Relaciones de orden. Relación de orden Relación de orden lineal parcial
La palabra "orden" se utiliza a menudo en una variedad de cuestiones. El oficial da la orden: "Según el orden de los números, calcule", las operaciones aritméticas se realizan en un orden determinado, los atletas se clasifican según el crecimiento, hay un orden para realizar las operaciones al hacer una parte y el orden de las palabras. en una frase.
¿Qué es común en todos los casos cuando se habla de orden? El hecho es que la palabra "orden" tiene el siguiente significado: significa qué elemento de un conjunto dado sigue a cuál (o qué elemento precede a cuál).
Actitud " X sigue en" transitiva: si " X sigue en" Y " en sigue z", Eso " X sigue z" Además, esta relación debe ser antisimétrica: para dos diferentes X Y en, Si X sigue en, Eso en no sigue X.
Definición. Actitud R en un set X llamado relación de orden estricto, si es transitivo y antisimétrico.
Descubramos las características de la gráfica y la gráfica de relaciones de orden estricto.
Veamos un ejemplo. En el set X= (5, 7, 10, 15, 12) proporción dada R: « X < en" Definamos esta relación enumerando los pares
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
Construyamos su gráfica. Vemos que la gráfica de esta relación no tiene bucles. No hay flechas dobles en el gráfico. si de X la flecha va a en, y de en-V z, entonces de X la flecha va a z(Figura 8).
El gráfico construido permite ordenar los elementos del conjunto. X en este orden:
{5, 7, 10, 12, 15}.
En la Fig. 6 (§ 6 de este capítulo), las columnas VII, VIII son gráficos de relaciones de orden estricto.
Relación no estricta
Lo opuesto a la relación “menor que” en el conjunto de los números reales es la relación “no menos”. Ya no es una relación de estricto orden. El punto es, cuando X = en, las relaciones se cumplen X ³ en Y en ³ X, es decir. la actitud de “nada menos” es reflexiva.
Definición. Actitud R en un set X llamado relación no estricta, si es reflexivo, antisimétrico y transitivo.
Tales relaciones son uniones de una relación de orden estricto con una relación de identidad.
Considere la relación “no más” (£) para el conjunto
X= (5, 7, 10, 15, 12). Construyamos su gráfica (Fig. 9).
Un gráfico de relación de orden no estricto, a diferencia de un gráfico de relación de orden estricto, tiene bucles en cada vértice.
En la Fig. 6 (§ 6 de este capítulo) las columnas V, VI son gráficas de relaciones de orden no estricto.
Conjuntos ordenados
Un conjunto puede resultar ordenado (también dicen completamente ordenado) por alguna relación de orden, mientras que otro conjunto puede estar desordenado o parcialmente ordenado por dicha relación.
Definición. Un montón de X llamado ordenado alguna relación de orden R, si para dos elementos cualesquiera x,y de X:
(X, en) Î R o ( y,x) Î R.
Si R es una relación de orden estricto, entonces el conjunto X ordenado por esta relación siempre que: si X, en cualesquiera dos elementos desiguales del conjunto X, Eso ( X, en) Î R o ( y,x) Î R, o dos elementos cualesquiera x,y conjuntos X son iguales.
Del curso de matemáticas de la escuela se sabe que los conjuntos de números norte , z , q , R ordenado por la relación “menor que” (<).
El conjunto de subconjuntos de un determinado conjunto no se ordena introduciendo la relación de inclusión (I), o inclusión estricta (S) en el sentido anterior, porque hay subconjuntos, ninguno de los cuales está incluido en el otro. En este caso, decimos que el conjunto dado está parcialmente ordenado por la relación Í (o Ì).
Considere el conjunto X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) y contiene dos relaciones “menor que” y “dividido por”. Es fácil verificar que ambas relaciones son relaciones de orden. El gráfico de relación "menor que" se puede representar como un rayo.
La gráfica de la relación “dividida por” sólo se puede representar en un plano.
Además, la gráfica de la segunda relación tiene vértices que no están conectados por una flecha. Por ejemplo, no hay una flecha que conecte los números 4 y 5 (Fig. 10).
La primera relación " X < en"Se llama lineal. En general, si la relación es de orden R(estricto y no estricto) en el set X tiene la propiedad: para cualquier X, enÎ X o xry, o yRx, entonces se llama relación de orden lineal, y el conjunto X– un conjunto ordenado linealmente.
si el conjunto X por supuesto, y consiste en norte elementos, luego ordenamiento lineal X se reduce a numerar sus elementos con los números 1,2,3, ..., norte.
Los conjuntos linealmente ordenados tienen varias propiedades:
1°. Dejar a B C– elementos del conjunto X, ordenado por la relación R. Si se sabe que aRв Y en Rс, entonces dicen que el elemento V se encuentra entre los elementos A Y Con.
