Relații de ordine. Relație de ordine strictă Relație de ordine pe mulțimea numerelor naturale
Fie R o relație binară pe o mulțime A.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de ordine pe A sau ordin pe A dacă este tranzitivă și antisimetrică.
DEFINIȚIE. O relație de ordine R pe o mulțime A se numește nestrict dacă este reflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A.
Se spune că o relație de ordine R este strictă (pe A) dacă este antireflexivă pe A, adică pentru oricare dintre A. Totuși, antisimetria unei relații tranzitive R rezultă din faptul că este antireflexivă. Prin urmare, putem da următoarea definiție echivalentă.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește ordine strictă pe A dacă este tranzitivă și antireflexivă pe A.
Exemple. 1. Fie multimea tuturor submultimii multimii M. Relatia de includere pe multime este o relatie de ordine nestrict.
2. Relații pe platou numere reale sunt, respectiv, o relație de ordine strictă și nestrict.
3. Relația de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale este o relație de ordine nestrict.
DEFINIȚIE. O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de pre-ordine sau pre-ordine pe A dacă este reflexivă și tranzitivă.
Exemple. 1. Raportul de divizibilitate în mulțimea numerelor întregi nu este o ordine. Cu toate acestea, este reflexiv și tranzitiv, ceea ce înseamnă că este o precomandă.
2. Relația de consecință logică este o preordonare a setului de formule logice propoziționale.
Ordine liniară. Un caz special important al unei comenzi este ordinea liniară.
DEFINIȚIE. O relație de ordine pe o mulțime se numește relație de ordin liniar sau ordine liniară pe dacă este conectată pe , adică pentru orice x, y din A
O relație de ordine care nu este liniară este denumită în mod obișnuit relație de ordin parțial sau ordine parțială.
Exemple. 1. Relația „mai mică decât” pe mulțimea numerelor reale este o relație de ordin liniar.
2. Relația de ordine acceptată în dicționarele limbii ruse se numește lexicografic. Ordinea lexicografică pe setul de cuvinte în limba rusă este o ordine liniară.
Relația de echivalență. Legătura relației de echivalență cu împărțirea unei mulțimi în clase
Definiție. Atitudine R pe platou X se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă.
Exemplu. Luați în considerare relația" X colega de clasa la» pe un set de studenţi ai facultăţii pedagogice. Are proprietăți:
1) reflexivitate, din moment ce fiecare elev este un coleg pentru el însuși;
2) simetrie, deoarece dacă student X la, apoi studentul la este coleg de clasă cu un elev X;
3) tranzitivitatea, deoarece dacă student X- colega de clasa la, și studentul la- colega de clasa z, apoi studentul X fii coleg de clasă cu un elev z.
Astfel, această relație are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate și, prin urmare, este o relație de echivalență. Totodată, setul de studenți ai facultății pedagogice poate fi împărțit în subseturi formate din studenți înscriși la același curs. Obținem 5 subseturi.
Relația de echivalență este și, de exemplu, relația dreptelor paralele, relația de egalitate a figurilor. Fiecare astfel de relație este legată de împărțirea mulțimii în clase.
Teorema. Dacă pe platou X având în vedere o relație de echivalență, apoi împarte această mulțime în submulțimi disjunse în perechi (clase de echivalență).
Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă există vreo relație definită pe mulțime X, generează o partiție a acestui set în clase, atunci este o relație de echivalență.
Exemplu. Pe platou X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) se dă relația „au același rest când se împarte la 3”. Este o relație de echivalență?
Să construim un grafic al acestei relații: (independent)
Această relație are proprietăți de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate, prin urmare, este o relație de echivalență și împarte mulțimea Xîn clase de echivalență. Fiecare clasă de echivalență va avea numere care, împărțite la 3, dau același rest: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.
Se crede că clasa de echivalență este determinată de oricare dintre reprezentanții săi, i.e. element arbitrar al acestei clase. Deci, clasa fracțiilor egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracții aparținând acestei clase.
În cursul inițial de matematică apar și relații de echivalență, de exemplu, „expresii XȘi la au aceleași valori numerice”, „figura X egal cu cifra la».
Definiție. Atitudine R pe platou X se numeste relatie de ordine daca este tranzitiva si asimetrica sau antisimetrica.
Definiție. Atitudine R pe platou X se numește relație de ordine strictă dacă este tranzitivă și asimetrică.
Exemple relaţii de ordin strict: „mai mare” pe mulţimea numerelor naturale, „mai mare” pe mulţimea oamenilor etc.
Definiție. Atitudine R pe platou X se numește relație de ordin nestrict dacă este tranzitivă și antisimetrică.
Exemple relații de ordin nestrict: „nu mai mult” pe mulțimea numerelor reale, „a fi divizor” pe mulțimea numerelor naturale etc.
Definiție. Multe X se numește ordonat dacă pe el este dată o relație de ordine.
Exemplu. Pe platou X= (1; 2; 3; 4; 5) sunt date două relații: „ X £ la" Și " X- separator la».
