Як знайти площу прямокутного трикутника незвичайним способом. Як знайти площу прямокутного трикутника незвичайним способом Як обчислюється площа прямокутного трикутника
Трикутник – плоска геометрична фігура з одним кутом, рівним 90°. При цьому в геометрії дуже часто потрібно обчислити площу такої фігури. Як це зробити, ми розповімо далі.
Найпростіша формула визначення площі прямокутного трикутника
Вихідні дані, де: a та b – сторони трикутника, що виходять із прямого кута.
Тобто площа дорівнює половині твору двох сторін, які виходять із прямого кута. Звичайно, існує формула Герона, яка використовується для обчислення площі звичайного трикутника, але для визначення величини необхідно знати довжину трьох сторін. Відповідно вам доведеться розрахувати гіпотенузу, а це зайвий час.
Знайти площу прямокутного трикутника через формулу Герона
Це всім відома та вихідна формула, але для цього вам доведеться порахувати гіпотенузу за двома катетами, використовуючи Теорему Піфагора.
У цій формулі: a, b, c – сторони трикутника, а p – напівпериметр.
Знайти площу прямокутного трикутника з гіпотенузи та кута
Якщо у вашій задачі не відомий жоден з катетів, то скористатися найпростішим способом ви не зможете. Для визначення величини потрібно розрахувати довжину катетів. Це зробити просто з гіпотенузи та косинус прилеглого кута.
b=c×cos(α)
Дізнавшись довжину одного з катетів, за теоремою Піфагора ви зможете розрахувати другий бік, що виходить із прямого кута.
b 2 =c 2 -a 2
У цій формулі c і a – гіпотенуза та катет відповідно. Тепер можете розрахувати площу за першою формулою. Так само можна обчислити один з катетів, маючи другий і кут. У такому разі одна з шуканих сторін дорівнюватиме добутку катета на тангенс кута. Існують і інші способи обчислення площі, але знаючи основні теореми та правила, ви зможете легко знайти потрібну величину.
Якщо у вас немає жодної зі сторін трикутника, а є лише медіана та один із кутів, то ви зможете обчислити довжину сторін. Для цього використовуйте властивості медіани ділити прямокутний трикутник на два. Відповідно, вона може бути гіпотенузою, якщо виходить з гострого кута. Скористайтеся теоремою Піфагора та визначте довжину сторін трикутника, що виходять із прямого кута.
Як бачите, знаючи основні формули і Теорему Піфагора, ви зможете розрахувати площу прямокутного трикутника, маючи лише один із кутів та довжину однієї зі сторін.
Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90°. Його площу можна знайти, якщо відомі два катети. Можна, звичайно, піти і довгим шляхом - знайти гіпотенузу і прорахувати площу, але в більшості випадків це тільки займе зайвий час. Саме тому формула площі прямокутного трикутника виглядає так:
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів.
Приклад розрахунку площі прямокутного трикутника.
Даний прямокутний трикутник з катетами a= 8 см, b= 6 див.
Обчислюємо площу: 
Площа дорівнює: 24 см 2
Також у прямокутному трикутнику застосовується теорема Піфагора. - Сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
Формула площі рівнобедреного прямокутного трикутника обчислюється як і звичайного прямокутного трикутника.
Приклад розрахунку площі рівнобедреного прямокутного трикутника:
Даний трикутник з катетами a= 4 см, b= 4 см. Обчислюємо площу:
Обчислюємо площу:=8 см 2
Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи може використовуватися, якщо в умові дано один катет. З теореми Піфагора знаходимо довжину невідомого катета. Наприклад, дана гіпотенуза cта катет a, катет bдорівнюватиме:
Далі обчислюємо площу за звичайною формулою. Приклад розрахунку формули площі прямокутного трикутника з гіпотенузи ідентичний описаному вище.
Розглянемо цікаву задачу, яка допоможе закріпити знання формул для розв'язання трикутника.
Завдання: площа прямокутного трикутника дорівнює 180 кв. див. знайдіть менший катет трикутника, якщо він менший за другий на 31 см.
Рішення: позначимо катети aі b. Тепер підставимо дані у формулу площі:, ще ми знаємо, що один катет менший за інший a – b= 31 см
З першої умови отримуємо, що
Підставляємо цю умову у друге рівняння: 
Оскільки ми знаходили сторони, то знак мінус прибираємо.
Виходить, що катет a= 40 см, а b= 9 див.
