ikili ilişkiler. İkili ilişkilerle ilgili işlemler
1. Yansıma:
2. Zayıf refleksivite:
3. Güçlü refleksivite:
4. Yansıma önleyici:
5. Zayıf yansıma önleyici:
6. Güçlü yansıma önleyici:
7. Simetri:
8. Antisimetri:
9. Asimetri:
10. Güçlü doğrusallık:
11. Zayıf doğrusallık:
12. Geçişlilik:
Yansıma, ikilinin bir özelliği (ikili, iki terimli) ilişkiler,örtüşen üyelere sahip nesne çiftleri için tatmin edilebilirliklerini ifade etme (deyim yerindeyse, nesne ile "ayna görüntüsü" arasında): ilişki R herhangi bir nesne için ise yansımalı denir X tanımının etki alanından, xRx. Dönüşlü ilişkilerin tipik ve en önemli örnekleri: tip ilişkileri eşitlik (kimlikler, denklikler, benzerlikler) vb.: herhangi bir nesne kendisine eşittir) ve katı olmayan bir düzenin ilişkileri (herhangi bir nesne kendisinden daha az veya daha fazla değildir). "Eşitlik" (eşdeğerlik, benzerlik, vb.) hakkında sezgisel fikirler, açıkçası onu özelliklerle donatıyor simetri ve geçişlilik R.'nin özelliği de "zorunlu" çünkü son özellik ilk ikisinden geliyor. Bu nedenle, matematikte kullanılan ve tanımı gereği R'ye sahip olmayan birçok bağıntının, onları dönüşlü hale gelecek şekilde yeniden tanımlamanın, örneğin her bir çizginin veya düzlem kendisine paraleldir, vb.
Bölüm 1. Küme teorisinin unsurları
1.1 Takımlar
Matematikte kullanılan en basit veri yapısı, ayrı ayrı izole edilmiş veriler arasında hiçbir ilişki olmadığında ortaya çıkar. Bu tür verilerin toplamı, bir çok. Küme kavramı tanımsız bir kavramdır. Setin iç yapısı yoktur. Bir küme, bazı ortak özelliklere sahip öğeler topluluğu olarak düşünülebilir. Bir elemanlar topluluğunun küme olarak adlandırılabilmesi için aşağıdaki koşulların karşılanması gerekir:
Belirtilen bir öğenin belirli bir koleksiyona ait olup olmadığını belirlemek için bir kural olmalıdır.
Öğeleri birbirinden ayırt etmek için bir kural olmalıdır. (Bu, özellikle, bir kümenin iki tane içeremeyeceği anlamına gelir. birebir aynı elementler).
Kümeler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir. eğer eleman
kümeye aitse, şu şekilde gösterilir:kümenin her elemanı ise
aynı zamanda kümenin bir elemanıysa, kümenin olduğu söylenir. alt küme setler:alt küme
küme denir kendi alt kümesi, eğerKüme kavramını kullanarak daha karmaşık ve anlamlı nesneler oluşturabilirsiniz.
1.2 Setlerde İşlemler
Kümelerdeki ana işlemler şunlardır: bir dernek, kavşak ve fark.
tanım 1. Dernek
tanım 2. geçit iki kümeye yeni küme denir
tanım 3. fark iki kümeye yeni küme denir
Üzerinde farklı kümelerin tanımlandığı nesnelerin sınıfı,
(Evren), sonra ilave kümeler sıralı farkı ara n-ku, ara ilişki gücü .Yorum. İlişki kavramı sadece matematiksel açıdan çok önemli değildir. İlişki kavramı aslında tüm ilişkisel veritabanı teorisinin temelini oluşturur. Aşağıda gösterileceği gibi, oranlar matematiksel karşılığıdır. tablolar. İlk olarak Codd tarafından tanıtılan "verilerin ilişkisel temsili" terimi, terimden gelir. ilişki bu tanım anlamında anlaşılır.
Herhangi bir küme, 1. dereceden Kartezyen bir ürün olarak kabul edilebileceğinden, herhangi bir küme gibi, herhangi bir alt küme de 1. dereceden bir bağıntı olarak kabul edilebilir. ve "alt küme" eşanlamlıdır. İlişki kavramının önemsizliği, ilişkinin derecesi 1'den büyük olduğunda ortaya çıkar. Buradaki kilit noktalar iki tanedir:
birinci olarak, ilişkinin tüm unsurları benzer demetler. Tuplelerin tekdüzeliği, onları basit bir tablodaki satırların analogları olarak düşünmemize izin verir, yani. tüm satırların aynı sayıda hücreden oluştuğu ve karşılık gelen hücrelerin aynı veri türlerini içerdiği bir tabloda. Örneğin, aşağıdaki üç demetten ( (1, "Ivanov", 1000), (2, "Petrov", 2000), (3, "Sidorov", 3000) ) oluşan bir bağıntı, yaklaşık verileri içeren bir tablo olarak kabul edilebilir. çalışanları ve maaşları. Böyle bir tablo, her sütunda aynı türden verileri içeren üç satır ve üç sütuna sahip olacaktır.