Ambele relații au proprietăți de reflexivitate, antisimetrie și tranzitivitate (construiți graficele și verificați singur proprietățile), adică. sunt o relație de ordine non-strict. Dar prima relație are proprietatea de a fi conectată, în timp ce a doua nu.
Definiție. Relația de comandă R pe platou X se numește relație de ordonare liniară dacă are proprietatea de a fi conectată.
ÎN școală primară sunt studiate multe relaţii de ordine. Deja în prima clasă, există relații „mai puțin”, „mai mare” pe setul de numere naturale, „mai scurt”, „mai lung” pe setul de segmente etc.
întrebări de testare
1. Definiți o relație binară pe o mulțime X.
2. Cum se scrie o afirmație conform căreia elementele XȘi la sunt in relatie R?
3. Enumeraţi modalităţile de stabilire a relaţiilor.
4. Formulați proprietățile pe care le pot avea relațiile. Cum sunt reflectate aceste proprietăți în grafic?
5. Ce proprietăți trebuie să aibă o relație pentru ca aceasta să fie o relație de echivalență?
6. Cum este relația de echivalență legată de împărțirea unei mulțimi în clase?
7. Ce proprietăți trebuie să aibă o relație pentru ca aceasta să fie o relație de ordine?
tip important relații binare- relaţii de ordine. Relație strictă de ordine - o relație binară care este antireflexivă, antisimetrică și tranzitivă:
denumire - (dar precedat b). Exemplele sunt
relații „mai mare decât”, „mai puțin decât”, „mai vechi”, etc. Pentru numere, notația obișnuită este semnele "<", ">".
Relație de ordine nestrictă - relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. Alături de exemplele naturale de inegalități nestricte pentru numere, un exemplu este relația dintre punctele dintr-un plan sau spațiu „pentru a fi mai aproape de origine”. Inegalitatea nestrictă, pentru numere întregi și reale, poate fi considerată și ca o disjuncție a relațiilor de egalitate și de ordine strictă.
Dacă un turneu sportiv nu prevede împărțirea locurilor (adică fiecare participant primește un anumit loc, doar pentru mâncare/premiat), atunci acesta este un exemplu de ordine strictă; în in caz contrar- non-strict.
Relaţiile de ordine se stabilesc pe o mulţime când, pentru unele sau pentru toate perechile de elemente ale sale, relaţia
precedenta . Setarea-pentru un set se numește o relație de ordine „Ordinea lui, iar „sine. stabilit ca urmare a acesteia devine ordonat. Relațiile de ordine pot fi introduse în diferite moduri. Pentru o mulțime finită, orice permutare a elementelor sale „specifică o anumită ordine strictă. O mulțime infinită poate fi ordonată într-un număr infinit de moduri. Sunt de interes numai acele ordonări care au sens semnificativ.
Dacă pentru relaţia de comandă R pe platou .Mși unele elemente diferite, cel puțin una dintre relații este valabilă
aRb sau sutien , apoi elementele darȘi b numit comparabil in caz contrar - incomparabil.
Set ordonat complet (sau liniar). M -
mulțime pe care este dată relația de ordine și oricare două elemente ale mulțimii M comparabil; set parțial comandat- la fel, dar sunt permise perechi de elemente incomparabile.
O mulțime ordonată liniar este o mulțime de puncte pe o dreaptă cu relația „la dreapta”, o mulțime de numere întregi, raționale, reale în raport cu „mai mare decât” etc.
Un exemplu de mulțime parțial ordonată sunt vectorii tridimensionali, dacă ordinea este dată ca și cum
Adică, dacă precedența este îndeplinită în toate cele trei coordonate, vectorii (2, 8, 5) și (6, 9, 10) sunt comparabili, iar vectorii (2, 8, 5) și (12, 7, 40). ) nu sunt comparabile. Acest mod de ordonare poate fi extins la vectori de orice dimensiune: vector
precede vectorul dacă
Și gata
Alte exemple de ordonare pot fi luate în considerare pe setul de vectori.
1) ordine parțială: 
, dacă
Acestea. prin lungimea vectorilor; vectorii de aceeași lungime sunt incomparabili.
2) ordine liniară: 
, dacă A
Ultimul exemplu introduce conceptul de ordine alfabetică.
Alfabet este un tuplu de caractere distincte în perechi numite litere ale alfabetului. Un exemplu este alfabetul oricărei limbi europene, precum și alfabetul cu cifre arabe 10. Într-un computer, tastatura și unele ajutoare determină alfabetul caracterelor valide.
Cuvânt în alfabetDAR - tuplu de caractere alfabetice DAR. Cuvântul este scris cu caractere alfabetice pe rând, de la stânga la dreapta, fără spații Un număr natural este un cuvânt din alfabetul digital O formulă nu este întotdeauna un cuvânt din cauza aranjamentului neliniar a caracterelor prezența superscriptului (exponenți ) și indicele (indici de variabile, baze de logaritmi) caractere, bară fracțională, semne radicali etc.; totuși, prin unele convenții, poate fi scris într-un șir, care este folosit, de exemplu, în programarea computerelor (de exemplu, semnul exponențiației este scris ca 2 semne de înmulțire la rând: 5**3 înseamnă a treia putere a lui numarul 5.
