• Sağlık
• Gebelik
• Çocuklar
• ilişkiler
• doğum

Tamsayı p-adic sayıların halkası. Veri temsil sorunu Tam sayılar kümesi bir halkadır

Matematiğin çeşitli dallarında ve matematiğin teknolojide uygulanmasında, cebirsel işlemlerin sayılar üzerinde değil, farklı nitelikteki nesneler üzerinde gerçekleştirildiği bir durum vardır. Örneğin, matris toplama, matris çarpma, vektör toplama, polinomlarla ilgili işlemler, doğrusal dönüşümlerle ilgili işlemler vb.

Tanım 1. Bir halka, iki eylemin tanımlandığı bir matematiksel nesneler kümesidir - sıralı eleman çiftlerini aynı kümenin elemanları olan "toplam" ve "ürün" ile karşılaştıran "toplama" ve "çarpma". Bu eylemler aşağıdaki gereksinimleri karşılar:

1.a+b=b+a(toplamanın değişmeliliği).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(eklemenin çağrışımı).

3. Öyle bir sıfır elemanı 0 vardır ki a+0=a, herhangi a.

4. Herkes için a zıt bir unsur var - aöyle ki a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(sol dağılım).

5".c(a+b)=ca+cb(doğru dağılım).

Gereksinimler 2, 3, 4, matematiksel nesneler kümesinin bir grup oluşturduğu anlamına gelir ve madde 1 ile birlikte toplama ile ilgili olarak değişmeli (Abelian) bir grupla ilgileniyoruz.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi, bir halkanın genel tanımında, toplama ile dağılma dışında çarpmalara herhangi bir kısıtlama getirilmez. Bununla birlikte, çeşitli durumlarda, ek gereksinimleri olan halkaları dikkate almak gerekli hale gelir.

6. (ab)c=a(bc)(çarpma işleminin birlikteliği).

7.ab=ba(çarpmanın değişebilirliği).

8. Kimlik öğesi 1'in varlığı, yani. çok a 1=1 a=a, herhangi bir eleman için a.

9. Öğenin herhangi bir öğesi için a ters eleman var a-1 öyle ki aa −1 =a −1 bir= 1.

Çeşitli halkalarda 6, 7, 8, 9 hem ayrı ayrı hem de çeşitli kombinasyonlarda gerçekleştirilebilir.

Bir halka 6. koşul sağlanmışsa birleştirici, 7. koşul sağlanmışsa değişmeli, 6. ve 7. koşul sağlanmışsa değişmeli ve birleştirilebilir, 8. koşul sağlanmışsa bir halka birim halka olarak adlandırılır.

Yüzük örnekleri:

1. Kare matrisler kümesi.

Yok canım. 1-5, 5" noktalarının yerine getirilmesi açıktır. Sıfır elemanı sıfır matrisidir. Ayrıca, nokta 6 (çarpma işleminin birleştirilebilirliği), nokta 8 (birim eleman birim matristir) gerçekleştirilir. 7 ve 9 noktaları Genel durumda kare matrislerin çarpımı değişmeli olmadığı için gerçekleştirilmez ve ayrıca her zaman kare matrisin tersi de yoktur.

2. Tüm karmaşık sayılar kümesi.

3. Tüm reel sayıların kümesi.

4. Tüm rasyonel sayıların kümesi.

5. Tüm tam sayıların kümesi.

Tanım 2. Sayılarından herhangi ikisinin toplamını, farkını ve çarpımını içeren herhangi bir sayı sistemine denir. sayı halkası.

Örnek 2-5, sayı halkalarıdır. Sayısal halkalar aynı zamanda çift sayılardır ve bazı doğal sayılar n ile kalansız bölünebilen tüm tam sayılardır. Tek sayılar kümesinin bir halka olmadığına dikkat edin. iki tek sayının toplamı çift sayıdır.

Tanım:

u dizileri tarafından tanımlanan p-adik tam sayıların toplamı ve çarpımı, sırasıyla u dizileri tarafından tanımlanan tamsayı p-adik sayılardır.

Bu tanımın doğruluğundan emin olmak için, dizilerin ve bazı tamsayıları - adic sayıları tanımladığını ve bu sayıların onları tanımlayan dizilerin seçimine değil, yalnızca bağlı olduğunu kanıtlamalıyız. Bu özelliklerin her ikisi de bariz bir kontrolle kanıtlanmıştır.

Açıkçası, tamsayı - adic sayılar üzerindeki eylemlerin tanımı göz önüne alındığında, bir alt halka olarak tamsayı rasyonel sayıların halkasını içeren iletişimsel bir halka oluştururlar.

Tamsayı - adic sayıların bölünebilirliği, diğer herhangi bir halkada olduğu gibi tanımlanır: böyle bir tamsayı varsa - adic sayı

Bölmenin özelliklerini incelemek için, bu tam sayıların ne olduğunu bilmek önemlidir - karşılıklı tam sayıların olduğu adic sayılar - adic sayılar. Bu tür sayılara birim bölenler veya birimler denir. Onlara adic birimleri diyeceğiz.

teorem 1:

Bir tamsayı, ancak ve ancak ne zaman bir ise bir dizi tarafından tanımlanan bir adic sayıdır.

