Relația de comandă. Seturi comandate
Fie R o relație binară pe mulțimea A.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de ordin pe A sau ordin pe A dacă este tranzitivă și antisimetrică.
DEFINIȚIE. O relație de ordin R pe o mulțime A se numește nestrict dacă este reflexivă pe A, adică pentru fiecare dintre A.
O relație de ordine R se numește strictă (pe A) dacă este antireflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A. Totuși, din antireflexivitatea relației tranzitive R rezultă că este antisimetrică. Prin urmare, poate fi dată următoarea definiție echivalentă.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește ordine strictă pe A dacă este tranzitivă și antireflexivă pe A.
Exemple. 1. Fie multimea tuturor submultimii multimii M. Relatia de includere pe o multime este o relatie de ordine nestrict.
2. Relațiile pe mulțimea numerelor reale sunt, respectiv, relații de ordine strictă și nestrict.
3. Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale este o relație de ordine nestrict.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de preordine sau preordine pe A dacă este reflexivă și tranzitivă.
Exemple. 1. Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor întregi nu este o ordine. Cu toate acestea, este reflexiv și tranzitiv, ceea ce înseamnă că este o precomandă.
2. Relația de implicare logică este o preordonare a setului de formule logice propoziționale.
Ordine liniară. Un caz special important de ordine este ordinea liniară.
DEFINIȚIE. O relație de ordine pe o mulțime se numește relație de ordine liniară sau ordine liniară pe dacă este conectată pe , adică pentru orice x, y din A
O relație de ordine care nu este liniară este de obicei numită relație de ordine parțială sau ordine parțială.
Exemple. 1. Relația „mai mică decât” pe mulțimea numerelor reale este o relație de ordin liniar.
2. Relația de ordine adoptată în dicționarele de limbă rusă se numește lexicografic. Ordinea lexicografică pe setul de cuvinte în limba rusă este o ordine liniară.
2) o relație din mulțimea X se numește relație strict în ordine, dacă este antisimetric și tranzitiv. Relația se numește antisimetric, dacă din faptul că a este în relație cu c în nu rezultă că b este în relație cu a (a, în ∈ X, și R în → în R a) R – a fi în relație. Relația se numește tranzitiv, dacă pentru orice elemente a, b, c din faptul că a R în și în R c → că a R c, a, b, c ∈ X. De exemplu: relația „mai mult, mai puțin”. Se numește o mulțime pe care este definită o relație de ordine strictă ordonat mulți.
3) o relație din mulțimea X se numește relație nu în ordine strictă, dacă este reflexiv, asimetric și tranzitiv. De exemplu: relația ≥ ≤. Dacă o relație de ordine are proprietatea conexiunii, atunci se spune că este o relație ordine liniară. Relația se numește legate de pe mulțimea X, dacă pentru orice elemente x și y este îndeplinită următoarea condiție: din faptul că x ≠ y rezultă că x R y sau y R x. Dacă o relație de ordine liniară este dată pe o mulțime, atunci ea ordonează liniar mulțimea dată.
5. Mulțimea numerelor reale. Proprietățile sale. Extinderea mulţimii numerelor raţionale a fost condusă de necesitatea măsurării lungimilor segmentelor, ariilor etc. Baza oricărei măsurători este același principiu: obiectul măsurat este comparat cu un standard (obiect sau fenomen), a cărui valoare are o valoare numerică egală cu 1, dar segmentul de unitate nu este întotdeauna încorporat în obiectul măsurat. Prin urmare, la măsurare, se fac două ipoteze, care în matematică sunt definite ca axiome: 1) Un singur standard poate fi împărțit în orice număr de părți sau părți egale. 2) Standardul selectat poate fi folosit pentru a măsura orice obiect atât de mare cât se dorește. Pentru segmente, aceste axiome au fost formulate de Arhimede: Indiferent cât de mic este segmentul AB și oricât de mare este segmentul CD, există un număr natural N astfel încât N*AB>CD, dacă segmentul măsurat CD conține un număr egal. numărul de segmente AB, atunci lungimea segmentului CD este exprimată ca număr natural. Dacă în segmentul măsurat CD segmentul AB este plasat de un număr inegal de ori, atunci AB este împărțit în 10 segmente identice, numite zecimi de standarde. Dacă este necesar, o zecime poate fi împărțită în 10 părți egale etc. Dacă numărul egal 10, 100 etc. se încadrează în segmentul CD. fracții ale segmentelor AB, atunci lungimea segmentului CD se exprimă printr-un număr rațional. Cu toate acestea, lungimea unui segment nu poate fi întotdeauna exprimată ca număr natural sau rațional. Există segmente incomensurabile, adică. segmente a căror lungime nu este exprimată printr-un număr rațional. (teoreme vezi întrebarea 32)
Numerele care pot fi reprezentate ca fracții neperiodice zecimale infinite sunt numite iraționale. Unirea mulțimii numerelor raționale și a mulțimii numerelor iraționale este mulțimea numerelor reale ().
Proprietățile mulțimii numerelor reale. 1). Mulțimea punctelor de pe dreapta numerică este egală cu mulțimea numerelor reale.
0 M 1 Luați orice punct M de pe segment de la 0 la 1,
D desenați un semicerc cu centrul la
Punctul de mijloc al acestui segment și raza
K O S egal cu jumătate din acesta. Să desenăm o perpendiculară din M până se intersectează cu semicercul. Obținem D. Acest punct este unic, deoarece semicercul și dreapta se intersectează doar într-un punct. De la mijlocul acestui segment, trageți o linie dreaptă prin D până când se intersectează cu axa numerelor. Obținem K, care este determinat într-un mod unic, deoarece liniile se intersectează doar într-un punct. Alegând un alt punct arbitrar pe un segment dat și repetând întregul proces, obținem că orice punct de pe segmentul de la 0 la 1 corespunde unui singur punct de pe dreapta numerică. Raționând în ordine inversă, putem arăta că orice punct de pe dreapta numerică corespunde și unui singur punct de la 0 la 1. Dacă un punct arbitrar E aparține dreptei numerice, atunci prin punctele M și E se poate trasa o singură linie. care intersectează semicercul. Dintr-un semicerc puteți coborî o perpendiculară pe un segment dat. Astfel, se stabilește o mapare reciproc identică între punctele segmentului de la 0 la 1 și punctele dreptei numerice, adică. sunt la fel de puternici.