Ordinea lexico-grafică (alfabetică) - pentru diverse cuvinte din alfabet cu ordonate
ordonarea setului de caractere: dacă
posibila prezentare 
, la care fie
(subcuvântul poate fi gol) sau - subcuvânt gol
În această definiție - un prefix (subcuvânt inițial) care este același pentru ambele cuvinte - sau primul dintr-un rând din stânga sunt diferite
caractere sau - ultimul caracter din cuvânt - coada
subcuvinte.
Astfel, ordonarea alfabetică a cuvintelor este determinată de primul caracter care le deosebește de stânga (de exemplu, cuvântul KONUS precede cuvântul COSINUS, deoarece acestea diferă mai întâi în a treia literă, iar H precede C în alfabetul rus). De asemenea, se consideră că caracterul spațiu precede orice caracter al alfabetului - pentru cazul în care unul dintre cuvinte este un prefix al celuilalt (de exemplu, KOH și CON)
Exercitiul. Verificați dacă ordonarea alfabetică a numerelor naturale care au același număr de cifre în notație zecimală este aceeași cu ordonarea lor după mărime.
Lasa DAR - set parțial comandat. Elementul este numit maximîn DAR, dacă nu există niciun element pentru care dar< b. Element dar numit cel mai mareîn DAR, dacă pentru oricare altul decât dar articol finalizat b<а-
sunt definite simetric minim si cel putin elemente. Conceptele elementelor cele mai mari și maxime (respectiv, cele mai mici și minime) sunt diferite - vezi. exemplu din Fig.14. Setul din fig. 14a are cel mai mare element R, este și maximul, există două elemente minime: s și t nu există cel mai mic. În fig. 14b, dimpotrivă, mulţimea având două elemente maxime / şi j, nu există cel mai mare, minim, este cel mai mic - unul: T.
În general, dacă o mulțime are un element mai mare (respectiv, cel mai mic), atunci doar unul (poate să nu existe).
Pot exista mai multe elemente maxime și minime (s-ar putea să nu fie deloc - într-un set infinit; în cazul final, trebuie să existe).
Să ne uităm la încă două exemple. - relatie pe platou N:
„Y desparte X", sau "X este divizorul numărului Y"(de exemplu,
) este reflexiv și tranzitiv. Considerați-l pe un set finit de divizori ai numărului 30.
Relația este o relație de ordin parțial (nestrict)
și este reprezentată de următoarea matrice de ordinul 8, care conține 31 de caractere
Schema corespunzătoare cu 8 vârfuri trebuie să conțină 31 de pachete. . Cu toate acestea, va fi mai convenabil pentru vizualizare dacă excludem 8
legături-bucle care descriu reflexivitatea relației (elementele diagonale ale matricei) și legăturile tranzitive, i.e. mănunchiuri
Dacă există un număr intermediar Z astfel încât
(de exemplu, o grămadă pentru că ). Apoi în schemă
vor fi 12 ligamente (Fig. 15); verigile lipsă sunt implicate „prin tranzitivitate”. Numărul 1 este cel mai mic și numărul 30
cele mai mari elemente din . Dacă excludem din numărul 30 și
luați în considerare aceeași ordine parțială pe set , atunci
nu există un element cel mai mare, dar există 3 elemente maxime: 6, 10, 15
Acum să construim aceeași schemă pentru relația booleană
(mulțimea tuturor submulților) a unei mulțimi de trei elemente
Contine 8 elemente:
Verificați dacă potriviți elementele a, b, c, numerele 2, 3, 5, respectiv, și operațiile de unire a mulțimilor sunt înmulțirea numerelor corespunzătoare (adică, de exemplu, o submulțime corespunde cu
produs 2 5 = 10), atunci matricea de relații va fi exact
la fel ca și pentru relație; scheme ale acestor două relaţii cu cele descrise
abrevierile buclelor și conexivelor tranzitive coincid până la notație (vezi Fig. 16). Cel mai mic element este
Și cel mai mare -
relații binare R pe platou DARȘi S pe platou ÎN numit izomorfă dacă între A și B este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu Г, în care, dacă (i.e.
elementele sunt legate R), apoi (imagini
aceste elemente sunt legate S).
Astfel, mulțimile parțial ordonate și sunt izomorfe.
Exemplul luat în considerare admite o generalizare.