Kanıt:

Bir birim olsun, o zaman böyle bir tamsayı var - bir adic sayı, bu. Bir dizi tarafından belirlenirse, koşul şu anlama gelir. Özellikle ve dolayısıyla, Tersine, koşuldan bunu kolayca takip etmesine izin verin, öyle. Bu nedenle, herhangi bir n için karşılaştırma geçerli olacak şekilde bulunabilir. O zamandan beri. Bu, dizinin bir tamsayı belirlediği anlamına gelir - bir adic sayı.Karşılaştırmalar gösteriyor ki, yani. birim hangisidir.

Kanıtlanmış teoremden tam sayının bir rasyonel sayı olduğu sonucu çıkar. Halkanın bir unsuru olarak kabul edilmek, ancak ve ancak o zaman birimin ne zaman olduğudur. Bu koşul sağlanırsa, o zaman Herhangi bir rasyonel tamsayı b'nin böyle bir a in ile bölünebildiği sonucu çıkar, yani. a ve b tamsayı olmak üzere b/a biçimindeki herhangi bir rasyonel sayıya -tamsayılar denir. Açık bir halka oluştururlar. Şimdi sonucumuz şu şekilde formüle edilebilir:

Sonuçlar:

Tamsayı halkası - adic sayılar bir alt halka içerir, halka izomorfik- tam rasyonel sayılar.

Kesirli p-adic sayılar

Tanım:

Formun bir kesri, k >= 0, kesirli bir p-adik sayıyı veya basitçe bir p-adik sayıyı tanımlar. İki kesir ve c ise aynı p-adic sayısını belirleyin.

Tüm p-adic sayıların toplanması p ile gösterilir. Toplama ve çarpma işlemlerinin p'den p'ye devam ettiğini ve p'yi bir alana çevirdiğini kontrol etmek kolaydır.

2.9. Teorem. Her p-adic numarası, formda benzersiz bir şekilde temsil edilir

burada m bir tam sayıdır ve p halkasının birimidir.

2.10. Teorem. Sıfır olmayan herhangi bir p-adic sayı, formda benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Özellikleri: p-adic sayılar alanı, rasyonel sayılar alanını içerir. p'nin katı olmayan herhangi bir p-adik tamsayısının p halkasında ters çevrilebilir olduğunu ve bunun p'nin bir katı olduğunu kanıtlamak kolaydır; burada x, p'nin katı değildir ve bu nedenle çevrilebilir, a. Bu nedenle, p alanının sıfır olmayan herhangi bir öğesi, x'in p'nin katı olmadığı, ancak m'nin herhangi olduğu biçimde yazılabilir; m negatifse, o zaman p-adik tamsayıların p-ary sayı sisteminde bir basamak dizisi olarak temsiline dayanarak, böyle bir p-adik sayıyı bir dizi olarak yazabiliriz, yani onu resmen bir olarak temsil edebiliriz. ondalık noktadan sonra sonlu basamak sayısı ve muhtemelen ondalık noktadan önce sıfırdan farklı sonsuz sayıda basamak içeren p-adic kesir. Bu tür sayıların bölünmesi de "okul" kuralına benzer şekilde yapılabilir, ancak sayının yüksek basamaklarından ziyade alt basamaklarından başlanır.

Programlama kursundan bir tamsayının bilgisayar belleğinde farklı şekillerde temsil edilebileceği bilinmektedir, özellikle bu gösterim nasıl tanımlandığına bağlıdır: tamsayı veya real veya dize türünde bir değer olarak. Aynı zamanda, çoğu programlama dilinde tamsayılar çok sınırlı bir aralıktaki sayılar olarak anlaşılır: tipik bir durum -2 15 = -32768 ile 2 15 - 1 = 32767 arasındadır. Sistemler bilgisayar cebiriözellikle büyük tamsayılarla uğraşın, bu tür herhangi bir sistem 1000 gibi sayıları ondalık gösterimde hesaplayabilir ve görüntüleyebilir! (binden fazla karakter).

Bu kursta, tam sayıların sembolik biçimde temsilini ele alacağız ve bir karakter (bit, bayt veya diğer) yazmak için ne kadar bellek ayrıldığına ilişkin ayrıntılara girmeyeceğiz. En yaygın olanı, tamsayıların temsilidir. konumsal sayı sistemleri. Böyle bir sistem, sayı tabanının seçimi ile belirlenir, örneğin 10. Ondalık tamsayılar kümesi genellikle şu şekilde tanımlanır:

