Кільце ізоморфне кільце, поле ізоморфне поле. Властивості гомоморфізмів кілець Якщо : V w – ізоморфізм груп або кілець, то зворотне відображення –1: w V також є ізоморфізмом груп чи кілець
1. Композиція гомоморфізмів кілець – гомоморфізм кілець.
Нехай , , – кільця, , – гомоморфізми кілець, – композиція функцій. Тоді для " a, b Î K 1 виконуються рівності:
Отже, – гомоморфізм кілець.
2. Якщо f : K 1 ® K 2 – гомоморфізм кілець, то - Підкільце K 2 .
Im f Í K 2 та . ( K 1 , +) та ( K 2 , ) – групи, f- Гомоморфізм даних адитивних груп. Тому, за якістю 2 гомоморфізмів груп. Для виконання , оскільки f- Гомоморфізм кілець. Отже, Im f- Підкільце K 2 .
3. Якщо f : K 1 ® K 2 – гомоморфізм кілець, то і для .
Так як f : K 1 ® K 2 – гомоморфізм відповідних адитивних груп кілець ( K 1 , +) та ( K 2 , ), то за властивістю 2 гомоморфізмів груп маємо і для . Безпосередній доказ:
за визначенням гомоморфізму, нейтрального та протилежного елемента адитивної групи.
4. Якщо f : K 1 ® K 2 – гомоморфізм кілець, то й в Im f, де – одиниця K 1 і – одиниця Im f.
Відповідно до властивості 2 . Якщо – одиниця K 1 , то для , оскільки f– гомоморфізм, виконується
Тобто – одиниця. Для виконуються рівності та f(a-1) · f(a), отже, в Im f.
5. Якщо f : K 1 ® K 2 – гомоморфізм кілець, то Ker f– двосторонній ідеал K 1 .
Ker f Í K 1 та Ker f¹ Æ, так як Ker fза якістю 3. Для " a, b Î Ker f. Далі, для " a Î Ker f, " k Î K 1 виконується , . Отже,
Приклад 4.6.4.Розглянемо функцію f : Z/28Z ® Z/28Zде . f- ендоморфізм кільця ( Z/28Z, Å, Ä), тому що для будь-яких , Î Z/28Z
Можна помітити, що для , оскільки , а також, що Im fі Ker fє головними ідеалами кільця Z/28Z, тобто Im fде ( k, 28) = 28/7 = 4, та Ker fде ( l, 28) = 28/4 = 7. Таким чином,
Im f- Підкільце Z/28Z, але , оскільки Im f.·
6. Гомоморфізм кілець f : K 1 ® K 2 є мономорфізмом тоді і лише тоді, коли .
Доказ випливає із властивості 4 гомоморфізмів груп, оскільки f : K 1 ® K 2 – гомоморфізм відповідних груп ( K 1 , +) та ( K 2 , ).
З властивостей 5 і 6 випливає, що будь-який гомоморфізм довільних полів або нульовим, або ін'єктивним (оскільки поле не має нетривіальних ідеалів). Гомоморфізми дозволяють зробити ототожнення ізоморфних полів, встановити між полями відносини часткового порядку – за включенням.
Теорема 4.6.1 (перша теорема про гомоморфізм кілець).Нехай ( K, +, ×) – кільце – двосторонній ідеал. Тоді існує епіморфізм кілець для якого Ker f = I.
Побудуємо функцію, де. f- сюр'єкція: , , існує .
для відповідно до побудови фактор кільця ( K/I, Å, Ä). Тому f– гомоморфізм кілець.
Для Ker f. Нехай але якщо, так як різні класивідрахувань за модулем двостороннього ідеалу не перетинаються. Виходить суперечність. Значить, і . Отже,
Визначення 4.6.4.Гомоморфізм кілець де при якому називається природним(канонічним) гомомор-фізмом.
Теорема 4.6.2 (друга теорема про гомоморфізм кілець).Нехай-гомоморфізм кільця в кільце. Тоді
(властивість 2 гомоморфізмів кілець), (властивість 5 гомоморфізмів кілець). Побудуємо функцію f: , де . f– сюр'єктивна функція, оскільки для .
fне залежить від вибору представника класу відрахувань: нехай a 1 = a + iтоді отримуємо, що
Нехай тоді. Оскільки інакше , що призводить до суперечності з тим , що . Значить, f- Ін'єкція. Отже, f: - Бієктивна функція.