Relația booleană este o ordine parțială. Dacă
Acestea. Multe E conţine P elemente, apoi fiecare
submultul corespunde P-vector dimensional cu
componente, unde este funcția caracteristică
seturi A/ . Mulțimea tuturor acestor vectori poate fi considerată ca o mulțime de puncte P-spațiu aritmetic dimensional cu coordonatele 0 sau 1, sau, cu alte cuvinte, ca vârfuri P-dimensională
cub unitar, notat cu , i.e. cub cu margini de unitate de lungime. Pentru n = 1, 2, 3 puncte indicate reprezinta respectiv capetele segmentului, varfurile patratului si cubului - de unde si denumirea comuna. Pentru /7=4, o reprezentare grafică a acestei relații este în Fig.17. Lângă fiecare vârf al cubului cu 4 dimensiuni, corespunzătoare
submulțime a unei mulțimi de 4 elemente și patru-dimensionale
un vector reprezentând funcția caracteristică a acestei submulțimi. Vârfurile sunt conectate între ele, corespunzând unor submulțimi care diferă în prezența exact a unui element.
În Fig. 17, un cub cu patru dimensiuni este reprezentat în așa fel încât pe unul
la nivel există elemente incomparabile perechi care conțin același număr de unități în înregistrare (de la 0 la 4), sau, cu alte cuvinte, același număr de elemente în submulțimile reprezentate.
În Fig.18a,b - alte reprezentări vizuale ale unui cub 4-dimensional;
în Fig.18a axa primei variabile OHîndreptat în sus (abatere intenționată de la verticală, astfel încât diferitele margini ale cubului să nu se îmbine):
în timp ce subcubul tridimensional corespunzător X= 0 este situat mai jos, iar pentru X= 1 - mai mare. Pe fig. 186 aceeasi osie OHîndreptat din interiorul cubului spre exterior, subcubul interior îi corespunde X= Oh, și extern - X= 1.
ÎN 
Fișierul material arată o imagine a unui cub unitar cu 5 dimensiuni (p. 134).
2) relația de pe mulțimea X se numește relație strict ordine, dacă este antisimetric și tranzitiv. Relația se numește antisimetric, dacă din faptul că a este în relație cu c în nu rezultă că în este în raport cu a (a, în ∈ X, și R în → în R a) R - a fi în relație. Relația se numește tranzitiv, dacă pentru orice elemente a, b, c din faptul că a R în și în R c → că a R c, a, c, c ∈ X. De exemplu: relația „mai mult, mai puțin”. Se numește o mulțime pe care este dată o relație de ordine strictă ordonat mulți.
3) relația de pe mulțimea X se numește relație nu într-o ordine strictă, dacă este reflexiv, asimetric și tranzitiv. De exemplu: raport ≥ ≤. Dacă o relație de ordine are proprietatea de a fi conectată, atunci se spune că este o relație ordine liniară. Relația se numește legate de pe mulțimea X, dacă pentru orice elemente x și y este îndeplinită condiția: din faptul că x ≠ y rezultă că x R y sau y R x. Dacă o relație de ordine liniară este dată pe o mulțime, atunci ea ordonează liniar set dat.
5. Mulțimea numerelor reale. Proprietățile sale. Necesitatea de a măsura lungimile segmentelor, ariilor etc. a condus la extinderea mulțimii numerelor raționale. Orice măsurătoare se bazează pe același principiu: obiectul măsurat este comparat cu standardul (obiect sau fenomen), a cărui valoare are o valoare numerică egală cu 1, dar nu întotdeauna un singur segment este încorporat în obiectul măsurat. Prin urmare, la măsurare se fac 2 ipoteze, care în matematică au fost definite ca axiome: 1) Un singur standard poate fi împărțit în orice număr de părți sau părți egale. 2) Standardul ales poate fi folosit pentru a măsura orice obiect arbitrar de mare. Pentru segmente, aceste axiome au fost formulate de Arhimede: Oricât de mic este segmentul AB și oricât de mare ar fi segmentul CD, există un astfel de număr natural N încât N*AB>CD, dacă un număr egal de segmente AB se încadrează în segmentul măsurat CD, apoi lungimea segmentului CD este exprimată ca număr natural. Dacă în segmentul măsurat CD segmentul AB se potrivește de un număr inegal de ori, atunci împărțim AB în 10 segmente identice, numite zecimea din standarde. Dacă este necesar, a zecea cotă poate fi împărțită în 10 părți egale etc. Dacă în segmentul CD se încadrează un număr egal de 10, 100 etc. fracții ale segmentelor AB, atunci lungimea segmentului CD se exprimă ca număr rațional. Cu toate acestea, nu întotdeauna lungimea segmentului poate fi exprimată ca număr natural sau rațional. Există segmente incomensurabile, adică. segmente a căror lungime nu este exprimată printr-un număr rațional. (teoreme vezi întrebarea 32)
Numerele care pot fi reprezentate ca fracții nerecurente zecimale infinite se numesc numere iraționale. Unirea mulțimii numerelor raționale și a mulțimii numerelor iraționale este mulțimea numerelor reale ().
Proprietățile mulțimii numerelor reale. unu). Mulțimea punctelor axei numerice este echivalentă cu mulțimea numerelor reale.