Tam sayıların yazılı tanımı, bu tür her bir sayının temsilinin benzersizliğini verir ve çoğu sistemde benzer bir tanım (yalnızca, belki farklı bir temelde) kullanılır. bilgisayar cebiri. Bu gösterimi kullanarak, tamsayılar üzerinde aritmetik işlemleri uygulamak uygundur. Aynı zamanda, toplama ve çıkarma nispeten "ucuz" işlemlerken, çarpma ve bölme "pahalı" işlemlerdir. Aritmetik işlemlerin karmaşıklığını değerlendirirken, hem temel bir işlemin (bir bit) maliyeti hem de çok basamaklı sayılar üzerinde herhangi bir işlemi gerçekleştirmek için bir bitlik işlemlerin sayısı dikkate alınmalıdır. Çarpma ve bölmenin karmaşıklığı, her şeyden önce, bir sayının uzunluğundaki bir artışla (herhangi bir sayı sistemindeki gösterimi), temel işlemlerin sayısının ikinci dereceden bir yasaya göre artması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. toplama ve çıkarma için doğrusal olanı. Ek olarak, genellikle çok basamaklı bölme algoritması dediğimiz şey, aslında bölümün olası bir sonraki basamağının numaralandırılmasına (genellikle çok anlamlı) dayanır ve tek basamaklı sayıları bölmek için sadece kuralları kullanmak yeterli değildir. Sayı sisteminin büyük bir tabanı ile (genellikle 2 30 mertebesinde olabilir), bu yöntem etkisizdir.

Bir doğal sayı olsun (ondalık sistemde yazılmış). Onun kaydını almak için -ary sayı sisteminde aşağıdaki algoritmayı kullanabilirsiniz ( sayının tamsayı kısmını belirtir ):

Verilen: Ondalık gösterimde A-doğal sayı k > 1-doğal sayı İhtiyaç: k-ondalık gösterimde A sayısının A kaydı Başlangıç ​​i:= 0 döngü iken A > 0 bi:= A (mod k) A:= i := i + 1 döngü sonu dA:= i - 1 son

Aşağıdaki algoritma, k-ary gösteriminin dizisinden bir ondalık sayıyı geri yüklemek için kullanılır:

Verilen: k > 1-doğal sayı k-ary sisteminde A sayısını temsil eden bir basamak dizisi Gereksinim: A sayısının ondalık gösterimde kaydı Başlangıç ​​A:= Dizinin sonuna kadar 0 döngü b:= sonraki dizisinin elemanı A:= A * k + b son döngü Son

1.2. BİR EGZERSİZ. Bir sayıyı ondalık sistemden k-sayısına dönüştürmek için bölmenin kullanıldığını ve k-sayından ondalık sayıya dönüştürmek için çarpmanın kullanıldığını açıklayın.

Ondalık sayı sisteminde iki basamaklı iki sayıyı bir "sütun" ile çarparak aşağıdaki işlemleri yaparız:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

yani bir vardiyaya indirgenmiş tek basamaklı sayıların 4 çarpma işlemi, 3 toplama işlemi ve sayı tabanının kuvvetiyle 2 çarpma işlemi. Karmaşıklığı tahmin ederken, tüm temel işlemleri ağırlıklarına ayırmadan hesaba katabiliriz (bu örnekte 9 temel işlemimiz var). Algoritmayı optimize etme görevi, bu yaklaşımda toplam temel işlem sayısını en aza indirmeye indirgenmiştir. Bununla birlikte, çarpmanın toplamadan daha "pahalı" bir işlem olduğu ve bunun da bir kaydırmadan "daha pahalı" olduğu düşünülebilir. Yalnızca en pahalı işlemleri göz önüne aldığımızda, bunu anlıyoruz. çarpımsal iki basamaklı sayıları bir "sütun" ile çarpmanın karmaşıklığı 4'tür.

Bölüm 5, en büyük ortak bölenleri hesaplamak için algoritmaları ele alır ve karmaşıklıklarını değerlendirir.

Dikkate alınan temsil, tam sayıların tek kurallı gösterimi değildir. Daha önce belirtildiği gibi, kurallı bir temsil seçmek için, doğal bir sayının asal çarpanlara ayrılmasının benzersizliği kullanılabilir. Bir tamsayının böyle bir gösterimi, çok "ucuz" hale geldikleri için sadece çarpma ve bölme işlemlerinin kullanıldığı problemlerde kullanılabilir, ancak toplama ve çıkarma işlemlerinin maliyeti orantısız bir şekilde artar, bu da böyle bir gösterimin kullanılmasını engeller. Bazı problemlerde, kanonik gösterimin reddedilmesi önemli bir performans kazancı sağlar, özellikle bir sayının kısmi çarpanlara ayrılması kullanılabilir. Benzer bir yöntem özellikle sayılarla değil polinomlarla çalışırken kullanışlıdır.

Programın çalışması sırasında, hesaplamalarda karşılaşılan tüm tamsayıların belirli bir sabit tarafından mutlak değerde sınırlı olduğu biliniyorsa, bu tür sayıları ayarlamak için, çarpımını aşan bazı asal sayıların modülündeki kalıntı sistemlerini ayarlayın. belirtilen sabit kullanılabilir. Kalıntı sınıflarıyla yapılan hesaplamalar genellikle çoklu hassas aritmetikten daha hızlıdır. Ve bu yaklaşımla, çoklu kesinlikli aritmetik yalnızca bilgi girerken veya çıktı alırken kullanılmalıdır.