для . Значить, f- Гомоморфізм кілець. Таким чином, f- Ізоморфізм кілець і .
Оскільки для довільного кільця з властивості 6 гомоморфізмів кільця і теореми 4.6.2 слід, що будь-який ін'єктивний ендоморфізм кільця є автоморфізмом. Зокрема будь-який ненульовий ендоморфізм поля є його автоморфізмом.
Приклад 4.6.5.Нехай ( P, +, ×) - поле, ( P[x], +, ×) – кільце поліномів над полем P. - Фіксований елемент поля. Розглянемо функцію, де. Тоді для справедливості рівності:
отже, y- Гомоморфізм кілець.
за наслідком 1 із теореми Безу 4.4.4. y– сюр'єкція, тому що для і . Отже, таким чином, за теоремою 4.6.2. ·
Розвитком слідства 2 з теореми 4.5.2 є така теорема.
Теорема 4.6.3 (теорема існування кореня).Для будь-якого полінома, що не приводиться. f(x)Î P[x] ступеня nÎ Nіснує розширення поля P, що містить корінь цього полінома та ізоморфне поле P[x]/< f(x) >.
Факторкільце ( P[x]/< f(x) >, Å, Ä) є полем відповідно до слідства 2 з теореми 4.5.2. Підпілля в P[x]/< f(x) > ізоморфне поле P, очевидно, ізоморфізм задає функцію y: P ® P[x]/< f(x) >, де y(a) = , що є вкладенням Pв P[x]/< f(x) >, як говорилося у прикладі 4.6.3. Нехай f(x) = a n x n +…+a 1 x+a 0 , тоді в полі P[x]/< f(x) > . Але оскільки = , то є коренем полінома . Розглянемо тепер безліч S, що задовольняє умовам: SÇ P = Æ, | S | = | (P[x]/< f(x) >)\ | ¹ 0 при n> 1. Нехай F = SÈ P, при n = 1 F = P. Задамо на Fструктуру поля, продовживши мономорфізм yдо ізоморфізму Fна P[x]/< f(x)>. Якщо b, cÎ F, то вважаємо
b+c = y –1 (y(b)Å y(c)), b× c = y –1 (y(b)Ä y(c)).
При обмеженнях на Pці операції збігаються відповідно з заданими операціями складання та множення в P, і ясно, що P- підпіллі F. Покладемо a= , Тоді y(f(a)) = y(a n a n +…+a 1 a+a 0) = = = і, оскільки y- Ізоморфізм Fна P[x]/< f(x) >, f(a) = 0 у полі ( F, +, ×). Отже, збудоване поле є розширенням поля P, що містить корінь aполінома f(x).
Наслідок 1.Для будь-якого полінома f(x)Î P[x] ступеня nÎ Nіснує розширення поля Pмістить корінь цього полінома.
По теоремі 4.4.1 поліном f(x) однозначно розкладається на множники: f(x) = , де , - ненаведені над Pполіноми зі старшими коефіцієнтами, рівними 1, – старший коефіцієнт f(x). Відповідно до теореми 4.6.3 для кожного існує розширення поля P, що містить корінь даного полінома, що є і коренем полінома f(x) відповідно до слідства 1 з теореми Безу 4.4.4 та властивістю 3 ділимості поліномів.
Зауваження.Той факт, що розширення поля Pмістить корінь aполінома f(x)Î P[x], зовсім не означає, що містить усі корені цього полінома.
Приклад 4.6.6.Поліном f(x) = x 4 –2 ненаводимо над Qза ознакою Ейзенштейна: p= 2. У полі CЦей поліном має чотири простих кореня: , , і . Але поле містить тільки перший і третій з цього коріння, але не всі чотири. ·
Наслідок 2.Для будь-якого полінома f(x)Î P[x] ступеня nÎ Nіснує розширення поля P, що містить все коріння f(x).
Доказ проведемо індукцією за рівнем полінома f(x). Якщо deg f= 1, то f(x) = ax+b, a¹ 0 і – a –1 bÎ P– єдиний корінь f(x), отже, P- Шукане поле. Припустимо, що твердження є правильним для всіх багаточленів ступенів, менших за фіксований. nÎ N>1 з коефіцієнтами з довільних полів.
