≡× MENÜ

• Sağlık
• Gebelik
• Çocuklar
• ilişkiler
• doğum

İki halkadan bire örneklerdir. Yüzükler

Tanım 4.1.1. Yüzük (K, +, ) boş olmayan bir kümeye sahip cebirsel bir sistemdir. K ve üzerinde diyeceğimiz iki ikili cebirsel işlem ek ve çarpma işlemi. Halka bir Abelian toplama grubudur ve çarpma ve toplama, dağılım yasalarıyla ilişkilidir: ( a + b)  c = a  c + b  c ve ile  (a + b) = c  a + c  b keyfi için a, b, c  K.

Misal 4.1.1. Yüzük örnekleri veriyoruz.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ), olağan toplama ve çarpma işlemleriyle sırasıyla tamsayı, rasyonel, gerçek ve karmaşık sayıların halkalarıdır. Bu halkalar denir sayısal.

2. (Z/nZ, +, ) modülo kalıntı sınıflarının halkasıdır n  N toplama ve çarpma işlemleri ile.

3. Bir demet M n (K) sabit sıralı tüm kare matrislerin n  N halkadan katsayılarla ( K, +, ) matris toplama ve çarpma işlemleri ile. Özellikle, K eşit olabilir Z, Q, R, C veya Z/nZ de n  N.

4. Sabit bir aralıkta tanımlanan tüm gerçek işlevlerin kümesi ( a; b) fonksiyonların olağan toplama ve çarpma işlemleriyle gerçek sayı doğrusu.

5. Polinomlar kümesi (polinomlar) K[x] halkadan katsayılarla ( K, +, ) bir değişkenden x ile doğal operasyonlar polinomların toplanması ve çarpımı. Özellikle polinomların halkaları Z[x], Q[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] n  N.

6. Vektörlerin halkası ( V 3 (R), +, ) toplama ve vektör çarpması ile.

7. Toplama ve çarpma işlemleriyle ((0), +, ) halkası: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Tanım 4.1.2. Ayırmak sonlu ve sonsuz halkalar (kümenin eleman sayısına göre K), ancak ana sınıflandırma çarpma özelliklerine dayanmaktadır. Ayırmak ilişkiselçarpma işlemi birleştirici olduğunda çalar (Örnek 4.1.1'in 1-5, 7. maddeleri) ve ilişkisel olmayan halkalar (örnek 4.1.1 madde 6: burada ,). İlişkisel halkalar ayrılır birim halkalar(çarpma işlemine göre nötr bir eleman vardır) ve birimsiz, değişmeli(çarpma işlemi değişmeli) ve değişmeyen.

teorem4.1.1. İzin vermek ( K, +, ) birimli bir ilişkisel halkadır. Daha sonra küme K* halka elemanlarının çarpımı altında tersine çevrilebilir Kçarpımsal bir gruptur.

Grup tanımı 3.2.1'in yerine getirildiğini kontrol edelim. İzin vermek a, b  K*. bunu gösterelim a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  a –1  K. Gerçekten,

(a  b)  (b –1  a –1) = a  (b  b –1)  a –1 = a  1  a –1 = 1,

(b –1  a –1)  (a  b) = b –1  (a –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

nerede a –1 , b –1  K ters elemanlardır a ve b sırasıyla.

1) içinde çarpma K* ilişkisel, çünkü K bir çağrışım halkasıdır.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1, çarpma işlemine göre nötr bir elemandır. K * .

3)  için a  K * , a –1  K* , gibi ( a –1)  a = a  (a –1) = 1
(a –1) –1 = a.

Tanım 4.1.3. Bir demet K* halkanın elemanlarının çarpımına göre ters çevrilebilir ( K, +, ) denir halkanın çarpımsal grubu.

Misal 4.1.2. Çeşitli halkaların çarpımsal gruplarına örnekler verelim.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = GL n (Q), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* tersinir kalıntı sınıfları kümesidir, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), n > 1 | Z/nZ * | =  (n), nerede  Euler fonksiyonudur.

4. (0) * = (0), çünkü bu durumda 1 = 0. 

Tanım 4.1.4. İlişkisel halkada ise ( K, +, ) birim grubu ile K * = K\(0), burada 0, toplamaya göre nötr bir elemandır, o zaman böyle bir halka denir gövde veya cebir ilebölünme. Değişmeli cisim denir tarla.

