≡× MENÜ

• Sağlık
• Gebelik
• Çocuklar
• ilişkiler
• doğum

Bir kümedeki ilişkilerin özellikleri. İkili ilişkiler ve özellikleri İlişki a r

SQL Server'daki T-SQL dili, sırasıyla küme teorisi ve yüklem mantığı gibi matematiksel temellere dayanan ilişkisel modele dayanan standart SQL diline dayanmaktadır. Bu makale, küme teorisinden temel bir konuyu ele almaktadır: kümeler üzerindeki ilişkilerin özellikleri. Okuyucular, belirli ilişkilerin belirli özelliklerinin varlığını kontrol etmek için önerilen T-SQL kodlarını kullanabilir. Ancak yine de bu makaledeki çözümleri denemeden önce (bir ilişkinin belirli bir özelliği olup olmadığını belirlemek için) komut dosyalarının kendi sürümlerini yazmayı deneyebilirsiniz.

Kümeler ve İlişkiler

Küme teorisinin yaratıcısı Georg Cantor, bir kümeyi, "(M kümesinin elemanları olarak adlandırılacaktır) bizim tefekkürümüze veya düşüncemize göre iyi tanımlanmış bir dizi belirli nesnenin bütün bir M'si halinde birleşmesi" olarak tanımlar. Bir kümenin öğeleri, keyfi nitelikte nesneler olabilir: insanlar, sayılar ve hatta kümelerin kendileri. ∈ ve ∉ sembolleri sırasıyla bir kümedeki bir elemanın üyeliğini (oluşma, üyelik) ve üye olmama durumunu yansıtan operatörleri gösterir. Bu nedenle, x ∈ V gösterimi, x'in V kümesinin bir öğesi olduğu ve x ∉ V gösterimi, x'in V kümesinin bir öğesi olmadığı anlamına gelir.

Bir kümedeki ikili ilişki, orijinal kümenin sıralı eleman çiftleri kümesidir. Böylece, V = (a, b, c) elemanlarından oluşan bir set için, R üzerindeki ikili ilişki verilen küme V, Kartezyen çarpım V × V = ((a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b)'nin tüm sıralı çiftlerinin kümesinin keyfi bir alt kümesi olacaktır. ), (b, c) , (c, a), (c, b), (c, c)). R = ((a, b), (b, c), (a, c)) ilişkisi V üzerinde geçerli bir ikili bağıntıdır. a'nın b ile R tarafından ilişkili olduğunu söyleyebiliriz. R = ((a) olduğunu varsayalım. , b ), (b, c), (c, d)). Böyle bir R, V üzerinde geçerli bir bağıntı değildir, çünkü (c, d) çifti V × V Kartezyen çarpımına ait değildir. Kümedeki elemanların sırasının önemli olmadığına dikkat edin. V kümesi (a, b, c) veya (b, a, c) ve benzeri olarak verilebilir. Ancak, bir ikili bağıntının (a, b)'deki gibi sıralı çiftlerdeki sıra önemlidir; yani (a, b) ≠ (b, a).

İkili ilişkinin daha gerçekçi bir örneği olarak, aile üyelerinin F kümesini düşünün: (Itzik, Mickey, Inna, Mila, Gabi). Mickey, Itzik'in ikiz kardeşi, Inna ise onun abla, Mila bir anne ve Gabi bir baba. Bir F kümesindeki R ilişkisine bir örnek şöyle olabilir: "kardeştir". Bu ilişkinin unsurları ((Itzik, Mickey), (Mickey, Itzik), (Itzik, Inna), (Mickey, Inna) şeklindedir. Sıralı çiftin (Itzik, Inna) R'de göründüğüne, ancak çiftin (Inna, Itzik) görünmediğine dikkat edin. Itzik, Inna'nın erkek kardeşi olmasına rağmen, onun kardeşi değildir.

Kümelerdeki ilişkilerin özellikleri

Kümeler ve ilişkiler konusundaki anlayışımızı tazelediğimize göre, şimdi makalenin konusuna, kümelerdeki bağıntıların özelliklerine geçelim. Örnek veri olarak, V ve R tabloları oluşturmak için Liste 1'deki kodu kullanalım. V bir kümeyi temsil edecek ve R bunun üzerinde ikili bir ilişkiyi temsil edecektir. Yeni örnek verilerle doldurmadan önce bu tabloların her ikisindeki girişleri temizlemek için kullanabileceğiniz bir ClearTables prosedürü oluşturmak için Liste 2'deki kodu kullanın. Son olarak, Tablo V ve R'yi farklı test veri setleriyle doldurmak için Liste 3, 4 ve 5'teki kodları kullanın (bunlara sırasıyla örnek veri 1, 2 ve 3 diyeceğiz).

refleksivite. Bir V, v ∈ V kümesinin herhangi bir v öğesi için, (v, v) ∈ R, yani (v, v) çifti her zaman R'ye aitse, V kümesindeki bir R ilişkisi dönüşlüdür. Ve (v, v) ∉ R çifti olacak şekilde bir v ∈ V öğesi varsa, V üzerindeki R bağıntısı dönüşlü değildir. Ailemin üyeleri F kümesi örneğini tekrar ele alalım.

F'deki "ile aynı yaşta" ilişkisi açıkça refleksiftir. İlişki öğeleri şu çiftler olacaktır: ((Itzik, Itzik), (Itzik, Mickey), (Mickey, Mickey), (Mickey, Itzik), (Inna, Inna), (Mila, Mila), (Gabi, Gaby )).

V ve R tablolarında bir T-SQL sorgusu yazmaya başlayalım (bir kümeyi ve bu kümedeki bir ilişkiyi temsil eden), R'nin yansıma özelliğine sahip olup olmadığını kontrol edelim:

SEÇME
DURUM
NE ZAMAN VAR
(dbo.V'DEN v, v SEÇİN
HARİÇ
dbo.R'DEN r1, r2 SEÇİN)
O zaman hayır"
BAŞKA "Evet"
dönüşlü OLARAK SON

EXCEPT işlemindeki ilk alt sorgu, V tablosunun tüm satırları için tüm sıralı çiftlerin (v, v) kümesini döndürür. İkinci alt sorgu, sıralı çiftler kümesini (r1, r2) - tablo R'nin tüm satırlarını döndürür. HARİÇ işlemi böylece birinci kümede oluşan ve ikinci kümede bulunmayan tüm sıralı çiftleri döndürür. EXISTS yüklemi, sonuç kümesinde en az bir kaydın varlığını test etmek için kullanılır. Böyle en az bir kayıt varsa, CASE ifadesi "Hayır" (yansıma yok) ve aynı zamanda "Evet" döndürür - Öte yandan(yansıma vardır).