Нехай тепер deg f = n> 1. Тоді за наслідком 1 з теореми 4.6.3 існує розширення P 1 поля P, що містить корінь aполінома f(x). Відповідно до слідства 1 з теореми 4.4.4 P 1 [x] f(x) = (x–a)g(x), де g(x)Î P 1 [x] та deg g = = n-1. За припущенням індукції, існує розширення P 2 поля P 1 , що містить усі корені g(x). Так як P 2 є розширенням поля Pі містить усі корені полінома f(x) (воно містить aі все коріння полінома g(x)), то P 2 і є потрібне розширення.
Теорема 4.6.4.Нехай – епіморфізм кілець, Ker f = I. Тоді існує взаємно однозначна і збереження включення відповідність між усіма ідеалами кільця та ідеалами Uкільця ( K, +, ×), що містять I, Таке що , .
, Ker f = I. Нехай - довільний ідеал кільця, відповідно лівий, правий, двосторонній. Розглянемо прообраз ідеалу під час відображення f- . Тоді для , виконуються такі властивості:
1) , оскільки , оскільки , - Ідеал кільця , отже, , а ;
2) , оскільки , оскільки , - Ідеал кільця , отже, , а ;
3) , якщо – лівий ідеал, , якщо – правий ідеал, , якщо – двосторонній ідеал, тому що відповідно , , , оскільки і відповідно , , , а , .
Таким чином, є відповідно лівим, правим, двостороннім ідеалом кільця ( K, +, ×) згідно з визначенням. Оскільки, то. Якщо - ідеали кільця, причому, то для, значить, для, таке що, оскільки,, отже,. Отже, існує функція, задана на багатьох ідеалах кільця, яка кожному лівому, правому, двосторонньому ідеалу ставить у відповідність його прообраз при відображенні f, що є відповідно лівим, правим, двостороннім ідеалом кільця ( K, +, ×), що містить I, і ця функція зберігає увімкнення ідеалів. , то K і відповідно лівими, правими, двосторонніми ідеалами кільця .
Відповідно до теореми 4.6.2 існує ізоморфізм кілець . Застосовуючи теорему 4.6.3, отримуємо, що fзадає необхідну взаємно однозначну відповідність між ідеалами кільця та кільця, таке що,.
Визначення 1.7.Нехай ( A, ) і ( B, ) – групи. Відображення : A B називається гомоморфізмом груп, якщо вона зберігає операцію, тобто. x, y A (x y) = (x) (y).
Визначення 1.8.Якщо (A, + , ) і ( B, , ) – кільця, то відображення : A B називається гомоморфізмом кілець, якщо вона зберігає обидві операції, тобто.
x,yA (x + y) = (x) (y), x, y A (x y) = (x) (y).
Визначення 1.9.Ін'єктивні гомоморфізми називають мономорфізмамиабо вкладеннями, сюр'єктивні гомоморфізми епіморфізмамиабо накладаннями, А бієктивні - ізоморфізмами.
Визначення 1.10.Якщо існує гомоморфізм груп чи кілець : А B, то групи або кільця А, Вназивають ізоморфними.
Сенс ізоморфізму полягає в тому, що він встановлює таку відповідність між елементами ізоморфних об'єктів, яке показує, що з точки зору алгебраїчних операцій, що зберігаються, ізоморфні об'єкти невиразні.
Приклади: 1.Тотожний ізоморфізм I: A A , x A I (x) = x. (A – група або кільце).
2. Одиничнийабо нульовий епіморфізм: якщо E = {e} – одноелементний об'єкт (одинична група або нульове кільце), то для будь-якої групи ( A, ) або кільця визначено епіморфізм : A E, x A Про (x) = e.
3. Природні вкладення груп та кілець: Z Q R C.
Властивості гомоморфізмів
Якщо : (A, ) (B, ) – гомоморфізм груп, то
1 0 . (e A) = e B , тобто. переводить одиничний елемент на одиничний.
2 0 . a A (a – 1) = (a) – 1 , тобто. переводить зворотний елемент до ау зворотний до ( а).
3 0 . У разі гомоморфізму кілець : (A, + , ) (B, , ) отримуємо (0 А) = 0 В , (– a) = – (a).
4 0 . Для гомоморфізму кілець : (A, +, ) (B, , ) вірно:
x, y A (x – y) = (x) – (y).
5 0 . Гомоморфізм полів : (A, + , ) (B, , ) або нульовий, або вкладення.
60. Якщо : u V та : V w – два гомоморфізми груп або кілець, то їх композиція ○ : u w буде гомоморфізмом груп або кілець.