Bu tanımdan açıkça anlaşılmaktadır ki, vücutta K*   ve 1  K* , yani 1  0, yani bir alan olan minimal gövde iki öğeden oluşur: 0 ve 1.

Misal 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – sırasıyla sayısal alanlar rasyonel, gerçek ve karmaşık sayılar.

2. (Z/pZ, +, ) son alandır p elemanlar, eğer p- Asal sayı. Örneğin, ( Z/2Z, +, ) iki öğenin minimum alanıdır.

3. Değişmeli olmayan cisim dördey cisim- Ayarlamak kuaterniyonlar, yani, formun ifadeleri h= a + iki + cj + dk, nerede a, b, c, d  R, ben 2 = = j 2 = k 2 = – 1, ben  j= k= – j  ben, j  k= ben= – k  j, ben  k= – j= – k  ben, toplama ve çarpma işlemleri ile. Kuaterniyonlar yukarıdaki formüller dikkate alınarak terim terim toplanır ve çarpılır. Herkes için h 0 ters kuaterniyon şu şekildedir:
.

Sıfır bölenli halkalar ve sıfır bölensiz halkalar vardır.

Tanım 4.1.5. Halkada sıfır olmayan elemanlar varsa a ve böyle ki a  b= 0, o zaman denir sıfır bölenler ve yüzüğün kendisi sıfır bölen halka. AT aksi durumda yüzük denir sıfır bölensiz halka.

Misal 4.1.4.

1. yüzükler ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sıfır böleni olmayan halkalardır.

2. halkada ( V 3 (R), +, ) sıfır olmayan her eleman bir sıfır bölendir, çünkü
hepsi için
V 3 (R).

3. matris halkasında M 3 (Z) sıfır bölen örnekleri matrislerdir
ve
, gibi A  B = Ö(sıfır matris).

4. halkada ( Z/nZ, +, ) kompozit ile n = k  m, nerede 1< k, m < n, kalıntı sınıfları ve olduğundan sıfır bölendir. 

Aşağıda halkaların ve alanların temel özelliklerini sunuyoruz.

Boş olmayan küme İLE,üzerinde iki ikili işlemin ayarlandığı - toplama (+) ve çarpma ( ), koşulları karşılayan:

1) ekleme işlemi ile ilgili İle- değişmeli grup;

2) çarpma işlemi ile ilgili İle- yarı grup;

3) Toplama ve çarpma işlemleri, dağıtım yasası ile ilişkilidir, yani. . (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb hepsi için a, b, c K, denir halka (K,+, ).

Yapı (İLE,+) denir katkı grubu yüzükler. Çarpma işlemi değişmeli ise, yani. ab=ba. hepsi için a, b, sonra halka denir değişmeli.

Çarpma işlemiyle ilgili olarak, halkada genellikle birim 1 ile gösterilen bir kimlik öğesi varsa. sonra öyle diyorlar İle orada birim halkası.

Bir halkanın L alt kümesine denir. alt halka, Eğer L halkanın toplam grubunun bir alt grubudur ve Lçarpma işlemi altında kapalıdır, yani herkes için bir, b koşuyor a+b L ve ab L.

Alt halkaların kesişimi bir alt halka olacaktır. Ardından, gruplar durumunda olduğu gibi, bir alt halka ile, oluşturulan birçok SK, tüm alt halkaların kesişimi denir İLE, S içeren

1. Çarpma ve toplama işlemlerine göre tam sayılar kümesi bir (Z, +, )-değişmeli halkadır. Setler nZ bölünebilen tam sayılar P, için birlik olmadan bir alt halka olacak n>1.

Benzer şekilde, rasyonel ve gerçek sayılarözdeşliği olan değişmeli halkalardır.

2. Sıralı kare matrisler kümesi P matrislerin toplama ve çarpma işlemleriyle ilgili olarak, özdeşliği olan bir halka vardır. E- kimlik matrisi. saat n>1 değişmeli değildir.

3. K-keyfi değişmeli halka olsun. Tüm olası polinomları göz önünde bulundurun

değişkenli X ve katsayılar 0, 1, 2,..., ve n, itibaren İLE. Polinomların cebirsel toplama ve çarpma işlemleri ile ilgili olarak, bu bir değişmeli halkadır. denir polinom halkası K bir değişkenden X halkanın üzerinde İle(örneğin, tamsayı, rasyonel, gerçek sayılar halkası üzerinde). Polinomların halkası benzer şekilde tanımlanır K itibaren t bir değişkende polinom halkası olarak değişkenler x t halkanın üzerinde K.