2°. Un montón de X, ordenado linealmente por la relación R, se llama discreto si entre dos de sus elementos hay sólo un conjunto finito de elementos de este conjunto.
3°. Un conjunto linealmente ordenado se llama denso si para dos elementos distintos de este conjunto hay un elemento del conjunto entre ellos.
Sea R una relación binaria en el conjunto A.
DEFINICIÓN. Una relación binaria R en un conjunto A se llama relación de orden en A o orden en A si es transitiva y antisimétrica.
DEFINICIÓN. Una relación de orden R en un conjunto A se llama no estricta si es reflexiva en A, es decir, para cada uno de A.
Una relación de orden R se llama estricta (en A) si es antirreflexiva en A, es decir, para cualquiera de A. Sin embargo, de la antirreflexividad de la relación transitiva R, se deduce que es antisimétrica. Por lo tanto, se puede dar la siguiente definición equivalente.
DEFINICIÓN. Una relación binaria R en un conjunto A se llama orden estricto en A si es transitiva y antirreflexiva en A.
Ejemplos. 1. Sea el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto M. La relación de inclusión en un conjunto es una relación de orden no estricto.
2. Las relaciones en el conjunto de los números reales son, respectivamente, relaciones de orden estricto y no estricto.
3. La relación de divisibilidad en el conjunto de los números naturales es una relación de orden no estricto.
DEFINICIÓN. Una relación binaria R en un conjunto A se llama relación de preorden o preorden en A si es reflexiva y transitiva.
Ejemplos. 1. La relación de divisibilidad en el conjunto de los números enteros no es un orden. Sin embargo, es reflexivo y transitivo, lo que significa que es un pedido anticipado.
2. La relación de implicación lógica es un preorden en el conjunto de fórmulas lógicas proposicionales.
Orden lineal. Un caso especial importante de orden es el orden lineal.
DEFINICIÓN. Una relación de orden en un conjunto se llama relación de orden lineal u orden lineal en si está conexa en , es decir, para cualquier x, y de A.
Una relación de orden que no es lineal suele denominarse relación de orden parcial u orden parcial.
Ejemplos. 1. La relación “menor que” en el conjunto de los números reales es una relación de orden lineal.
2. La relación de orden adoptada en los diccionarios de la lengua rusa se denomina lexicográfica. El orden lexicográfico del conjunto de palabras del idioma ruso es lineal.
2) una relación en el conjunto X se llama relación estrictamente en orden, si es antisimétrico y transitivo. La relación se llama antisimétrico, si del hecho de que a está en relación con c en no se sigue que b esté en relación con a (a, en ∈ X, y R en → en R a) R – estar en relación. La relación se llama transitivo, si para cualquier elemento a, b, c del hecho de que a R en y en R c → que a R c, a, b, c ∈ X. Por ejemplo: la relación “más, menos”. Un conjunto en el que se define una relación de orden estricta se llama ordenado muchos.
3) una relación en el conjunto X se llama relación no en estricto orden, si es reflexivo, asimétrico y transitivo. Por ejemplo: relación ≥ ≤. Si una relación de orden tiene la propiedad de conectividad, entonces se dice que es una relación. orden lineal. La relación se llama relacionado en el conjunto X, si para cualquier elemento x e y se cumple la siguiente condición: del hecho de que x ≠ y se sigue que x R y o y R x. Si se da una relación de orden lineal en un conjunto, entonces ordena linealmente el conjunto dado.
5. El conjunto de los números reales. Sus propiedades. La expansión del conjunto de números racionales fue provocada por la necesidad de medir las longitudes de segmentos, áreas, etc. La base de cualquier medición es el mismo principio: el objeto medido se compara con un estándar (objeto o fenómeno), cuyo valor tiene un valor numérico igual a 1, pero el segmento unitario no siempre está incrustado en el objeto medido. Por lo tanto, al medir se hacen dos supuestos, que en matemáticas se definen como axiomas: 1) Un solo estándar se puede dividir en cualquier número de partes o partes iguales. 2) El estándar seleccionado se puede utilizar para medir cualquier objeto del tamaño deseado. Para los segmentos, Arquímedes formuló estos axiomas: No importa cuán pequeño sea el segmento AB ni cuán grande sea el segmento CD, existe un número natural N tal que N*AB>CD, si el segmento medido CD contiene un número igual número de segmentos AB, entonces la longitud del segmento CD se expresa como un número natural. Si en el segmento medido CD el segmento AB se coloca un número desigual de veces, entonces AB se divide en 10 segmentos idénticos, llamados décimas de estándares. Si es necesario, un décimo se puede dividir en 10 partes iguales, etc. Si el número igual 10, 100, etc. cabe en el segmento CD. fracciones de segmentos AB, entonces la longitud del segmento CD se expresa mediante un número racional. Sin embargo, la longitud de un segmento no siempre se puede expresar como un número natural o racional. Hay segmentos inconmensurables, es decir segmentos cuya longitud no está expresada por un número racional. (teoremas ver pregunta 32)
Los números que se pueden representar como fracciones decimales infinitas no periódicas se llaman irracionales. La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto de los números reales ().