70. Якщо : V w – ізоморфізм груп або кілець, то зворотне відображення –1: w V також є ізоморфізмом груп або кілець. Поняття та ідея ізоморфізму в сучасній математиці
Ізоморфізм (або ізоморфність) – одне з основних понять сучасної математики. Два однотипних математичних об'єкта (чи структури) називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення однієї з них іншою, таке, що і зворотне щодо нього зберігають будову об'єктів, тобто. елементи, що у певному відношенні, перетворюються на елементи, що у відповідному відношенні.
Ізоморфні об'єкти можуть мати різну природу елементів і відносин між ними, але вони абсолютно однаково абстрактно влаштовані, є копіями один одного. Ізоморфізм є «абстрактна рівність» однотипних об'єктів. Наприклад, адитивна група класів відрахувань за модулем n ізоморфна мультиплікативною групою комплексного коріння n-ой ступеня з 1.
Ставлення ізоморфності будь-якому класі однотипних математичних об'єктів, будучи ставленням еквівалентності, розбиває вихідний клас об'єктів на класи ізоморфності – класи попарно ізоморфних об'єктів. Вибираючи у кожному класі ізоморфності по одному об'єкту, ми отримуємо повний абстрактний огляд класу математичних об'єктів. Ідея ізоморфізму полягає у поданні або описі об'єктів даного класу з точністю до ізоморфізму.
Для кожного даного класу об'єктів існує проблема ізоморфізму. Чи ізоморфні два довільні об'єкти з даного класу? Як це з'ясовується? Для підтвердження ізоморфності двох об'єктів, як правило, будується конкретний ізоморфізм між ними. Або встановлюється, що обидва об'єкти ізоморфні деякому третьому об'єкту. Для перевірки неізоморфності двох об'єктів достатньо вказати абстрактну властивість, якою володіє один з об'єктів, але не має іншої.
МЕТОДИКА 11.Ю.М.Колягін розрізняє два види позакласної роботи з математики.
Робота з учнями, що відстають від інших у вивченні програмного матеріалу, тобто. додаткові заняттяпо математиці.
Робота з учнями виявляють інтерес до математики.
Але можна назвати ще й третій вид роботи.
Робота з учнями щодо розвитку інтересу у вивченні математики.
Існують такі форми позакласної роботи:
Математичний гурток.
факультатив.
Олімпіади, конкурси, вікторини.
Математичні олімпіади.
Математичні обговорення.
Тиждень математики.
Шкільний та класний математичний друк.
Виготовлення математичних моделей.
Математичні екскурсії.
Зазначені форми часто перетинаються і тому важко провести між ними різкі межі. Більше того, елементи багатьох форм можуть бути використані при організації роботи за якоюсь однією з них. Наприклад, під час проведення математичного вечора можна використовувати змагання, конкурси, доповіді тощо.
Етапи організації.
Підготовчий
Організаційний
порушити інтерес до позаурочних занять;
залучити до участі у масових заходах та окремих змаганнях;
Дидактичний
допомогти у подоланні труднощів;
підтримувати інтерес до додаткових занять;
бажання займатися математичною самоосвітою
Основний
створити основу кожному учню для подальших особистих успіхів;
допомогти учням усвідомити соціальну, практичну та особистісну значущість позакласних занять;
формувати позитивну мотивацію участі у позакласних заходах
Заключний
провести діагностику та рефлексію, що проводяться позакласних занять;
підбити підсумки та заохотити учнів, що взяли активну участь
Для вивчення пропонуються поняття кільця, комутативного кільця та області цілісності, гомоморфізму та ізоморфізму кілець, підкільця, а також властивості кільця цілих чисел.
п.1. Концепція кільця.
Визначення. Алгебра, де - бінарні операції, - унарна операція, називається кільцем, якщо виконані аксіоми.
I. – абелева група.
ІІ. 1) – асоціативність множення.
2) закони дистрибутивності: - лівий дистрибутивний закон, - правий дистрибутивний закон.
Називається адитивною групою кільця.
Визначення. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо існує
Визначення. Кільце називається комутативним, якщо
Визначення. Елементи називаються дільниками, якщо
Визначення. Кільце називається областю цілісності, якщо воно має властивості:
Кільце – комутативно.
Кільце з одиницею, де.
Кільце не має дільників нуля.
П.2. Приклади кілець.