Liste 3, 4 ve 5'teki üç veri kümesi örneğine bir göz atın ve bir sorgu çalıştırmadan bunlardan hangisinin dönüşlü olacağını belirlemeye çalışın. Cevaplar yazının devamında verilmiştir.

refleksivite. Bir V kümesindeki bir R ilişkisine, eğer her v ∈ V öğesi için (v, v) ∉ R çıkıyorsa, yansımasız (yansımasızlıkla karıştırılmamalıdır) denir. Bir v ∈ öğesi varsa, ilişki dönüşsüz değildir. V için (v, v) ∈ R. Aile üyelerimin F kümesindeki dönüşsüz ilişkinin bir örneği, “ebeveyn olmak” ilişkisidir, çünkü hiç kimse kendine ebeveyn olamaz. Bu bağıntının F üzerindeki üyeleri şu çiftler olacaktır: ((Mila, Itzik), (Mila, Mickey), (Mila, Inna), (Gaby, Itzik), (Gaby, Mickey), (Gaby, Inna)) .

Aşağıdaki sorgu bir testtir - R üzerindeki V ilişkisinin dönüşsüz olup olmayacağı:

SEÇME
DURUM
NE ZAMAN VAR
(dbo.R'DEN * SEÇİN
NEREDE r1 = r2)
O zaman hayır"
BAŞKA "Evet"
dönüşsüz OLARAK SON

Bir R girdisinin r1 ve r2 özniteliklerini yalnızca V öğelerinin oluşturabilmesini sağlamak için R tablosu tanımındaki yabancı anahtarlar tanıtıldı.Bu nedenle, yapılacak tek şey, R'de r1 ve eşleşen herhangi bir girdi olup olmadığını kontrol etmektir. r2 öznitelikleri. Böyle bir kayıt varsa, R bağıntısı dönüşsüz değildir; kayıt yoksa, dönüşsüzdür.

Simetri.(r1, r2) ∈ R ile birlikte her zaman (r2, r1) ∈ R varsa, V kümesindeki bir R ilişkisine simetrik denir. Bir (r1, r2) ∈ R çifti varsa, ilişki simetrik değildir. bunun için (r2, r1) ∉ R. Ben-Gan ailesinin üyelerinin F kümesinde, "kardeşidir" bağıntısı bir örnektir simetrik ilişki. Bu bağıntının çiftleri şu kümeler olacaktır: ((Itzik, Mickey), (Itzik, Inna), (Mickey, Itzik), (Mickey, Inna), (Inna, Itzik), (Inna, Mickey)).

Aşağıdaki sorgu bir testtir - R üzerindeki V ilişkisinin simetrik olup olmayacağı:

SEÇME
DURUM
NE ZAMAN VAR
(dbo.R'DEN r1, r2 SEÇİN
HARİÇ
dbo.R'DEN r2, r1 SEÇİN)
O zaman hayır"
BAŞKA "Evet"
simetrik OLARAK BİTİR

İstek kodu HARİÇ işlemini kullanır. HARİÇ işleminin ilk alt sorgusu, R tablosunun kayıtları olan bir sıralı çiftler kümesi (r1, r2) ve ikincisi - her bir R kaydı için bir sıralı çiftler (r2, r1) kümesi döndürür. V kümesi simetrik değilse, EXCEPT işlemi boş olmayan bir sonuç kümesi döndürür ve EXISTS sırasıyla DOĞRU değerini belirtir ve son olarak CASE ifadesi "Hayır" döndürür.

İlişki simetrikse, CASE ifadesi "Evet" değerini döndürür.

Asimetri. Bir V kümesindeki R ilişkisi asimetriktir (bu özellik asimetri ile karıştırılmamalıdır), eğer her bir (r1, r2) ∈ R için r1 ≠ r2 ise (r2, r1) ∉ R doğruysa. yazarın aile üyelerinin F kümesindeki asimetrik bir ilişki, yukarıda açıklanan "ebeveyn ol" ilişkisi olacaktır. Bir alıştırma olarak, hem simetrik hem de asimetrik olan, boş olmayan bir küme üzerinde bir ilişki örneği bulmaya çalışın. Çözüm için bu makaledeki örnek verilere bakın.

SEÇME
DURUM
NE ZAMAN VAR
(dbo.R'DEN r1, r2 SEÇİN NEREDE r1 r2
KESİNTİ
dbo.R'DEN r2, r1 SEÇİN NEREDE r1 r2)
O zaman hayır"
BAŞKA "Evet"
Asimetrik OLARAK SONLANDIR

Kod, INTERSECT işlemini kullanır. Bu işlemdeki ilk alt sorgu, r1 r2'nin bulunduğu R tablosunun her kaydı için sıralı bir çift (r1, r2) döndürür.

INTERSECT işleminin ikinci alt sorgusu, r1 r2'nin bulunduğu R tablosunun her kaydı için sıralı bir çift (r2, r1) döndürür. Sonuç kümesi (bu kümelerin kesişiminin sonucu) en az bir giriş içeriyorsa, bu, R'nin asimetrik olmadığı anlamına gelir; aksi halde R asimetriktir.

geçişlilik.(a, b) ∈ R ve (b, c) ∈ R her zaman (a, c) ∈ R'yi ima ediyorsa, V kümesindeki bir R bağıntısı geçişlidir. F ailesi, yukarıda tartışılan "kardeş veya kız kardeş" ilişkisidir.

Aşağıdaki kod, R ilişkisinin geçişli olup olmadığını kontrol eder:

SEÇME
DURUM
NE ZAMAN VAR
(SEÇME *
RA OLARAK dbo.R'DEN
INNER JOIN dbo.R AS RB
AÇIK RA.r2 = RB.r1
LEFT OUTER JOIN dbo.R AS RC
AÇIK RA.r1 = RC.r1 VE RB.r2 = RC.r2
RC.r1 NEREDE NULL)
O zaman hayır"
BAŞKA "Evet"
geçişli OLARAK END

Kod önce, yalnızca ilk örnekte r2'nin ikinci örnekte r1 ile eşleştiği satırları seçmek için iki R örneği arasında bir iç birleştirme kullanır. İkinci olarak, kod, tablo R'nin üçüncü örneğiyle bir sol dış birleştirme kullanır, burada R'nin ilk örneğinin r1'i, üçüncü örneğin r1'i ile aynıdır ve ikinci örneğin r2'si, üçüncü örneğin r2'si ile aynıdır. İç alt sorguda en az bir sonuç satırı varsa (üçüncü örnek için seçim koşulu: r1 Null'dur), bu, ilişkinin geçişli olmadığı anlamına gelir; aksi halde R bağıntısı geçişlidir.

Denklik ilişkisi. Eşdeğerlik ilişkisi, aynı anda yansıma, simetri ve geçişlilik özelliklerine sahip olan bir bağıntıdır. Her bir özelliğin varlığını ayrı ayrı test etmek için yukarıdaki sorguları kullanabilirsiniz: eğer ilişki üçüne de sahipse, o zaman bir denklik ilişkisi olduğu sonucuna varmalısınız. Ek olarak, bir denklik ilişkisi olma özelliğinin test edilmesi de dahil olmak üzere, makalede daha önce tartışılan R on V'nin tüm özelliklerini test etmek için Liste 6'daki kodları kullanabilirsiniz. Liste 6'yı veri örnekleri 1, 2 ve 3 için çalıştırırsanız (sırasıyla Liste 3, 4 ve 5'ten türetilmiştir), sırasıyla Tablo 1, 2 ve 3'te gösterilen sonuçları alırsınız.