Buna karşılık, aşağıdakilerden oluşan ( (1), (1,2), (1, 2,3) ) kümesini düşünün: heterojen sayısal demetler. Bu küme ikisinde de bir ilişki değil
, ne içinde, ne de içinde. Bu sette yer alan tuplelardan basit bir tablo yapmak mümkün değildir. Doğru, bu kümeyi, tüm olası derecelerin tüm olası sayısal demetlerinin kümesi üzerinde 1. derecenin bir ilişkisi olarak düşünebiliriz.İzin vermek R- X kümesindeki bazı ikili ilişkiler ve x, y, z, elemanlarından herhangi biridir. Eğer x elemanı, y elemanı ile R ilişkisi içindeyse, o zaman şunu yazarız: xRy.
1. Bir X kümesindeki R bağıntısına, kümenin her elemanı kendi kendisiyle bu ilişki içindeyse yansımalı denir.
R -refleksif olarak X üzerinde<=>herhangi bir x€ X için xRx
Eğer R bağıntısı dönüşlü ise, grafiğin her köşesinde bir döngü vardır. Örneğin, doğru parçaları için eşitlik ve paralel ilişkiler dönüşlüdür, diklik ve "daha uzun" ilişkiler ise dönüşlü değildir. Bu, Şekil 42'deki grafiklerde yansıtılmaktadır.
2. Bir X kümesindeki R ilişkisine, x öğesinin y öğesiyle belirli bir ilişki içinde olması, y öğesinin x öğesiyle aynı ilişkide olduğunu ima ediyorsa simetrik olarak adlandırılır.
R - simetrik açık (xYau => y Rx)
Simetrik bir ilişkinin grafiği, zıt yönlerde giden eşleştirilmiş okları içerir. Segmentler için paralellik, diklik ve eşitlik ilişkileri simetriktir ve "daha uzun" ilişkisi simetrik değildir (Şekil 42).
3. X kümesindeki farklı x ve y öğeleri için, x öğesinin y öğesiyle belirli bir ilişki içinde olması, y öğesinin bu ilişkide olmadığını ima ediyorsa, X kümesindeki bir R ilişkisine antisimetrik denir. x elementi ile
R - X" üzerinde antisimetrik (xRy ve xy ≠ yRx)
Not: Üst çizgi, ifadenin olumsuzluğunu belirtir.
Bir antisimetrik oran grafiğinde yalnızca bir ok iki noktayı birbirine bağlayabilir. Böyle bir ilişkinin bir örneği, segmentler için “daha uzun” ilişkidir (Şekil 42). Paralellik, diklik ve eşitlik ilişkileri antisimetrik değildir. "Kardeş olmak" gibi ne simetrik ne de antisimetrik ilişkiler vardır (Şekil 40).
4. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisi, bir x öğesinin bir y öğesiyle belirli bir ilişkide olması ve bir y öğesinin bir z öğesiyle bu ilişkide olması, x öğesinin belirli bir ilişkide olduğunu ima ediyorsa geçişli olarak adlandırılır. Z elemanı ile
R - A≠ üzerinde geçişli (xRy ve yRz=> xRz)
Şekil 42'deki “daha uzun”, paralellik ve eşitlik ilişkileri grafiklerinde, eğer ok birinci elemandan ikinciye ve ikinciden üçüncüye giderse, o zaman mutlaka birinci elemandan giden bir ok olduğunu görebilirsiniz. üçüncüye. Bu ilişkiler geçişlidir. Segmentlerin dikliği geçişlilik özelliğine sahip değildir.
Aynı kümenin öğeleri arasında, dikkate almadığımız başka bağıntı özellikleri de vardır.
Aynı ilişkinin birkaç özelliği olabilir. Bu nedenle, örneğin, bir dizi parça üzerinde, "eşittir" ilişkisi dönüşlü, simetrik, geçişlidir; "büyüktür" bağıntısı antisimetrik ve geçişlidir.
X kümesindeki bir bağıntı dönüşlü, simetrik ve geçişli ise, bu kümede bir denklik bağıntısıdır. Bu tür ilişkiler, X kümesini sınıflara böler.
Bu ilişkiler, örneğin, görevleri yerine getirirken kendini gösterir: “Eşit uzunlukta şeritler alın ve bunları gruplara ayırın”, “Topları yayın, böylece her kutuda aynı renkte toplar bulunur”. Eşdeğerlik ilişkileri ("uzunlukta eşit olmak", "aynı renkte olmak") bu durumda şerit ve top kümelerinin sınıflara bölünmesini belirler.