Sistemlerdeki kanonik gösterimlerle birlikte bilgisayar cebiri diğer temsiller de kullanılır. Özellikle, bir tamsayının önünde "+" işaretinin bulunmasının veya bulunmamasının bilgisayarın onu algılamasını etkilememesi arzu edilir. Böylece, negatif sayıların biçimi benzersiz bir şekilde belirlenmiş olmasına rağmen, pozitif sayılar için belirsiz bir temsil elde edilir.

Diğer bir gereklilik, bir sayının algılanmasının, ilk anlamlı basamaktan önce sıfırların varlığından etkilenmemesidir.

1.3. EGZERSİZLER.

1. M basamaklı bir sayıyı n basamaklı bir sayıyla bir sütunla çarparken kullanılan tek basamaklı çarpma sayısını tahmin edin.
2. İki basamaklı iki sayının yalnızca 3 tek basamaklı çarpma işlemi kullanılarak ve toplama sayısını artırılarak çarpılabileceğini gösterin.
3. Bölümün ilk basamağını bulmak için çok fazla numaralandırma gerektirmeyen uzun sayıları bölmek için bir algoritma bulun.
4. Çeviri algoritmasını açıklayın doğal sayılar m -ary sayı sisteminden n -ary sayı sistemine.
5. AT Roma numaralandırması sayıları yazmak için aşağıdaki semboller kullanılır: I - bir, V - beş, X - on, L - elli, C - yüz, D - beş yüz, M - bin. Sağında daha büyük bir sayının sembolü varsa, bir sembol negatif, aksi takdirde pozitif olarak kabul edilir. Örneğin bu sistemdeki 1948 sayısı şu şekilde yazılacaktır: MCMXLVIII. Bir sayıyı Roma'dan ondalık sayıya veya tam tersine dönüştürmek için bir algoritma formüle edin. Ortaya çıkan algoritmayı algoritmik dillerden birinde uygulayın (örneğin, C ). İlk verilerle ilgili kısıtlamalar: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Bir algoritma formüle edin ve Romen numaralandırmasında doğal sayıları eklemek için bir program yazın.
7. ile bir sayı sistemi ile uğraştığımızı söyleyeceğiz. karışık veya vektör tabanlı, bize n doğal sayının bir vektörü verilirse M = (m 1 , . k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Verileri (haftanın günü, saat, dakika, saniye) verildiğinde, haftanın başlangıcından bu yana kaç saniye geçtiğini belirleyen bir program yazın. (Pazartesi, 0, 0, 0) = 0, ve ters dönüşümü gerçekleştirir.

"Sıfırdan büyük olmak" ilişkisinin tanıtıldığı (a > 0 ile gösterilir) halka denir. bulunan halka, bu halkanın herhangi bir elemanı için iki koşul yerine getirilirse:

1) koşullardan yalnızca biri doğrudur

a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0

2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.

Belirli bir sıra ilişkisinin tanıtıldığı bir kümeye - katı olmayan (yansımalı, antisimetrik ve geçişli) veya katı (yansıma önleyici ve geçişli) denir düzenli. Trikotomi yasası sağlanırsa, küme denir. lineer olarak düzenli. Rastgele bir küme değil, örneğin bir halka veya alan gibi bazı cebirsel sistemler düşünürsek, böyle bir sistemin sıralanması için, bu sistemde tanıtılan işlemlere (cebirsel yapı) ilişkin monotonluk gereksinimleri de getirilir. Yani sıralı halka/alan iki koşulu karşılayan bir doğrusal sıra ilişkisinin (a > b) tanıtıldığı sıfır olmayan bir halka/alandır:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a > b, c > 0 => bir c > bc;

Teorem 1. Bulunan herhangi bir halka sıralı bir sistemdir (halka).

Gerçekten de, halkaya "0'dan büyük olmak" bağıntısı dahil edilirse, o zaman şunu varsayarsak, iki keyfi elemandan daha büyük bir bağıntı eklemek de mümkündür.

a > b  a - b > 0.

Böyle bir ilişki, katı, doğrusal bir düzenin bir ilişkisidir.

Bu "büyüktür" bağıntısı yansıma önleyicidir, çünkü a > a koşulu a - a > 0 koşuluna eşdeğerdir, ikincisi a - a = 0 olduğu gerçeğiyle çelişir (yerleştirilmiş halkanın ilk koşuluna göre, bir öğe hem 0'dan büyük hem de 0'a eşit olamaz. Böylece, a > a ifadesi herhangi bir a öğesi için yanlıştır, bu nedenle bağıntı yansıma önleyicidir.

Geçişliliği ispatlayalım: eğer a > b ve b > c ise, o zaman a > c. Tanım olarak, a - b > 0 ve b - c > 0 olduğu teoremin koşullarından çıkar. Bu iki öğeyi sıfırdan büyük ekleyerek, yine sıfırdan büyük bir öğe elde ederiz (bulunan halkanın ikinci koşuluna göre) ):

a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.