2) mulțimea numerelor reale nu este numărabilă, adică nu este egală cu mulţimea numerelor naturale.
3). Mulțimea numerelor reale este o mulțime continuă. Continuitatea mulțimii numerelor reale este că între oricare două numere reale există o mulțime infinită de numere reale.
6. Partiționarea unui set în clase. Exemple de clasificare. Relația de echivalență, proprietățile sale. Relația dintre relația de echivalență și împărțirea unei mulțimi în clase. Să ne uităm la un exemplu. Fie dată o mulțime M (o mulțime de poligoane convexe), formăm toate submulțimile acestei mulțimi: A 1 – o mulțime de triunghiuri; A2 – multime de patrulatere; A3 – set de pentagoane; Ak este un set de k-gonuri. O mulțime M este considerată a fi împărțită în clase dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
- fiecare submulțime A nu este goală
- intersecția oricăror două submulțimi este mulțimea goală
- uniunea tuturor submulților este mulțimea dată M
Se apelează partiţionarea unui set în clase clasificare.
Atitudine pe multimea se numeste X echivalent , dacă este reflexiv, simetric și tranzitiv. Relația se numește reflectorizant, dacă orice element din mulțimea X este într-o relație cu el însuși a ∈ X, iar R a (R este într-o relație). Relația se numește simetric, dacă pentru oricare două elemente ale mulțimii X (a și b) din faptul că a este în relație cu b, va rezulta că b este în relație cu a (a, b ∈ X și R b → în R a). Relația se numește tranzitiv, dacă pentru orice elemente a, b, c din faptul că a R în și în R c → că a R c, a, b, c ∈ X. Pe graficul relațiilor de echivalență există bucle, săgeți reciproc inverse și triunghiulare săgeți. Relația de echivalență, și numai ea, este asociată cu împărțirea unei mulțimi în clase. Această afirmație poate fi formulată ca teoreme: Dacă pe o mulțime X este specificată o relație de echivalență, atunci această relație împarte mulțimea X în clase și invers, dacă mulțimea X este împărțită în clase, atunci relația de echivalență este satisfăcută pe mulțimea dată. De exemplu. Să se dea atitudinea - să locuiască în aceeași casă. Să arătăm că setul de locuitori din casă va fi împărțit în clase. Și fiecare clasă este un apartament separat. Pentru această împărțire vor fi îndeplinite toate condițiile necesare pentru împărțirea unui set în clase: a) fiecare clasă nu este goală, deoarece în fiecare apartament este înregistrată cel puțin 1 persoană, b) clasele nu se suprapun (1 persoană nu este înscrisă în două apartamente diferite), c) unirea tuturor claselor, i.e. rezidenți ai fiecărui apartament și constituie ansamblul rezidenților casei.
18 . O abordare teoretică a mulțimilor pentru construirea teoriei numerelor întregi nenegative. Relații de egalitate, mai mult (mai puțin). Două mulțimi A și B se numesc echivalente sau la fel de puternice dacă între ele se poate stabili o corespondență unu-la-unu, adică dacă fiecare element al mulțimii A este asociat cu un singur element al mulțimii B și invers. Puterea sau numărul cardinal este o proprietate care este inerentă oricărei mulțimi B care este echivalentă cu mulțimea A și nu este inerentă nici unei alte mulțimi care nu este egală cu mulțimea A. A~B n (A) = a este putere. Relația de putere egală este o relație de echivalență, adică. proprietăţile de reflexivitate, simetrie şi tranzitivitate sunt satisfăcute pentru acesta. Relația de echivalență împarte mulțimea tuturor mulțimilor în clase de echivalență. Pentru a defini conceptul de număr natural și zero, luați în considerare partiția tuturor mulțimilor finite.
Fie M mulțimea tuturor mulțimilor finite. M = K 0 Ka Kv, unde Ko este clasa multimilor goale, Ka este o multime care contine multimi egale a 1, a 2, a 3 etc., Kv este o multime. Conținând seturi de cardinalitate egală în 1, în 2, în 3 etc. Mulțimea M poate conține și alte submulțimi K de naturi diferite, care constau din mulțimi de putere egală. Fiecare clasă de echivalență K are în comun faptul că sunt formate din același număr de elemente; nu există alte proprietăți comune. Un număr întreg nenegativ, din punct de vedere teoretic al mulțimilor, este o proprietate generală a clasei mulțimilor finite de putere egală. Un număr natural este o proprietate generală a clasei de mulțimi finite nevide de cardinalitate egală. Fiecărei clase i se atribuie un număr cardinal (cardinalitate). Mulțimii goale de clasă i se atribuie numărul de coordonate 0. Clasei formată din mulțimi care au 1 element i se atribuie numărul 1. O clasă formată din mulțimi cu 2 elemente i se atribuie numărul 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Relația de egalitate. Numerele întregi nenegative a și b se spune că sunt egale dacă mulțimile A și B, numărul cărora le exprimă, sunt egale (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B) a=c).
Teorema: relația de egalitate în mulțimea numerelor întregi nenegative este o relație de echivalență. Dovada. Să demonstrăm că relația de egalitate are proprietățile de simetrie, tranzitivitate și reflexivitate.
Deoarece proprietățile reflexivității, simetriei și tranzitivității sunt satisfăcute, atunci relația de egalitate este o relație de echivalență.