1. kümedeki bir bağıntı geçişli ve antisimetrik ise bu kümede sıralı bağıntı olarak adlandırılır.
Üzerinde bir sıra ilişkisi tanımlanmış olan kümeye sıralı küme denir.
Örneğin, “Şeritleri genişlik olarak karşılaştırın ve en dardan en genişe doğru düzenleyin”, “Sayıları karşılaştırın ve sayı kartlarını sıralayın” görevlerini tamamlarken, çocuklar şerit ve sayı kartlarının elemanlarını kullanarak düzenler. sipariş ilişkileri; "geniş ol", "takip et".
Genel olarak, denklik ve düzen ilişkileri, çocuklarda kümelerin sınıflandırılması ve sıralanması hakkında doğru fikirlerin oluşmasında büyük rol oynar. Ayrıca, ne denklik ne de sıra ilişkisi olmayan birçok başka ilişki vardır.
6. Bir kümenin karakteristik özelliği nedir?
7. Kümeler hangi ilişkilerde olabilir? Her bir durum için açıklamalar yapın ve bunları Euler dairelerini kullanarak gösterin.
8. Bir alt küme tanımlayın. Biri diğerinin alt kümesi olan kümelere örnek veriniz. Sembolleri kullanarak ilişkilerini yazın.
9. Eşit kümeleri tanımlayın. İki eşit kümeye örnek veriniz. Sembolleri kullanarak ilişkilerini yazın.
10. İki kümenin kesişimini tanımlayın ve her bir özel durum için Euler dairelerini kullanarak gösterin.
11. İki kümenin birleşimini tanımlayın ve her bir özel durum için Euler dairelerini kullanarak temsil edin.
12. İki kümenin farkını tanımlayın ve her bir özel durum için Euler dairelerini kullanarak gösterin.
13. Tümleyeni tanımlayın ve Euler dairelerini kullanarak gösterin.
14. Bir kümenin sınıflara bölünmesine ne denir? Doğru sınıflandırma için koşulları adlandırın.
15. İki küme arasındaki yazışmaya ne denir? Yazışmaları ayarlama yollarını adlandırın.
16. Hangi yazışmalara bire bir denir?
17. Hangi kümelere eşdeğer denir?
18. Hangi kümelere eşit denir?
19. Kümede ilişki kurma yollarını adlandırın.
20. Bir kümedeki hangi ilişkiye dönüşlü denir?
21. Bir kümedeki hangi ilişkiye simetrik denir?
22. Bir kümedeki hangi ilişkiye antisimetrik denir?
23. Bir kümedeki hangi bağıntıya geçişli denir?
24. Bir denklik ilişkisi tanımlayın.
25. Sıra ilişkisini tanımlayın.
26. Hangi kümeye sıralı denir?
ikili ilişkiler.
A ve B keyfi kümeler olsun. Her kümeden bir eleman alalım, A'dan a, B'den b ve bunları şöyle yazalım:
Kartezyen ürün keyfi kümeler A ve B (belirtilen: AB), ilk elemanı A'ya ve ikincisi B'ye ait olan tüm olası sıralı çiftlerden oluşan bir kümedir. Tanım olarak: AB = (
Örnek 5. A = (x, y) ve B = (1, 2, 3) olsun.
AB=(
BA=(<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.
AA = A2 = (
BB = B2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.
ikili ilişki bir M kümesinde, M kümesinin bazı sıralı eleman çiftlerinin bir kümesidir. Eğer r bir ikili ilişki ve bir çift ise
Örnek 6. Ayarla (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) (1, 2, 3, 4, 5) kümesinde ikili bir ilişkidir.
Örnek 7. Tamsayılar kümesindeki ³ bağıntısı ikili bir bağıntıdır. Bu, formun sıralı çiftlerinin sonsuz bir kümesidir.
Örnek 8. A kümesindeki eşitlik ilişkisi ikili bir ilişkidir: I A = (
İkili ilişkiler kümeler olduğundan, birleşim, kesişim, toplama ve fark işlemleri bunlara uygulanabilir.
Tanım kapsamı r ikili ilişkisi, D(r) = ( x | xry olacak şekilde y vardır) kümesidir. Değer alanı r ikili ilişkisi, R(r) = ( y | x, xry olacak şekilde x vardır) kümesidir.
davranış, tersi ikili ilişkiye r Н M 2, ikili ilişki r -1 = (
Kompozisyon M kümesinde tanımlanan r 1 ve r 2 ikili ilişkilerine ikili ilişki denir r 2 veya r 1 = (
Örnek 9. M = (a, b, c, d), r = ( kümesinde bir r ikili ilişkisi tanımlansın
r, bir M kümesinde ikili bir ilişki olsun. r ilişkisine denir. yansıtıcı, herhangi bir x О M için x r x ise. r ilişkisine denir simetrik, eğer her bir çift ile birlikte
Bu özelliklerin yerine getirilmesi için kriterleri belirtelim.