T-SQL'in temellerine dönüş

Böylece, kümelerin matematiksel teorisinden temel bir konuyu ele aldık: kümeler üzerindeki ilişkilerin özellikleri. Tablo V tarafından temsil edilen öğeler kümesinde tablo R (sıralı öğe çiftleri) tarafından temsil edilen bazı ilişkilerin özelliklerini kontrol etmek için T-SQL kontrol kodları önerdim.

Temel T-SQL yapılarının kullanılması, kümelerdeki ilişkilerin özelliklerini daha iyi anlamak için bu dilin araçlarını doğru bir şekilde kurmamıza ve kullanmamıza yardımcı oldu.

Itzik Ben Gan ( [e-posta korumalı]) - öğretmen ve danışman, T-SQL kitaplarının yazarı, SQL Server MVP unvanına sahiptir

Boş olmayan bir A kümesi verilsin ve R, A kümesinin Kartezyen karesinin bir alt kümesi olsun: r  A  A.

davranış r sette FAKAT kümenin alt kümesi denir FAKAT FAKAT(veya FAKAT 2 ). Böylece davranış varış alanı ile kalkış alanı aynı olduğunda, özel bir eşleşme durumu vardır. Bir eşleşme gibi, ilişki de her iki elemanın da aynı kümeye ait olduğu sıralı bir çifttir.

R  A  A = ((a, b) | aA, bA, (a, b)R).

Gerçek şu ki ( a, B)R aşağıdaki gibi yazılabilir: a r B. şöyle yazıyor: " fakat R ile ilgili B" veya "arasında fakat Ve B bağıntı R tutar. Aksi takdirde şunu yazın: a, B)R veya aR B.

Bir sayı kümesindeki ilişkilere örnek olarak şunlar verilebilir: "=", "", "", ">", vb. Herhangi bir şirketin çalışanlarında, “patron olmak” veya “ast olmak”, bir dizi akrabada - “ata olmak”, “kardeş olmak”, “baba olmak” ", vb.

Ele alınan ilişkilere ikili (iki basamaklı) homojen ilişkiler denir ve matematikte en önemlileridir. Onlarla birlikte, onlar da dikkate P-yerel veya P-ary ilişkiler:

R  A  A … A = A n = ((a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A).

İlişki özel bir yazışma durumu olduğundan, önceden açıklanan tüm yöntemler bunları ayarlamak için kullanılabilir.

Açıkçası, oranı bir matris şeklinde ayarlayarak bir kare matris elde ederiz.

İlişkinin geometrik (grafik) gösterimi ile aşağıdakileri içeren bir diyagram elde ederiz:

kümenin elemanlarına karşılık gelen noktalar veya daireler ile gösterilen köşeler,

ve elemana karşılık gelen tepe noktasından yönlendirilen oklarla gösterilen çizgilerle gösterilen, ikili ilişkilere dahil olan eleman çiftlerine karşılık gelen yaylar (çizgiler) a elemana karşılık gelen en üste B , Eğer a rB .

Böyle bir şekle ikili bir ilişkinin yönlendirilmiş grafiği (veya digrafı) denir.

Görev 4.9.1 . Oran "M = (1, 2, 3, 4) kümesinde bir bölen olmak" verilebilir matris:

numaralandırma: R = ((1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (2.2), (2.4), (3.3), ((4.4));

geometrik olarak (grafik olarak):

1. Aşağıdaki ikili ilişkilere ait sıralı ikilileri A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) kümesine yazın:

R1 = ((x, y)| x, yA; x + y = 9);

R2 = ((x, y)| x, yA; x< y}.

2. X = (a, b, c, d) kümesindeki R bağıntısı matris tarafından verilir.

,

satırların ve sütunların sırasının, yazılı öğelerin sırasına karşılık geldiği. Verilen bağıntıya ait sıralı çiftleri listeleyin. Bir grafik kullanarak ilişkiyi gösterin.

3. A = (1, 2, 3, 4) kümesindeki bağıntı bir grafikle gösterilir. Gerekli:

R'ye ait sıralı çiftleri listeleyin;

karşılık gelen matrisi yazın;

yüklemleri kullanarak bu ilişkiyi tanımlayın.

(Cevap: a-b= 1).

4.10. İkili ilişkilerin temel türleri (özellikleri)

ikili ilişki olsun r sette FAKAT 2 : R  A  A = (( a, B) | aA, BA, ( a, B)R)

ikili ilişki r sette FAKAT isminde yansıtıcı, eğer varsa aA gerçekleştirilen ara, yani ( fakat,fakat)R. Dönüşlü ilişki matrisinin ana köşegeni birlerden oluşur. Bir dönüşlü ilişki grafiğinin mutlaka her köşe noktasında döngüleri vardır.

Örnekler dönüşlü ilişkiler: , =,  sette gerçek sayılar, bir dizi çalışan üzerinde "patron olmayın".

ikili ilişki r sette A denir yansıma önleyici (dönüşsüz), varsa aA ilişkiyi tutmuyor ara, yani ( fakat,fakat)R. Dönüşsüz ilişki matrisinin ana köşegeni sıfırlardan oluşur. Yansımasız bir ilişkinin grafiğinde döngü yoktur.

Örnekler yansıma önleyici ilişkiler:<, >gerçek sayılar kümesinde, doğruların kümesinde doğruların dikliği.

ikili ilişki r A setinde isminde simetrik, eğer varsa a, BFAKAT itibaren arB meli Bra, yani, eğer ( a, B)r, sonra ve ( B, a)r. Simetrik oran matrisi, ana köşegenine göre simetriktir ( σ ij = σ ji). Simetrik bir ilişkinin grafiği yönlendirilmemiştir (kenarlar oklar olmadan gösterilmiştir). Buradaki her bir köşe çifti, yönlendirilmemiş bir kenarla birbirine bağlanmıştır.

Örnekler simetrik ilişkiler:  gerçek sayılar kümesinde, insanlar kümesinde "akraba olmak".

ikili ilişki r A setinde isminde:

antisimetrik, eğer varsa a, BFAKAT itibaren arB Ve Bra bunu takip eder a=B. Yani, eğer ( a, B)r Ve( B, a)r, sonra bunu takip eder a=B. Ana köşegen boyunca antisimetrik oran matrisi tüm 1'lere sahiptir ve ana köşegene göre simetrik yerlerde bulunan herhangi bir 1 çiftine sahip değildir. Başka bir deyişle, her şey σ ii=1 ve eğer σ ij=1, o zaman mutlaka σ ji=0. Bir antisimetrik ilişki grafiğinin her köşesinde döngüler vardır ve köşeler yalnızca bir yönlendirilmiş yay ile bağlanır.