4. İzin ver X- keyfi set, İle- keyfi yüzük. Tüm fonksiyonların kümesini göz önünde bulundurun f: XK, sette tanımlanmış X içindeki değerlerle İle Fonksiyonların toplamını ve çarpımını her zamanki gibi eşitliklerle tanımlarız.

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

ringde + ve - işlemleri nerede İLE.

Bir halkanın tanımında yer alan tüm koşulların karşılandığını kontrol etmek kolaydır ve orijinal halka değişmeli ise, oluşturulan halka değişmeli olacaktır. K. denir fonksiyon halkası sette X halkadaki değerlerle İLE.

Halkaların birçok özelliği, grupların ve yarı grupların karşılık gelen özellikleri yeniden formüle edilmiştir, örneğin: bir m bir n = bir m + n, (bir t) n = bir tp hepsi için m, n ve tüm a.

Halkaların diğer özel özellikleri sayıların model özellikleri:

1) herkes için a a 0=0 a=0;

2) .(-a)b=a(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Gerçekten:

2) 0=bir((-a)b=-(ab)'ye benzer);

3) ikinci özelliği kullanarak, a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Tarla

Tam sayıların halkalarında, rasyonel ve reel sayıların çarpımı olduğu gerçeğinden ab=0, bunu takip eder ya a=0 veya b=0. Ama düzenin kare matrislerinin halkasında n>1 bu özellik artık tatmin edici değil, çünkü örneğin, = .

eğer ringde Kab=0 de a 0, b, o zamanlar a sol denir b- Sağ sıfır bölen. eğer İle sıfır bölen yok (önemsiz bir sıfır bölen olan 0 öğesi hariç), o zaman K yüzük denir sıfır bölen yok.

1. Zil işlevinde f: R R reel sayılar kümesinde R fonksiyonları göz önünde bulundurur f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Onlar için f 1 (x)=0 x ve f2(x)=0 x ve bu nedenle ürün f 1 (x) f 2 (x) yine de boş bir işlevdir f 1 (x) ve f2(x). Dolayısıyla bu halkada sıfır bölen vardır.

2. Tam sayı çiftlerini ( bir, b) toplama ve çarpma işlemlerinin verildiği:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Bu küme, (1,0)(0,1)=(0,0) olduğundan, birlik (1,1) ve sıfır bölenli bir değişmeli halka oluşturur.

Halkada sıfır bölen yoksa, o zaman içinde indirgeme yasası karşılanır, yani. ab=ac, a=c. Gerçekten, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

İzin vermek İle- bir ünite ile bir yüzük. eleman a isminde tersine çevrilebilir böyle bir unsur varsa bir -1 , hangisi için aa -1 =a -1 a=1.

Tersinir eleman sıfır bölen olamaz. Eğer ab=0 , o zamanlar a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(benzer ba=0 ).

Teorem. K halkasının özdeşliği olan tüm ters çevrilebilir elemanları, çarpmaya göre bir grup oluşturur.

Nitekim, çarpma İle ilişkisel olarak, birim tersinir elemanlar kümesinde bulunur ve ürün tersinir elemanlar kümesinden sonuç çıkarmaz, çünkü eğer a ve b tersine çevrilebilir, o zaman
(ab) -1 = b -1a -1 .

Değişmeli halkalar önemli bir cebirsel yapı oluşturur. İLE, her sıfır olmayan elemanın ters çevrilebilir olduğu, yani çarpma işlemine göre, küme K\(0) bir grup oluşturur. Bu halkalarda üç işlem tanımlanmıştır: toplama, çarpma ve bölme.

değişmeli halka R sıfırdan farklı her elemanın ters çevrilebilir olduğu birlik 1 0'a denir. tarla.

Çarpma ile ilgili olarak, alanın sıfır olmayan tüm öğeleri, adı verilen bir grup oluşturur. çarpma grubu alanlar.

Çalışmak ab -1 kesir olarak yazılır ve yalnızca 0. eleman denklemin tek çözümüdür bx=a. Kesirli eylemler bize tanıdık gelen kurallara uyar:

Örneğin, ikincisini kanıtlayalım. İzin vermek x= ve y=- denklemleri çözme bx=a, dy=c. Bu denklemlerden aşağıdaki dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= denklemin tek çözümü bdt=da+bc.