Bir M kümesindeki r ikili ilişkisi, ancak ve ancak I M Н r ise dönüşlüdür.
Bir ikili ilişki r, ancak ve ancak r = r -1 ise simetriktir.
Bir M kümesindeki r ikili ilişkisi, ancak ve ancak r З r -1 = I M ise antisimetriktir.
Bir r ikili ilişkisi ancak ve ancak r veya r н r ise geçişlidir.
Örnek 10. Örnek 6'daki bağıntı antisimetriktir, ancak simetrik, dönüşlü ve geçişli değildir. Örnek 7'deki ilişki dönüşlü, antisimetrik ve geçişlidir, ancak simetrik değildir. I A ilişkisi, dikkate alınan dört özelliğin tümüne sahiptir. r -1 veya r ve r veya r -1 ilişkileri simetrik, geçişlidir, ancak antisimetrik ve dönüşlü değildir.
davranış denklik M kümesinde, M üzerinde geçişli, simetrik ve dönüşlü olan ikili ilişki denir.
davranış kısmi sipariş bir M kümesinde geçişli, antisimetrik ve M ikili ilişki r üzerinde dönüşlü olarak adlandırılır.
Örnek 11 Örnek 7'deki bağıntı bir kısmi sıra bağıntısıdır. I A bağıntısı bir denklik bağıntısı ve kısmi bir düzendir. Doğrular kümesindeki paralellik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
İlişki özellikleri:
1) refleksivite;
2) simetri;
3) geçişlilik.
4) bağlantılılık.
Davranış R sette X aranan yansıtıcı kümenin her bir elemanı hakkında ise X ilişki içinde olduğu söylenebilir R Kendimle: XRx.İlişki dönüşlü ise, grafiğin her köşesinde bir döngü vardır. Tersine, her köşesi bir döngü içeren bir grafik, bir yansımalı ilişki grafiğidir.
Yansıtıcı ilişkilerin örnekleri, kümede "çarpma" ilişkisidir. doğal sayılar(her sayı kendi katıdır) ve üçgenlerin benzerlik oranı (her üçgen kendine benzer) ve “eşitlik” oranı (her sayı kendisine eşittir), vb.
Yansıma özelliğine sahip olmayan ilişkiler vardır, örneğin, bölümlerin dikliği ilişkisi: ab, ba(kendisine dik denilebilecek bir doğru parçası yoktur) . Bu nedenle, bu ilişkinin grafiğinde döngü yoktur.
Yansıma özelliği yoktur ve oran, segmentler için "uzun", doğal sayılar için "2'den büyük" vb.
Davranış R sette X aranan yansıma önleyici, eğer kümeden herhangi bir eleman için X her zaman yanlış XRx: .
Ne refleksif ne de antirefleksif olan ilişkiler vardır. Böyle bir ilişkinin bir örneği, "nokta" ilişkisidir. X bir noktaya simetrik de nispeten düz ben”, uçağın noktaları kümesinde tanımlanır. Gerçekten de, çizginin tüm noktaları ben kendilerine simetriktir ve bir doğru üzerinde yer almayan noktalardır. ben, kendilerine simetrik değildir.
Davranış R sette X aranan simetrik, koşul karşılanırsa: öğenin X eleman ile ilgilidir y, bunu takip eden eleman y ilişki içinde R eleman ile X:xRyyRx .
Simetrik bir ilişkinin grafiği şu özelliğe sahiptir: gelen her okla birlikte X ile y, grafik şuradan giden bir ok içerir: y ile X(Şek. 35).
Örnekler simetrik ilişkilerŞunlar olabilir: parçaların "paralellik" oranı, parçaların "diklik" oranı, parçaların "eşitlik" oranı, üçgenlerin benzerlik oranı, kesirlerin "eşitlik" oranı, vb.
Simetri özelliği olmayan ilişkiler vardır.
Nitekim, eğer segment X segmentten daha uzun de, ardından segment de segmentten daha uzun olamaz X. Bu ilişkinin grafiği bir tekilliğe sahiptir: köşeleri birleştiren ok yalnızca bir yöne yönlendirilir.
Davranış R aranan antisimetrik, eğer herhangi bir eleman için X ve y gerçek dışı xRy yanlışlık takip eder yRx: : xRyyRx.
“Daha uzun” ilişkiye ek olarak, segmentler kümesinde başka antisimetrik ilişkiler de vardır. Örneğin, sayılar için "büyüktür" ilişkisi (eğer X daha fazla de, sonra de daha fazla olamaz X), “daha fazla” oranı vb.
Ne simetri ne de antisimetri özelliği olmayan ilişkiler vardır.
Kümedeki R ilişkisi X aranan geçişli eğer hangi elementten X ilişki içinde R eleman ile y, ve eleman y ilişki içinde R eleman ile z, bunu takip eden eleman X ilişki içinde R eleman ile z: xRy ve yRzxRz.