Propiedades del conjunto de números reales.. 1). El conjunto de puntos de la recta numérica es igual al conjunto de los números reales.
0 M 1 Tome cualquier punto M en el segmento de 0 a 1,
D dibujar un semicírculo con centro en
El punto medio de este segmento y el radio.
K O S igual a la mitad del mismo. Dibujemos una perpendicular desde M hasta que se cruce con el semicírculo. Obtenemos D. Este punto es único, ya que el semicírculo y la línea recta se cruzan solo en un punto. Desde el centro de este segmento, dibuja una línea recta que pase por D hasta que se cruce con el eje numérico. Obtenemos K, que se determina de forma única, ya que las rectas se cruzan solo en un punto. Eligiendo otro punto arbitrario en un segmento dado y repitiendo todo el proceso, obtenemos que cualquier punto del segmento de 0 a 1 corresponde a un solo punto de la recta numérica. Razonando en orden inverso, podemos demostrar que cualquier punto en la recta numérica también corresponde a un solo punto de 0 a 1. Si un punto arbitrario E pertenece a la recta numérica, entonces a través de los puntos M y E solo se puede trazar una recta. que corta al semicírculo. Desde un semicírculo se puede bajar una perpendicular a un segmento determinado. Por lo tanto, se establece un mapeo mutuamente idéntico entre los puntos del segmento de 0 a 1 y los puntos de la recta numérica, es decir son igualmente poderosos.
2) el conjunto de los números reales no es contable, es decir no es igual al conjunto de los números naturales.
3). El conjunto de los números reales es un conjunto continuo. La continuidad del conjunto de los números reales es que entre dos números reales cualesquiera hay un conjunto infinito de sólo números reales.
6. Dividir un conjunto en clases. Ejemplos de clasificación. Relación de equivalencia, sus propiedades. La relación entre la relación de equivalencia y la partición de un conjunto en clases. Veamos un ejemplo. Sea un conjunto M (un conjunto de polígonos convexos), formamos todos los subconjuntos de este conjunto: A 1 – un conjunto de triángulos; A2 – conjunto de cuadrángulos; A3 – conjunto de pentágonos; Ak es un conjunto de k-gons. Un conjunto M se considera dividido en clases si se cumplen las siguientes condiciones:
- cada subconjunto A no está vacío
- la intersección de dos subconjuntos cualesquiera es el conjunto vacío
- la unión de todos los subconjuntos es el conjunto dado M
La partición de un conjunto en clases se llama clasificación.
Actitud en el conjunto X se llama equivalente , si es reflexivo, simétrico y transitivo. La relación se llama reflexivo, si cualquier elemento del conjunto X está en relación consigo mismo a ∈ X, y R a (R está en relación). La relación se llama simétrico, si para dos elementos cualesquiera del conjunto X (a y b) del hecho de que a está en relación con b, se seguirá que b está en relación con a (a, b ∈ X, y R b → en R a). La relación se llama transitivo, si para cualquier elemento a, b, c del hecho de que a R en y en R c → que a R c, a, b, c ∈ X. En la gráfica de relaciones de equivalencia hay bucles, flechas mutuamente inversas y triangulares flechas. La relación de equivalencia, y sólo ella, está asociada a la partición de un conjunto en clases. Esta afirmación se puede formular como teoremas: Si se especifica una relación de equivalencia en un conjunto X, entonces esta relación divide el conjunto X en clases, y viceversa, si el conjunto X se divide en clases, entonces la relación de equivalencia se satisface en el conjunto dado. Por ejemplo. Que se dé la actitud: vivir en la misma casa. Demostremos que el conjunto de residentes de la casa se dividirá en clases. Y cada clase es un apartamento independiente. Para esta división se cumplirán todas las condiciones necesarias para dividir un conjunto en clases: a) cada clase no está vacía, porque en cada apartamento está registrada al menos 1 persona, b) las clases no se superponen (no está registrada 1 persona en dos apartamentos diferentes), c) la unión de todas las clases, es decir residentes de cada departamento, y constituye el conjunto de residentes de la casa.