Розглянемо. Операції - бінарна операція на множині, операція - унарна операція на множині,, значить - алгебра. Аксіоми кільця на безлічі виконані, це випливає з властивостей цілих чисел, отже - кільце. Це кільце з одиницею 1, оскільки і . Це комутативне кільце, оскільки . Це обручка без дільників нуля. Кільце цілих чисел є областю цілісності.
Нехай - безліч цілих парних чисел, - алгебра, кільце без одиниці, комутативне, без дільників нуля, є областю цілісності.
Перевіримо, чи буде на безлічі кільце.
Бінарна операція на безлічі.
Унарна операція на безлічі.
Значить – алгебра.
Аксіоми кільця для даної алгебри виконані, так як , а на аксіоми виконані (з властивостей дійсних чисел), отже - це кільце.
Кільце з одиницею – це комутативне кільце без дільників нуля, є областю цілісності.
Нехай. Визначимо операції, ; , .
Бінарні операції на безлічі
Значить - унарна операція на безлічі.
Значить – алгебра. Перевіримо, чи є ця алгебра кільцем. Для цього перевіримо аксіоми кільця. Рівність - рівність функції: визначення операцій. Розглянемо твір, обчислимо значення лівої та правої частин від а) б). Аналогічно перевіряється, що всі аксіоми кільця виконані, то є кільцем. Це кільце з одиницею. Справді (властивість одиниці). Це комутативне кільце, оскільки . Покажемо, що це кільце з дільниками нуля. Нехай , , , (нульова функція). Обчислимо (як і нульової функції). Значить , - дільники нуля, отже кільце - перестав бути областю цілісності.
П.3. Найпростіші властивості кільця.
Нехай – кільце. Випишемо і перевіримо аксіоми кільця:
Доведення. - Абелева група, маємо
Доведення. - Абельова група, маємо .
Якщо, якщо.
Доведення. За законом скорочення групи, визначеної на безлічі .
Якщо, якщо.
Доведення. Випливає із якості 4 груп.
Якщо, якщо.
Доведення. Випливає з 5 властивостей груп.
Доведення. Випливає з 6 властивостей груп.
Доведення. Доведемо, що .
Доведення. Доведемо, що розглянемо суму . Аналогічно доводиться, що .
Позначення: .
(Правий дистрибутивний закон), (лівий дистрибутивний закон).
Доведення. Правий дистрибутивний закон: ліва частина дорівнює правій частині. Аналогічно доводиться лівий дистрибутивний закон.
Доведення. Обчислимо суму.
П.4. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець.
Дано два кільця та .
Визначення. Гомоморфізмом кільця в кільці називається функція і має властивості:
Іншими словами, гомоморфізм кілець – це відображення, що зберігають усі операції кільця. Якщо - гомоморфізм кільця, то - гомоморфізм абелевих груп в групу.
Теорема. Нехай і - кільця і , що мають властивості:
Тоді – гомоморфізм кілець.
Доведення. З властивості є гомоморфізмом груп і , тому має властивості: , , означає за визначенням - гомоморфізм кілець.
Визначення. Відображення називається ізоморфізмом кільця на , якщо має властивості:
Гомоморфізм кілець.
Бієкція.
Іншими словами: ізоморфізм – це гомоморфізм, що є біекцією.
П.5. Підкільця.
Нехай - обручка, , .
Визначення. Множина - замкнута щодо операції, якщо.
Множина - замкнута щодо операції, якщо. Множина - замкнута щодо операції, якщо.
Теорема. Нехай - кільце, , , якщо - замкнуте щодо операції , то - кільце, яке називається підкільцем, кільця.
Доведення. - бінарні операції, - унарна операція, оскільки - замкнута безліч. Оскільки , то існує , оскільки - замкнуто щодо операції , то , отже - алгебра, оскільки аксіоми виконані на , всі вони виконані і , тому алгебра - кільце.
Теорема. Нехай - числове кільце з одиницею 1, тоді воно містить підкільце цілих чисел.
П.6. Аксіоматичне визначення кільця цілих чисел.
Алгебраїчна система , де бінарні операції - унарна операція, , , називається системою цілих чисел, якщо виконані три групи аксіом:
I. – кільце.
Абелева група
Адитивна група
ІІ. Безліч - замкнуте щодо операцій та алгебраїчна система є системою натуральних чисел(Системою Пеано).