0 M 1 Luați orice punct M de pe segment de la 0 la 1,
Desenați un semicerc centrat pe
Mijlocul acestui segment și raza
K O C egal cu jumătate din acesta. Desenați o perpendiculară de la M la intersecția cu semicercul. Obținem D. Acest punct este unic, deoarece semicercul și dreapta se intersectează doar într-un singur punct. De la mijlocul acestui segment prin D trasăm o linie dreaptă până la intersecția cu axa reală. Obținem K, care este determinat în mod unic, deoarece liniile se intersectează doar într-un singur punct. Alegând un alt punct arbitrar pe un segment dat și repetând întregul proces, obținem că orice punct de pe segment de la 0 la 1 corespunde unui singur punct pe dreapta reală. Certându-se în ordine inversă se poate arăta că orice punct de pe dreapta numerică corespunde și unui singur punct de la 0 la 1. Dacă un punct arbitrar E aparține dreptei numerice, atunci poate fi trasată o singură dreaptă prin punctele M și E care intersectează semicercul. . Dintr-un semicerc, puteți arunca o perpendiculară pe un segment dat. Astfel, între punctele segmentului de la 0 la 1 și punctele dreptei numerice se stabilește o mapare reciproc identică, adică. sunt egali.
2) mulțimea numerelor reale nu este numărabilă, adică nu este egală cu mulţimea numerelor naturale.
3). Mulțimea numerelor reale este o mulțime continuă. Continuitatea mulțimii numerelor reale este că între oricare două numere reale există o mulțime infinită de numere reale.
6. Împărțirea setului în clase. Exemple de clasificare. Relația de echivalență, proprietățile sale. Relația relației de echivalență cu împărțirea mulțimii în clase. Să ne uităm la un exemplu. Fie dată mulţimea M (o mulţime de poligoane convexe), formăm toate submulţimile acestei mulţimi: A 1 - o mulţime de triunghiuri; A2 este un set de patrulatere; А3 – set de pentagoane; Ak este mulțimea de k-gonuri. Mulțimea M este considerată a fi împărțită în clase dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
- fiecare submulțime A nu este goală
- intersecția oricăror două submulțimi este mulțimea goală
- uniunea tuturor submulților este mulțimea dată M
Împărțirea unui set în clase se numește clasificare.
Atitudine pe multimea se numeste X echivalent , dacă este reflexiv, simetric și tranzitiv. Relația se numește reflectorizant, dacă orice element din mulțimea X este în relație cu el însuși a ∈ X, iar R a (R este în relație). Relația se numește simetric, dacă pentru oricare două elemente ale mulțimii X (a și c) din faptul că a este în raport cu c rezultă că c este în raport cu a (a, c ∈ X și R c → c R a). Relația se numește tranzitiv, dacă pentru orice elemente a, b, c din faptul că a R în și în R c → că a R c, a, c, c ∈ X. Există bucle, săgeți reciproc inverse și săgeți triunghiulare pe graficul relație de echivalență. Relația de echivalență, și numai ea, este legată de împărțirea unei mulțimi în clase. Această afirmație poate fi formulată ca teoreme: Dacă pe mulțimea X este specificată o relație de echivalență, atunci această relație împarte mulțimea X în clase și invers, dacă mulțimea X este împărțită în clase, atunci relația de echivalență este satisfăcută pe mulțimea dată. De exemplu. Să se dea relația - să locuiască în aceeași casă. Să arătăm că setul de chiriași din casă va fi împărțit pe clase. Și fiecare clasă este un apartament separat. Pentru această diviziune, toate conditiile necesareîmpărțirea setului în clase: a) fiecare clasă nu este goală, deoarece fiecare apartament are cel puțin 1 persoană, dar este înregistrată, b) clasele nu se suprapun (1 persoană nu este înscrisă în două apartamente diferite), c) unirea tuturor claselor, i.e. chiriașii fiecărui apartament și alcătuiește ansamblul chiriașilor casei.
18 . Abordare teoretică multimii a construcției teoriei numerelor întregi nenegative. Relații de egalitate, mai mult (mai puțin). Două mulțimi A și B se numesc echivalente sau echivalente dacă între ele se poate stabili o corespondență unu-la-unu, adică dacă fiecare element al mulțimii A este asociat cu un singur element al mulțimii B și invers. Puterea sau numărul cardinal este o proprietate care este inerentă oricărei mulțimi B, care este egală ca putere cu setul A și nu este inerentă nici unei alte mulțimi, care nu este egală ca putere cu mulțimea A. A~B n (A) =a este putere. Relația de echivalență este o relație de echivalență, adică. satisface proprietățile reflexivității, simetriei și tranzitivității. Relația de echivalență împarte mulțimea tuturor mulțimilor în clase de echivalență. Pentru a defini conceptul de număr natural și zero, luăm în considerare o partiție a tuturor mulțimilor finite.