Örnekler antisimetrik ilişkiler: , ,  reel sayılar kümesinde; ,  setlerde;

fakatsimetrik, eğer varsa a, BFAKAT itibaren arB ardından başarısızlık Bra, yani, eğer ( a, B)r, sonra ( B, a) r. Ana köşegen boyunca çarpıklık oranı matrisi sıfırlara sahiptir ( σ ij=0) simetrik bir çiftlerinin tümü ve hiçbiri (eğer σ ij=1, o zaman mutlaka σ ji=0). Asimetrik bir ilişkinin grafiğinde döngü yoktur ve köşeler tek bir yönlendirilmiş yay ile bağlanır.

Asimetrik ilişkilere örnekler:<, >gerçek sayılar setinde, "baba olmak" setinde insanlar.

ikili ilişki r A setinde isminde geçişlinym, eğer varsa a, B, itibarenFAKAT itibaren arB Ve Bra bunu takip eder ve aritibaren. Yani, eğer ( a, B)r Ve( B, itibaren)r bunu takip eder ( fakat, itibaren)r. Geçişli ilişki matrisi şu gerçeğiyle karakterize edilir: eğer σ ij=1 ve σ jm=1, o zaman mutlaka σ ben=1. Geçişli ilişki grafiği öyledir ki, örneğin, birinci-ikinci ve ikinci-üçüncü köşeler yaylarla bağlanırsa, o zaman zorunlu olarak birinciden üçüncü köşeye yaylar vardır.

Örnekler geçişli ilişkiler:<, , =, >,  reel sayılar kümesinde; bir dizi çalışan üzerinde "patron olmak".

ikili ilişki r A setinde isminde geçişsiznym, eğer varsa a, B, itibarenFAKAT itibaren arB Ve Bra yerine getirilmediğini takip eder aritibaren. Yani, eğer ( a, B)r Ve( B, itibaren)r bunu takip eder ( fakat, itibaren) r. Geçişsiz ilişki matrisi şu gerçeğiyle karakterize edilir: eğer σ ij=1 ve σ jm=1, o zaman mutlaka σ ben=0. Geçişsiz ilişkinin grafiği öyledir ki, örneğin, birinci-ikinci ve ikinci-üçüncü köşeler yaylarla bağlanırsa, o zaman birinci köşeden üçüncü köşeye zorunlu olarak bir yay yoktur.

Geçişsiz ilişkilere örnekler: tamsayılar kümesinde "eşlik uyuşmazlığı"; bir dizi çalışan üzerinde "acil gözetmen olmak".

İlişkinin bir özelliği yoksa, eksik çiftleri ekleyerek bu özellik ile yeni bir ilişki elde edebilirsiniz. Bu tür eksik çiftlerin kümesine denir. kapatma Bu özellik için ilişki. olarak atayın r* . Bu şekilde dönüşlü, simetrik ve geçişli bir kapanış elde edebilirsiniz.

Sorun 4.10.1. A = (1, 2, 3, 4) kümesinde R=(( a,B)| a,BA, a+Bçift ​​bir sayı). Bu ilişkinin türünü belirleyin.

Çözüm. Bu ilişkinin matrisi:

. Açıkçası ilişki yansıtıcı, çünkü ana köşegen boyunca birimler var. Bilişim Teknoloji simetrik olarak: σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . geçişli: (1,3)R, (3,1)R ve (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R ve (2,2)R vb.

Sorun 4.10.2. A = ( kümesindeki özellikler nelerdir? a, B, C, D) R = (( a,B), (B,D), (a,D), (B,a), (B,C)}?

Çözüm . Bu bağıntının ve grafiğinin bir matrisini oluşturalım:

Davranış dönüşsüz, çünkü tüm σ ii= 0. olumsuzluk simetrik olarak, σ 23 =1 ve σ 32 =0 olduğundan, ancak σ 12 =σ 21 =1. Davranış olumsuzluk geçişli, çünkü σ 12 =1, σ 23 =1 ve σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 ve σ 11 =0; ama aynı zamanda σ 12 =1, σ 24 =1 ve σ 14 =1.

Görev 4.10.3. A = (1,2,3,4,5) kümesinde R = ((1,2), (2,3), (2,4), (4,5)) bağıntısı verilir. İlişkinin türünü belirleyin ve R için aşağıdaki kapanışları bulun:

yansıtıcı;

simetrik;

geçişli.

Çözüm. İlişki dönüşsüzdür çünkü formun hiçbir öğesi yoktur ( fakat,fakat). Asimetrik, formun çiftlerini içermediğinden ( a,B) Ve ( B,a) ve tüm köşegen elemanlar 0'dır. (1,2)R, (2,3)R, ancak (1,3)R'den beri geçişsizdir. Benzer şekilde (2.4)R, (4.5)R ve (2.5)R vb.

verilen ilişkinin dönüşlü kapanışı R * =((1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5));

simetrik kapatma: R*=((2,1), (3,2), (4,2), (5,4));

geçişli kapanma: R*=((1,3), (1,4), (2,5)). Orijinal ilişkinin grafiğini ve sonuçta ortaya çıkan geçişli ilişkiyi düşünün.

Bağımsız çözüm için görevler.

1. R = ((1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)) bağıntısı verilmiştir. Türünü belirleyin ve yansıma, simetri ve geçişlilik ile kapanışları bulun.

2. Rus dilinin kelime setindeki ilişki şu şekilde tanımlanır: fakat r B ancak ve ancak en az bir ortak harfleri varsa. A = (inek, vagon, iplik, balta) kümesindeki ilişkinin türünü belirleyin.

3. Örnekleri belirtin ikili ilişkiler A = (1, 2) ve B = (1, 2, 3) kümesinde:

dönüşlü değil, simetrik değil, geçişli değil;

dönüşlü, simetrik değil, geçişli değil;

simetrik, ancak yansımalı ve geçişli değil;

geçişli, ancak yansımalı ve simetrik değil;

dönüşlü, simetrik ama geçişli değil;

dönüşlü, geçişli, ancak simetrik değil;

yansımasız, simetrik, geçişli;

dönüşlü, simetrik, geçişli.