Raportul este mai mic. Număr întreg nenegativ a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teoremă: relația mai mică decât în mulțimea numerelor întregi nenegative este o relație de strictă ordine. Dovada: Să demonstrăm că relația mai puțin are proprietăți de antisimetrie și tranzitivitate. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Adunarea și scăderea în teoria cantitativă a numerelor întregi nenegative. Proprietățile lor. Cantitate două numere întregi nenegative a și b se numesc un număr întreg nenegativ c, care este cardinalitatea unirii a două mulțimi disjunse A și B, ale căror cardinalități sunt, respectiv, egale cu a și b. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Proprietățile adăugării. 1. Adunarea într-un set de numere întregi nenegative există întotdeauna și este definită într-un mod unic. Să demonstrăm că suma există întotdeauna. Se consideră A și B, astfel încât intersecția lor este mulțimea goală și numărul de elemente ale lui A este a, iar cardinalitatea lui B este b. să găsim uniunea lui A și B. Întrucât unirea a două mulțimi disjunse există întotdeauna, aceasta înseamnă că există și suma, iar din definiția sumei rezultă că adunarea există întotdeauna. Să demonstrăm că suma este determinată într-un mod unic. Există C 1 și C 2 – numere întregi nenegative. C 1 = a + b și C 2 = a + b. Suma numerelor a și b nu depinde de mulțimile A și B alese din clasa mulțimilor de puteri egale și, prin urmare, unirea lui A și B luată din clasa mulțimilor de puteri egale nu depinde de alegerea seturile A și B, deoarece puterea din fiecare clasă este aceeași, atunci C 1 = C 2. 2. Adunarea comutativă. Pentru orice numere întregi nenegative a și b, proprietatea a+b=b+a este valabilă. Din teoria mulțimilor știm că pentru АУВ = ВУА. Dacă seturile sunt egale, valorile lor numerice sunt egale. n(АУВ)=n(ВУА). Din teoria mulțimilor știm că puterea unei uniuni este egală cu suma puterilor. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Proprietatea asociativității. Pentru orice numere a, b, c, este valabilă următoarea proprietate: a+(b+c)=(a+b)+c. Din teoria mulțimilor se știe că pentru unirea mulțimilor se îndeplinește proprietatea asociativității: АU(ВУС)=(АУВ)UC, dacă mulțimile sunt egale, atunci valorile lor numerice sunt egale, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). Din teoria multimilor se stie ca puterea unei uniuni este egala cu suma puterilor acestor multimi, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n) (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Prin diferenta numere întregi nenegative a și b se numesc un întreg nenegativ c, care este puterea complementului mulțimii B la mulțimea A, astfel încât B aparține lui A, n(A)=a, n(B) =b. Proprietăți de diferență. 1. Pentru ca diferența numerelor întregi nenegative să existe, este necesar și suficient ca a să fie mai mare sau egal cu b. Să demonstrăm: 1) o condiție suficientă pentru existența unei diferențe. Având în vedere: a - b = c, demonstrați: a c. Din definiția diferenței rezultă că există un complement al mulțimii B pentru mulțimea A, iar acest complement are putere, care poate fi găsită din egalitatea cunoscută din teoria mulțimilor. n() = n(A)-n(B). Din faptul că B este o submulțime a lui A rezultă că numărul de elemente din B este mai mic decât numărul de elemente ale lui A. n (B) 2). Stare necesară. Având în vedere un c. dovediți existența diferenței (a-c). Dacă a>b, prin definiția relației „mai puțin decât”, există o mulțime A 1 astfel încât A 1 este inclus în A și A 1 ~B. Să facem diferența dintre A și A 1. Această diferență există întotdeauna (A - A 1 = C) și, prin urmare, există C, care este această diferență. Din aceste condiții rezultă că C este complementul lui A 1 la A. C = 1A Puterea lui C este puterea complementului lui A 1 la A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A1), deoarece A1 ~ B, atunci n(A1)=n(B), deci n(C)=n(A)-n(B), deci c=a-b. 2. Diferența numerelor întregi nenegative se găsește într-un mod unic, deoarece diferența este puterea complementului de submulțimi la o mulțime, iar complementul este determinat într-un mod unic, atunci diferența numerelor întregi nenegative este determinată într-un mod unic. 3. Proprietățile comutativității și asociativității nu sunt satisfăcute pentru scădere. 4. Scăderea unei sume dintr-un număr. a-(b+c)=(a-c)-c. Din teoria mulţimilor se cunoaşte A\(BUC)=(A\B)\C, iar B Ì A; S Ì A; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Scăderea unui număr din diferența (a-c)-c=(a-c)-c. Demonstrarea se bazează pe proprietatea diferenței de mulțimi (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Scăderea unui număr din suma (a+b)-c=(a-c)+c. Demonstrarea se bazează pe proprietatea mulțimilor (АУВ)\С=(А\С) УВ. Chiar nici măcar În practică, întâlnim adesea funcții care nu sunt nici pare, nici impare. 4. Funcțiile pot fi periodice. O funcție se numește periodică dacă există un număr T astfel încât condiția f(x+T)=f(x) este îndeplinită. Toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă) sunt periodice. 5. funcţiile pot avea puncte singulare. Acestea sunt punctele de intersecție cu axele de coordonate și punctele de extremă, adică. puncte minime și maxime. Punctul x0 se numește punctul minim al funcției dacă pentru tot X din vecinătatea lui x0 sunt îndeplinite condițiile f (x) > f (x0). Un punct x0 se numește punct maxim al unei funcții dacă pentru tot x din vecinătatea lui x0 f(x)< f (x0). 6. funcţiile pot avea intervale de semne de constanţă, adică. acestea sunt acele submulțimi, domenii de definiție, ale căror elemente transformă funcția fie numai pozitivă, fie numai negativă. 7. o funcție poate avea puncte de întrerupere, i.e. acele valori ale variabilei x în care y nu există (funcții de proporționalitate inversă). y = , dacă x = 0 Cauta pe site: Dezactivează adBlock! Proprietățile relațiilor: 1) reflexivitate; 2) simetrie; 3) tranzitivitate. 4) conexiunea. Atitudine R pe un platou X numit reflectorizant, dacă despre fiecare element al mulţimii X putem spune că este într-o relație R Cu mine insumi: XRx. Dacă relația este reflexivă, atunci există o buclă la fiecare vârf al graficului. Dimpotrivă, un graf al cărui vârf conține o buclă este un graf de relații reflexive. Exemple de relații reflexive sunt relația „multiplu” pe mulțimea numerelor naturale (fiecare număr este un multiplu al lui însuși), și relația de asemănare a triunghiurilor (fiecare triunghi este similar cu el însuși) și relația de „egalitate” ( fiecare număr este egal cu el însuși), etc. Există relații care nu au proprietatea reflexivității, de exemplu, relația de perpendicularitate a segmentelor: ab, ba(nu există un singur segment despre care se poate spune că este perpendicular pe sine) .