1. Tamsayılar halkası bir alan oluşturmaz. Alan, rasyonel sayılar kümesi ve gerçek sayılar kümesidir.

8.7. için görevler bağımsız iş Bölüm 8

8.1. n-boyutlu bir Öklid uzayında vektörlerin skaler çarpımını bulma işleminin değişmeli ve birleştirici olup olmadığını belirleyin. Cevabınızı gerekçelendirin.

8.2. Matris çarpma işlemine göre n dereceli kare matrisler kümesinin bir grup mu yoksa bir monoid mi olduğunu belirleyin.

8.3. Aşağıdaki kümelerden hangisinin çarpma işlemine göre bir grup oluşturduğunu belirtin:

a) bir tamsayı kümesi;

b) rasyonel sayılar kümesi;

c) sıfırdan farklı reel sayılar kümesi.

8.4. Aşağıdaki yapılardan hangisinin determinantı bire eşit olan n mertebesinde bir kare matris oluşturduğunu belirleyin: matrislerin olağan toplama ve çarpma işlemlerine göre:

a) bir grup

getirmek;

8.5. Çarpma ve toplama işlemine göre tam sayılar kümesinin hangi yapıyı oluşturduğunu belirtin:

a) değişmeli olmayan halka;

b) değişmeli bir halka;

8.6. Aşağıdaki yapılardan hangisi, matris toplama ve çarpmanın olağan işlemlerine göre gerçek a ve b ile formun bir matris kümesini oluşturur:

a) bir yüzük

8.7. Geriye kalan sayıların olağan çarpma işlemine göre bir grup oluşturması için gerçek sayılar kümesinden hangi sayı çıkarılmalıdır:

8.8. Aşağıdaki yapılardan hangisinin, aşağıdaki şekilde tanımlanan bir ikili işlemle iki elemandan oluşan bir küme oluşturduğunu bulun:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

a) bir grup

b) bir değişmeli grup.

8.9. Çift sayılar olağan toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka mıdır? Cevabınızı gerekçelendirin.

8.10. Bir halka, toplama ve çarpmaya göre a ve b herhangi bir rasyonel sayı olmak üzere a+b biçimindeki bir sayılar kümesi midir? Cevabı gerekçelendirin.

Dipnot: Bu derste halka kavramları ele alınmaktadır. Halka elemanlarının temel tanımları ve özellikleri verilmiş, birleştirici halkalar ele alınmıştır. Bir dizi karakteristik problem ele alındı, ana teoremler kanıtlandı ve bağımsız olarak ele alınacak problemler verildi.

Yüzükler

iki ile bir set R ikili işlemler(toplama + ve çarpma) denir birim ile ilişkisel halka, Eğer:

Çarpma işlemi değişmeli ise halka denir. değişmeli yüzük. Değişmeli halkalar, değişmeli cebir ve cebirsel geometride çalışmanın ana nesnelerinden biridir.

Notlar 1.10.1.

Örnekler 1.10.2 (birleştirici halka örnekleri).

Kalıntı grubunun olduğunu zaten gördük. (Zn ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, modulo n toplama işlemi ile , değişmeli bir gruptur (bkz. örnek 1.9.4, 2).

Çarpma işlemini ayarlayarak tanımlarız. Bu işlemin doğruluğunu kontrol edelim. C k =C k" , C l =C l" ise, o zaman k"=k+nu , l"=l+nv ve dolayısıyla C k"l" =C kl .

Gibi (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k Cı , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, o zaman Cı kalıntı halkası modulo n) özdeşliğine sahip bir birleştirici değişmeli halkadır.

Halka özellikleri (R,+,.)

Lemma 1.10.3 (Newton iki terimli). R, 1 , , ile bir halka olsun. Sonra:

Kanıt.

Tanım 1.10.4. R halkasının S alt kümesine denir. alt halka, Eğer:

a) S, (R,+) grubuna eklemeye göre bir alt gruptur;

b) sahip olduğumuz için;

c) 1'li bir R halkası için .

Örnekler 1.10.5 (alt halka örnekleri).

Görev 1.10.6. Zn modulo n kalıntı halkasındaki tüm alt halkaları tanımlayın.