İkincisi, a > c anlamına gelir. Böylece, tanıtılan ilişki katı bir düzen ilişkisidir. Üstelik bu bağıntı, doğrusal sıralı bir bağıntıdır, yani doğal sayılar kümesi için, üçleme teoremi:

Herhangi iki doğal sayı için aşağıdaki üç ifadeden yalnızca biri doğrudur:

Nitekim (bulunan halkanın ilk koşulu nedeniyle) a - b sayısı için koşullardan yalnızca biri doğrudur:

1) a - b > 0 => a > b

2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a

3) a - b = 0 => a = b.

Monotonluk özellikleri, herhangi bir yerleşik halka için de geçerlidir. Yok canım

1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;

2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (yer alan halkanın ikinci durumuna göre) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .

Böylece, bulunan herhangi bir halkanın sıralı bir halka (düzenli bir sistem) olduğunu kanıtladık.

Bulunan herhangi bir halka için aşağıdaki özellikler de doğru olacaktır:

a) a + c > b + c => a > b;

b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;

c) a > b / \ c< 0=>ac< bc;

Aynı özellikler diğer işaretler için de geçerlidir.<, , .

Örneğin (c) özelliğini ispatlayalım. Tanım olarak, a > b koşulundan a - b > 0 ve c koşulundan çıkar.< 0 (0 >c) 0 - c > 0 ve dolayısıyla - c > 0 sayısı, iki pozitif sayıyı (a - b) (-c) çarparız. Sonuç, bulunan halkanın ikinci koşuluyla da pozitif olacaktır, yani.

(a - b)  (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,

Q.E.D.

d) aa = a 2  0;

Kanıt: Bulunan halkanın ilk koşuluna göre ya a > 0 ya da –a > 0 ya da a = 0. Bu durumları ayrı ayrı ele alın:

1) a > 0 => aa > 0 (bulunan halkanın ikinci durumuna göre) => a 2 > 0.

2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, ancak (–a)(–a) = aa = a 2 > 0 halkasının özelliğine göre.

3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0.

Bu nedenle, her üç durumda da, a 2 ya sıfırdan büyüktür ya da 0'a eşittir, bu sadece a 2 ≥ 0 ve özelliğin kanıtlandığı anlamına gelir (ayrıca şunu da kanıtladığımızı unutmayın. yer alan bir halkanın bir elemanının karesi, ancak ve ancak elemanın kendisi 0 ise 0'dır.).

e) ab = 0  a = 0 \/ b = 0.

Kanıt: Aksini varsayın (ab =0, ancak ne a ne de b sıfıra eşit değildir). O zaman a için sadece iki seçenek mümkündür, ya a > 0 ya da – a > 0 (a = 0 seçeneği varsayımımız tarafından hariç tutulur). Bu iki durumun her biri b'ye bağlı olarak iki duruma daha bölünür (b > 0 veya - b > 0). O zaman 4 seçenek mümkündür:

a > 0, b > 0 => ab > 0;

– a > 0, b > 0 => ab< 0;

a > 0, – b > 0 => ab< 0;

– a > 0 – b > 0 => ab > 0.

Gördüğümüz gibi, bu durumların her biri ab = 0 koşuluyla çelişiyor. Özellik kanıtlandı.

Son özellik, bulunan halkanın, aynı zamanda sıralı sistemlerin zorunlu bir özelliği olan bir bütünlük alanı olduğu anlamına gelir.

Teorem 1, bulunan herhangi bir halkanın sıralı bir sistem olduğunu gösterir. Bunun tersi de doğrudur - herhangi bir sıralı halka bulunur. Gerçekten de, halkada bir a > b ilişkisi varsa ve halkanın herhangi iki elemanı birbiriyle karşılaştırılabilir ise, o zaman 0 da herhangi bir a elemanıyla, yani a > 0 veya a ile karşılaştırılabilir.< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. İkincisini kanıtlamak için, düzenli sistemlerin monotonluk özelliğini uygularız: eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.

Yerleşik halkanın ikinci koşulu, monotonluk ve geçişlilik özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,

a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.

Teorem 2. Tamsayılar halkası düzenlenmiş bir halkadır (düzenli bir sistem).

Kanıt: Tamsayılar halkasının 2. tanımını kullanalım (bkz. 2.1). Bu tanıma göre, herhangi bir tamsayı ya bir doğal sayıdır (n sayısı [ ] veya doğalın tersi (– n, [ sınıfına karşılık gelir<1, n / >] veya 0 (sınıf [<1, 1>]). Kurala göre tamsayılar için "sıfırdan büyük ol" tanımını sunalım:

a > 0  bir  N

O zaman tamsayılar için bulunan halkanın ilk koşulu otomatik olarak sağlanır: a doğal ise 0'dan büyüktür, eğer a doğalın tersiyse, o zaman –a doğaldır, yani 0'dan büyüktür, a = 0 varyantı da mümkündür, bu da konumlanmış halkanın ilk koşulunda gerçek ayrılmayı sağlar. Konumlandırılmış halkanın ikinci koşulunun geçerliliği, iki doğal sayının (sıfırdan büyük tam sayılar) toplamının ve çarpımının yine bir doğal sayı ve dolayısıyla sıfırdan büyük olması gerçeğinden kaynaklanır.