18 . Un enfoque de la teoría de conjuntos para construir la teoría de números enteros no negativos. Relaciones de igualdad, más (menos). Dos conjuntos A y B se llaman equivalentes o igualmente poderosos si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre ellos, es decir, si cada elemento del conjunto A está asociado con un único elemento del conjunto B y viceversa. La potencia o número cardinal es una propiedad inherente a cualquier conjunto B que sea equivalente al conjunto A y no es inherente a ningún otro conjunto que no sea igual al conjunto A. A~B n (A) = a es potencia. La relación de igual poder es una relación de equivalencia, es decir para ello se satisfacen las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad. La relación de equivalencia divide el conjunto de todos los conjuntos en clases de equivalencia. Para definir el concepto de número natural y cero, considere la partición de todos los conjuntos finitos.
Sea M el conjunto de todos los conjuntos finitos. M = K 0 Ka Kv, donde Ko es la clase de conjuntos vacíos, Ka es un conjunto que contiene conjuntos iguales a 1, a 2, a 3, etc., Kv es un conjunto. Que contienen conjuntos de igual cardinalidad en 1, en 2, en 3, etc. El conjunto M también puede contener otros subconjuntos K de diferente naturaleza, que constan de conjuntos de igual potencia. Cada clase de equivalencia K tiene en común que constan del mismo número de elementos; no existen otras propiedades comunes. Un número entero no negativo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, es una propiedad general de la clase de conjuntos finitos de igual potencia. Un número natural es una propiedad general de la clase de conjuntos finitos no vacíos de igual cardinalidad. A cada clase se le asigna un número cardinal (cardinalidad). A la clase conjunto vacío se le asigna el número de coordenadas 0. A la clase que consta de conjuntos que tienen 1 elemento se le asigna el número 1. A una clase que consta de conjuntos con 2 elementos se le asigna el número 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Relación de igualdad. Se dice que los enteros no negativos a y b son iguales si los conjuntos A y B, cuyo número expresan, son iguales (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B)a=c).
Teorema: la relación de igualdad en el conjunto de números enteros no negativos es una relación de equivalencia. Prueba. Demostremos que la relación de igualdad tiene las propiedades de simetría, transitividad y reflexividad.
Porque Se satisfacen las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad, entonces la relación de igualdad es una relación de equivalencia.
La proporción es menor. Entero no negativo a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teorema: la relación menor que en el conjunto de los números enteros no negativos es una relación de orden estricto. Prueba: Demostremos que la relación less tiene las propiedades de antisimetría y transitividad. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Suma y resta en la teoría cuantitativa de números enteros no negativos. Sus propiedades. Cantidad dos números enteros no negativos a y b se denomina número entero no negativo c, que es la cardinalidad de la unión de dos conjuntos disjuntos A y B, cuyas cardinalidades son respectivamente iguales a a y b. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Propiedades de la suma. 1. La suma en un conjunto de números enteros no negativos siempre existe y se define de forma única. Demostremos que la suma siempre existe. Considere A y B, tales que su intersección es el conjunto vacío y el número de elementos de A es a, y la cardinalidad de B es b. Encontremos la unión de A y B. Dado que la unión de dos conjuntos disjuntos siempre existe, esto significa que la suma también existe, y de la definición de la suma se deduce que la suma siempre existe. Demostremos que la suma se determina de forma única. Hay C 1 y C 2: números enteros no negativos. C 1 = a + b y C 2 = a + b. La suma de los números a y b no depende de qué conjuntos A y B elegimos de la clase de conjuntos de potencias iguales y, por lo tanto, la unión de A y B tomados de la clase de conjuntos de potencias iguales no depende de la elección de establece A y B, dado que las potencias en cada clase son las mismas, entonces C 1 = C 2. 2. Suma conmutativa. Para cualquier número entero no negativo a y b, se cumple la propiedad a+b=b+a. Por la teoría de conjuntos sabemos que para АУВ = ВУА. Si los conjuntos son iguales, sus valores numéricos son iguales. n(АУВ)=n(ВУА). De la teoría de conjuntos sabemos que la potencia de una unión es igual a la suma de las potencias. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Propiedad de la asociatividad. Para cualquier número a, b, c, se cumple la siguiente propiedad: a+(b+c)=(a+b)+c. De la teoría de conjuntos se sabe que para unir conjuntos se cumple la propiedad de asociatividad: АU(ВУС)=(АУВ)UC, si los conjuntos son iguales, entonces sus valores numéricos son iguales, n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC). De la teoría de conjuntos se sabe que la potencia de una unión es igual a la suma de las potencias de estos conjuntos, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Por diferencia Los enteros no negativos a y b se denominan enteros no negativos c, que es la potencia del complemento del conjunto B al conjunto A, de modo que B pertenece a A, n (A) = a, n (B) =b. Propiedades de diferencia. 