На уроках геометрії в середній школі всім нам говорили про трикутник. Однак у рамках шкільної програми ми отримуємо лише найнеобхідніші знання та вчимося найбільш поширеним та стандартним способам обчислень. Чи існують незвичайні способи знаходження цієї величини?
Як запровадження згадаємо, який трикутник вважається прямокутним, і навіть позначимо поняття площі.
Прямокутним трикутником називають замкнуту геометричну фігуру, один із кутів якої дорівнює 90 0 . Невід'ємними поняттями у визначенні є катети та гіпотенуза. Під катетами мають на увазі дві сторони, які у точці з'єднання утворюють прямий кут. Гіпотенуза – сторона, протилежна прямому куту. Прямий трикутник може бути рівнобедреним (дві його сторони матимуть однакову величину), але ніколи не буде рівностороннім (всі сторони однієї довжини). Визначення висоти, медіани, векторів та інших математичних термінів докладно не розбиратимемо. Їх легко знайти у довідниках.
Площа прямого трикутника. На відміну від прямокутників, правило про
твір сторін у визначенні не діє. Якщо говорити сухою мовою термінів, то під площею трикутника розуміють властивість цієї фігури займати частину площини, виражену числом. Досить складно до сприйняття, погодьтеся. Не намагатимемося глибоко вникнути у визначення, наша мета не в цьому. Перейдемо до головного – як знайти площу прямокутного трикутника? Самі обчислення робити не будемо, зазначимо лише формули. Для цього визначимося з позначеннями: A, B, C – сторони трикутника, катети – AB, BC. Кут ACB – прямий. S – площа трикутника, h n n – висота трикутника, де nn – сторона, на яку вона опущена.
Спосіб 1. Як знайти площу прямокутного трикутника, якщо відома величина його катетів
Спосіб 2. Знаходимо площу рівнобедреного прямокутного трикутника
Спосіб 3. Обчислення площі через прямокутник
Добудовуємо прямокутний трикутник до квадрата (якщо трикутник
рівнобедрений) або прямокутника. Отримаємо простий чотирикутник, що складається з 2-х ідентичних прямокутних трикутників. У цьому випадку значення площі одного з них дорівнює половині площі отриманої фігури. S прямокутника обчислюємо добутком сторін. Позначимо цю величину M. Шукане значення площі дорівнюватиме половині M.
Спосіб 4. «Піфагорові штани». Знаменита теорема Піфагора
Ми всі пам'ятаємо її формулювання: «Сума квадратів катетів ...». Але не всі можуть
сказати, причому тут деякі «штани». Справа в тому, що спочатку Піфагор вивчав взаємозв'язок побудованих на сторонах прямого трикутника. Виявивши закономірності у співвідношенні сторін квадратів, він зміг вивести і відому нам формулу. Її можна застосовувати у разі, коли невідома величина однієї із сторін.
Спосіб 5. Як знайти площу прямокутного трикутника за формулою Герона
Також досить простий спосіб розрахунку. Формула передбачає вираз площі трикутника через числові значення його сторін. Для розрахунків потрібно знати величини всіх сторін трикутника.
S = (p-AC)*(p-BC), де p = (AB+BC+AC)*0.5
Крім наведених, існує безліч інших способів знайти величину такої загадкової фігури, як трикутник. Серед них: обчислення методом вписаного або описаного кола, обчислення за допомогою координат вершин, використання векторів, абсолютної величини, синусів, тангенсів.
Прямокутний трикутник зустрічається насправді на кожному кутку. Знання про властивості даної фігури, а також вміння обчислювати її площу, безперечно, стане вам у нагоді не тільки для вирішення задач з геометрії, але і в життєвих ситуаціях.
Геометрія трикутника
В елементарній геометрії прямокутний трикутник - це фігура, яка складається з трьох з'єднаних відрізків, що формують три кути (два гострі і один прямий). Прямокутний трикутник - оригінальна фігура, що характеризується рядом важливих властивостей, що становлять фундамент тригонометрії. На відміну від звичайного трикутника, сторони прямокутної фігури мають власні назви:
- Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута.
- Катети - відрізки, що утворюють прямий кут. Залежно від кута, що розглядається, катет може бути прилеглим до нього (утворює цей кут з гіпотенузою) або протилежним (що лежить навпроти кута). Для непрямокутних трикутників катетів немає.
Саме співвідношення катетів та гіпотенузи становить основу тригонометрії: синуси, тангенси та секанси визначаються як відношення сторін прямокутного трикутника.