Tanımlar

• 1. A ve B kümelerinin öğeleri arasındaki ikili ilişki, Kartezyen çarpım RAB, RAA'nın herhangi bir alt kümesidir.
• 2. A=B ise, R, A üzerinde ikili bir bağıntıdır.
• 3. Notasyon: (x, y)R xRy.
• 4. R ikili ilişkisinin alanı, R = (x: (x, y)R olacak şekilde y vardır) kümesidir.
• 5. R ikili ilişkisinin aralığı, R = (y: (x, y)R olacak şekilde x vardır) kümesidir.
• 6. A ve B öğeleri arasındaki ikili bir R ilişkisinin tümleyeni, R = (AB) R kümesidir.
• 7. İkili R ilişkisi için ters ilişki, R1 = ((y, x) : (x, y)R) kümesidir.
• 8. R1AB ve R2BC ilişkilerinin ürünü, R1 R2 = ((x, y) bağıntısıdır: (x, z)R1 ve (z, y)R2) olacak şekilde zB vardır.
• 9. İki koşul karşılanırsa, f bağıntısına A'dan B'ye bir fonksiyon denir:
  • a) f \u003d A, f B
  • b) tüm x, y1, y2 için, (x, y1)f ve (x, y2)f'nin y1=y2 anlamına geldiği gerçeği.
• 10. İlk paragrafta f = A, f = B ise, f ilişkisi A'dan B'ye bir fonksiyon olarak adlandırılır.
• 11. Gösterim: (x, y)f y = f(x).
• 12. iA: AA kimlik fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: iA(x) = x.
• 13. Herhangi bir x1, x2, y için y = f(x1) ve y = f(x2) x1=x2 anlamına geliyorsa, f fonksiyonuna 1-1-fonksiyonu denir.
• 14. f: AB işlevi, f = A, f = B ve f 1-1 işleviyse A ve B arasında bire bir yazışma gerçekleştirir.
• 15. A kümesindeki R ikili ilişkisinin özellikleri:
  • - yansıma: (x, x)R tüm xA için.
  • - yansımasızlık: (x, x)R tüm xA için.
  • - simetri: (x, y)R (y, x)R.
  • - antisimetri: (x, y)R ve (y, x)R x=y.
  • - geçişlilik: (x, y)R ve (y, z)R (x, z)R.
  • - dikotomi: tüm xA ve yA için (x, y)R veya (y, x)R.
• 16. P(A)'dan A1, A2, ..., Ar kümeleri, eğer A kümesinin bir bölümünü oluşturursa
• - Аi , ben = 1, ..., r,
• - A = A1A2...Ar,
• - AiAj = , ben j.

Аi , i = 1, ..., r alt kümelerine bölme blokları denir.

• 17. Bir A kümesindeki denklik, A üzerinde dönüşlü, geçişli ve simetrik bir bağıntıdır.
• 18. Bir x öğesinin R denkliği ile denklik sınıfı, [x]R=(y: (x, y)R) kümesidir.
• 19. A ile R faktör kümesi, A kümesinin öğelerinin denklik sınıfları kümesidir. Tanımlama: A/R.
• 20. Denklik sınıfları (A/R faktör kümesinin öğeleri) A kümesinin bir bölümünü oluşturur. Tersine. A kümesinin herhangi bir bölümü, denklik sınıfları belirtilen bölümün bloklarıyla çakışan bir denklik ilişkisi R'ye karşılık gelir. Farklı. A kümesinin her elemanı, A/R'den bir denklik sınıfına girer. Denklik sınıfları ya kesişmez ya da çakışmaz.
• 21. A kümesindeki bir ön sipariş, A kümesindeki yansımalı ve geçişli bir ilişkidir.
• 22. Bir A kümesindeki kısmi bir sıralama, A üzerinde yansımalı, geçişli ve antisimetrik bir bağıntıdır.
• 23. Bir A kümesindeki doğrusal bir düzen, A üzerinde ikilik özelliğini karşılayan dönüşlü, geçişli ve antisimetrik bir ilişkidir.

A=(1, 2, 3), B=(a, b) olsun. Kartezyen çarpımını yazalım: AB = ( (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) ). Bu Kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesini alın: R = ( (1, a), (1, b), (2, b) ). O halde R, A ve B kümeleri üzerinde ikili bir bağıntıdır.

Bu bağıntı bir fonksiyon olacak mı? Şimdi iki koşulun 9a) ve 9b) yerine getirildiğini kontrol edelim. R ilişkisinin alanı, R = (1, 2) (1, 2, 3) kümesidir, yani ilk koşul sağlanmaz, bu nedenle çiftlerden biri R'ye eklenmelidir: (3, a) veya (3, b). Her iki çift de toplanırsa, ab'den beri ikinci koşul sağlanmayacaktır. Aynı nedenle, (1, a) veya (1, b) çiftlerinden biri R'den çıkarılmalıdır. Böylece R = ( (1, a), (2, b), (3, b) ) bağıntısı bir fonksiyondur. R'nin 1-1 işlevi olmadığını unutmayın.

Verilen A ve B kümelerinde aşağıdaki bağıntılar da fonksiyon olacaktır: ( (1, a), (2, a), (3, a) ), ( (1, a), (2, a), ( 3, b ) ), ( (1, b), (2, b), (3, b) ) vb.

A=(1, 2, 3) olsun. A kümesindeki bir ilişki örneği, R = ( (1, 1), (2, 1), (2, 3) ). A kümesindeki bir fonksiyon örneği f = ( (1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

Problem çözme örnekleri

1. R = ((x, y) | x, y D ve x+y0) için R, R, R1, RR, RR1, R1R'yi bulun.

(x, y)R ise, x ve y tüm reel sayılardan geçer. Bu nedenle R = R = D.

(x, y)R ise, x+y0, yani y+x0 ve (y, x)R. Bu nedenle R1=R.

Herhangi bir xD, yD için z=-|max(x, y)|-1, sonra x+z0 ve z+y0, yani. (x, z)R ve (z, y)R. Bu nedenle RR = RR1 = R1R = D2.

2. Hangi ikili ilişkiler için R, R1= R doğrudur?

RAB olsun. İki durum mümkündür:

• (1) AB. xAB'yi alalım. Sonra (x, x)R (x, x)R1 (x, x)R (x, x)(AB) R (x, x)R. çelişki.
• (2) AB=. R1BA ve RAB'den beri, R1= R= . R1 ='den R = çıkar. R ='dan R=AB'yi takip eder. çelişki.

Bu nedenle, eğer A ve B ise, bu tür R ilişkileri yoktur.

3. Gerçek sayıların D kümesinde, R bağıntısını şu şekilde tanımlarız: (x, y)R (x-y) bir rasyonel sayıdır. R'nin bir denklik olduğunu kanıtlayın.

refleksivite:

Herhangi bir xD için x-x=0 bir rasyonel sayıdır. Çünkü (x, x)R.

Simetri:

(x, y)R ise, x-y = . O halde y-x=-(x-y)=- bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle (y, x)R.

geçişlilik:

(x, y)R, (y, z)R ise, x-y = ve y-z =. Bu iki denklemi toplayarak, x-z = +'nın bir rasyonel sayı olduğunu elde ederiz. Bu nedenle (x, z)R.

Dolayısıyla R bir denkliktir.

4. D2 düzleminin bölümü, şekil a)'da gösterilen bloklardan oluşur. Bu bölüme ve denklik sınıflarına karşılık gelen R denklik bağıntısını yazın.

b) ve c) için benzer problem.

a) b herhangi bir gerçek sayı olmak üzere, y=2x+b biçimindeki düz bir çizgi üzerinde bulunuyorlarsa, iki nokta eşdeğerdir.

b) (x1,y1) ve (x2,y2) noktaları (x1'in tamsayı kısmı x2'nin tamsayı kısmına eşitse) ve (y1'in tamsayı kısmı y2'nin tamsayı kısmına eşitse) eşdeğerdir.

c) Kendiniz karar verin.

Bağımsız çözüm için görevler

• 1. Eğer f, A'dan B'ye bir fonksiyon ve g, B'den C'ye bir fonksiyon ise, fg'nin A'dan C'ye bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
• 2. A ve B sırasıyla m ve n elemanlı sonlu kümeler olsun.

A ve B kümelerinin elemanları arasında kaç tane ikili ilişki vardır?