1. Para que exista la diferencia de números enteros no negativos es necesario y suficiente que a sea mayor o igual a b. vamos a demostrar: 1) una condición suficiente para la existencia de una diferencia. Dado: a - b = c, demuestre: a c. Por la definición de diferencia se deduce que hay un complemento del conjunto B al conjunto A, y este complemento tiene potencia, que se puede encontrar a partir de la igualdad conocida de la teoría de conjuntos. norte() = norte(A)-norte(B). Del hecho de que B es un subconjunto de A se deduce que el número de elementos de B es menor que el número de elementos de A. n (B) 2). Condición necesaria. Dado un c. probar la existencia de la diferencia (a-c). Si a>b, según la definición de la relación “menor que”, existe un conjunto A 1 tal que A 1 está incluido en A y A 1 ~B. Hagamos la diferencia entre A y A 1. Esta diferencia siempre existe (A - A 1 = C), y por lo tanto existe C, que es esta diferencia. De estas condiciones se deduce que C es el complemento de A 1 a A. C = 1A La potencia de C es la potencia del complemento de A 1 a A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), ya que A 1 ~ B, entonces n(A 1)=n(B), por lo tanto n(C)=n(A)-n(B), por lo tanto c=a-b. 2. La diferencia de números enteros no negativos se encuentra de manera única, ya que la diferencia es la potencia del complemento de subconjuntos a un conjunto, y el complemento se determina de manera única, entonces la diferencia de números enteros no negativos es determinado de una manera única. 3. Las propiedades de conmutatividad y asociatividad no se satisfacen en la resta. 4. Restar una cantidad de un número. a-(b+c)=(a-c)-c. De la teoría de conjuntos se sabe A\(BUC)=(A\B)\C, y B Ì A; SÌA; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Restar un número de la diferencia (a-c)-c=(a-c)-c. La prueba se basa en la propiedad de la diferencia de conjuntos (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Restar un número de la suma (a+b)-c=(a-c)+c. La prueba se basa en la propiedad de los conjuntos (АУВ)\С=(А\С) УВ. Incluso ni siquiera En la práctica, a menudo nos encontramos con funciones que no son ni pares ni impares. 4. Las funciones pueden ser periódicas. Una función se llama periódica si existe un número T tal que se cumple la condición f(x+T)=f(x). Todas las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) son periódicas. 5. las funciones pueden tener puntos singulares. Estos son los puntos de intersección con los ejes de coordenadas y los puntos de extremos, es decir Puntos mínimos y máximos. El punto x0 se llama punto mínimo de la función si para todo X de la vecindad de x0 se cumplen las condiciones f (x) > f (x0). Un punto x0 se llama punto máximo de una función si para todo x en la vecindad de x0 f(x)< f (x0). 6. las funciones pueden tener intervalos de signos de constancia, es decir estos son aquellos subconjuntos, dominios de definición, cuyos elementos hacen que la función sea sólo positiva o sólo negativa. 7. una función puede tener puntos de interrupción, es decir aquellos valores de la variable x en los que y no existe (funciones de proporcionalidad inversa). y = , si x = 0 Buscar en el sitio: ¡Desactiva AdBlock! Un tipo importante de relaciones binarias son las relaciones de orden. Relación de orden estricto - una relación binaria que es antirreflexiva, antisimétrica y transitiva: designación - (A precedido b). Ejemplos incluyen relaciones “más”, “menos”, “mayores”, etc. Para los números, la notación habitual son los signos "<", ">". Relación de orden no estricta - Relación binaria reflexiva, antisimétrica y transitiva. Junto con los ejemplos naturales de desigualdades no estrictas para números, un ejemplo puede ser la relación entre puntos de un plano o espacio "para estar más cerca del origen de las coordenadas". La desigualdad no estricta, para números enteros y reales, también puede considerarse como una disyunción de las relaciones de igualdad y orden estricto. Si un torneo deportivo no prevé la división de lugares (es decir, cada participante recibe un lugar determinado, solo para comer/premiado), entonces este es un ejemplo de orden estricto; de lo contrario, no es estricto. Las relaciones de orden se establecen en un conjunto cuando para algunos o todos los pares de sus elementos la relación precedencia. La tarea - para un conjunto de alguna relación de orden se llama es "arreglar, y el "conjunto mismo" como resultado de esto se convierte en ordenado. Las relaciones de orden se pueden introducir de diferentes maneras. Para un conjunto finito, cualquier permutación de sus elementos "establece un orden estricto. Un conjunto infinito se puede ordenar de un número infinito de maneras. Sólo aquellos ordenamientos que tienen un significado significativo son de interés. Si para la relación de pedido R en un set .METRO y algunos elementos diferentes mantienen al menos una de las relaciones aRb o sostén entonces los elementos A Y b son llamados comparable, de lo contrario - incomparable. Un conjunto completamente (o linealmente) ordenado m -