Аксіома індукції: нехай. Якщо безліч відповідає умовам: | де . Число називається ділимим, - дільником, - приватним, - залишком при розподілі на .
Доведення. Доведемо існування хоча б однієї пари чисел. Для цього розглянемо безліч. Безліч містить як негативні, і неотрицательные числа, нехай - найменше неотрицательное число , тоді . Доведемо, що , припустимо неприємне . Розглянемо число. протиріччя з вибором. Доведено, що , . Доведемо єдиність чисел і, хай. , . Доведемо, що , припустимо неприємне . Нехай. Маємо протиріччя, оскільки між числами немає чисел, що діляться на . Доведено, що якщо , то , а звідси випливає, що . Доведено єдиність чисел та .
Список літератури
Є.Є. Маренич, А.С. Маренич. Вступний курс математики. Навчально-методичний посібник. 2002
В.Є. Маренич. Журнал "Аргумент". Завдання з теорії груп.
Кострикін А.І. Введення до алгебри. Ч.1 Основи алгебри. - М: Фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення до алгебри. Ч.2 Основи алгебри. - М: Фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Введення до алгебри. Ч.3 Основні структури алгебри. - М: Фізмат літ-ра, 2000
Кострикін А.І. Збірник завдань з алгебри. Вид. третє - М: Фізмат літ-ра, 2001
Визначення 34.Непорожня підмножина Hкільця Kназивається підкільцемкільця K, якщо Hє кільцем щодо тих самих операцій, що і кільце K.
Теорема 9(Критерій підкільця).
Нехай K– кільце, H -непусте підмножина K. Hє підкільцем кільця Kтоді і лише тоді, коли виконуються умови:
1) для будь-яких h 1, h 2∈H (h 1 -h 2)∈H;
2) для будь-яких h 1, h 2∈H h 1 ⋅h 2∈H.
Доведення.Необхідність. Нехай H -підкільце кільця K.Тоді Н– кільце щодо тих самих операцій, що й K.Значить, Нзамкнуто щодо операцій складання та множення, тобто умова 2) виконується. Крім того, для будь-яких h 1, h 2∈H∃ -h 2∈Hі h 1+(-h 2)=h 1 -h 2∈H.
Достатність. Нехай виконуються умови 1) та 2). Доведемо, що Н -підкільце кільця K.В силу визначення 34, достатньо перевірити, що Н -кільце.
Оскільки виконується умова 1), то, за теоремою 7", Нє підгрупою адитивної групи K. Крім того, так як операція додавання коммутативна на K, то в Ноперація "+" також комутативна. Отже, Н- Адитивна абелева група.
Далі, у Kвиконуються дистрибутивні закони та Н⊆K. Значить, у Нтакож виконуються дистрибутивні закони. Тим самим ми показали, що Н- Кільце, а, отже, Н- підкільце кільця K.
Теорему доведено.
Визначення 35.Відображення φ кільця Kу кільце Kназивається гомоморфним відображеннямабо гомоморфізмом, якщо виконуються 2 умови:
1) для будь-яких a, b∈K φ(a+b)=φ (a)+φ (b);
2) для будь-яких a, b∈K φ(a⋅b)=φ (a)⋅φ (b).
Примітка 10.Визначення мономорфізму, епіморфізму, ізоморфізму, ендоморфізму, автоморфізму кілець формулюється аналогічно відповідним визначенням для груп.
Зауваження 11.Ставлення ізоморфізму на багатьох кілець є відношенням еквівалентності, яке розбиває це безлічна непересічні класи - класи еквівалентності. В один клас увійдуть ті й тільки ті кільця, які є ізоморфними між собою. Ізоморфні кільця мають ті самі властивості. Тому з алгебраїчної точки зору вони невиразні.
8. Поле.
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Елементи теорії множин Поняття множини. Підмножина. Операції над множинами
У шкільному курсі математики розглядалися операції над числами При цьому були встановлені ряд властивостей цих операцій.. Поряд з операціями над числами в шкільному курсі також розглядалися і.
Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
Діаграми Ейлера-Венна
Як в повсякденному житті, і наукових дослідженнях часто доводиться розглядати сукупності речей, системи об'єктів тощо. При цьому завжди вважають, що розглядається деякий
Властивості операцій над множинами
Згідно з визначенням 1, множини А і В рівні в тому й тільки тому випадку, коли А⊆В і В⊆А. Теорема 1. Нехай
Прямий (декартовий) твір множин
Визначення 11. Прямим (декартовим) твором множин A і B називається безліч, що позначається AB (читається
Бінарні відносини між множинами
Визначення 14. Бінарним ставленням називається безліч упорядкованих пар. У математиці під час розгляду зв'язку між об'єктами використовують термін «ставлення». прикладів
Фактормножина
Визначення 27. Бінарне відношення R на множині А називається відношенням еквівалентності, якщо вона рефлексивна, симетрична, транзитивна на множині А. Опр
Впорядковане безліч
Визначення 30. Бінарне відношення R на множині А називається ставленням порядку, якщо воно є антисиметричним і транзитивним на А. Визначення 31. Бі
Функція як бінарне відношення
Визначення 41. Бінарне відношення f між множинами A і B називається функціональним ставленням, якщо (a,b)
Теорема про асоціативність виконання функцій
Визначення 50. Нехай f: XY, g: YZ – функції. Твором
Оборотне відображення
Визначення 52. Відображення називається тотожним (або одиничним), якщо
Критерій оборотності функції
Теорема 5. Нехай – функція. Функція f оборотна f - бієк
Метод математичної індукції
На будь-яке натуральне число можна дивитися з двох точок зору. Наприклад, 3-три (кількість), 3-третій (порядок). У курсі алгебри вивчають порядкову теорію натуральних чисел. На безлічі ℕ ст
Властивості бінарних операцій
Визначення 1. Бінарною алгебраїчною операцією на непустій множині М називається закон або правило, за яким будь-яким двом елементам множини М
Напівгрупа зі скороченням
Визначення 10. Непорожня множина М із заданою на ньому бінарною операцією алгебри «∗» називається групоїдом. позначається
Найпростіші властивості груп
Визначення 14. Непорожня множина G, замкнена щодо бінарної операції алгебри «∗» називається групою, якщо виконуються наступні аксіоми (аксіоми групи):
Підгрупа. Критерій підгрупи
Визначення 20. Непусте підмножина Н групи G називається підгрупою групи G, якщо Н є групою щодо тієї ж операції, що і група G, і про
Гомоморфізми та ізоморфізми груп
Теорема 8. Нехай (Hi | i∈I) - деяка сукупність підгруп групи G. Тоді A = I
Найпростіші властивості кілець
Визначення 27. Непорожня множина K з певними на ньому бінарними алгебраїчними операціями складання та множення називається кільцем, якщо виконуються такі аксіоми (ак
Найпростіші властивості полів
Визначення 36. Багато Р, що містить не менше двох елементів, замкнене щодо операцій «+» і «⋅», називається полем, якщо виконуються умови: 1) Р
Ізоморфізм полів
Визначення 37. Непусте підмножина Н поля Р, що містить не менше двох елементів, називається підполем поля Р, якщо Н є полем щодо т
Поля комплексних чисел
У полі ℝ рівняння виду x2+1=0 немає рішень. Тому виникає необхідність побудувати поле, яке було б
Комплексного числа
Нехай z=(a, b)∈ℂ, причому (x, 0)=x для будь-якого x∈ℝ. Отримаємо для комплексного числа z=(a, b) іншу форму
Комплексного числа
Нехай z=a+bi – комплексне число, a, b∈ℝ. Зобразимо число z точки площини М(a, b).