Böylece düzenlenen halkaların tüm özellikleri otomatik olarak tüm tamsayılara aktarılır. Ek olarak, tamsayılar için (ancak rastgele düzenlenmiş halkalar için değil), ayrıklık teoremi şunları tutar:

Ayrıklık teoremi.İki bitişik tam sayı arasına tam sayı eklenemez:

( bir, x  Z) .

Kanıt: a için tüm olası durumları göz önünde bulundurun ve bunun tersini, yani x'in öyle olduğunu varsayalım.

a< x < a +1.

1) a bir doğal sayı ise, a + 1 de bir doğal sayıdır. O halde, doğal sayılar için ayrıklık teoremi ile, a ile a / = a + 1 arasına hiçbir x doğal sayısı eklenemez, yani x, hiçbir durumda doğal olamaz. x = 0 olduğunu varsayarsak, varsayımımız şudur:

a< x < a +1

bizi bir koşula götürecek< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.

2) a = 0. O zaman a + 1 = 1. Eğer a koşulu< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.

3) a negatiftir (–a > 0), o zaman a + 1  0. Eğer a + 1 ise< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:

–a–1< – x < –a,

yani, ilk durumda ele alınan duruma (hem -a-1 hem de -a doğal olduğundan) ulaşırız, bu nedenle - x bir tam sayı olamaz ve dolayısıyla x bir tam sayı olamaz. a + 1 = 0 olduğu durum, a = -1 olduğu anlamına gelir, yani.

–1 < x < 0.

Bu eşitsizliği (–1) ile çarparak durum 2'ye ulaşırız. Böylece, teorem her durumda geçerlidir.

Arşimet Teremi. Herhangi bir a tamsayı ve b > 0 tamsayı için, öyle bir pozitif tamsayı vardır ki, a< bn.

Doğal a için, teorem zaten kanıtlanmıştır, çünkü b > 0 koşulu, b sayısının doğal olduğu anlamına gelir. Bir  0 için teorem de açıktır, çünkü bn'nin sağ tarafı bir doğal sayıdır, yani o da sıfırdan büyüktür.

Tamsayılar halkasında (herhangi bir yerleşik halkada olduğu gibi), bir modül kavramını tanıtabiliriz:

|a| = .

Geçerli modül özellikleri:

1) |a + b|  |a| + |b|;

2) |a – b|  |a| – |b|;

3) |a  b| = |a|  |b|.

Kanıt: 1) Tanımdan |a| her zaman negatif olmayan bir değerdir (ilk durumda |a| = a ≥ 0, ikinci durumda |a| = –a, ancak a< 0, откуда –а >0). eşitsizlikler |a| ≥ bir, |a| ≥ –a (negatif değilse modül karşılık gelen ifadeye eşittir ve negatifse ondan büyüktür). Benzer eşitsizlikler b: |b| ≥ b, |b| ≥ -b. Karşılık gelen eşitsizlikleri toplayarak ve düzenlenmiş halkaların (b) özelliğini uygulayarak,

|a| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.

Modül tanımına göre

|a+b| =
,

ancak eşitliğin sağ tarafındaki her iki ifade de yukarıda gösterildiği gibi |a|'yı geçmez. + |b|, modüllerin ilk özelliğini kanıtlıyor.

2) İlk a özelliğini a - b ile değiştirelim. Alırız:

|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|

|a| ≤ |a – b| + |b|

Taşı |b| ters işaret ile sağdan sola

|a| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b|  |a| – |b|.

Mülkiyet 3'ün kanıtı okuyucuya bırakılmıştır.

Bir görev: Denklemi tam sayılarda çözün

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.

Çözüm: Sol tarafı çarpanlara ayırın. Bunu yapmak için 3xy = – xy + 4xy terimini temsil ediyoruz.

2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d

Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).

Böylece denklemimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.

Tamsayılarla çözmemiz gerektiğinden x ve y tamsayı olmalıdır, yani denklemimizin sol tarafındaki çarpanlar da tam sayıdır. Denklemimizin sağ tarafındaki 5 sayısı, sadece 4 şekilde tamsayı faktörlerinin bir ürünü olarak gösterilebilir:

5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Bu nedenle, aşağıdaki seçenekler mümkündür:

1)
2)
3)
4)

Listelenen sistemler arasında sadece (4) tamsayı çözüme sahiptir:

x = 1, y = -2.

için görevler bağımsız çözüm

Hayır. 2.4. Rastgele yerleştirilmiş bir halkanın a, b, c, d öğeleri için özellikleri kanıtlayın:

a) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d.

2.5. Denklemleri tam sayılarda çözün:

2.6. Dört basamaklı bir tam kare olan ve ilk iki basamağı birbirine ve son iki basamağı birbirine eşit olacak şekilde bir sayı bulun.

2.7. Birimlerinin karesi ile onluklarının toplamına eşit iki basamaklı bir sayı bulun.

2.8. Rakamlarının çarpımının iki katına eşit olan iki basamaklı bir sayı bulun.

2.9. Üç basamaklı bir sayı ile aynı basamakları tersten yazılan bir sayı arasındaki farkın bir doğal sayının karesi olamayacağını kanıtlayın.