Prin urmare, nu există o singură buclă în graficul acestei relații. Relația „mai lungă” pentru segmente, „mai mult cu 2” pentru numerele naturale etc. nu are proprietatea reflexivității. Atitudine R pe un platou X numit antireflex, dacă pentru orice element din set X mereu fals XRx: .
Există relații care nu sunt nici reflexive, nici antireflexive. Un exemplu de astfel de relație este relația „punct X simetric la punct la relativ drept l", definită pe un set de puncte ale planului. Într-adevăr, toate punctele unei linii drepte l sunt simetrice față de ei înșiși și punctele care nu se află pe o linie dreaptă eu ele însele nu sunt simetrice. Atitudine R pe un platou X numit simetric,
dacă este îndeplinită condiţia: din faptul că elementul X este în raport cu elementul y, rezultă că elementul y este in relatie R cu element X:xRyyRx. Graficul relației simetrice are următoarea caracteristică: împreună cu fiecare săgeată provenită din X La y, graficul conține o săgeată care pleacă de la y La X(Fig. 35). Exemple de relații simetrice pot fi următoarele: relația de „paralelism” a segmentelor, relația de „perpendicularitate” a segmentelor, relația de „egalitate” a segmentelor, relația de asemănare a triunghiurilor, relația de „egalitate” a fracții etc. Există relații care nu au proprietatea de simetrie. Într-adevăr, dacă segmentul X mai lung decât segmentul la, apoi segmentul la nu poate fi mai lung decât segmentul X. Graficul acestei relații are o particularitate: săgeata care leagă vârfurile este îndreptată doar într-o singură direcție. Atitudine R numit antisimetric, dacă pentru orice elemente XȘi y din adevăr
xRy ar trebui să fie fals
yRx: : xRyyRx. Pe lângă relația „mai lungă”, există și alte relații antisimetrice pe multe segmente. De exemplu, relația „mai mare decât” pentru numere (dacă X Mai mult la, Acea la nu poate fi mai mult X), atitudinea „mai mult” etc. Există relații care nu au nici proprietatea de simetrie, nici proprietatea de antisimetrie. Relația R pe o mulțime X numit tranzitiv, dacă din acel element X este in relatie R cu element y,și element y este in relatie R cu element z, rezultă că elementul X este in relatie R cu element z: xRyȘi yRzxRz. Graficul relației tranzitive din care provine fiecare pereche de săgeți X La y iar din y La z, conține o săgeată care pleacă de la X La z.
Relația „mai lungă” pe un set de segmente are și proprietatea de tranzitivitate: dacă segmentul A mai lung decât segmentul b, segment de linie b mai lung decât segmentul Cu, apoi segmentul A mai lung decât segmentul Cu. Relația de „egalitate” pe un set de segmente are și proprietatea tranzitivității: (a=b, b=c)(a=c). Sunt relaţii care nu au proprietatea tranzitivităţii. O astfel de relație este, de exemplu, relația de perpendicularitate: dacă un segment A perpendicular pe segment b, și segmentul b perpendicular pe segment Cu, apoi segmentele AȘi Cu nu perpendicular! Există o altă proprietate a relațiilor, care se numește proprietatea conexiunii, iar o relație care o are se numește conectată. Atitudine R pe un platou X numit conectat, dacă pentru orice elemente XȘi y din acest set este îndeplinită următoarea condiţie: dacă XȘi y sunt diferite, atunci fie X este in relatie R cu element y, sau element y este in relatie R cu element X. Folosind simboluri, aceasta poate fi scrisă astfel:
X yxRy sau yRx. De exemplu, relația „mai mare decât” pentru numerele naturale are proprietatea conexiunii: pentru orice numere distincte x și y se poate afirma, fie x>y, sau y>x. Într-un grafic de relații conexe, oricare două vârfuri sunt conectate printr-o săgeată. Afirmația opusă este de asemenea adevărată. Există relații care nu au proprietatea conexiunii. O astfel de relație, de exemplu, este relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor naturale: putem numi astfel de numere x și y oricare ar fi numărul X nu este un divizor al unui număr y, fără număr y nu este un divizor al unui număr X(numerele 17
Și 11
, 3
Și 10
etc.) .
Să ne uităm la câteva exemple. Pe platou X=(1, 2, 4, 8, 12) se dă relaţia „număr”. X multiplu al numărului y" Să construim un grafic al acestei relații și să formulăm proprietățile acesteia. Se spune că relația de egalitate a fracțiilor este o relație de echivalență. Atitudine R pe un platou X numit relație de echivalență, dacă are simultan proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate. Exemple de relații de echivalență includ: relațiile de egalitate ale figurilor geometrice, relațiile de paralelism ale dreptelor (cu condiția ca liniile care coincid sunt considerate paralele). În relația de „egalitate a fracțiilor” discutată mai sus, mulțimea Xîmpărțit în trei subseturi: ( ; ;
}, {;
} ,
(). Aceste submulțimi nu se intersectează, iar unirea lor coincide cu mulțimea X, adică avem o partiție a setului în clase. Asa de, dacă o relație de echivalență este dată pe o mulțime X, atunci generează o partiție a acestei mulțimi în submulțimi disjunse pe perechi - clase de echivalență. Astfel, am stabilit că relația de egalitate pe mulțime Principiul împărțirii unei mulțimi în clase folosind o relație de echivalență este un principiu important al matematicii. De ce? În primul rând, echivalent înseamnă echivalent, interschimbabil. Prin urmare, elementele aceleiași clase de echivalență sunt interschimbabile. Astfel, fracțiile care sunt în aceeași clasă de echivalență (; ; ),
nu se pot distinge din punctul de vedere al relației de egalitate și al fracțiunii
poate fi înlocuit cu altul, de exemplu .
