Знакочередні ряди. Ознака Лейбниця
Числовий ряд, що містить безліч позитивних і безліч негативних членів, називається знакозмінним.
Абсолютна та умовна збіжність
Ряд називається абсолютно схожим, якщо ряд також сходиться.
Якщо ряд сходиться абсолютно, він є схожим (у звичайному сенсі). Зворотне твердження неправильне.
Ряд називається умовно схожим, якщо він збігається, а ряд, складений з модулів його членів, розходиться.
Дослідити на збіжність ряд 
.
Застосуємо достатню ознаку Лейбніца для знаків рядів, що чергуються. Отримуємо 
оскільки. Отже, цей ряд сходиться.
38. Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця.
Приватним випадком знакозмінного ряду є ряд, що чергується, тобто такий ряд, в якому послідовні члени мають протилежні знаки.
Ознака Лейбниця
Для знак чередуючих поруч діє достатня ознака збіжності Лейбниця.
Нехай (an) є числовою послідовністю, такою, що
1. an+1< an для всех n;
Тоді знакочередуючі ряди виходять.
39. Функціональні ряди. Ступінні ряди. Радіус збіжності. Інтервал збіжності.
Поняття функціонального ряду та статечного ряду
Звичайний числовий ряд, згадуємо, складається з чисел:
Усі члени низки – це ЧИСЛА.
Функціональний ряд складається з ФУНКЦІЙ:
У спільний член поруч крім багаточленів, факторіалів та інших подарунків неодмінно входить літеру «ікс». Виглядає це, наприклад, так:
Як і числовий ряд, будь-який функціональний ряд можна розписати у розгорнутому вигляді:
Як бачите, всі члени функціонального ряду – це функції.
Найбільш популярним різновидом функціонального ряду є статечний ряд.
Визначення:
Ступіньовий ряд – це ряд, до загального члена якого входять цілі позитивні ступені незалежної змінної.
Спрощено статечний ряд у багатьох підручниках записують так: , де це стара знайома «начинка» числових рядів (багаточлени, ступеня, факторіали, що залежать тільки від «ен»). Найпростіший приклад:
Подивимося на це розкладання і ще раз осмислимо визначення: члени статечного ряду містять «ікси» у цілих позитивних (натуральних) ступенях.
Дуже часто статечний ряд можна зустріти в наступних «модифікаціях»: або де – константа. Наприклад:
Строго кажучи, спрощені записи статечного ряду, або зовсім коректні. У показнику ступеня замість одинокої літери «ен» може бути більш складний вираз, наприклад: 
Або такий статечний ряд:
Аби показники ступенів при «іксАх» були натуральними.
Збіжність статечного ряду.
Інтервал збіжності, радіус збіжності та область збіжності
Не треба лякатися такого різноманіття термінів, вони йдуть «поряд один з одним» і не становлять особливих складнощів для розуміння. Краще виберемо якийсь простий піддослідний ряд і одразу почнемо розбиратися.
Прошу любити і шанувати статечний ряд Змінна може набувати будь-якого дійсного значення від «мінус нескінченності» до «плюс нескінченності». Підставимо до загального члена ряду кілька довільних значень «ікс»:
Якщо х = 1, то
Якщо х = -1, то
Визначення 1
Числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, члени якого мають довільні знаки (+), (?), називається знакозмінним рядом.
Розглянуті вище знак чергові ряди є окремим випадком знакозмінного ряду; Відомо, що ні всякий знакозмінний ряд є знакочередним. Наприклад, ряд $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) - \frac(1)(7) +\ldots - $ знакозмінний, але не є знак чередующимся поруч.
Зазначимо, що у знаково змінному ряді членів як зі знаком (+), і зі знаком (-) нескінченно багато. Якщо це виконується, наприклад, ряд містить кінцеве число негативних членів, їх можна відкинути і розглядати ряд, складений лише з позитивних членів, і навпаки.
Визначення 2
Якщо числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться його сума дорівнює S,а часткова сума дорівнює $S_n$ , то $r_(n) =S-S_( n) $ називається залишком ряду, причому $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n )) = S-S = 0 $, тобто. залишок схожого ряду прагне 0.
Визначення 3
Ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ називається схожим абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів $\sum \limits _(n=1)^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Визначення 4
Якщо числовий ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, а ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n ) \right| $, складений з абсолютних величин його членів, розходиться, то вихідний ряд називається умовно (неабсолютно) схожим.
Теорема 1 (достатня ознака збіжності знакозмінних рядів)
Знакоперемінний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, причому абсолютно, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів$\sum \limits _(n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Зауваження
Теорема 1 дає лише достатню умову збіжності знакозмінних рядів. Зворотна теорема неправильна, тобто. якщо знакперемінний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ сходиться, то не обов'язково, що сходиться ряд, складений з модулів $\sum \limits _(n=1)^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (він може бути як схожим, так і розбіжним). Наприклад, ряд $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, $\sum \limits _(n=1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (гармонічний ряд) розходиться.
Властивість 1
Якщо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ абсолютно сходиться, то він абсолютно сходиться за будь-якої перестановки його членів, при цьому сума ряду не залежить від порядку розташування членів. Якщо $S"$ - сума всіх його позитивних членів, а $S""$ - сума всіх абсолютних величин негативних членів, то сума ряду $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ дорівнює $S=S"-S""$.
Властивість 2
Якщо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ абсолютно сходиться і $C=(\rm const)$, то ряд $\sum \limits _(n=1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ також абсолютно сходиться.
Властивість 3
Якщо ряди $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ і $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ абсолютно сходяться, то ряди $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ також абсолютно сходяться.
Властивість 4 (теорема Рімана)
Якщо ряд умовно сходиться, то яке б ми не взяли число А, можна переставити члени цього ряду так, щоб його сума була точно рівною А; більше, можна так переставити члени ряду, що умовно сходить, щоб після цього він розходився.
Приклад 1
Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Рішення. Цей ряд є знакозмінним, загальний член якого позначимо: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Приклад 2
Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $.
- Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність. Позначимо $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ і складемо ряд абсолютних величин $a_(n) =\left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Отримуємо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ з позитивними членами, до якого застосовуємо граничну ознаку порівняння рядів. Для порівняння з рядом $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ розглянемо ряд, який має вигляд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Цей ряд є поруч Діріхле з показником $p=\frac(1)(2)
- Далі досліджуємо вихідний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ на умовну збіжність. Для цього перевіримо виконання умов ознаки Лейбниці. Умова 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, де $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , тобто. цей ряд знакочередний. Для перевірки умови 2) про монотонне зменшення членів ряду використовуємо наступний метод. Розглянемо допоміжну функцію $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, визначену при $x\in
Рішення. Цей ряд є знакозмінним, загальний член якого позначимо: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Приклад 2
Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $.
- Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність. Позначимо $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ і складемо ряд абсолютних величин $a_(n) =\left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Отримуємо ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ з позитивними членами, до якого застосовуємо граничну ознаку порівняння рядів. Для порівняння з рядом $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ розглянемо ряд, який має вигляд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Цей ряд є поруч Діріхле з показником $p=\frac(1)(2)
- Далі досліджуємо вихідний ряд $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ на умовну збіжність. Для цього перевіримо виконання умов ознаки Лейбниці. Умова 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, де $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , тобто. цей ряд знакочередний. Для перевірки умови 2) про монотонне зменшення членів ряду використовуємо наступний метод. Розглянемо допоміжну функцію $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, визначену при $x\in )