2.10. 91 ile biten tüm doğal sayıları bulun ve bu rakamları sildikten sonra sayıları bir tam sayı kadar azalır.

2.11. Birimlerinin karesi ile onluklarının küpüne eşit iki basamaklı bir sayı bulun.

2.12. 2 ile başlayan ve bu sayıyı sonuna kadar yeniden düzenleyerek 3 kat artan altı basamaklı bir sayı bulun.

2.13. Tahtaya 40'tan fazla 48'den az tam sayı yazılır. Tüm bu sayıların aritmetik ortalaması 3, pozitiflerin aritmetik ortalaması 4, negatiflerin aritmetik ortalaması 8'dir. Tahtaya kaç tane sayı yazılmaktadır? Hangi sayı daha büyük, pozitif veya negatif? Mümkün olan maksimum pozitif sayı sayısı nedir?

2.14. Üç basamaklı bir sayının bölümü ile rakamları toplamı 89 olabilir mi? Bu bölüm 86'ya eşit olabilir mi? Bu bölümün mümkün olan maksimum değeri nedir?

0 bir doğal sayı olmadığı için doğal sayılar bir halka değildir ve doğal sayıların doğal karşıtları yoktur. Doğal sayıların oluşturduğu yapıya denir. yarım daire. Daha doğrusu,

yarım daire toplamaya göre değişmeli yarı grup ve toplama ve çarpma işlemlerinin dağılım yasalarıyla ilişkili olduğu çarpmaya göre yarı grup olarak adlandırılır.

Şimdi tamsayıların kesin tanımlarını sunuyoruz ve denkliklerini kanıtlıyoruz. Cebirsel yapılar kavramına ve doğal sayılar kümesinin bir yarım halka olduğu, ancak bir halka olmadığı gerçeğine dayanarak, aşağıdaki tanımı sunabiliriz:

Tanım 1. Tam sayılar halkası, doğal sayıların yarı halkasını içeren en küçük halkadır.

Bu tanım hakkında hiçbir şey söylemez dış görünüş bu tür sayılar. Bir okul dersinde tam sayılar, doğal sayılar, karşıtları ve 0 olarak tanımlanır. Bu tanım katı bir tanım oluşturmak için de temel alınabilir.

Tanım 2. Bir tamsayı halkası, öğeleri doğal sayılar, karşıtları ve 0 (ve yalnızca onlar) olan bir halkadır.

teorem 1. Tanım 1 ve 2 eşdeğerdir.

Kanıt: Z1 ile Tanım 1 anlamında tamsayılar halkasını ve Z2 ile Tanım 2 anlamında tamsayılar halkasını gösterin. Aslında, Z 2'nin tüm öğeleri ya doğal sayılardır (Z 1'e aittir, çünkü Z 1 doğal sayıların bir yarı halkasını içerir) ya da bunların zıtları (Z 1 bir halka olduğundan, Z 1'e de aittirler, bu şu anlama gelir: bu halkanın her elemanı için bir karşıtlık vardır ve her doğal n н Z 1 , –n ayrıca Z 1'e aittir veya 0 (0 н Z 1 , çünkü Z 1 bir halkadır ve 0 vardır) herhangi bir halkada), yani Z 2'den herhangi bir eleman da Z1'e aittir ve dolayısıyla Z 2 Í Z 1 . Öte yandan, Z 2, doğal sayıların bir yarı halkasını içerir ve Z 1, doğal sayıları içeren en küçük halkadır, yani herhangi bir sayı içeremez. bir diğer Bu koşulu sağlayan yüzük. Ama Z 2 içerdiğini ve dolayısıyla Z 1 = Z 2 olduğunu göstermiştik. Teorem kanıtlanmıştır.

Tanım 3. Bir tamsayı halkası, öğelerinin tümü, b - a farkı (a + x = b denkleminin tüm olası çözümleri) olarak gösterilebilen tüm olası öğeler olan bir halkadır, burada a ve b isteğe bağlı doğal sayılardır.

Teorem 2. Tanım 3, önceki iki tanımla eşdeğerdir.

Kanıt: Z3 ile Tanım 3 anlamında tamsayılar halkasını ve Z1 = Z2 ile daha önce olduğu gibi, Tanım 1 ve 2 anlamında tamsayılar halkasını gösterin (eşitlikleri zaten kurulmuştur). İlk önce Z 3'ün Z 2'ye dahil olduğunu kanıtlıyoruz. Gerçekten de, Z3'ün tüm elemanları, b – a doğal sayılarının bazı farklılıkları olarak temsil edilebilir. Herhangi iki doğal sayı için, trikotomi teoremine göre üç seçenek mümkündür:

Bu durumda, b – ve farkı da bir doğal sayıdır ve bu nedenle Z 2 'ye aittir.