Și această înlocuire nu va schimba rezultatul calculelor. În al doilea rând, deoarece clasa de echivalență conține elemente care nu se pot distinge din punctul de vedere al unei relații, se crede că clasa de echivalență este determinată de oricare dintre reprezentanții săi, i.e. un element arbitrar al clasei. Astfel, orice clasă de fracții egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracții aparținând acestei clase. clasa de echivalență de către un reprezentant vă permite să studiați un set de reprezentanți din clasele de echivalență în loc de toate elementele mulțimii. De exemplu, relația de echivalență „a avea același număr de vârfuri”, definită pe un set de poligoane, generează o partiție a acestui set în clase de triunghiuri, patrulatere, pentagoane etc. proprietățile inerente unei anumite clase sunt luate în considerare pe unul dintre reprezentanții acesteia. În al treilea rând, partiționarea unui set în clase folosind o relație de echivalență este folosită pentru a introduce concepte noi. De exemplu, conceptul de „mănunchi de linii” poate fi definit ca ceea ce liniile paralele au în comun unele cu altele. Un alt tip important de relație este relația de ordine. Să luăm în considerare problema. Pe platoul de filmare X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
) relația „au același rest atunci când se împarte la 3
" Această relație generează o partiție a mulțimii Xîn clase: toate numerele vor cădea într-unul singur atunci când sunt împărțite la 3
se dovedește a fi restul 0
(acestea sunt numere 3, 6,
9
). În al doilea - numere, atunci când sunt împărțite cu 3
restul este 1
(acestea sunt numere 4, 7, 10
). Al treilea va conține toate numerele care, atunci când sunt împărțite la 3
restul este 2
(acestea sunt numere 5, 8
). Într-adevăr, mulțimile rezultate nu se intersectează și uniunea lor coincide cu mulțimea X. Prin urmare, relația „au același rest atunci când este împărțită la 3
", definit pe platou X, este o relație de echivalență. Pentru a lua un alt exemplu, mulți elevi dintr-o clasă pot fi sortați după înălțime sau vârstă. Rețineți că această relație are proprietăți de antisimetrie și tranzitivitate. Sau toată lumea știe ordinea literelor din alfabet. Este oferit de atitudinea „ar trebui”. Atitudine R pe un platou X numit relație de ordine strictă, dacă are simultan proprietăți de antisimetrie și tranzitivitate. De exemplu, relatia " X<
y». Dacă relația are proprietăți de reflexivitate, antisimetrie și tranzitivitate, atunci așa va fi relație non-strictă. De exemplu, relatia " Xy». Exemple de relații de ordine includ: relația „mai mică decât” pe un set de numere naturale, relația „mai scurtă” pe un set de segmente. Dacă o relație de ordine are și proprietatea conexiunii, atunci se spune că este relație de ordine liniară. De exemplu, relația „mai puțin decât” pe mulțimea numerelor naturale. O multime de X numit ordonat, dacă pe el este specificată o relație de ordine. De exemplu, multe X={2, 8, 12, 32
) poate fi comandat folosind relația „mai puțin decât” (Fig. 41), sau acest lucru se poate face folosind relația „multiplu” (Fig. 42). Dar, fiind relații de ordine, relațiile „mai puțin decât” și „multiplu” ordonează mulțimea numerelor naturale în moduri diferite. Relația „mai puțin decât” vă permite să comparați oricare două numere dintr-un set X, dar relația „multiplu” nu are această proprietate. Bine, câteva numere. 8
Și 12
nu are legătură cu relaţia „multiplu”: nu se poate spune că 8
multiplu 12
sau 12
multiplu 8.
Nu trebuie să credem că toate relațiile sunt împărțite în relații de echivalență și relații de ordine. Există un număr mare de relații care nu sunt nici relații de echivalență, nici relații de ordine. Cuvântul „ordine” este adesea folosit într-o mare varietate de probleme. Ofițerul dă comanda: „Calculați în ordine numerică”, operațiile aritmetice sunt efectuate într-o anumită ordine, sportivii sunt clasați în funcție de înălțime, toți jucătorii de șah de frunte sunt aranjați într-o anumită ordine în funcție de așa-numiții coeficienți Elo (profesor american care a dezvoltat coeficienții de sistem, permițând să țină cont de toate reușitele și eșecurile jucătorilor), după campionat, toate echipele de fotbal sunt amplasate într-o anumită ordine etc. Există o ordine de operații la fabricarea unei piese, comanda de cuvinte într-o propoziție (încearcă să înțelegi ce înseamnă propoziția „pe bătrânul” nu am plantat măgarul!” Prin aranjarea elementelor unui anumit set una după alta, le ordonăm sau stabilim o relație între ele în ordine. Cel mai simplu exemplu este ordinea naturală a numerelor naturale. Naturalitatea sa constă în faptul că, pentru oricare două numere naturale, știm care unul urmează celuilalt sau care este mai mare decât celălalt, deci putem aranja numerele naturale într-o succesiune astfel încât numărul mai mare să fie situat, de exemplu, la dreapta celui mai mic: 1, 2, 3, ... . Desigur, succesiunea de elemente