Her bir ok çifti ile geçişli bir ilişkinin grafiği X ile y ve y ile z, gelen bir ok içerir X ile z.
Segmentler kümesindeki "daha uzun" bağıntısı da geçişlilik özelliğine sahiptir: eğer segment a segmentten daha uzun b, çizgi segmenti b segmentten daha uzun İle birlikte, ardından segment a segmentten daha uzun İle birlikte. Segmentler kümesindeki "eşitlik" ilişkisi de geçişlilik özelliğine sahiptir: (a=b, b=c)(a=c).
Geçişlilik özelliğine sahip olmayan ilişkiler vardır. Böyle bir ilişki, örneğin, diklik ilişkisidir: eğer segment a segmente dik b, ve segment b segmente dik İle birlikte, ardından segmentler a ve İle birlikte dik değil!
Bağlantılı özellik olarak adlandırılan ilişkilerin başka bir özelliği vardır ve buna sahip olan bir ilişkiye bağlı denir.
Davranış R sette X aranan ilişkili, eğer herhangi bir eleman için X ve y itibaren verilen küme koşul karşılanırsa: X ve y farklı, o zaman ya X ilişki içinde R eleman ile y, veya eleman y ilişki içinde R eleman ile X. Semboller kullanılarak bu şu şekilde yazılabilir: xyxRy veya yRx.
Örneğin, doğal sayılar için "büyüktür" bağıntısı bağlı olma özelliğine sahiptir: herhangi bir farklı x ve y sayısı için x>y, veya y>x.
Bir ilişki grafiğinde, herhangi iki köşe bir okla bağlanır. Bunun tersi de doğrudur.
Bağlılık özelliğine sahip olmayan ilişkiler vardır. Örneğin böyle bir bağıntı, doğal sayılar kümesinde bölünebilirlik bağıntısıdır: bu tür sayılara x diyebilir ve y sayı ne olursa olsun X bölen değil y, numara yok y bölen değil X(sayılar 17 ve 11 , 3 ve 10 vb.) .
Birkaç örneğe bakalım. Sette X=(1, 2, 4, 8, 12) ilişki "sayı X Birden çok y". Bu ilişkinin bir grafiğini oluşturalım ve özelliklerini formüle edelim.
Kesirlerin eşitlik bağıntısı hakkında derler, bu bir denklik bağıntısıdır.
Davranış R sette X aranan denklik bağıntısı, aynı anda yansıma, simetri ve geçişlilik özelliklerine sahipse.
Denklik ilişkilerinin örnekleri şunlardır: eşitlik ilişkileri geometrik şekiller, doğruların paralellik oranı (çakışan doğruların paralel sayılması şartıyla).
Yukarıda tartışılan "kesirlerin eşitliği" bağıntısında, küme Xüç alt gruba ayrılır: ; ; }, {; } , (). Bu alt kümeler kesişmez ve bunların birleşimi küme ile çakışır. X, yani kümenin sınıflara ayrılmış bir bölümü var.
Yani, bir X kümesinde bir denklik bağıntısı verilirse, bu kümenin ikili ayrık alt kümeler - denklik sınıfları halinde bir bölümünü oluşturur.
Böylece sette eşitlik ilişkisini kurduk.
X=( ;; ; ; ; ) bu kümenin her biri eşit kesirlerden oluşan denklik sınıflarına bölünmesine karşılık gelir.
Bir kümeyi bazı denklik bağıntılarıyla sınıflara ayırma ilkesi matematiğin önemli bir ilkesidir. Neden? Niye?
İlk olarak, eşdeğer - eşdeğer, değiştirilebilir anlamına gelir. Bu nedenle, aynı denklik sınıfının öğeleri birbirinin yerine kullanılabilir. Yani aynı denklik sınıfında olan kesirler (; ; ), eşitlik ilişkisi açısından ayırt edilemez ve kesir örneğin başka biriyle değiştirilebilir . Ve bu değiştirme, hesaplamaların sonucunu değiştirmeyecektir.
İkinci olarak, denklik sınıfında bazı ilişkiler açısından ayırt edilemeyen unsurlar bulunduğundan, denklik sınıfının onun temsilcilerinden herhangi biri tarafından belirlendiğine inanılmaktadır. sınıfın keyfi öğesi. Böylece, herhangi bir eşit kesir sınıfı, bu sınıfa ait herhangi bir kesir belirtilerek belirtilebilir. Bir temsilciye göre bir denklik sınıfı, bir kümenin tüm elemanları yerine, denklik sınıflarından bir temsilciler kümesini incelemeye izin verir. Örneğin, bir çokgenler kümesinde verilen "aynı sayıda köşeye sahip" denklik bağıntısı, bu kümenin üçgen, dörtgen, beşgen vb. sınıflarına bölünmesini sağlar. belirli bir sınıfa özgü özellikler, temsilcilerinden biri tarafından kabul edilir.