Прямокутний трикутник насправді
Ця фігура набула широкого поширення насправді. Трикутники знаходять застосування у проектуванні та техніці, тому розрахунок площі фігури доводиться виконувати інженерам, архітекторам та проектувальникам. Форму трикутника мають підстави тетраедрів або призм – тривимірних фігур, які легко зустріти у повсякденності. Крім того, косинець – найпростіше уявлення «плоського» прямокутного трикутника в реальності. Кутник - це слюсарний, креслярський, будівельний та столярний інструмент, який використовується для побудови кутів як школярами, так і інженерами.
Площа трикутника
Площа геометричної фігури – це кількісна оцінка того, яка частина площини обмежена сторонами трикутника. Площа звичайного трикутника можна знайти п'ятьма способами, використовуючи формулу Герона або оперуючи при розрахунках такими змінними, як основа, сторона, кут і радіус вписаного або описаного кола. Найпростіша формула площі виражається як:
де a – сторона трикутника, h – його висота.
Формула для обчислення площі прямокутного трикутника ще простіше:
де a та b – катети.
Працюючи з нашим онлайн-калькулятор, ви можете обчислити площу трикутника, використовуючи три пари параметрів:
- два катети;
- катет та прилеглий кут;
- катет та протилежний кут.
У завданнях чи побутових ситуаціях вам будуть дані різні комбінації змінних, тому така форма калькулятора дозволяє обчислити площу трикутника кількома способами. Розглянемо кілька прикладів.
Приклади із реального життя
Керамічна плитка
Допустимо, ви хочете виконати облицювання стін кухні керамічною плиткою, яка має форму прямокутного трикутника. Для того щоб визначити витрату плитки ви повинні дізнатися площу одного елемента облицювання та загальну площу оброблюваної поверхні. Нехай вам потрібно обробити 7 квадратних метрів. Довжина катетів одного елемента становить по 19 см, тоді площа плитки дорівнюватиме:
Це означає, що площа одного елемента становить 24,5 квадратних сантиметрів або 0,01805 квадратних метрів. Знаючи ці параметри, можна підрахувати, що для обробки 7 квадратних метрів стіни вам знадобиться 7/0,01805 = 387 елементів облицювальної плитки.
Шкільне завдання
Нехай у шкільній задачі з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, знаючи тільки те, що сторона одного катета дорівнює 5 см, а величина протилежного кута становить 30 градусів. Наш онлайн-калькулятор супроводжується ілюстрацією, на якій вказані сторони та кути прямокутного трикутника. Якщо сторона a = 5 см, її протилежний кут - це кут альфа, рівний 30 градусів. Введіть ці дані у форму калькулятора та отримайте результат:
Отже, калькулятор як обчислює площу заданого трикутника, а й визначає довжину прилеглого катета і гіпотенузи, і навіть величину другого кута.
Висновок
Прямокутні трикутники зустрічаються у нашому житті буквально на кожному розі. Визначення площі таких фігур стане вам у нагоді не тільки при вирішенні шкільних завдань з геометрії, але і повсякденної та професійної діяльності.
Формула площінеобхідна для визначення площа фігури, яка є речовиннозначною функцією, визначеною на деякому класі фігур евклідової площини і задовольняє 4м умовам:
- Позитивність — Площа не може бути меншою за нуль;
- Нормування - квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
- Конгруентність - конгруентні фігури мають рівну площу;
- Адитивність - площа об'єднання 2х фігур без загальних внутрішніх точок дорівнює сумі площ цих фігур.
| Геометрична фігура | Формула | Креслення |
|---|---|---|
|
Результат складання відстаней між серединами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюватиме його напівпериметру. |
||
|
Сектор кола. Площа сектора кола дорівнює добутку його дуги на половину радіусу. |
|
|
|
Сегмент кола. Щоб отримати площу сегмента ASB, достатньо з площі сектора AOB відняти площу трикутника AOB. |
S = 1/2 R(s - AС) |
|
|
Площа еліпса дорівнює добутку довжин великої та малої півосей еліпса на число пі. |
|
|
|
Еліпс. Ще один варіант як обчислити площу еліпса – через два його радіуси. |
|
|
|
Трикутник. Через основу та висоту. Формула площі кола через його радіус та діаметр. |
||
|
Квадрат. Через його бік. Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони. |
|
|
|
Квадрат. Через його діагоналі. Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі. |
||
|
Правильний багатокутник. Для визначення площі правильного багатокутника необхідно розбити його на рівні трикутники, які мали б загальну вершину в центрі вписаного кола. |
S= r·p = 1/2 r·n·a |