poate fi scrisă în orice direcție, nu doar de la stânga la dreapta. Însuși conceptul de numere naturale conține deja ideea de ordine. Prin stabilirea unui aranjament relativ al elementelor oricărei mulțimi, definim astfel pe ea o relație de ordin binar, care în fiecare caz specific poate avea propriul nume, de exemplu, „a fi mai puțin”, „a fi mai vechi”, „a fi mai vechi”. să fie cuprinse în „, „urmări”, etc. Denumirile simbolice de ordine pot fi, de asemenea, variate, de exemplu, Í etc. Principala trăsătură distinctivă a unei relații de ordine este aceea că are proprietatea tranzitivității. Deci, dacă avem de-a face cu o succesiune de obiecte x 1, x 2, ..., x n,..., ordonat, de exemplu, după relație, apoi din ceea ce se realizează x 1x 2... x n..., ar trebui să urmeze asta pentru orice pereche x i, x j elemente ale acestei secvențe este de asemenea îndeplinită x ix j: Pentru o pereche de elemente x ijîn graficul relației tragem o săgeată de la vârf x iîn partea de sus x j, adică de la elementul mai mic la cel mai mare. Graficul relației de ordine poate fi simplificat folosind așa-numita metodă Diagrame Hasse. Diagrama Hasse este construită după cum urmează. Elementele mai mici sunt plasate mai jos, iar cele mai mari sunt plasate mai sus. Deoarece o astfel de regulă singură nu este suficientă pentru reprezentare, sunt trasate linii care arată care dintre cele două elemente este mai mare și care este mai mic decât celălalt. În acest caz, este suficient să desenați numai linii pentru elementele imediat următoare. Exemple de diagrame Hasse sunt prezentate în figură: Nu trebuie să includeți săgeți într-o diagramă Hasse. Diagrama Hasse poate fi rotită într-un plan, dar nu în mod arbitrar. La întoarcere, este necesar să se mențină poziția relativă (sus - dedesubt) a vârfurilor diagramei: Atitudine R in abundenta X numit atitudine de ordine strictă, dacă este tranzitivă şi asimetrică. Se numește o mulțime în care este definită o relație de ordine strictă ordonat. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este ordonată după relația „mai puțin decât”. Dar același set este ordonat și de o altă relație - „împărțit în” și „mai mult”. Graficul relației „mai puțin decât” din mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentat ca o rază: Atitudine R V X numită relație ordine nestrictă (parțială)., dacă este tranzitivă și antisimetrică. Orice relație de ordine non-strict este reflexivă. Epitetul „parțial” exprimă faptul că poate nu toate elementele unui set sunt comparabile într-un anumit punct de vedere. Exemple tipice de relații de ordine parțială sunt relațiile „nu mai mare decât”, „nu mai puțin decât” și „nu mai mare decât”. Particula „nu” din numele relațiilor servește pentru a exprima reflexivitatea acestora. Relația „nu mai mult decât” coincide cu relația „mai mică decât sau egală”, iar relația „nu mai puțin” este aceeași cu „mai mare decât sau egală”. În acest sens, se mai numește și ordine parțială nu strictîn ordine. Adesea, o relație de ordine parțială (nestrict) este indicată prin simbolul „”. Relația de includere Í între submulțimile unei anumite mulțimi este, de asemenea, o ordine parțială. Evident, nu fiecare două subseturi sunt comparabile în acest sens. Figura de mai jos arată ordinea de includere parțială pe mulțime a tuturor submulților din mulțime (1,2,3). Săgețile de pe grafic care ar trebui să fie îndreptate în sus nu sunt afișate. Sunt apelate seturi în care este dată ordinea parțială parțial comandat, sau pur și simplu ordonat seturi. Elemente XȘi la se numește set parțial ordonat compara cu noi Dacă Xla sau laX. Altfel nu sunt comparabile. Se numește o mulțime ordonată în care oricare două elemente sunt comparabile ordonat liniar, iar ordinea este ordine liniară. Ordinea liniară se mai numește și ordine perfectă. De exemplu, mulțimea tuturor numerelor reale cu ordine naturală, precum și toate submulțimile sale, sunt ordonate liniar. Se pot comanda obiecte de cea mai variată natură ierarhic. Aici sunt cateva exemple. Exemplul 1: părțile unei cărți sunt aranjate astfel încât o carte să conțină capitole, capitolele să conțină secțiuni, iar secțiunile să conțină subsecțiuni. Exemplul 2. Folderele din sistemul de fișiere al computerului sunt imbricate unul în celălalt, formând o structură ramificată. Exemplul 3. Relația dintre părinți și copii poate fi descrisă ca așa-numita arbore genealogic, care arată cine este al cărui strămoș (sau urmaș). Lasă pe platou A se dă ordine parțială. Element X numit maxim (minimum) element al mulţimii A, dacă din faptul că Xla(laX), urmează egalitatea X= u. Cu alte cuvinte, elementul X este maxim (minim) dacă pentru orice element la sau nu este adevărat că Xla(laX), sau este executat X=u. Astfel, elementul maxim (minim) este mai mare (mai mic) decât toate elementele distincte de el cu care se află în relație. Element X numit cel mai mare (cel mai mic), dacă pentru oricine laÎ A efectuat la< х (х< у).