un conjunto en el que se especifica una relación de orden, y dos elementos cualesquiera del conjunto METRO comparable; conjunto parcialmente ordenado- Lo mismo, pero se permiten pares de elementos incomparables. Ordenado linealmente es el conjunto de puntos de una recta con la relación “más a la derecha”, el conjunto de los números enteros, los números racionales, los números reales con la relación “mayor que”, etc. Un ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado serían los vectores tridimensionales, si el orden se da de la siguiente manera, si Es decir, si la precedencia se realiza a lo largo de las tres coordenadas, los vectores (2, 8, 5) y (6, 9, 10) son comparables, pero los vectores (2, 8, 5) y (12, 7, 40) no son comparables. Este método de ordenación se puede extender a vectores de cualquier dimensión: vector Y hecho Podemos considerar otros ejemplos de ordenamiento en el conjunto de vectores. 1) orden parcial: Aquellos. por longitud del vector; los vectores de la misma longitud son incomparables. 2) orden lineal: El último ejemplo introduce el concepto de orden alfabético. Alfabeto es una tupla de caracteres distintos por pares llamados letras del alfabeto. Un ejemplo es el alfabeto de cualquier idioma europeo, así como el alfabeto de 10 números arábigos. En una computadora, el teclado y algunas herramientas de apoyo determinan el alfabeto de caracteres válidos. Palabra en el alfabetoA - tupla de caracteres del alfabeto A. La palabra se escribe en símbolos alfabéticos en una fila, de izquierda a derecha, sin espacios. Un número natural es una palabra en el alfabeto digital. Una fórmula no siempre es una palabra debido a la disposición no lineal de los símbolos; la presencia de símbolos de superíndice (exponentes) y subíndice (índices de variables, bases de logaritmos), barra fraccionaria, signos radicales, etc.; sin embargo, según algunas convenciones se puede escribir en una cadena, que se usa, por ejemplo, en programación de computadoras (por ejemplo, el signo de exponenciación se escribe como 2 signos de multiplicación seguidos: 5**3 significa la tercera potencia de la número 5. Orden lexicográfico (alfabético) - para diferentes palabras en el alfabeto con orden Los símbolos establecen el orden: , si presentación posible (la subpalabra puede estar vacía), o - subpalabra vacía En esta definición - un prefijo (subpalabra inicial) que es igual para ambas palabras - o las primeras de la izquierda son diferentes caracteres, ya sea - el último carácter de la palabra - cola subpalabras. Así, el orden alfabético de las palabras está determinado por el primer símbolo de la izquierda que las distingue (por ejemplo, la palabra KONUS precede a la palabra COSINO porque primero se diferencian en la tercera letra, y N precede a S en el alfabeto ruso). También se considera que el carácter de espacio precede a cualquier carácter del alfabeto, en el caso de que una de las palabras sea el prefijo de otra (por ejemplo, CON y CONE). Ejercicio. Comprobar que el orden alfabético de los números naturales que tienen el mismo número de decimales coincide con su ordenamiento por magnitud. Dejar A - conjunto parcialmente ordenado. El elemento se llama máximo V A, si no hay ningún elemento para el cual A< b.
Elemento A llamado El más largo V A, si para todos diferentes de A elemento completado b<а-
Determinado simétricamente mínimo y más pequeño elementos. Los conceptos de elemento más grande y máximo (respectivamente, más pequeño y mínimo) son diferentes; consulte. ejemplo en la Fig. 14. El conjunto de la Fig. 14,a tiene el elemento más grande R, también es el máximo, hay dos elementos mínimos: s y t, no hay más pequeño. En la Fig. 14b, por el contrario, hay un conjunto que tiene dos elementos máximos / y j, no existe el mayor, el mínimo, también conocido como el más pequeño: uno: T. En general, si un conjunto tiene el elemento más grande (respectivamente, el más pequeño), entonces solo hay uno (puede que no haya ninguno). Puede haber varios elementos máximos y mínimos (puede que no haya ninguno, en un conjunto infinito; en el último caso, debe haberlos). Veamos dos ejemplos más. - relación en un conjunto norte: "Y divide X", o "X es divisor de un numero Y"(Por ejemplo, ) es reflexivo y transitivo. Considerémoslo en un conjunto finito de divisores del número 30. La relación es una relación de orden parcial (no estricta) y está representado por la siguiente matriz de orden 8, que contiene 31 caracteres El circuito correspondiente con 8 vértices debe contener 31 enlaces. . Sin embargo, será más conveniente verlo si excluimos 8 Bucles conectivos que representan la reflexividad de la relación (elementos diagonales de la matriz) y conectivos transitivos, es decir. ligamentos Si existe un número intermedio Z tal que (por ejemplo, el conectivo desde). Luego en el esquema Quedarán 12 ligamentos (Fig. 15); Los enlaces faltantes están implícitos "por transitividad". El número 1 es el más pequeño y el número 30 elementos