซต A A~B n (A) =a คือพลัง ความสัมพันธ์สมมูลคือความสัมพันธ์ที่สมมูล กล่าวคือ มันตอบสนองคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ, สมมาตรและการส่งผ่าน ความสัมพันธ์สมมูลแบ่งเซตของเซตทั้งหมดออกเป็นคลาสสมมูล ในการกำหนดแนวคิดของจำนวนธรรมชาติและศูนย์ ให้พิจารณาพาร์ติชันของเซตจำกัดทั้งหมด

ให้ M เป็นเซตของเซตจำกัดทั้งหมด M=K 0 Ka Kv โดยที่ Ko เป็นคลาสของเซตว่าง Ka คือเซตที่มีเซตเท่ากับ 1, a 2, a 3, ฯลฯ, Kv คือเซต มีเซตเท่ากันใน 1 , ใน 2 , ใน 3 ฯลฯ เซต M อาจประกอบด้วยเซตย่อย K อื่นที่มีลักษณะต่างกัน ซึ่งประกอบด้วยเซตที่มีกำลังเท่ากัน แต่ละคลาสสมมูล K มีเหมือนกันที่ประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนเท่ากัน ไม่มีคุณสมบัติทั่วไปอื่น ๆ จำนวนเต็มไม่เป็นลบจากมุมมองของเซต-ทฤษฎี เป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตเท่ากันจำกัด จำนวนธรรมชาติเป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดอีโคโพเทนต์ที่ไม่ว่างเปล่า แต่ละชั้นจะได้รับหมายเลขคาร์ดินัล (กำลัง) ชุดว่างคลาสถูกกำหนดหมายเลขพิกัด 0 คลาสประกอบด้วยชุดที่มี 1 องค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข 1 คลาสประกอบด้วยชุดที่มี 2 องค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข 2 (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a)

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน. จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบ a และ b จะถูกเรียกว่าเท่ากัน ถ้าเซต A และ B ซึ่งเป็นจำนวนที่แสดงออกมา มีค่าเท่ากัน (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n(A )=n(B) a=c).

ทฤษฎีบท: ความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบคือความสัมพันธ์ที่สมมูล การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันมีคุณสมบัติของความสมมาตร การทรานสซิกทีฟ และการสะท้อนกลับ

เพราะ สมบัติของการสะท้อนกลับ, สมมาตร, ทรานซิติวิตีเป็นที่พอใจแล้วความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน

อัตราส่วนน้อยกว่า. จำนวนเต็มไม่เป็นลบ a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1)

ทฤษฎีบท: อัตราส่วนที่น้อยกว่าในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบเป็นความสัมพันธ์ของลำดับที่เข้มงวด หลักฐาน: ให้เราพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์น้อยกว่ามีคุณสมบัติของสมมาตรและทรานซิทีฟ

C 2 C 1 C 2 ~ B 1 C 2 ~ A n (A) \u003d n (C 2) n (C 2)

A B C 1 C

บี 1 ซี 2

19 . การบวกและการลบในทฤษฎีเชิงปริมาณของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ คุณสมบัติของพวกเขา. ผลรวมจำนวนเต็มไม่เป็นลบสองจำนวน a และ b เรียกว่าจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ c ซึ่งเป็นคาร์ดินาลิตี้ของการรวมกันของเซต A และ B ที่ไม่ตัดกันสองเซต ซึ่งคาร์ดินัลลิตี้เท่ากับ a และ c ตามลำดับ a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B)

คุณสมบัติเพิ่มเติม. 1. การบวกในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบจะมีอยู่เสมอและถูกกำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีอยู่เสมอ พิจารณา A และ B โดยที่จุดตัดของพวกมันคือเซตว่างและจำนวนขององค์ประกอบของ A คือ a และคาร์ดินาลิตี้ของ B คือ c เราพบว่าการรวมตัวของ A และ B เนื่องจากการรวมกันของสองชุดที่ไม่ปะติดปะต่อกันอยู่เสมอและด้วยเหตุนี้ผลรวมจึงมีอยู่และจากคำจำกัดความของผลรวมจึงมีการบวกอยู่เสมอ

ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง มี C 1 และ C 2 - จำนวนเต็มไม่เป็นลบ C 1 \u003d a + b และ C 2 \u003d a + c ผลรวมของตัวเลข a และ b ไม่ได้ขึ้นอยู่กับชุด A และ B ที่เราเลือกจากกลุ่มของชุดที่เทียบเท่า ดังนั้นการรวมตัวของ A และ B ที่นำมาจากคลาสของชุดที่เทียบเท่าจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกชุด A และ B เนื่องจากพลังในแต่ละคลาสเท่ากัน ดังนั้น C 1 \u003d C 2

2. การเปลี่ยนแปลงของการบวก สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a และ b คุณสมบัติ a+b=b+a จะถูกเติมเต็ม เรารู้จากทฤษฎีเซตว่าสำหรับ AUB = BUA หากเซตเท่ากัน ค่าตัวเลขจะเท่ากัน n(AUB)=n(บัว). เรารู้จากทฤษฎีเซตว่าคาร์ดินัลลิตี้ของยูเนี่ยนเท่ากับผลรวมของคาร์ดินัลลิตี้ N(A)+n(B)=n(B)+n(A)

3. คุณสมบัติของการเชื่อมโยง สำหรับตัวเลขใดๆ a, b, c คุณสมบัติต่อไปนี้ถือ: a+(b+c)=(a+b)+c จากทฤษฎีเซตเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสำหรับการรวมกันของเซตนั้นมีคุณสมบัติที่สัมพันธ์กันสำเร็จ: АU(ВУС)=(АУВ)UСถ้าเซตเท่ากันค่าที่เป็นตัวเลขจะเท่ากัน n(АU (ВУС))=n((АУВ)UC). เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากทฤษฎีเซตว่าคาร์ดินัลลิตี้ของยูเนี่ยนเท่ากับผลรวมของคาร์ดินัลลิตี้ของเซตเหล่านี้ n(A) + n (BUC) \u003d n (AUB) + n (C) n (A) + ( n (B) + n (C)) \u003d (n (A) + n (B)) + n (C) a + (b + c) \u003d (a + c) + c

ความแตกต่างจำนวนเต็มไม่เป็นลบ a และ b เรียกว่าจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ c ซึ่งเป็นกำลังของส่วนเติมเต็มของเซต B กับเซต A โดยที่ B เป็นของ A, n(A)=a, n(B) =ค.

คุณสมบัติความแตกต่าง. 1. เพื่อให้ผลต่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบมีอยู่ จำเป็นและเพียงพอที่ a มากกว่าหรือเท่ากับ b

มาพิสูจน์กัน: 1) เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของความแตกต่าง. ให้: a - b = c พิสูจน์: a c ตามคำจำกัดความของความแตกต่าง มันตามมาว่ามีส่วนประกอบเสริมของเซต B ถึงเซต A และส่วนประกอบนี้มีคาร์ดินาลลิตี้ที่สามารถพบได้จากความเท่าเทียมกันที่รู้จักจากทฤษฎีเซต

n () \u003d n (A) -n (B) จากข้อเท็จจริงที่ว่า B เป็นสับเซตของ A จึงตามมาด้วยว่าจำนวนองค์ประกอบใน B นั้นน้อยกว่าจำนวนขององค์ประกอบของ A. n (B) ใน; B เข้าสู่ A; น(วี)

2). สภาพที่จำเป็น ให้ พิสูจน์การมีอยู่ของความแตกต่าง (a-c) ถ้า a>b ตามนิยามของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" มีเซต A 1 ที่รวม A 1 ไว้ใน A และ A 1 ~B เขียนความแตกต่างระหว่าง A และ A 1 ความแตกต่างนี้มีอยู่เสมอ (A-A 1 \u003d C) และดังนั้นจึงมี C ซึ่งก็คือความแตกต่างนี้ จากเงื่อนไขเหล่านี้ C คือส่วนเติมเต็มของ A 1 ถึง A. C \u003d 1A พลังของ C คือกำลังของส่วนประกอบเสริมของ A 1 ถึง A. n (C) \u003d n ( 1A) \u003d n ( A) -n (A 1) ตั้งแต่ A 1 ~ B จากนั้น n (A 1) \u003d n (B) ดังนั้น n (C) \u003d n (A) -n (B) ดังนั้น c \u003d a-c .