Un set parțial ordonat poate avea mai multe elemente minime și/sau maxime, dar nu poate exista mai mult de un element minim și maxim. Cel mai mic (cel mai mare) element este și minim (maxim), dar invers nu este adevărat. Figura din stânga arată o ordine parțială cu două elemente minime și două maxime, iar în dreapta o ordine parțială cu elementele cele mai mici și cele mai mari: Într-o mulțime finită parțial ordonată există întotdeauna elemente minime și maxime. Se numește o mulțime ordonată care are cele mai mari și cele mai mici elemente limitat. Figura prezintă un exemplu de mulțime infinită mărginită. Desigur, este imposibil să descrii un set infinit pe o pagină finită, dar poți arăta principiul construcției acestuia. Aici buclele din apropierea vârfurilor nu sunt afișate pentru a simplifica desenul. Din același motiv, arcele care asigură afișarea proprietății tranzitivității nu sunt afișate. Cu alte cuvinte, figura prezintă diagrama Hasse a relației de ordine. Seturile infinite pot să nu aibă elemente maxime sau minime sau ambele. De exemplu, mulțimea numerelor naturale (1,2, 3, ...) are cel mai mic element de 1, dar nu maxim. Mulțimea tuturor numerelor reale cu ordine naturală nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element. Cu toate acestea, submulțimea sa constă din toate numerele X<
5, are cel mai mare element (numărul 5), dar nu îl are pe cel mai mic. Planul de curs nr. 14 Clasificarea relațiilor binare 1. Clasificarea relaţiilor antisimetrice Clasificarea relațiilor antisimetrice Structura graficelor de relații aciclice Structura graficelor de relații de ordine calitativă Structura graficelor de relații de ordine slabă Relații stricte O ordine strictă (preferință strictă, ordine puternică, ordine liniară strictă) este o relație binară antireflexivă, tranzitivă, slab conectată (12). Ordinea strictă este un caz special de ordine slabă (preferință parțială strictă) cu condiția suplimentară de cuplare slabă. Exemplu: Relația „strict mai mică decât” pe o mulțime de numere întregi. Clasificarea relațiilor reflexive Relații de cvasi-ordine Aceste relații binare fac posibilă compararea elementelor unei anumite mulțimi, dar nu prin asemănare, ci prin aranjarea elementelor grupurilor într-o anumită ordine, i.e. prin comanda parțială. O cvasi-ordine (preferință parțială laxă) este o relație binară reflexivă și tranzitivă (3). Exemplu: „a fi frate” (Ivan-Peter, Andrey-Anna) Proprietăţile cvasi-ordinelor 1. Intersecția cvasi-ordinelor rămâne o cvasi-ordine. Relații de ordine parțială non-strict O relație de ordin parțial nestrict (4) este o relație care are proprietăți de reflexivitate, antisimetrie și tranzitivitate. Un ordin parțial slab este un cvasi-ordin antisimetric Exemplu: relația „fi parte” definită pentru mulțimi (și submulțimile acestora) Proprietăți ale comenzilor parțiale nestricte 1. Intersecția ordinelor parțiale nestrict rămâne o ordine parțială nestrict. Relații de ordine libere O ordonare liberă este o relație reflexivă care are proprietatea slab conectată (5). O ordonare liberă poate fi definită și ca o relație complet conectată. O relație de ordonare liberă poate fi reprezentată ca rezultat al combinării unor relații de toleranță și dominanță. Proprietăți ale relațiilor de ordonare parțială nestrict 1. Intersecția și unirea relațiilor complet conectate rămâne o relație complet conectată. Relaţii de ordin calitativ nestrict O relație binară R se numește ordin calitativ nestrict dacă este negativ-tranzitivă și complet conectată (6). O ordine calitativă nestrictă este o ordonare negativă nestrictă. Relația unei ordini calitative nestrict poate fi reprezentată ca rezultat al combinării unor relații de toleranță și ordine calitativă. Proprietăţi ale relaţiilor de ordin calitativ nestrict 1. Partea simetrică a ordinii calitative nestrictive este toleranța. NT? Relații de ordine slabă non-strict O ordine slabă nestrict este o relație tranzitivă și tranzitivă negativă complet conectată (7). O relație tranzitivă complet conectată se numește ordin slab nestrict. O ordine slabă non-strict este o ordine tranzitivă non-strict. Proprietăți ale relațiilor de ordin slab nestrict 1. Partea simetrică a unui ordin slab nestrict este o echivalență. Relații de ordin nestrict (liniar). O ordine non-strict (o ordine liniară non-strict) este o relație binară antisimetrică, tranzitivă, complet conectată (8). O ordine non-strict este o ordine slabă non-strict antisimetrică. O ordine non-strict este o ordine non-strict antisimetric. Proprietăți ale relațiilor de ordin liniar nestrict 1. Partea simetrică a unui ordin nestrict este o diagonală. Dualitatea relațiilor de ordine strictă și nestrictă Prezentare generală a proprietăților diferitelor tipuri de relații
7. Conceptul de tuplu al unei perechi ordonate. Produsul cartezian al multimilor si proprietatile sale. Numărul de elemente dintr-un produs concret de mulțimi. Pentru a introduce conceptul de produs cartezian de mulțimi, luați în considerare conceptul caravană. Acest concept, ca și conceptul de mulțime, este un concept de bază nedefinit. Pentru un tuplu, ordinea elementelor este importantă. Elementele dintr-un tuplu pot fi repetate. Numărul de elemente dintr-un tuplu dat se numește lungimea acestuia. Un tuplu de lungime 2 se numește pereche ordonată. Cardul este desemnat prin () sau< >. × este o desemnare pentru produsul cartezian al mulțimilor. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Produsul cartezian al multimilor A și B este o mulțime formată din toate perechile ordonate în care prima componentă este un element al primului set, iar a doua componentă este un element al celui de-al doilea set. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) Proprietatea produsului cartezian al multimilor (DPM). DPM nu are proprietatea comutativității și asociativității: A×B≠B×A. Proprietățile distributive ale DPM sunt satisfăcute: 1) în raport cu uniunea mulțimilor A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) privind intersecția mulțimilor A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Pentru a găsi numărul de elemente dintr-un DP în două sau mai multe seturi, trebuie să cunoașteți numărul de elemente din fiecare set. Dacă numărul de elemente este n. Dacă n(A)=n și n(B)=m, atunci n(A×B)=n*m. Fie A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Să compunem DPM A și B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) ...(аn, вm) În fiecare linie există em-perechi, astfel de linii en, înseamnă că numărul total de elemente enumerate este em pe perechi, prin urmare numărul de elemente din DPM A și B este egal cu produsul dintre numărul de elemente din setul A și numarul de elemente din multimea B. 8. Conceptul de corespondență între mulțimi. Metode de precizare a conformității. Tipuri de corespondențe. Corespondența ef dintre elementele mulțimilor X și Y se numește triplu de mulțimi (X;U; G f (ji din ef), ji din ef este o submulțime a DP (produsul cartezian). Mulțimea X se numește regiunea de plecare, mulțimea Y se numește regiunea de sosire ji din ef - se numește graficul acestei corespondențe.Domeniul de determinare a corespondenței ef este mulțimea acelor elemente din prima mulțime (adică, zona de plecare) la care elementele celui de-al doilea set (adică zona de sosire) corespund.Mulțimea valorii de corespondență ef este mulțimea de elemente din zona de sosire la care în conformitate cu unele elemente ale zonei de plecare. Metode de precizare a corespondențelor: enumerarea elementelor sale, folosind un grafic, folosind un grafic, folosind un tabel, verbal, algebric, i.e. ecuație, inegalitate. Tipuri de corespondențe. Se numesc corespondențele definit peste tot, dacă zona de trimitere coincide cu zona de definire. În graficul unei astfel de corespondențe, cel puțin o săgeată se îndepărtează de la fiecare element al primului set. Conformitatea se numește surjectiv, dacă setul său de valori coincide cu regiunea de sosire. Într-un grafic al unei astfel de corespondențe, cel puțin 1 săgeată se potrivește cu fiecare element din al 2-lea set. Conformitatea se numește injectiv, dacă niciun element diferit din primul set nu corespunde aceluiași element al celui de-al doilea set. Într-un grafic al unei astfel de corespondențe, niciun element din al 2-lea set nu este potrivit cu mai mult de 1 săgeată. Conformitatea se numește funcţional, dacă fiecărui element din primul set îi corespunde nu mai mult de 1 element din al 2-lea set. Pe un grafic al unei astfel de corespondențe, dacă există doar 1 săgeată care pleacă de la fiecare element din primul set. Corespondența funcțională se numește funcţie. Printre toate corespondențele funcționale, există corespondențe universal definitorii, care sunt numite afişa. Conformitatea se numește unu la unu, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) oricare două elemente diferite ale mulțimii X corespund elementelor diferite ale mulțimii Y, 2) oricărui element al mulțimii Y corespunde cel puțin unui element al mulțimii X. Două corespondențe între se numesc multimile X si Y opus, dacă graficele lor se completează reciproc produsul cartezian al lui X și Y. Corespondența se numește verso la o corespondență dată dacă o corespondență dată este valabilă dacă și numai dacă este valabilă inversul. Dacă o corespondență dată este o submulțime a produsului cartezian al mulțimilor X și Y, atunci corespondența inversă este o submulțime a produsului cartezian al mulțimilor X și Y. Pentru a obține corespondența inversă cu cea dată. Pe graficul său este necesar să se schimbe direcția săgeților.