A'dan B'ye kaç tane fonksiyon vardır?

A'dan B'ye kaç tane 1-1 işlevi vardır?

Hangi m ve n için A ve B arasında bire bir yazışma var?

3. f'nin herhangi bir A ve B için f(AB)=f(A)f(B) koşulunu sağladığını ancak ve ancak f 1-1 fonksiyon ise kanıtlayın.

İzin vermek r- X kümesindeki bazı ikili ilişkiler ve x, y, z, elemanlarından herhangi biridir. Eğer x elemanı, y elemanı ile R ilişkisi içindeyse, o zaman şunu yazarız: xRy.

1. Bir X kümesindeki R bağıntısına, kümenin her elemanı kendi kendisiyle bu ilişki içindeyse yansımalı denir.

R -refleksif olarak X üzerinde<=>herhangi bir x€ X için xRx

Eğer R bağıntısı dönüşlü ise, grafiğin her köşesinde bir döngü vardır. Örneğin, doğru parçaları için eşitlik ve paralel ilişkiler dönüşlüdür, diklik ve "daha uzun" ilişkiler ise dönüşlü değildir. Bu, Şekil 42'deki grafiklerde yansıtılmaktadır.

2. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisine, x öğesinin y öğesiyle belirli bir ilişki içinde olması, y öğesinin x öğesiyle aynı ilişkide olduğunu ima ediyorsa simetrik olarak adlandırılır.

R - simetrik açık (xYau => y Rx)

Simetrik bir ilişkinin grafiği, zıt yönlerde giden eşleştirilmiş okları içerir. Segmentler için paralellik, diklik ve eşitlik ilişkileri simetriktir ve "daha uzun" ilişkisi simetrik değildir (Şekil 42).

3. X kümesindeki farklı x ve y öğeleri için, x öğesinin y öğesiyle belirli bir ilişki içinde olması, y öğesinin bu ilişkide olmadığını ima ediyorsa, X kümesindeki bir R ilişkisine antisimetrik denir. x elementi ile

R - X" üzerinde antisimetrik (xRy ve xy ≠ yRx)

Not: Üst çizgi, ifadenin olumsuzluğunu belirtir.

Bir antisimetrik oran grafiğinde yalnızca bir ok iki noktayı birbirine bağlayabilir. Böyle bir ilişkinin bir örneği, segmentler için “daha ​​uzun” ilişkidir (Şekil 42). Paralellik, diklik ve eşitlik ilişkileri antisimetrik değildir. "Kardeş olmak" gibi ne simetrik ne de antisimetrik ilişkiler vardır (Şekil 40).

4. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisi, bir x öğesinin bir y öğesiyle belirli bir ilişkide olması ve bir y öğesinin bir z öğesiyle bu ilişkide olması, x öğesinin belirli bir ilişkide olduğunu ima ediyorsa geçişli olarak adlandırılır. Z elemanı ile

R - A≠ üzerinde geçişli (xRy ve yRz=> xRz)

Şekil 42'deki “daha ​​uzun”, paralellik ve eşitlik ilişkileri grafiklerinde, eğer ok birinci elemandan ikinciye ve ikinciden üçüncüye giderse, o zaman mutlaka birinci elemandan giden bir ok olduğunu görebilirsiniz. üçüncüye. Bu ilişkiler geçişlidir. Segmentlerin dikliği geçişlilik özelliğine sahip değildir.

Aynı kümenin öğeleri arasında, dikkate almadığımız başka bağıntı özellikleri de vardır.

Aynı ilişkinin birkaç özelliği olabilir. Bu nedenle, örneğin, bir dizi parça üzerinde, "eşittir" ilişkisi dönüşlü, simetrik, geçişlidir; "büyüktür" bağıntısı antisimetrik ve geçişlidir.

X kümesindeki bir bağıntı dönüşlü, simetrik ve geçişli ise, bu kümede bir denklik bağıntısıdır. Bu tür ilişkiler, X kümesini sınıflara böler.

Bu ilişkiler, örneğin, görevleri yerine getirirken ortaya çıkar: “Eşit uzunlukta şeritler alın ve bunları gruplara ayırın”, “Topları yayın, böylece her kutuda aynı renkte toplar bulunur”. Eşdeğerlik ilişkileri ("uzunlukta eşit olmak", "aynı renkte olmak") bu durumda şerit ve top kümelerinin sınıflara bölünmesini belirler.

1. kümedeki bir bağıntı geçişli ve antisimetrik ise bu kümede sıralı bağıntı olarak adlandırılır.

Üzerinde bir sıra ilişkisi tanımlanmış olan kümeye sıralı küme denir.

Örneğin, “Şeritleri genişlik olarak karşılaştırın ve en dardan en genişe doğru düzenleyin”, “Sayıları karşılaştırın ve sayı kartlarını sıralayın” görevlerini tamamlarken, çocuklar şerit ve sayı kartlarının elemanlarını kullanarak düzenler. sipariş ilişkileri; "geniş ol", "takip et".

Genel olarak, denklik ve düzen ilişkileri, çocuklarda kümelerin sınıflandırılması ve sıralanması hakkında doğru fikirlerin oluşmasında büyük rol oynar. Ayrıca, ne denklik ne de sıra ilişkisi olmayan birçok başka ilişki vardır.

6. Bir kümenin karakteristik özelliği nedir?

7. Kümeler hangi ilişkilerde olabilir? Her bir durum için açıklamalar yapın ve bunları Euler dairelerini kullanarak gösterin.

8. Bir alt küme tanımlayın. Biri diğerinin alt kümesi olan kümelere örnek veriniz. Sembolleri kullanarak ilişkilerini yazın.

9. Eşit kümeleri tanımlayın. İki eşit kümeye örnek veriniz. Sembolleri kullanarak ilişkilerini yazın.

10. İki kümenin kesişimini tanımlayın ve her bir özel durum için Euler dairelerini kullanarak gösterin.

11. İki kümenin birleşimini tanımlayın ve her bir özel durum için Euler dairelerini kullanarak temsil edin.

12. İki kümenin farkını tanımlayın ve her bir özel durum için Euler dairelerini kullanarak gösterin.

13. Tümleyeni tanımlayın ve Euler dairelerini kullanarak gösterin.

14. Bir kümenin sınıflara bölünmesine ne denir? Doğru sınıflandırma için koşulları adlandırın.

15. İki küme arasındaki yazışmaya ne denir? Yazışmaları ayarlama yollarını adlandırın.

16. Hangi yazışmalara bire bir denir?

17. Hangi kümelere eşdeğer denir?

18. Hangi kümelere eşit denir?

19. Kümede ilişki kurma yollarını adlandırın.

20. Bir kümedeki hangi ilişkiye dönüşlü denir?

21. Bir kümedeki hangi ilişkiye simetrik denir?

22. Bir kümedeki hangi ilişkiye antisimetrik denir?

23. Bir kümedeki hangi bağıntıya geçişli denir?

24. Bir denklik ilişkisi tanımlayın.

25. Sıra ilişkisini tanımlayın.

26. Hangi kümeye sıralı denir?

İlişki kavramı, küme kavramıyla birlikte matematiğin tümüne "nüfuz eder". Sezgisel olarak, bir ilişki nesnelerin bir bağlantısı olarak anlaşılır. Görevimiz, yukarıda formüle edilen küme teorisinin yapılarını kullanarak, matematikte "ilişki" teriminin ne anlama geldiğini matematiksel dilde belirlemektir.