Fie M mulțimea tuturor mulțimilor finite. M=K 0 Ka Kv, unde Ko este o clasă de mulțimi goale, Ka este o mulțime care conține mulțimi egale a 1, a 2, a 3 etc., Kv este o mulțime. Conținând mulțimi egale în 1, în 2, în 3 etc. Mulțimea M poate conține și alte submulțimi K de natură diferită, care constau din mulțimi de putere egală. Fiecare clasă de echivalență K are în comun faptul că sunt formate din același număr de elemente, neexistând alte proprietăți comune. Un număr întreg nenegativ din punct de vedere teoretic al mulțimilor este o proprietate generală a unei clase de mulțimi finite egale. Un număr natural este o proprietate generală a clasei de mulțimi echipotente finite nevide. Fiecărei clase i se atribuie un număr cardinal (putere). Mulțimii goale de clasă i se atribuie numărul de coordonate 0. Clasei formată din mulțimi cu 1 element i se atribuie numărul 1. Clasei formată din mulţimi cu 2 elemente i se atribuie numărul 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Relația de egalitate. Numerele întregi nenegative a și b sunt numite egale dacă mulțimile A și B, al căror număr îl exprimă, sunt echivalente (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n(A) )=n(B) a=c).
Teorema: relația de egalitate în mulțimea numerelor întregi nenegative este o relație de echivalență. Dovada. Să demonstrăm că relația de egalitate are proprietățile de simetrie, tranzitivitate și reflexivitate.
pentru că proprietățile reflexivității, simetriei, tranzitivității sunt satisfăcute, atunci relația de egalitate este o relație de echivalență.
Raport mai mic. Un întreg nenegativ a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teoremă: raportul mai mic decât în mulțimea numerelor întregi nenegative este o relație de ordine strictă. Dovada: Să demonstrăm că relația mai mică decât are proprietățile de antisimetrie și tranzitivitate. C 2 C 1 C 2 ~ B 1 C 2 ~ A n (A) \u003d n (C 2) n (C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Adunarea și scăderea în teoria cantitativă a numerelor întregi nenegative. Proprietățile lor. sumă două numere întregi nenegative a și b se numesc un întreg nenegativ c, care este cardinalitatea unirii a două mulțimi neintersectate A și B, ale căror cardinalități sunt, respectiv, egale cu a și c. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Proprietăți de adaos. 1. Adunarea în mulțimea numerelor întregi nenegative există întotdeauna și este definită în mod unic. Să demonstrăm că suma există întotdeauna. Se consideră A și B astfel încât intersecția lor este mulțimea goală și numărul de elemente ale lui A este a, iar cardinalitatea lui B este c. găsim uniunea lui A și B. Întrucât unirea a două mulțimi disjunse există întotdeauna și, prin urmare, suma există, iar din definiția sumei rezultă că adunarea există întotdeauna. Să demonstrăm că suma este determinată în mod unic. Există C 1 și C 2 - numere întregi nenegative. C 1 \u003d a + b și C 2 \u003d a + c. Suma numerelor a și b nu depinde de ce mulțimi A și B am ales din clasa mulțimilor echivalente și, prin urmare, unirea lui A și B luată din clasa mulțimilor echivalente nu depinde de alegerea mulțimilor A și B, deoarece puterea din fiecare clasă este aceeași, atunci C 1 \u003d C 2. 2. Comutativitatea adunării. Pentru orice numere întregi nenegative a și b, proprietatea a+b=b+a este îndeplinită. Știm din teoria mulțimilor că pentru AUB = BUA. Dacă seturile sunt egale, valorile lor numerice sunt egale. n(AUB)=n(BUA). Știm din teoria mulțimilor că cardinalitatea unei uniuni este egală cu suma cardinalităților. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Proprietatea asociativității. Pentru orice numere a, b, c, este valabilă următoarea proprietate: a+(b+c)=(a+b)+c. Din teoria multimilor se stie ca pentru unirea multimilor se indeplineste proprietatea de asociativitate: АU(ВУС)=(АУВ)UС, daca multimile sunt egale, atunci valorile lor numerice sunt egale, n(АU (ВУС))=n((АУВ)UC). Din teoria mulțimilor se știe că cardinalitatea uniunii este egală cu suma cardinalităților acestor mulțimi, n(A) + n (BUC) \u003d n (AUB) + n (C) n (A) + ( n (B) + n (C)) \u003d (n (A) + n (B)) + n (C) a + (b + c) \u003d (a + c) + c. diferență numere întregi nenegative a și b se numesc un întreg nenegativ c, care este puterea complementului mulțimii B la mulțimea A, astfel încât B aparține lui A, n(A)=a, n(B) =c. Proprietăți de diferență. 