Üçüncüsü, yeni kavramları tanıtmak için bir denklik bağıntısı yardımıyla bir kümenin sınıflara bölünmesi kullanılır. Örneğin, "çizgi demeti" kavramı, paralel doğruların birbiriyle ortak özelliği olarak tanımlanabilir.
Düzen ilişkileri, bir başka önemli ilişki türüdür. Problemi düşünün Sette X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) bağıntısı, bölündüğünde aynı kalana sahiptir. 3 ". Bu ilişki, kümenin bir bölümünü oluşturur. X sınıflara: bölündüğünde tüm sayıları içerecektir 3 geri kalanında elde edilen 0 (bunlar sayılardır 3, 6, 9 ). İkincisinde - sayılar, bölündüğünde 3 kalan 1 (bunlar sayılardır 4, 7, 10 ). Üçüncüsü, bölündüğünde tüm sayıları içerecektir. 3 kalan 2 (bunlar sayılardır 5, 8 ). Gerçekten de, elde edilen kümeler kesişmez ve bunların birleşimi küme ile çakışır. X. Bu nedenle, "bölündüğünde aynı kalana sahip olmak" bağıntısı 3 » sette tanımlı X, bir denklik bağıntısıdır.
Başka bir örnek vermek gerekirse, bir sınıftaki birçok öğrenci boy veya yaşa göre sıralanabilir. Bu ilişkinin antisimetri ve geçişlilik özelliklerine sahip olduğuna dikkat edin. Veya alfabedeki harflerin sırasını herkes bilir. “Yapmalı” tutumu ile sağlanır.
Davranış R sette X aranan sıkı sipariş ilişkisi, aynı anda antisimetri ve geçişlilik özelliklerine sahipse. Örneğin, ilişki X< y».
Eğer bağıntı refleksivite, antisimetri ve geçişlilik özelliklerine sahipse, o zaman böyle olacaktır. katı olmayan sipariş ilişkisi. Örneğin, ilişki Xy».
Sıra ilişkisinin örnekleri şunlardır: doğal sayılar kümesinde "daha küçük" ilişkisi, segmentler kümesinde "daha kısa" ilişkisi. Bir sıra bağıntısı aynı zamanda bağlı olma özelliğine de sahipse, buna denir. doğrusal sıra ilişkisi. Örneğin, doğal sayılar kümesindeki "küçüktür" ilişkisi.
Bir çok X aranan düzenli, eğer bir sipariş ilişkisi varsa.
Örneğin, birçok X={2, 8, 12, 32 ) "küçüktür" bağıntısı kullanılarak sıralanabilir (Şek. 41) veya bu, "çoklu" bağıntı kullanılarak yapılabilir (Şek. 42). Ancak, bir sıra bağıntısı olarak, "küçüktür" ve "çarpma" bağıntıları doğal sayılar kümesini farklı şekillerde düzenler. "Küçüktür" ilişkisi, kümedeki herhangi iki sayıyı karşılaştırmanıza olanak tanır. X ve "çarpma" ilişkisinin böyle bir özelliği yoktur. Evet, birkaç numara. 8 ve 12 "çarpma" bağıntısına bağlı değildir: olduğu söylenemez 8 çoklu 12 veya 12 çoklu 8.
Tüm ilişkilerin denklik ilişkileri ve düzen ilişkileri olarak ikiye ayrıldığı düşünülmemelidir. Ne denklik ilişkisi ne de sıra ilişkisi olmayan çok sayıda ilişki vardır.
"İlişki" kavramı elbette size tanıdık geliyor. Genellikle konuşmada kullanırız. Örneğin grubumdaki tüm öğrencilerle aram iyi diyebiliriz.
Hayatta sürekli olarak farklı ilişkiler içerisindeyiz ve farklı ilişkilere giriyoruz. Ailemizin üyeleriyle akrabalıkla, okul arkadaşlarımızla - dostlukla ilgili olarak, okuduğumuz veya çalıştığımız kurumun liderleriyle - itaatle ilgili olarak, vb. Bu anlamda, bir ilişki, bir bağlantının belirli bir karakteridir.
Bölüm 2.2'de matematiksel nesneler arasında var olan ilişkilerden bahsettik. Yani bir eleman bir kümeye göre aidiyet bağıntısındadır, iki küme de içerme veya eşitlik bağıntısında olabilir.
Şimdi kümelerin elemanları arasında var olabilecek ilişkileri ele alacağız. Dolayısıyla, ele alınan örnekteki kümelerin öğeleri arasında kurulan ilişkinin ikili olarak adlandırıldığını söyledik.