Bu durumda, iki eşit elemanın farkı 0 sembolü ile gösterilecektir. Bunun gerçekten halkanın sıfırı olduğunu, yani toplamaya göre nötr bir eleman olduğunu ispatlayalım. Bunu yapmak için, a – a = x ó a = a + x farkının tanımını kullanırız ve herhangi bir doğal b için b + x = b olduğunu ispatlarız. Bunu kanıtlamak için, a = a + x eşitliğinin sağ ve sol taraflarına b öğesini eklemek ve ardından indirgeme yasasını kullanmak yeterlidir (tüm bu işlemler halkaların bilinen özelliklerine göre yapılabilir). Sıfır Z 2'ye aittir.

Bu durumda a – b farkı bir doğal sayıdır,

b - a \u003d - (a - b). a - b ve b - a öğelerinin gerçekten zıt olduklarını, yani toplamlarının sıfıra eşit olduğunu kanıtlayacağız. Gerçekten de, a - b \u003d x, b - a \u003d y belirtirsek, o zaman a \u003d b + x, b \u003d y + a alırız. Terime göre elde edilen eşitlikleri ekleyerek ve b'yi azaltarak, a \u003d x + y + a, yani x + y \u003d a - a \u003d 0 elde ederiz. Böylece, a - b \u003d - (b - a) doğal sayının tersi bir sayıdır, yani yine Z2'ye aittir. Böylece, Z 3 Н Z 2 .

Öte yandan, herhangi bir doğal sayı n her zaman şu şekilde temsil edilebildiğinden, Z3 doğal sayıların bir yarı halkasını içerir.

n = n / – 1 О Z 3 ,

ve dolayısıyla Z 1 Í Z 3 , çünkü Z 1 doğal sayıları içeren minimum halkadır. Z 2 = Z 1 olduğu zaten kanıtlanmış gerçeği kullanarak, Z 1 = Z 2 = Z 3 elde ederiz. Teorem kanıtlanmıştır.

İlk bakışta tam sayıların listelenen tanımlarında aksiyom yokmuş gibi görünse de, bu tanımlar aksiyomatiktir, çünkü üç tanım da tamsayılar kümesinin bir halka olduğunu söyler. Bu nedenle, bir halkanın tanımındaki koşullar, tamsayıların aksiyomatik teorisinde aksiyom görevi görür.

bunu kanıtlayalım tamsayıların aksiyomatik teorisi tutarlıdır. Bunu kanıtlamak için, bilinen bir tutarlı teori kullanarak tamsayılar halkasının bir modelini oluşturmak gerekir (bizim durumumuzda, bu sadece doğal sayıların aksiyomatik teorisi olabilir).

Tanım 3'e göre, her bir tam sayı, iki doğal sayı z = b – a'nın farkı olarak gösterilebilir. Her z tamsayısıyla karşılık gelen çifti ilişkilendirin . Bu yazışmanın dezavantajı belirsizliğidir. Özellikle, 2 sayısı çifte karşılık gelir.<3, 1 >ve bir çift<4, 2>, diğerleri gibi. 0 sayısı çifte karşılık gelir<1, 1>ve bir çift<2,2>ve bir çift<3, 3>, ve benzeri. Fikir, bu sorunun önlenmesine yardımcı olur. denklik çiftleri. bir çift diyeceğiz eşdeğerdirçift , eğer a + d = b + c ise (gösterim: @ ).

Tanıtılan ilişki dönüşlü, simetrik ve geçişlidir (kanıt okuyucuya bırakılmıştır).

Herhangi bir denklik bağıntısı gibi, bu bağıntı, tüm olası doğal sayı çiftlerinin kümesinin denklik sınıflarına bölünmesini üretir, bunu [ ] (her sınıf, bir çifte eşdeğer tüm çiftlerden oluşur ). Artık her tamsayıya, birbirine eşdeğer olan iyi tanımlanmış bir doğal sayı çiftleri sınıfı atamak mümkündür. Bu tür doğal sayı çiftleri kümesi, bir tamsayı modeli olarak kullanılabilir. Bu modelde halkanın tüm aksiyomlarının sağlandığını ispatlayalım. Bunun için çift sınıflarının toplama ve çarpma kavramlarını tanıtmak gerekir. Aşağıdaki kurallara göre yapalım:

1) [] + [] = [];

Tanıtılan tanımların doğru olduğunu, yani çift sınıflarından belirli temsilcilerin seçimine bağlı olmadığını gösterelim. Başka bir deyişle, çiftler eşdeğer ise @ ve @ , o zaman karşılık gelen toplamlar ve ürünler de eşdeğerdir @ , birlikte @ .

@ ó a + b 1 = b + bir 1 (1),

hangi koşula eşdeğerdir @ .

bu şu anlama gelir @ (başka bir deyişle, burada kanıtladık ki × @ ,× ).

ó @

(burada kanıtladık × @ ,× ). Çiftlerin denklik bağıntısının geçişlilik özelliğini kullanarak gerekli eşitliğe ulaşırız. @ koşula eşdeğer

× @ ,× .

+ ( +) = + = .

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

[] + [] = [] @ [], çünkü

[] + [] = [] = [] @ [].

[] / = [].

[] + [] =[] / = []. Yok canım,

[] + [] = [] = [], çünkü

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].