1. Pentru ca o diferență de numere întregi nenegative să existe, este necesar și suficient ca a să fie mai mare sau egal cu b. Să demonstrăm: 1) o conditie suficienta pentru existenta unei diferente. Având în vedere: a - b = c, demonstrați: a c. Prin definiția diferenței, rezultă că există un complement al mulțimii B la mulțimea A, iar acest complement are o cardinalitate care poate fi găsită dintr-o egalitate cunoscută din teoria mulțimilor. n () \u003d n (A) -n (B). Din faptul că B este o submulțime a lui A rezultă că numărul de elemente din B este mai mic decât numărul de elemente ale lui A. n (B) 2). Stare necesara. Având în vedere un. dovediți existența diferenței (a-c). Dacă a>b, prin definiția relației „mai puțin decât”, există o mulțime A 1 astfel încât A 1 este inclus în A și A 1 ~B. Compuneți diferența dintre A și A 1. Această diferență există întotdeauna (A-A 1 \u003d C) și, prin urmare, există C, care este această diferență. Din aceste condiții rezultă că C este complementul lui A 1 la A. C \u003d 1A Puterea lui C este puterea complementului A 1 la A. n (C) \u003d n ( 1A) \u003d n ( A) -n (A 1) , deoarece A 1 ~ B, atunci n (A 1) \u003d n (B), prin urmare n (C) \u003d n (A) -n (B), prin urmare c \u003d ac . 2. Diferența numerelor întregi nenegative se găsește într-un mod unic, deoarece diferența este cardinalitatea complementului de submulțimi la o mulțime, iar complementul este definit într-un mod unic, atunci diferența numerelor întregi nenegative este definite într-un mod unic. 3. Pentru scădere nu sunt îndeplinite proprietățile comutativității și asociativității. 4. Scăderea sumei din număr. a-(b+c)=(a-c)-c. Din teoria mulțimilor cunoaștem A\(BUC)=(A\B)\C și B Ì A; C Ì A; VUSÌA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Scăderea unui număr din diferența (a-c)-c \u003d (a-c)-c. Dovada se bazează pe proprietatea diferenței set (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Scăderea unui număr din suma (a+b)-c=(a-c)+c. Dovada se bazează pe proprietatea mulțimilor (AUB)\C=(A\C)UB. Chiar nici măcar În practică, există adesea funcții care nu sunt nici egale, nici egale. 4. funcţiile pot fi periodice. O funcție se numește periodică dacă există un astfel de număr T încât condiția f(x+T)=f(x) este îndeplinită. Funcțiile periodice includ toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă). 5. Funcțiile pot avea puncte speciale. Acestea sunt punctele de intersecție cu axele de coordonate și punctele extremelor, adică. puncte minime și maxime. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției dacă pentru toți X din vecinătatea x0 sunt îndeplinite condițiile f (x) > f (x0). Punctul x0 se numește punctul maxim al funcției dacă pentru tot x din vecinătatea lui x0 f(x)< f (x0). 6. funcţiile pot avea intervale de semne de constanţă, adică. acestea sunt acele submulțimi, domenii de definiție, ale căror elemente transformă funcția fie numai pozitivă, fie doar negativă. 7. O funcție poate avea puncte de întrerupere, de ex. acele valori ale variabilei x în care y nu există (funcții de proporționalitate inversă). y = , dacă x = 0 Cautare site: Dezactivează adBlock! Multe X (\displaystyle X), pe care se introduce relația de ordine parțială, se numește parțial comandat. O relație de ordin parțial nestrict este adesea indicată prin simbol ≼ (\displaystyle \preccurlyeq ).
Relație de ordine parțială R (\displaystyle R) numit ordine liniară dacă starea Multe X (\displaystyle X), pe care se introduce relația de ordine liniară, se numește ordonat liniar, sau lanţ. Atitudine R (\displaystyle R), care satisface doar condițiile de reflexivitate și tranzitivitate, se numește precomanda sau cvasi-comanda. Dacă condiția de reflexivitate este înlocuită cu condiția de antireflexivitate: atunci obținem definiția strict, sau ordine parțială antireflexivă(de obicei notat cu simbolul ≺ (\displaystyle \prec )). Cometariu. Antireflexivitatea și tranzitivitatea simultană a unei relații implică antisimetrie. Prin urmare raportul este relație strictă de ordine dacă şi numai dacă este antireflexivă şi tranzitivă. În general, dacă R (\displaystyle R) este o relație tranzitivă, antisimetrică, atunci Semne
<
{\displaystyle <}
Și > (\displaystyle >) inventat
7. Conceptul de tuplu al unei perechi ordonate. Produsul cartezian al multimilor si proprietatile sale. Numărul de elemente din produsul decret al mulțimilor. Pentru a introduce conceptul de produs cartezian de mulțimi, luați în considerare conceptul cortegiu. Acest concept, ca și conceptul de mulțime, este un concept de bază nedefinit. Pentru un tuplu, ordinea elementelor este importantă. Elementele dintr-un tuplu pot fi repetate. Numărul de elemente dintr-un tuplu dat se numește lungimea acestuia. Un tuplu de lungime 2 se numește pereche ordonată. Un kartege este notat cu () sau< >. × este notația pentru produsul cartezian al mulțimilor. (a, b, a); (a, b, c) ≠ (c, a, c); (a, e, c)=(a, e, c). Produsul cartezian al multimilor A și B este o mulțime formată din toate perechile ordonate în care prima componentă este un element al primului set, iar a doua componentă este un element al celui de-al doilea set. A \u003d (a, c, c) B \u003d (1,2) A × B \u003d ((a, 1), (a, 2), (c, 1), (c, 