У тригонометричній формі
Теорема 4. При множенні комплексних чисел у тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Доведення. Нехай z1
Формула Муавра
Додавання, віднімання, множення та розподіл комплексних чисел зручно проводити в алгебраїчній формі. Однак, зведення в ступінь та витяг коріння ступеня n≥3
Формула Муавра
Визначення 11. Нехай n∈ℕ. Коріння n-йступеня з комплексного числа z називається комплексне число z1 таке, що z1
Первісне коріння
По теоремі 7, корінь n-ого ступеня одиниці має рівно n значень. Оскільки 1=1⋅(cos 0+isin 0), то,
Кільце багаточленів від однієї змінної
Зі шкільного курсу математики та з курсу математичного аналізу відомо, що багаточлен є цілою раціональною функцією виду f(x)=a0+a1x+a2
Властивості ступеня багаточлена
Визначення 19. Нехай K - асоціативно-комутативне кільце з одиницею, (
Над областю цілісності
Теорема 13. Якщо K – область цілісності, то K[х] – область цілісності. Доведення. Нехай K – область цілісності. Покажемо, що
Матриця ступінчастого вигляду
Визначення 10. Матрицею розміру m×n над полем Р називається прямокутна таблиця, що складається з n рядків та m стовпців, такого вигляду:
Метод послідовного виключення невідомих
(Метод Гаусса). Розглянемо один з основних методів розв'язання систем лінійних рівнянь, який називається методом послідовного виключення невідомих, або інакше
І їхні основні властивості
1. Додавання матриць. Визначення 16. Нехай A=(aij), B=(bij) - матриці розміру m×n над полем Р. Сумою
Матричні рівняння
Визначення 22. Матриця n-го порядку виду називається одиничною матрицею. Примітка 9. Якщо А –
Теорема про парність перестановки
Визначення 27. Нехай М = (1,2, ..., n). Перестановкою на безлічі М або перестановкою n-го ступеняназивається безліч М із заданим розташуванням його ел
Визначники другого та третього порядків
Нехай А=- матриця n-го порядку над полем Р. З елементів матриці А складатимемо всілякі вироби
Зв'язок додатків алгебри з мінорами
Нехай Δ = =. Визначення 31. Якщо у визначнику Δ сгр
Визначник твору матриць
Теорема 9. Нехай А і У – матриці n-го порядку над полем P. Тоді |AB|=|A|∙|B|, тобто. визначник твору матриць дорівнює твору визначників
Формула для обчислення зворотної матриці
Теорема 10. Нехай A = - матриця n-го порядку над полем P. Якщо визначник
Формули Крамера
Теорема 11. Нехай (1) - система n лінійних рівнянь із n невідомими над полем P, А=
Те, що поняття ізоморфізму дійсно виражає однаковість всіх властивостей множин, що розглядаються, можна формулювати у вигляді наступного положення:
Якщо множини Mі M"ізоморфні щодо деякої системи відносин S, то будь-яка властивість множини M, формульоване у термінах відносин системи S(і, отже, і відносин, що визначаються через відносини системи S), переноситься на безліч M", і назад.
Розберемо це становище на конкретному прикладі.
Нехай у множинах Mі M"визначено відношення "більше", і вони ізоморфні щодо цього; тоді, якщо Mвпорядковано, тобто якщо в Mвиконані властивості 1) і 2) з розділу , то вони виконані і M".
Доведемо властивість 1). Нехай a"і b"- Елементи M"і aі b- відповідні елементи M. В силу умови 1) Mвиконано одне із співвідношень a = b, a > b, b > a. Відображення Mна M"зберігає відношення "більше". Отже, виконано одне із співвідношень a" = b", a" > b", b" > a". Якби в M"виконувалося більше одного з них, то зі збереження відносин "більше" при відображенні M"на Mслід було б виконання більш одного відношення для aі b, що суперечить умові 1).
Доведемо властивість 2). Якщо a" > b"і b" > c", то також a > bі b > c. Справді, в Mповинно бути a > c. Значить, a" > c".
Займемося тепер ізоморфізмом груп кілець та полів. З огляду на те, що тут відносини a + b = cі ab = cзадовольняють додатковим вимогам, що для будь-яких aі bіснує одне і лише одне c, для котрого a + b = cабо ab = c(ці дві вимоги є по суті двома додатковими аксіомами), причому ці вимоги передбачаються виконаними як M, так і в M"визначення ізоморфізму груп кілець і полів можна спростити в порівнянні з визначенням, а саме вимагати збереження основних відносин лише при переході від Mдо M". Обмежуючись нагодою кілець і полів, необхідним надалі щодо числових областей (випадок груп відрізняється від розглянутого лише тим, що є одна операція замість двох), отримуємо в такий спосіб:
Кільце (або поле) Rназивається ізоморфне кільце(відповідно полю) R"(запис ), якщо існує взаємно однозначне відображення Rна R", при якому сумі та добутку будь-яких елементів Rвідповідають сума та добуток відповідних елементів R".
Покажемо, що це визначення є окремим випадком загального визначення . Для цього треба лише переконатися, що зворотне відображення R"на Rтакож зберігає суму та добуток. Нехай у R"маємо: a" + b" = c", та елементам a", b", c"при зворотному відображенні відповідають a, b, cз R. Потрібно довести, що a + b = c. Але якщо a + b = d ≠ c, то з визначення, даного в попередньому абзаці, слід було б a" + b" = d" ≠ c", що суперечить однозначності операції складання R"