Bir kümede ikili ilişkiler

bir set olsun FAKAT. Elemanların ilişkisi kına setler FAKAT bir çift (du>) ile modellenmiştir. eğer eleman x ile ilişkili y, dolayısıyla, bir kümenin elemanı olarak bir (n:, y) çiftimiz var; eğer d; ile ilişkili değil de, bu nedenle (n: ^) çifti bir kümenin nesnesi değildir. Yani aşağıdaki tanımımız var.

A kümesinde ikili ilişki gelen rastgele bir eleman çiftleri kümesidir. FAKAT.

Başka bir deyişle, kümedeki ikili ilişki FAKAT- doğrudan ürünün alt kümesi AHA=A2 .Özellikle, çok set 2 tüm çiftlerin ikili bir ilişkidir.

İkili (veya iki-yerli) bir ilişki ile benzetme yaparak, şöyle düşünülebilir: n-yerel ilişki doğrudan ürünün bir alt kümesi olarak sette FAKAT". Esas olarak ikili ilişkileri ele alacağız, ancak kısalık olması için basitçe şöyle diyoruz: “bir küme üzerinde bir ilişki. FAKAT".

Yunan harfi p ile keyfi bir ikili ilişkiyi belirtin.

Uçarım )e p, o zaman l"nin p ile ilişki içinde olduğunu söyleriz y, ve yaz

Eğer (dy)? Bu durumda, ~|(xpy) (veya xpy) gösterimiyle birlikte, ilişki işaretinin üzerini çizerek dr yazarlar.

Örnek 8.1.1. Seti düşünün FAKAT= (1,2,3,4,5). bir sürü çift

belirler FAKAT işareti ile gösterilen "küçük" oranı<.>

11 Aynı küme üzerinde, başka bir çift kümesi düşünülebilir.

eşitlik ilişkisini tanımlar.

Örnek 8.1.2. Temel sayısal kümeler kümesini (N, Z, Q, I, R) ve çiftler kümesini düşünün.

Kısım 2.2'de tanımladığımız bağıntıyı, kümelerin katı bir şekilde dahil edilmesi ilişkisi olarak görüyoruz. Örneğin, (Q. I) çiftinin Qczl'den beri belirtilen kümede yer almadığına ve ayrıca bu kümelerin kesişmediğine dikkat edin.

Örnek 8.1.3. L = (akım, kedi, şok, kazık, vernik) bir dizi kelime verildi. Bu ilişkiyi düşünün:

p = ((akım, şok), (şok, akım), (şok, sayı), (sayma, şok),

(sütun, vernik), (cila, col), (cat, col), (col, cat)).

Bu ilişki şu şekilde ifade edilebilir: kümenin kelimeleri FAKAT p ilişkisindedir, ancak ve ancak tam olarak iki özdeş harfe sahiplerse.

Bu ilişki için iyi bir sözlü açıklama olsun ya da olmasın, herhangi bir çift kümesinin bir ilişki olduğuna dikkat edin.

İlişki bir küme olduğundan, karakteristik bir özellik ile belirtilebilir, o zaman ağ bir yüklemdir. R(xy): p = ((.*,>>) eL 2 R(xy)). Notasyon da kullanılır:

Okurlar: “g ile ilgili de eğer ve sadece doğruysa R(hu)".

Örnek 8.1.4. Sette tanımlıyoruz /! = (1,2,3,4,5) oranı:

Burada R(xy)= (l+2=y). Bu ilişkiyi çiftleri numaralandırarak tanımlayalım:

Örnek 8.1.5. sette ayarla Z(veya bir sette N) cümle yardımıyla ilişki kurar: "Böyle bir /? tamsayısı vardır. x=n y. Sembolik olarak şunu yazabiliriz:

Daha önce tanımlanmış olan ve şu işaretiyle gösterilen bölünebilirlik bağıntısına sahibiz. Bu ilişki (6.2), (6.3), (4.4), (111, -37) ve diğerleri gibi çiftleri içerir. Önceki örneklerden farklı olarak, bu çiftler kümesi sonsuzdur ve tüm çiftleri numaralandırmak mümkün olmayacaktır.

Bir kümedeki ikili ilişkilerin sahip olabileceği en önemli özellikleri ele alalım.

kümedeki p ilişkisi FAKAT isminde yansıtıcı herhangi bir öğe varsa x itibaren FAKAT p kendisiyle, yani tüm q için ilişki içindedir; itibaren FAKAT lrt çalışıyor:

Örnek 8.1.6. Kümedeki bölünebilirlik bağıntısını düşünün Z. keyfi bir tamsayı alın X.Çünkü x=x9 sonra x': x. Yani her tam sayı kendisine bölünebilir: V.veZ (l:l). Bu nedenle bölünebilirlik bağıntısı dönüşlüdür.

Herhangi bir küme kendisinin bir alt kümesi olduğundan, küme dahil etme ilişkisi (herhangi bir küme koleksiyonunda) dönüşlüdür.

kümedeki p ilişkisi FAKAT isminde yansıma önleyici kümenin elemanı yoksa FAKAT kendisiyle p ilişkisi içinde değildir:

Örnek 8.1.7. r hiçbir sayı kendisinden küçük olmadığı için yansıma önleyicidir.

"p ilişkisi dönüşlüdür" tümcesinin olumsuzluğunu oluşturalım:

Dolayısıyla, p bağıntısı ancak ve ancak bir öğe varsa dönüşlü değildir. merhaba, bu, p ile ilişkili değildir. Yansımalı olmayan bir ilişkinin yansıma karşıtı olması gerekmez.

Örnek 8.1.8. Kümedeki ilişkiyi düşünün R,"Sayı" cümlesi ile verilen x zıt sayı de". Numara x ters numara denir y, eğer miktar x+y 0'a eşittir.

Bu ilişki refleksif değildir. Karşı örnek: x=1. 1 + 1*0 olduğundan 1, 1'in tersi değildir.

Bu ilişki antirefleksif değildir. Karşı örnek: ,v=0. 0+0=0 olduğundan, 0, 0'ın tersidir.

kümedeki p ilişkisi FAKAT isminde simetrik eğer neyden x r ile ilgili y, bunu takip eder de r ile ilgili

Örnek 8.1.9. kimlikten x+y=y+.x ifade aşağıdaki gibidir: herhangi bir gerçek sayı için x Ve de Eğer x v'nin tersi, o zaman de zıt X. Yani bu ilişki simetriktir. Genellikle basitçe söylenir: "Sayılar x Ve de zıttır."

oran "Sayı x sayıdan az de" sette r simetrik değil: 3, 4'ten küçük, ancak 4, 3'ten küçük değil.

kümedeki p ilişkisi FAKAT isminde antisimetrik, eğer farklı elemanlar için değilse A'dan x ve y,öyle ki xru, yerine getirilmemiş

uh:

Örnek 8.1.10. Kümedeki "küçüktür" ilişkisi r antisimetrik.