Özünde, örnekte, önce verilen kümelerin Kartezyen çarpımını derledik, yani. bu kümelerin tüm eleman çiftlerinin kümesi, böylece çiftin ilk elemanı ilk kümeye ve ikincisi - ikinciye aittir. Daha sonra, bu ikililerin kümesinden, öğrencilerin her birinin hangi fakültede çalıştığını gösteren bu ikililerin bir alt kümesini seçtik.
Tanım 2.8. ikili ilişki yalan setleri arasında AT Kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesine denir. Ah V.
ikili ilişkiler genellikle Yunan alfabesinin harfleriyle gösterilir: p ("ro"), a ("sigma"), | / ("psi"), vb.
p kümeler arasında bir ikili ilişki ise ANCAK ve AT, o zaman ikili ilişkinin tanımına göre p c c L x B yazabiliriz.
Eğer bir çift (a, b ) ikili ilişki p'ye aittir, yani. (a, b ) e p, o zaman eleman diyoruz a eleman ile p ilişkisi içindedir b, ve arb yazın. Dolayısıyla yukarıdaki örnekte “fakültede okumak” ilişkisi ele alınmıştır. O zaman Peter'ın Matematik Fakültesi ile bu ilişki içinde olduğunu söyleyebiliriz.
Matematikte bazı ilişkiler için belirli işaretler vardır. Örneğin,
İkili bağıntı bir çiftler kümesi olduğu için, herhangi bir küme gibi, ya bu çiftleri numaralandırarak ya da Kartezyen çarpımından bu ilişkiye ait çiftleri seçmek için bir karakteristik özellik göstererek belirtilebilir.
Örnek 2.6
İki sayısal küme verilsin: bir =(1, 3.5) ve B =(2, 8, 10). Bu kümeler arasında numaralandırma yoluyla bir o ikili ilişkisi tanımlayalım: a= ((1, 2), (5, 10)). Aynı ilişkiyi bir karakteristik özellik ile kurabiliriz: ikili bir ilişki, sayı çiftlerinden oluşur, öyle ki, ilk kümedeki sayı, ikinci kümedeki sayıdan iki kat daha azdır.
Örnek 2.7
Akademik grubunuzdaki bir grup öğrenciyi düşünün. Bu sette “arkadaş olmak” ilişkisini kuralım. Akademik bir gruptaki herhangi bir öğrenci çifti için, belirli bir ilişki içinde olup olmadıkları söylenebilir. Hatta bu ikili bağıntının boş bir küme oluşturacağı bile olabilir. Hangi durumda olacak?
Son örnekte iki kümenin elemanları arasında değil, bir kümenin elemanları arasında ilişki kurduğumuza dikkat etmelisiniz. Bu da mümkündür ve ikili ilişkinin tanımıyla çelişmez. Ancak bu durumda iki kümenin Kartezyen çarpımı yerine, kümenin Kartezyen karesi düşünülmelidir.
Bir kümede tanımlanan ikili ilişki farklı özelliklere sahip olabilir. Onları düşünelim.
1. Yansıma özelliği.
Tanım 2.9. yansıtıcı , eğer varsa bir f Lçift (a > a) e R.
Davranış "
2. Simetrinin özelliği.
Tanım 2.10. A kümesinde verilen p ikili bağıntısının olduğu söylenir. simetrik , eğer herhangi bir eleman için a ve b L'den hangi çiftten ( a , b ) p ilişkisi içindeyse, ( b , a) R ile ilgilidir.
Örneğin, sette tanımlanan eşitlik ilişkisi gerçek sayılar, simetrik olarak, çünkü sayı k sayıya eşittir P ) sonra numara P sayıya eşittir k. “Arkadaş olmak” ilişkisi de simetriktir.
Öte yandan, büyüklük olarak sıralama oranı (
3. Antisimetrinin özelliği.
Tanım 2.11. A kümesinde verilen p ikili bağıntısının olduğu söylenir. antisimetrik eğer herhangi bir eleman için a ve b A'dan (i, /;) ve (/;) çiftlerinin olması gerçeğinden a) p ilişkisi içindedir, bundan şu sonuç çıkar a = b.
Örneğin, reel sayılar kümesinde büyüklük sıralaması ilişkisi antisimetriktir. Sonuçta, eğer biliniyorsa, sayılar için X ve de gerçekleştirilen X ve de o zaman bu şu anlama gelir x - y. Ancak doğruların paralellik ilişkisi antisimetrik değildir, çünkü eğer bir doğru / düz bir çizgiye paralel t ve doğrudan t düz bir çizgiye paralel /, o zaman bu doğrudan / ve t kibrit. Farklı olabilirler.
4. Geçişlilik özelliği.
Tanım 2.12. A kümesinde verilen p ikili bağıntısının olduğu söylenir. geçişli de eğer herhangi bir eleman için a, b ve İle birlikte L'den hangi çiftlerden (i, b ) ve (/?, c) p ilişkisi içindedir, bundan çiftin (AC) aynı zamanda r ile de ilişkilidir.