9.Conformitatea funcțională. Proprietăţile funcţiilor numerice. Conformitatea se numește funcţional, dacă fiecărui element din primul set îi corespunde nu mai mult de 1 element din al 2-lea set. Pe un grafic al unei astfel de corespondențe, dacă există doar 1 săgeată care pleacă de la fiecare element din primul set. O corespondență funcțională definită pe o mulțime numerică este numită numerică funcţie. Proprietăţile funcţiilor numerice. 1. Fiecare funcție are un domeniu de definiție și un set de valori. 2. Funcția poate fi crescătoare sau descrescătoare. Se spune că o funcție este crescătoare pe intervalul a b dacă pentru orice x1 și x2 x1 > x2 rezultă f (x1) > f (x2). O funcție se numește descrescătoare pe intervalul a b dacă pentru orice x1 și x2 din acest interval, din faptul că x1 > x2 rezultă f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
Site web 2015-2020 - Contacte - Ultima adăugare
foarte necesar
X=( ;; ; ; ; ) corespunde împărțirii acestei mulțimi în clase de echivalență, fiecare dintre acestea fiind formată din fracții egale între ele.
2. Clasificarea relaţiilor reflexive
2.1. Relații de cvasi-ordine
2.2. Relații de ordine parțială non-strict
2.3. Relații non-strict ordonate
2.4. Comanda laxă de calitate
2.5. Ordine slabă laxă
2.6. Ordine liberă
3. Dualitatea relațiilor de ordine strictă și nestrict
4. Trecerea în revistă a proprietăților diferitelor tipuri de relații
2. Partea simetrică a cvasi-ordinului are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate și, prin urmare, este o relație de echivalență. Rc = R/R inv
3. Folosind această intersecție, este posibil să se identifice grupuri de opțiuni care sunt echivalente între ele, apoi se poate stabili o relație de ordine parțială nestrict generată de relația originală între grupurile selectate.
4. Partea asimetrică a cvasi-ordinului este o relație tranzitivă și antireflexivă = ordine calitativă.
2. Partea simetrică a unui ordin parțial nestrict este o diagonală.
3. Partea asimetrică a unei ordini parțiale nestrict este o ordine calitativă (strict).
4. În teoria sistemelor inteligente, un rol important îl au mulțimile parțial ordonate - domenii, împreună cu relațiile de ordine parțială nestrict definite pe acestea.
5. Mulțimile parțial ordonate cu proprietatea suplimentară a existenței limitelor superioare și inferioare pentru fiecare pereche de elemente se numesc rețele. Un caz special de zăbrele sunt algebrele booleene.
2. Partea simetrică a ordonării parțiale nestrictive este toleranța.
3. Partea asimetrică a ordonării parțiale nestrictive este dominanța.
4. Pentru relațiile complet conectate, o condiție necesară pentru tranzitivitate este negativitatea relației.
5. Pentru relațiile complet conectate, proprietatea tranzitivității este o condiție suficientă pentru negativitatea relației.
2. Partea asimetrică a unei ordini calitative nestrictive este tranzitivă, deci este o relație de ordin calitativ.
3. Astfel, o relaţie de ordin calitativ nestrict poate fi reprezentată ca rezultat al combinării relaţiilor de toleranţă şi ordine calitativă generate de relaţia iniţială.
4. Relația duală are proprietăți de asimetrie și tranzitivitate și deci este o relație de ordin calitativ.
2. Partea asimetrică R ac de ordin slab nestrict este tranzitivă, deci este o relație de ordin calitativ.
3. Astfel, o relație de ordin slab nestrict poate fi reprezentată ca rezultat al combinării relațiilor de echivalență și de ordin slab generate de relația originală.
4. O ordine slabă nestrict poate fi reprezentată ca un set de straturi parțial ordonate, fiecare dintre ele fiind o clasă de echivalență.
2. Partea asimetrică R ac de ordin nestrict este tranzitivă și slab conectată, deci este o relație de ordine strictă.
3. Relația duală are proprietăți de asimetrie, negatranzitivitate și conexiune slabă, prin urmare, este o relație de ordine strictă. În plus, coincide cu R ac.
4. Astfel, o relație de ordine nestrict poate fi reprezentată ca rezultat al combinării diagonalei și ordinei stricte generate de relația originală.