Açıklama 1.10.7. Z 10 halkasında, 5'e bölünebilen elemanlar, Z 10'da bir alt halka olmayan 1'li bir halka oluşturur (bu halkaların farklı kimlik elemanları vardır).

Tanım 1.10.8. R bir halka ve , , ab=0 ise, o zaman a öğesine R'de bir sol sıfır bölen denir, b öğesine R'de sağ sıfır bölen denir.

Açıklama 1.10.9. Değişmeli halkalarda elbette sağ ve sol sıfır bölenleri arasında fark yoktur.

Örnek 1.10.10. Z , Q , R sıfır böleni yoktur.

Örnek 1.10.11. Sürekli fonksiyonların C halkasının sıfır bölenleri vardır. Gerçekten, eğer

o zaman , , fg=0 .

Örnek 1.10.12. n=kl ise, 1

Önerme 1.10.13. R halkasında (sol) sıfır bölen yoksa, ab=ac 'den, burada , , b=c anlamına gelir (yani, sol sıfır böleni yoksa solda ve sağ sıfır böleni yoksa sağda sıfır olmayan bir öğeyle iptal etme yeteneği).

Kanıt. ab=ac ise, o zaman a(b-c)=0 . a bir sol sıfır bölen olmadığından, b-c=0 , yani b=c .

Tanım 1.10.14. eleman denir nilpotent, eğer bazıları için x n =0 ise . Böyle en küçük doğal sayıya n denir bir elementin sıfır potansiyel derecesi .

Nilpotent bir elemanın sıfır bölen olduğu açıktır (eğer n>1 ise, o zaman , ). Bunun tersi doğru değil (Z 6'da sıfır potansiyelli eleman yoktur, ancak 2 , 3 , 4 sıfırdan farklı bölenlerdir).

Egzersiz 1.10.15. Zn halkası, ancak ve ancak n, m2 ile bölünebiliyorsa, nilpotent elemanlar içerir, burada, .

Tanım 1.10.16. R halkasının bir x elemanına denir. etkisiz, eğer x 2 \u003d x ise. 0 2 =0 , 1 2 =1 olduğu açıktır. x 2 =x ve , ise, x(x-1)=x 2 -x=0 ve bu nedenle önemsiz olmayan idempotentler sıfır bölenlerdir.

Birleştirici halka R'nin ters çevrilebilir elemanları kümesini U(R) ile gösteririz, yani kendileri için bir ters eleman olan s=r -1 (yani rr -1 =1=r -1 r ).

a öğesinin mertebesi denir. Böyle bir n yoksa, o zaman a elemanına sonsuz dereceli eleman denir.

Teorem 2.7 (Fermat'ın küçük teoremi). Bir G ve G sonlu bir grupsa, o zaman |G| =e .

Kanıt olmadan kabul edin.

Her bir G, ° grubunun, üç koşulun sağlandığı bir ikili işlemi olan bir cebir olduğunu hatırlayın, yani, grubun belirtilen aksiyomları.

Bir gruptakiyle aynı işleme sahip bir G kümesinin G1 alt kümesi, G 1 , ° bir grup ise alt grup olarak adlandırılır.

G kümesinin boş olmayan bir Gı alt kümesinin, G, ° grubunun bir alt grubu olduğu, ancak ve ancak G1 kümesinin herhangi bir a ve b öğesiyle birlikte a° b -1 öğesini içermesi durumunda kanıtlanabilir.

Aşağıdaki teoremi ispatlayabiliriz.

Teorem 2.8. Döngüsel bir grubun bir alt grubu döngüseldir.

§ 7. İki işlemli cebir. Yüzük

İki ikili işlemli cebirleri düşünün.

Bir halka, üzerinde toplama ve çarpma olarak adlandırılan iki ikili işlemin + ve ° tanıtıldığı boş olmayan bir R kümesidir, öyle ki:

1) R; + bir değişmeli gruptur;

2) çarpma ilişkiseldir, yani. için a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) çarpma, toplamaya göre dağıtıcıdır, yani. için

a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(a° c) ve (a + b)° c= (a° c)+(b° c).

a,b R için: a ° b=b ° a ise bir halka değişmeli olarak adlandırılır.

Halka R olarak yazılır; +, °.

R, toplamaya göre Değişken (değişmeli) bir grup olduğundan, 0 veya θ ile gösterilen ve sıfır olarak adlandırılan bir toplama birimine sahiptir. Bir R için toplamsal tersi -a ile gösterilir. Ayrıca, herhangi bir R halkasında:

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

O zaman bunu alırız

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 x R için; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 y R için.