Geçişlilik özelliği, büyüklük olarak sıralama ilişkileri, paralellik, “göreceli olma” ilişkisine sahiptir.
Doğruların diklik bağıntısı geçişli değildir (bunu resimle gösteriniz). Ayrıca, “arkadaş olmak” bağıntısı esasen geçişli değildir (bu ilişkinin geçişli olma arzusunun ifade edildiği bir söz olmasına rağmen: “Arkadaşımın arkadaşı benim arkadaşımdır”).
Yalnızca, yaygın olarak kullanılan iki ilişki türünü tanımlayan ikili ilişkilerin temel özelliklerini ele aldık.
denklik bağıntısı (veya eşdeğerlik), yansıma, simetri ve geçişlilik özelliklerine sahip ikili bir ilişkidir.
sipariş ilişkisi (veya sıralama), yansıma, antisimetri ve geçişlilik özelliklerine sahip ikili bir ilişkidir.
Örneğin “sınıf arkadaşı olmak” bağıntısı, dönüşlülük, simetri ve geçişlilik özelliklerine sahip olduğu için bir denkliktir. Bir grup insanda "daha uzun olmamak" ilişkisi bir düzen ilişkisidir.
Denklik ve sıralama ilişkileri matematiğin çeşitli alanlarında çok önemlidir ve çeşitli nesnelerin sınıflandırılması yapılırken eşdeğerlik kullanılır. Bunu anlamak için önce bir kümeyi bölme gibi bir matematiksel kavrama dönelim.
Tanım 2.13. bölme setler/! olarak adlandırılan ayrık alt kümelerin bir birleşimi olarak bu kümenin temsili olarak adlandırılır. bölme sınıfları.
Bir kümenin bir bölümüyle uğraştığımızı kontrol etmek için iki koşulu kontrol etmemiz gerekir:
- bölme ile elde edilen alt kümelerin birleşimi orijinal kümedir;
- herhangi iki farklı alt kümenin kesişimi boş kümedir.
Sınıflandırma yapılırken, bölüm sınıfları sözde denklik sınıfları Bu sınıflar nasıl oluşturulur?
sette olsun ANCAK bazı denklik bağıntısı p tanıtılır. herhangi bir öğeyi al a itibaren ANCAK ve tüm elemanlar ANCAK, kimin yanında a r ile ilgili olarak. Tüm bu öğeler, öğe denklik sınıfını oluşturacaktır. a. Açıktır ki, elemanın kendisi a bu sınıfa girer. Gerçekten de, eğer p bir denklik bağıntısıysa, o zaman düşünümsellik özelliğine sahiptir, yani. (a) a) e p, yani öğenin kendisi a oluşturduğu denklik sınıfına aittir.
Bir kümenin farklı elemanlarının denklik sınıflarının çakıştığı veya kesişmediği kanıtlanabilir. Bu bağlamda, bu sınıfların bölüm sınıfları olarak kabul edilebileceğini varsayabiliriz.
Gerçekten de, bir küme üzerinde bir denklik bağıntısı verilirse, bu kümenin elemanlarını içeren tüm denklik sınıflarının kümesinin bu kümenin bir bölümü olduğunu söyleyen bir teorem vardır.
Öte yandan, eğer bir kümenin bir bölümü varsa ve bu küme üzerinde ikili bir bağıntı tanımlandıysa, kümenin bir çift öğesinin bu ilişkide olduğu ancak her ikisi de kümeye aitse kanıtlanabilir. aynı bölüm sınıfı, o zaman bu ikili ilişki bir denklik olacaktır.
Bu ifadelerin her birini kendiniz ispatlamaya çalışabilir veya eserde verilen ispatı analiz edebilirsiniz.
Denklik sınıflarını kullanırken, kümeyi, her biri bir tür "aynı" öğe içeren alt kümelere ayırırız. Örneğin, tüm pozitif kesirler kümesi, aşağıdaki şekilde denklik sınıflarına ayrılabilir: 1) indirgenemez her birini alın.
Zamanlama kesri (örneğin, -); 2) her denklik sınıfında
2 4 6 8 saat
mevcut kesirlere, ona eşit olan tüm kesirleri alın - = - = - = 1akim
Böylece, tüm pozitif kesirleri karşılık gelen denklik sınıflarına böldük. Böyle her sınıf bir pozitif rasyonel sayıdır.
- Büyük Sovyet Ansiklopedisi, “tutum, bir kişinin bir şeye karşı duygusal-istemli bir tutumudur, yani. pozisyonunun ifadesi; farklı nesnelerin veya belirli bir nesnenin yönlerinin zihinsel yan yana gelmesi. D. N. Ushakov'un açıklayıcı sözlüğünde, “ilişki, karşılıklı iletişim, insanlar, toplumlar, ülkeler vb.