Antisimetrik bir ilişkinin tanımı başka şekillerde formüle edilebilir. Notasyonu tanıtalım:

Doğruluk tablosunu kullanarak formül 1'i kanıtlayabiliriz. R l M- formüle eşdeğerdir m ben K -> P, bu da, karşıtlık kuralına göre 1'e eşittir. r->~|(L/L İLE). Buna dayanarak, ancak ve ancak eşdeğer koşullardan biri sağlandığında p ilişkisinin antisimetrik olduğunu söyleyebiliriz:

A) Çünkü xru Ve uh, meli x=y:

B) Hiçbir farklı öğe aynı anda birbiriyle p ilişkisi içinde olamaz.

Örnek 8.1.11. Keyfi bir küme ailesi üzerindeki dahil etme ilişkisini düşünün. Lsul'den beri Y^X=>X=Y, o zaman dahil edilen e, bir antisimetrik ilişkidir.

Örnek 8.1.12. Bir kümede bölünebilirlik bağıntısı Z simetrik veya antisimetrik değildir. 4:2 ama 2?4 olduğundan oran simetrik değildir. 2:(-2) ve (-2):2 ama (-2)^2 olduğundan, ilişki antisimetrik değildir.

Ancak N kümesinde doğal sayılar antisimetrik bir ilişkimiz var: Vjt^eN (x:y lu:x -> x=y). Bölünebilirlik tanımını kullanarak bu ifadeyi kontrol edin.

kümedeki p ilişkisi FAKAT isminde geçişli eğer neyden x r ile ilgili y, fakat de p ile z ile ilişkilidir, bundan V'nin p ile ilişkili olduğu sonucu çıkar. z:

Örnek 8.1.13. Bölünebilirlik bağıntısı geçişlidir (hem Z kümesinde hem de N kümesinde): x:y l y: z => x:z. Hadi gösterelim. İzin vermek x:y Ve y:z. O zamanlar x=ny Ve y=kz bazı tamsayılar için P Ve ile. O zamanlar x = n(kz) = (nk)z = mz, nerede T bir tamsayıdır. Bu yüzden xz.

Küme içerme ilişkisi de geçişlidir: Xcy ben YcZ => XezZ. Kanıtla.

"Sayılar" ilişkisi x Ve de tersi" geçişli değildir. Karşı örnek: x=2, y=-2, 2=2. O zaman 2 ve (-2) sayıları zıttır ve ayrıca (-2) ve 2 zıttır. Ama sayılar x=2 ve z=2 ns zıttır.

Örnek 8.1.14. Önceki paragraftaki bazı ilişki örneklerini düşünün.

Örnek 8.1.3'teki ilişki yansıma önleyici ve simetriktir. Örnek 8.1.4'teki ilişki antirefleksif ve antisimetriktir. Bu ilişkilerin hiçbiri geçişli değildir. Uygun karşı örnekleri göz önünde bulundurarak bunu kanıtlayın.

Aynı anda birkaç özelliği olan bazı ilişkilere ortak adlar verilir. Yukarıda ele alınan örneklerden, dahil etme bağıntısı c ve N kümesindeki bölünebilirlik bağıntısı aynı anda yansıma, simetrisizlik ve geçişlilik özelliklerine sahiptir. "X az veya eşit de", R kümesinde (veya alt kümelerinden herhangi birinde) tanımlanır:

Yansımalı, antisimetrik ve geçişli bağıntıya denir. düzen ilişkisi.

Bir çok FAKAT p sıra ilişkisinin verildiği , denir sıralı set. Yazı yazmak (FAKAT, R).

Şu anda, sıralı kümeler teorisi, tüm kitapların ayrıldığı büyük bir matematik dalıdır. "Sıralı küme" kavramının yalnızca birkaç özelliğini not ediyoruz.

Sezgisel olarak, "sıralı küme" kelimeleri genellikle daha dar anlamda anlaşılır. İkili farklı öğelerden oluşan sıralı bir l-ku düşünün. Örneğin, beş harf (III, K, O, L, A) OKUL kelimesini tanımlar. Bu durumda, "elemanlar yazılır kesin emir» 1, 2, 3, 4, 5 doğal sayıları ile numaralandırdığımız ve artan sayılara göre sıraladığımız anlamında anlaşılır. Bu örneği genelleştirelim.

Bir "-element kümesi olsun FAKAT.Öğeleri bir şekilde onunla numaralandırmış olmak bir, bir 2 > bir „, aslında sıra ilişkisini aşağıdaki gibi tanımlayarak sıralı bir küme elde ederiz:

Oran şu şekilde anlaşılır: ne bir element x başka bir öğeyle ilişkili y, anlamına gelir x soldaki demette yazılı y.

Örnek 8.1.15./4=(a,b.c,d) kümesi verilir. Farklı elemanlarının sıralı dörtlü (b, c, a, d) aşağıdaki sıra ilişkisini verecektir:

((b,b), (b,c), (b,a), (b,d), (c,c), (c,a), (c,d), (a,a), ( a, d), (d, d)).

Sıranın sözde doğrusallık özelliğine sahip olması gerekmediğine dikkat edin.

Örnek 8.1.16. Sette düşünün bir =(2,4,6,8) bölünebilme oranı:. Bu ilişkiyi bir çiftler kümesiyle belirtin. Beri FAKAT sadece doğal sayılar yalan, öyleyse: sıra ilişkisi. Sıralı bir A setimiz var :).

Böyle bir sıra, sıralı dört ardışık eleman olarak temsil edilemez. Noktaları ve okları kullanarak ilişkinin grafik bir resmini verebilirsiniz: bir noktadan x kesinlikle de ok ancak ve ancak x:y.

6 ve 4 sayılarını ele alalım. İkisi de birbirine tam bölünemez. Bunların kıyaslanamaz unsurlar olduğunu söylüyorlar.

sette olsun FAKAT p mertebesinin oranı verilir. Öğeler * ve de isminde karşılaştırılabilir, iki ilişkiden en az biri karşılanırsa xru veya urk.

Kümede p'nin sırası FAKAT isminde doğrusal kümenin herhangi iki elemanı varsa FAKAT karşılaştırılabilir. Doğrusal bir sıranın tanımlandığı bir kümeye denir. doğrusal sıralı(veya zincir).

Örnek 8.1.17. Vx^yeR olduğundan, R ilişkisi doğrusal bir düzendir. (x Bu nedenle (R,

sipariş edilen takım.

Genel durumda doğal sayıların bölünebilirlik oranı doğrusal bir düzen değildir. Örnek 8.1.16'da bir karşı örnek verilmiştir."

Sonlu bir kümedeki herhangi bir doğrusal düzenin, elemanlarının numaralandırılmasıyla verildiğine dikkat edin. Sıranın doğrusal olmayabileceğini vurgulamak için, sıralı bir kümeye genellikle bazen kısmen sıralı küme denir.