Yani, x R için şunu gösterdik: x ° 0 \u003d 0 ° x \u003d 0. Ancak, x ° y \u003d 0 eşitliğinden x \u003d 0 veya y \u003d 0'ı takip etmiyor. Gösterelim bu bir örnekle.

Misal. Bir aralıkta sürekli olan bir dizi fonksiyon düşünelim. Bu fonksiyonlar için genel toplama ve çarpma işlemlerini tanıtalım: f(x)+ ϕ (x) ve f(x) · ϕ (x) . C ile gösterilen bir yüzük aldığımızı görmek kolaydır. Şekil 2'de gösterilen f(x) ve ϕ (x) fonksiyonunu göz önünde bulundurun. 2.3. Sonra f(x) ≡ / 0 ve ϕ (x) ≡ / 0'ı elde ederiz, ancak f(x) · ϕ (x) ≡0.

Faktörlerden birinin sıfıra eşit olması durumunda ürünün sıfıra eşit olduğunu kanıtladık: a R için a ° 0= 0 ve a ≠ 0 ve b ≠ 0 için a ° b= 0 olabileceğini örnekle gösterdik.

R halkasında a ° b = 0 varsa, o zaman a sol ve b sağ sıfır bölenleri olarak adlandırılır. 0 öğesi önemsiz bir sıfır bölen olarak kabul edilir.

				f(x) ϕ(x)≡0
	ϕ(x)

Önemsiz sıfır böleninden başka sıfır bölenleri olmayan değişmeli bir halka, bir integral halka veya bir integral alanı olarak adlandırılır.

bunu görmek kolay

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

ve böylece x ° (-y)=(-x) ° y, x° y öğesinin tersidir, yani.

x ° (-y) \u003d (-x) ° y \u003d - (x ° y).

Benzer şekilde, (- x) ° (- y) \u003d x ° y olduğu gösterilebilir.

§ 8. Birlik ile çalın

R halkasında çarpma ile ilgili bir birim varsa, bu çarpma birimi 1 ile gösterilir.

Çarpım biriminin (ve toplama biriminin) benzersiz olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bir R için çarpımsal tersi (çarpmanın tersi) a-1 ile gösterilecektir.

Teorem 2.9. 0 ve 1 öğeleri, sıfır olmayan R halkasının farklı öğeleridir.

Kanıt. R sadece 0 içermesin. O zaman a ≠ 0 için a° 0= 0 ve a° 1= a ≠ 0'a sahibiz, buradan 0 ≠ 1 çıkar, çünkü 0= 1 ise, o zaman a ile çarpımları çakışacaktır.

Teorem 2.10. Katkı birimi, yani 0'ın çarpımsal tersi yoktur.

Kanıt. a° 0= 0° a= 0 ≠ 1 için bir R . Bu nedenle, sıfır olmayan bir halka, çarpmaya göre asla bir grup olmayacaktır.

R halkasının özelliği en küçük doğal sayı k'dır.

tüm a R için a + a + ... + a = 0 olacak şekilde. halka özelliği

k - kez

k=char R şeklinde yazılır. Belirtilen k sayısı yoksa, char R= 0 olarak ayarlıyoruz.

Z tüm tam sayıların kümesi olsun;

Q, tüm rasyonel sayıların kümesidir;

R, tüm gerçek sayıların kümesidir; C, tüm karmaşık sayıların kümesidir.

Her zamanki toplama ve çarpma işlemleriyle Z, Q, R, C kümelerinin her biri bir halkadır. Bu halkalar değişmeli ve çarpım birimi 1'e eşit. Bu halkaların sıfır böleni yoktur, dolayısıyla bunlar bütünlük alanlarıdır. Bu halkaların her birinin özelliği sıfıra eşittir.

Sürekli açık fonksiyonların halkası (C halkası) aynı zamanda birimle aynı olan bir fonksiyonla çakışan bir çarpımsal birime sahip bir halkadır. Bu halkanın sıfır böleni vardır, dolayısıyla bir bütünlük bölgesi değildir ve char C= 0'dır.