2. ความแตกต่างของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบพบได้ในลักษณะเฉพาะ เนื่องจากความแตกต่างคือคาร์ดินัลลิตี้ของคอมพลีเมนต์ของเซตย่อยของเซต และคอมพลีเมนต์ถูกกำหนดด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำ ดังนั้นความแตกต่างของจำนวนเต็มไม่ติดลบคือ กำหนดในลักษณะเฉพาะ

3. สำหรับการลบ คุณสมบัติของสับเปลี่ยนและความสัมพันธ์ไม่เป็นที่พอใจ

4. การลบผลรวมจากตัวเลข a-(b+c)=(a-c)-c. จากทฤษฎีเซต เรารู้ A\(BUC)=(A\B)\C และ B Ì A; C Ì A; VUSÌA.

น (A\(BUC))=n((A\B)\C)

n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C)

n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C)

a-(b+c)=(a-c)-c.

5. การลบตัวเลขออกจากส่วนต่าง (a-c)-c \u003d (a-c)-c การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติความแตกต่างที่ตั้งไว้ (A\B)\C=(A\C)\B

6. การลบตัวเลขออกจากผลรวม (a+b)-c=(a-c)+c หลักฐานจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของชุด (AUB)\C=(A\C)UB

ปิดการใช้งาน adBlock!
จำเป็นมาก

เยอะ X (\displaystyle X)ซึ่งแนะนำความสัมพันธ์สั่งบางส่วนเรียกว่า ได้รับคำสั่งบางส่วน. ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนที่ไม่เคร่งครัดมักแสดงด้วยสัญลักษณ์ ≼ (\displaystyle \precurlyeq ).

ตัวเลือก

ความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อบางส่วน R (\displaystyle R)เรียกว่า ลำดับเชิงเส้นถ้าเงื่อนไข

เยอะ X (\displaystyle X)ซึ่งแนะนำความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นเรียกว่า เรียงลำดับเชิงเส้น, หรือ โซ่.

ทัศนคติ R (\displaystyle R)ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของการสะท้อนกลับและการถ่ายทอดเท่านั้นเรียกว่า พรีออร์เดอร์ หรือ quasiorder.

คำสั่งที่เข้มงวด

หากเงื่อนไขการสะท้อนกลับถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไขการต้านการสะท้อนกลับ:

แล้วเราจะได้คำจำกัดความ เข้มงวด, หรือ คำสั่งบางส่วนของ antireflexive(มักเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≺ (\displaystyle \prec )).

ความคิดเห็น การต้านการสะท้อนกลับและการทรานส์เฟกทีฟพร้อมกันของความสัมพันธ์แสดงถึงความไม่สมมาตร ดังนั้นอัตราส่วนคือ ความสัมพันธ์ที่เข้มงวดถ้าและเฉพาะในกรณีที่เป็น antireflexive และสกรรมกริยา

โดยทั่วไป ถ้า R (\displaystyle R)เป็นความสัมพันธ์เชิงสกรรมกริยาไม่สมมาตร ดังนั้น

ตัวอย่าง

• ในชุดของจำนวนจริง ความสัมพันธ์ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" เป็นความสัมพันธ์แบบเข้มงวด ในขณะที่ "มากกว่าหรือเท่ากับ" และ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" เป็นความสัมพันธ์แบบไม่มีระเบียบ
• ความสัมพันธ์การหารลงตัวของเซตของจำนวนเต็มเป็นความสัมพันธ์ของลำดับที่ไม่เข้มงวด

มิติดัชนิก-มิลเลอร์

เรื่องราว

ป้าย < {\displaystyle <} และ > (\displaystyle >)ประดิษฐ์