2), (c , 1) ,(с,2)) Proprietatea produsului cartezian al multimilor (DPM). DPM nu are proprietatea comutativității și asociativității: A×B≠B×A. Proprietățile de distributivitate DPM sunt valabile: 1) în raport cu uniunea mulțimilor A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) în raport cu intersecția mulțimilor A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Pentru a găsi numărul de elemente dintr-un DP în două sau mai multe seturi, trebuie să cunoașteți numărul de elemente din fiecare set. Dacă numărul de elemente este n. Dacă n(A)=n și n(B)=m, atunci n(A×B)=n*m. Fie A=(a1,a2,a3,...an) B=(c1,c2,c3,...cm). Să compunem DPM A și B: (a1, c1) (a1, c2) (a1, c3) ... (a1, cm) (a2, c1) (a2, c2) (a2, c3) ... ( a2, cm) (a3 , c1) (a3, c2) (a3, c3) ... (a3, c3) ___________________________ (an, c1) (an, c2) (an, c3) ... (an, c) ) În fiecare linie de em-perechi, astfel de linii en, înseamnă că em este enumerat pentru en perechi, prin urmare numărul de elemente din DPM A și B este egal cu produsul dintre numărul de elemente din mulțimea A și numărul de elemente din multimea B. 8. Conceptul de corespondență între mulțimi. Metode de precizare a conformității. Tipuri de meciuri. Corespondența ef între elementele mulțimilor X și Y se numește triplu de mulțimi (X; Y; G f (ji din ef), ji din ef este o submulțime a DP (produsul cartezian). Mulțimea X se numește zona de plecare, multimea Y se numeste zona de sosire ji din ef - se numeste graficul acestei corespondente.Domeniul de conformitate ef este multimea acelor elemente din prima multime (adica zona de plecare), care corespund elementelor celei de-a doua. set (adică, zona de sosire) potrivește unele elemente din zona de plecare. Metode de stabilire a corespondențelor: enumerarea elementelor sale, folosind un grafic, folosind un grafic, folosind un tabel, verbal, algebric, i.e. ecuație, inegalitate. Tipuri de meciuri. Se numesc corespondențele peste tot definit dacă zona de origine este aceeași cu zona de definiție. Pe graficul unei astfel de corespondențe, cel puțin o săgeată se îndepărtează de la fiecare element al primului set. Corespondența se numește surjectiv, dacă setul său de valori coincide cu zona de sosire. Pe graficul unei astfel de corespondențe, cel puțin 1 săgeată se apropie de fiecare element al celui de-al doilea set. Corespondența se numește injectiv dacă niciun element diferit din primul set nu corespunde aceluiași element al celui de-al doilea set. Pe graficul unei astfel de corespondențe, niciun element din al 2-lea set nu este potrivit cu mai mult de 1 săgeată. Corespondența se numește funcţional, dacă fiecărui element din primul set îi corespunde nu mai mult de 1 element din al 2-lea set. Pe graficul unei astfel de corespondențe din fiecare element din primul set, dacă se îndepărtează, atunci doar 1 săgeată. Corespondența funcțională se numește funcţie. Dintre toate corespondențele funcționale, se disting corespondențe definitorii de pretutindeni, care sunt numite cartografiere. Corespondența se numește unu la unu, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) oricare două elemente diferite ale mulțimii X corespund unor elemente diferite ale mulțimii Y, 2) oricărui element al mulțimii Y corespunde cel puțin unui element al mulțimii X. Două corespondențe între se numesc multimile X si Y opus, dacă graficele lor completează produsul cartezian al lui X și Y. Corespondența se numește verso la o potrivire dată dacă potrivirea dată este valabilă dacă și numai dacă este adevărat opusul. Dacă corespondența dată este o submulțime a produsului cartezian al mulțimilor X și Y, atunci corespondența inversă este o submulțime a produsului cartezian al mulțimilor X și Y. Pentru a obține corespondența inversă cu cea dată. Pe graficul său este necesar să se schimbe direcția săgeților.
9.Conformitatea funcțională. Proprietăţile funcţiilor numerice. Corespondența se numește funcţional, dacă fiecărui element din primul set îi corespunde nu mai mult de 1 element din al 2-lea set. Pe graficul unei astfel de corespondențe din fiecare element din primul set, dacă se îndepărtează, atunci doar 1 săgeată. O corespondență funcțională dată pe o mulțime numerică este numită numerică funcţie. Proprietăţile funcţiilor numerice. 1. Fiecare funcție are un domeniu de definiție și un set de valori. 2. funcţia poate fi crescătoare sau descrescătoare. O funcție se numește crescătoare pe intervalul a b dacă pentru orice x1 și x2 x1 > x2 urmează f (x1) > f (x2). O funcție se numește descrescătoare pe un interval a b, dacă pentru orice x1 și x2 din acest interval, din faptul că x1 > x2 urmează f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
Site web 2015-2020 - Contacte - Ultima adăugată
foarte necesarOpțiuni
ordine strictă
Exemple
Dimensiunea Dushnik-Miller
Istorie