Bir örnek daha düşünelim. M boş olmayan bir küme ve R= 2M M kümesinin tüm alt kümelerinin kümesi olsun. R üzerinde iki işlem tanıtıyoruz: simetrik fark A+ B= A B (buna toplama diyoruz) ve kesişme (buna çarpma diyoruz) ). aldığından emin olabilirsin

birim halka; bu halkanın toplama birimi olacak ve halkanın çarpma birimi M kümesi olacaktır. Bu halka için, herhangi bir А, А R , elimizde: А+ А = А А= . Bu nedenle, charR = 2.

§ 9. Alan

Alan, sıfır olmayan öğeleri çarpma altında değişmeli bir grup oluşturan değişmeli bir halkadır.

Tüm aksiyomları listeleyerek alanın doğrudan bir tanımını veriyoruz.

Bir alan, toplama ve çarpma olarak adlandırılan "+" ve "°" ikili işlemleri olan bir P kümesidir, öyle ki:

1) ekleme ilişkiseldir: için a, b, cR: (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) bir katkı birimi var: 0 P, ki bir P için: a+0 =0 +a=a;

3) eklenerek bir ters eleman vardır: için aP(-a)P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4) toplama değişmeli: için a, bP: a+b=b+a ;

(1-4 aksiyomları, alanın toplama yoluyla bir değişmeli grup olduğu anlamına gelir);

5) çarpma birleştiricidir: için a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) çarpımsal bir birim var: 1 P , bir P için:

1°a=a° 1=a;

7) boş olmayan herhangi bir öğe için(a ≠ 0) çarpma ile bir tersi vardır: a P için, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) çarpma değişmeli: için a,b P: a ° b=b ° a ;

(5-8 aksiyomları, sıfır elemanı olmayan bir alanın çarpma yoluyla değişmeli bir grup oluşturduğu anlamına gelir);

9) çarpma, toplamaya göre dağıtıcıdır: için a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

Alan örnekleri:

1) R;+, - gerçek sayıların alanı;

2) Q;+, - rasyonel sayıların alanı;

3) C;+, - karmaşık sayıların alanı;

4) P 2 \u003d (0,1) olsun. 1 +2 0=0 +2 1=1 olarak tanımlarız,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. O halde F 2 = P 2 ;+ 2 bir alandır ve ikili aritmetik olarak adlandırılır.

Teorem 2.11. a ≠ 0 ise, o zaman a ° x \u003d b denklemi alanda benzersiz bir şekilde çözülebilir.

Kanıt . a° x=b a-1° (a° x)=a-1° b (a-1° a)° x=a-1° b

Tanım 4.1.1. Yüzük (K, +, ) boş olmayan bir kümeye sahip cebirsel bir sistemdir. K ve üzerinde diyeceğimiz iki ikili cebirsel işlem ek ve çarpma işlemi. Halka bir Abelian toplama grubudur ve çarpma ve toplama, dağılım yasalarıyla ilişkilidir: ( a + b)  c = a  c + b  c ve ile  (a + b) = c  a + c  b keyfi için a, b, c  K.

Misal 4.1.1. Yüzük örnekleri veriyoruz.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ), olağan toplama ve çarpma işlemleriyle sırasıyla tamsayı, rasyonel, gerçek ve karmaşık sayıların halkalarıdır. Bu halkalar denir sayısal.

2. (Z/ nZ, +, ) modülo kalıntı sınıflarının halkasıdır n  N toplama ve çarpma işlemleri ile.

3. Bir demet M n (K) sabit sıralı tüm kare matrislerin n  N halkadan katsayılarla ( K, +, ) matris toplama ve çarpma işlemleri ile. Özellikle, K eşit olabilir Z, Q, R, C veya Z/nZ de n  N.

4. Sabit bir aralıkta tanımlanan tüm gerçek işlevlerin kümesi ( a; b) fonksiyonların olağan toplama ve çarpma işlemleriyle gerçek sayı ekseni.

5. Polinomlar kümesi (polinomlar) K[x] halkadan katsayılarla ( K, +, ) bir değişkenden x polinomların doğal toplama ve çarpma işlemleri ile. Özellikle polinomların halkaları Z[x], Q[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] n  N.