más grandes en . Si excluimos del número 30 y considere el mismo orden parcial en el conjunto, entonces no hay un elemento máximo, pero hay 3 elementos máximos: 6, 10, 15 Ahora construyamos el mismo circuito para una relación booleana. (el conjunto de todos los subconjuntos) de un conjunto de tres elementos Contiene 8 elementos: Comprueba que si coincide con los elementos. a B C, respectivamente, los números 2, 3, 5 y las operaciones de combinación de conjuntos son la multiplicación de los números correspondientes (es decir, por ejemplo, el subconjunto corresponde producto 2 5 = 10), entonces la matriz de relaciones será exactamente así lo mismo que para la relación; diagramas de estas dos relaciones con las descritas las abreviaturas de bucles y conectivos transitivos coinciden hasta la notación (ver Fig. 16). El elemento más pequeño es Y el más grande - Relaciones binarias R en un set A Y S en un set EN son llamados isomórfico, si entre A y B es posible establecer una correspondencia uno a uno Г, en la que, si (es decir, los elementos están en relación R), entonces (imágenes estos elementos están en relación S). Por tanto, los conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos. El ejemplo considerado permite la generalización. Una relación booleana es un orden parcial. Si Aquellos. un montón de mi contiene PAG elementos, entonces cada corresponde al subconjunto PAG-vector dimensional con componentes, ¿dónde está la función característica? establecer A/. El conjunto de todos estos vectores puede considerarse como un conjunto de puntos. PAG-espacio aritmético dimensional con coordenadas 0 o 1, o, en otras palabras, como vértices PAG-dimensional cubo unitario, denotado por , es decir cubo con aristas de longitud unitaria. Para norte = 1, 2, 3 puntos indicados representan, respectivamente, los extremos de un segmento, los vértices de un cuadrado y un cubo, de ahí el nombre común. Para /7=4, en la Fig. 17 se muestra una representación gráfica de esta relación. Cerca de cada vértice de un cubo de 4 dimensiones, el correspondiente subconjunto de conjunto de 4 elementos y cuatridimensional un vector que representa la función característica de este subconjunto. Los vértices correspondientes a subconjuntos que se diferencian por la presencia de exactamente un elemento están conectados entre sí. En la Fig. 17, un cubo de cuatro dimensiones se representa de tal manera que en un A nivel, los elementos incomparables se ubican en pares, que contienen el mismo número de unidades en el registro (de 0 a 4), o, en otras palabras, el mismo número de elementos en los subconjuntos representados. En la Fig. 18a, b - otras representaciones visuales de un cubo de 4 dimensiones; en la Fig. 18a el eje de la primera variable OH dirigido hacia arriba (desviación intencional de la vertical para que los diferentes bordes del cubo no se fusionen): en este caso el subcubo tridimensional correspondiente a X= 0 se encuentra debajo, y para X= 1 - mayor. En la Fig. 186 mismo eje OH dirigido desde el interior del cubo hacia el exterior; el subcubo interior corresponde a X= Ah, y el externo es X= 1. EN Un montón de X (\displaystyle X), en el que se introduce la relación de orden parcial, se llama parcialmente ordenado. Una relación de orden parcial no estricta a menudo se denota por ≼ (\displaystyle \preccurlyeq ).
Relación de orden parcial R (\displaystyle R) llamado orden lineal, si se cumple la condición Un montón de X (\displaystyle X), en el que se introduce una relación de orden lineal, se llama ordenado linealmente, o cadena. Actitud R (\displaystyle R), que satisface sólo las condiciones de reflexividad y transitividad se llama pre-orden o cuasi-orden. Si se sustituye la condición de reflexividad por la condición de antirreflexividad: entonces obtenemos la definición estricto, o orden parcial antirreflexivo(generalmente indicado por el símbolo ≺ (\displaystyle\prec)). Comentario. La antirreflexividad y transitividad simultáneas de una relación implica antisimetría. Por lo tanto la relación es relación de orden estricto si y sólo si es antirreflexivo y transitivo. En general, si R (\displaystyle R) es una relación transitiva y antisimétrica, entonces Señales
<
{\displaystyle <}
Y > (\displaystyle >) inventado
7. El concepto de tupla de un par ordenado. Producto cartesiano de conjuntos y sus propiedades. El número de elementos en un producto discreto de conjuntos. Para introducir el concepto de producto cartesiano de conjuntos, considere el concepto desfile de automóviles. Este concepto, al igual que el concepto de conjunto, es un concepto básico indefinido. Para una tupla, el orden de los elementos es importante. Los elementos de una tupla se pueden repetir. El número de elementos de una tupla determinada se llama longitud. Una tupla de longitud 2 se llama par ordenado. La tarjeta está designada por () o< >. × es una designación para el producto cartesiano de conjuntos. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Producto cartesiano de conjuntos. A y B son un conjunto que consta de todos los pares ordenados en los que el primer componente es un elemento del primer conjunto y el segundo componente es un elemento del segundo conjunto. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) Propiedad del producto cartesiano de conjuntos (DPM). El DPM no tiene la propiedad de conmutatividad y asociatividad: A×B≠B×A. Las propiedades distributivas del DPM se satisfacen: 1) con respecto a la unión de conjuntos A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) con respecto a la intersección de conjuntos A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Para encontrar la cantidad de elementos en un DP en dos o más conjuntos, necesita saber la cantidad de elementos en cada conjunto. Si el número de elementos es n. Si n(A)=n, y n(B)=m, entonces n(A×B)=n*m. Sea A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Compongamos el DPM A y B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) En cada línea hay pares, como líneas en, significa que el número total de elementos enumerados es em en pares, por lo tanto, el número de elementos en el DPM A y B es igual al producto del número de elementos en el conjunto A y el número de elementos del conjunto B. 8. El concepto de correspondencia entre conjuntos. Métodos para especificar el cumplimiento. Tipos de correspondencias. La correspondencia ef entre los elementos de los conjuntos X e Y se llama triplete de conjuntos (X;U; G f (ji de ef), ji de ef es un subconjunto del DP (producto cartesiano). El conjunto X se llama la región de salida, el conjunto Y se llama región de llegada ji de ef - se llama gráfica de esta correspondencia. El dominio de determinación de la correspondencia ef es el conjunto de aquellos elementos del primer conjunto (es decir, el área de salida) a los que los elementos del segundo conjunto (es decir, el área de llegada) corresponden. El conjunto del valor de correspondencia ef es el conjunto de elementos del área de llegada al que de acuerdo con algunos elementos del área de salida. Métodos para especificar correspondencias.: enumerar sus elementos, usar un gráfico, usar un gráfico, usar una tabla, verbalmente, algebraicamente, es decir. ecuación, desigualdad. Tipos de correspondencias. Las correspondencias se llaman en todas partes definido, si la zona de envío coincide con la zona de definición. En el gráfico de dicha correspondencia, al menos una flecha parte de cada elemento del primer conjunto. Se llama cumplimiento. sobreyectivo, si su conjunto de valores coincide con la región de llegada. En un gráfico de dicha correspondencia, al menos 1 flecha coincide con cada elemento del segundo conjunto. Se llama cumplimiento. inyectivo, si a ningún elemento diferente del 1.º conjunto le corresponde un mismo elemento del 2.º conjunto. En un gráfico de dicha correspondencia, ningún elemento del segundo conjunto coincide con más de una flecha. Se llama cumplimiento. funcional, si cada elemento del 1er conjunto corresponde a no más de 1 elemento del 2º conjunto. En un gráfico de dicha correspondencia, si solo hay 1 flecha que sale de cada elemento del primer conjunto. La correspondencia funcional se llama función. Entre todas las correspondencias funcionales, existen correspondencias que se definen universalmente, que se denominan mostrar. Se llama cumplimiento. cara a cara, si se cumplen las siguientes condiciones: 1) dos elementos cualesquiera diferentes del conjunto X corresponden a diferentes elementos del conjunto Y, 2) cualquier elemento del conjunto Y corresponde al menos a un elemento del conjunto X. Dos correspondencias entre los los conjuntos x e y se llaman opuesto, si sus gráficas complementan mutuamente el producto cartesiano de X e Y. La correspondencia se llama contrarrestar a una correspondencia dada si una correspondencia dada se cumple si y sólo si se cumple lo contrario. Si una correspondencia dada es un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos X e Y, entonces la correspondencia inversa es un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos X e Y. Obtener la correspondencia inversa a la dada. En su gráfico es necesario cambiar la dirección de las flechas.
9.Cumplimiento funcional. Propiedades de funciones numéricas. Se llama cumplimiento. funcional, si cada elemento del 1er conjunto corresponde a no más de 1 elemento del 2º conjunto. En un gráfico de dicha correspondencia, si solo hay 1 flecha que sale de cada elemento del primer conjunto. Una correspondencia funcional definida en un conjunto numérico se llama numérica y se llama función. Propiedades de funciones numéricas. 1. Cada función tiene un dominio de definición y un conjunto de valores. 2. La función puede ser creciente o decreciente. Se dice que una función es creciente en el intervalo a b si para cualquier x1 y x2 x1 > x2 se sigue f (x1) > f (x2). Una función se llama decreciente en el intervalo a b si para cualquier x1 y x2 de este intervalo, del hecho de que x1 > x2 se sigue f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
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muy necesario
precede al año si
, Si
, Si a 
, en el que ya sea
El archivo de materiales muestra una imagen de un cubo unitario de 5 dimensiones (p. 134).Opciones
orden estricto
Ejemplos
Dimensión de Dushnik-Miller
Historia