6. Vektörlerin halkası ( V 3 (R), +, ) toplama ve vektör çarpması ile.

7. Toplama ve çarpma işlemleriyle ((0), +, ) halkası: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Tanım 4.1.2. Ayırmak sonlu ve sonsuz halkalar (kümenin eleman sayısına göre K), ancak ana sınıflandırma çarpma özelliklerine dayanmaktadır. Ayırmak ilişkiselçarpma işlemi birleştirici olduğunda çalar (Örnek 4.1.1'in 1-5, 7. maddeleri) ve ilişkisel olmayan halkalar (örnek 4.1.1 madde 6: burada , ). İlişkisel halkalar ayrılır birim halkalar(çarpma işlemine göre nötr bir eleman vardır) ve birimsiz, değişmeli(çarpma işlemi değişmeli) ve değişmeyen.

teorem4.1.1. İzin vermek ( K, +, ) birimli bir ilişkisel halkadır. Daha sonra küme K* halka elemanlarının çarpımı altında tersine çevrilebilir Kçarpımsal bir gruptur.

Grup tanımı 3.2.1'in yerine getirildiğini kontrol edelim. İzin vermek a, b  K*. bunu gösterelim a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  a –1  K. Gerçekten,

(a  b)  (b –1  a –1) = a  (b  b –1)  a –1 = a  1  a –1 = 1,

(b –1  a –1)  (a  b) = b –1  (a –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

nerede a –1 , b –1  K ters elemanlardır a ve b sırasıyla.

1) içinde çarpma K* ilişkisel, çünkü K bir çağrışım halkasıdır.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1, çarpma işlemine göre nötr bir elemandır. K * .

3)  için a  K * , a –1  K* , gibi ( a –1)  a= a  (a –1) = 1
(a –1) –1 = a.

Tanım 4.1.3. Bir demet K* halkanın elemanlarının çarpımına göre ters çevrilebilir ( K, +, ) denir halkanın çarpımsal grubu.

Misal 4.1.2. Çeşitli halkaların çarpımsal gruplarına örnekler verelim.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = GL n (Q), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* tersinir kalıntı sınıfları kümesidir, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), n > 1 | Z/nZ * | =  (n), nerede  Euler fonksiyonudur.

4. (0) * = (0), çünkü bu durumda 1 = 0. 

Tanım 4.1.4. İlişkisel halkada ise ( K, +, ) birim grubu ile K * = K\(0), burada 0, toplamaya göre nötr bir elemandır, o zaman böyle bir halka denir gövde veya cebir ilebölünme. Değişmeli cisim denir tarla.

Bu tanımdan açıkça anlaşılmaktadır ki, vücutta K*   ve 1  K* , yani 1  0, yani bir alan olan minimal gövde iki öğeden oluşur: 0 ve 1.

Misal 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sırasıyla rasyonel, gerçek ve karmaşık sayıların sayısal alanlarıdır.

2. (Z/pZ, +, ) son alandır p elemanlar, eğer p- Asal sayı. Örneğin, ( Z/2Z, +, ) iki öğenin minimum alanıdır.

3. Değişmeli olmayan bir gövde, kuaterniyonların gövdesidir - bir kuaterniyon topluluğu, yani formun ifadeleri h= a + iki + cj + dk, nerede a, b, c, d  R, ben 2 = = j 2 = k 2 = –1, ben  j= k= – j  ben, j  k= ben= – k  j, ben  k= – j= – k  ben, toplama ve çarpma işlemleri ile. Kuaterniyonlar yukarıdaki formüller dikkate alınarak terim terim toplanır ve çarpılır. Herkes için h 0 ters kuaterniyon şu şekildedir:
.

Sıfır bölenli halkalar ve sıfır bölensiz halkalar vardır.

Tanım 4.1.5. Halkada sıfır olmayan elemanlar varsa a ve böyle ki a  b= 0, o zaman denir sıfır bölenler ve yüzüğün kendisi sıfır bölen halka. Aksi takdirde, halka denir sıfır bölensiz halka.

Misal 4.1.4.

1. yüzükler ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sıfır böleni olmayan halkalardır.

2. halkada ( V 3 (R), +, ) sıfır olmayan her eleman bir sıfır bölendir, çünkü
hepsi için
V 3 (R).

3. matris halkasında M 3 (Z) sıfır bölen örnekleri matrislerdir
ve
, gibi A  B = Ö(sıfır matris).

4. halkada ( Z/ nZ, +, ) kompozit ile n= k  m, nerede 1< k, m < n, kalıntı sınıfları ve olduğundan sıfır bölendir. 

Aşağıda halkaların ve alanların temel özelliklerini sunuyoruz.