El anillo de números enteros p-ádicos. Problema de representación de datos El conjunto de enteros es un anillo
En varias ramas de las matemáticas, así como en la aplicación de las matemáticas en la tecnología, a menudo hay una situación en la que las operaciones algebraicas no se realizan con números, sino con objetos de diferente naturaleza. Por ejemplo, suma de matrices, multiplicación de matrices, suma de vectores, operaciones con polinomios, operaciones con transformaciones lineales, etc.
Definición 1. Un anillo es un conjunto de objetos matemáticos en los que se definen dos acciones: "suma" y "multiplicación", que comparan pares ordenados de elementos con su "suma" y "producto", que son elementos del mismo conjunto. Estas acciones cumplen los siguientes requisitos:
1.a+b=b+a(conmutatividad de la suma).
2.(a+b)+c=a+(b+c)(asociatividad de la suma).
3. Hay un elemento cero 0 tal que a+0=a, para cualquier a.
4. Para cualquiera a hay un elemento opuesto - a tal que a+(−a)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(distributividad izquierda).
5".c(a+b)=ca+cb(distributividad derecha).
Los requisitos 2, 3, 4 significan que el conjunto de objetos matemáticos forma un grupo, y junto con el ítem 1 estamos tratando con un grupo conmutativo (abeliano) con respecto a la suma.
Como se puede ver en la definición, en la definición general de un anillo, no se imponen restricciones a las multiplicaciones, excepto la distributividad con la suma. Sin embargo, en diversas situaciones, se hace necesario considerar anillos con requisitos adicionales.
6. (ab)c=a(bc)(asociatividad de la multiplicación).
7.ab=ba(conmutatividad de la multiplicación).
8. Existencia del elemento de identidad 1, es decir. tal a 1=1 un = un, para cualquier elemento a.
9. Para cualquier elemento del elemento a hay un elemento inverso a−1 tal que Automóvil club británico −1 =a −1 un = 1.
En varios anillos 6, 7, 8, 9 se pueden realizar tanto por separado como en varias combinaciones.
Un anillo se denomina asociativo si se cumple la condición 6, conmutativo si se cumple la condición 7, conmutativo y asociativo si se cumplen las condiciones 6 y 7. Un anillo se denomina anillo con una unidad si se cumple la condición 8.
Ejemplos de anillos:
1. Conjunto de matrices cuadradas.
En realidad. El cumplimiento de los puntos 1-5, 5 "es obvio. El elemento cero es la matriz cero. Además, se realizan el punto 6 (asociatividad de la multiplicación), el punto 8 (el elemento unidad es la matriz identidad). Puntos 7 y 9 no se realizan porque en el caso general, la multiplicación de matrices cuadradas no es conmutativa, y además no siempre hay una inversa de una matriz cuadrada.
2. El conjunto de todos los números complejos.
3. El conjunto de todos los números reales.
4. El conjunto de todos los números racionales.
5. El conjunto de todos los números enteros.
Definición 2. Cualquier sistema de números que contiene la suma, la diferencia y el producto de dos cualesquiera de sus números se llama anillo de número.
Los ejemplos 2-5 son anillos numéricos. Los anillos numéricos también son todos los números pares, así como todos los números enteros divisibles sin resto por algún número natural n. Tenga en cuenta que el conjunto de números impares no es un anillo ya que la suma de dos números impares es un número par.
Definición:
La suma y el producto de números p-ádicos enteros definidos por las sucesiones u son los números p-ádicos enteros definidos respectivamente por las sucesiones u.
Para estar seguros de la exactitud de esta definición, debemos demostrar que las sucesiones y definen algunos números enteros - números ádicos, y que estos números dependen sólo de, y no de, la elección de las sucesiones que los definen. Ambas propiedades se prueban mediante una comprobación obvia.
Obviamente, dada la definición de acciones sobre números enteros - ádicos, forman un anillo comunicativo que contiene el anillo de los números racionales enteros como un subanillo.
La divisibilidad de los números enteros - ádicos se define de la misma manera que en cualquier otro anillo: si existe tal número entero - ádico que
Para estudiar las propiedades de la división, es importante saber cuáles son esos números enteros - números ádicos, para los cuales hay números enteros recíprocos - números ádicos. Tales números se llaman divisores de unidades o unidades. Los llamaremos - unidades ádicas.
Teorema 1:
Un entero es un número ádico definido por una sucesión si y sólo si es uno cuando.
Prueba:
Sea una unidad, entonces existe tal número entero, un número ádico, eso. Si está determinado por una secuencia, entonces la condición significa eso. En particular, y por lo tanto, Inversamente, De la condición se sigue fácilmente que, así. Por lo tanto, para cualquier n se puede encontrar tal que la comparación sea válida. Desde y entonces. Esto significa que la secuencia determina algún número entero, un número ádico. Las comparaciones muestran que, es decir, cual es la unidad.
Del teorema probado se sigue que el número entero es un número racional. Siendo considerado como un elemento del anillo, si y solo entonces es la unidad cuando. Si se cumple esta condición, entonces el De ello se deduce que cualquier entero racional b es divisible por tal en, es decir que cualquier número racional de la forma b/a, donde a y b son enteros y, está contenido en Los números racionales de esta forma se llaman -enteros. Forman un anillo obvio. Nuestro resultado ahora se puede formular de la siguiente manera:
Consecuencia:
El anillo de números enteros - ádicos contiene un subanillo, anillo isomorfo- Números racionales enteros.
Números p-ádicos fraccionarios
Definición:
Una fracción de la forma, k >= 0 define un número p-ádico fraccionario o simplemente un número p-ádico. Dos fracciones, y, determinan el mismo número p-ádico, si c.
La colección de todos los números p-ádicos se denota p. Es fácil comprobar que las operaciones de suma y multiplicación continúan de p a p y convierten a p en un campo.
2.9. Teorema. Cada número p-ádico se representa de forma única en la forma
donde m es un número entero y es la unidad del anillo p .
2.10. Teorema. Cualquier número p-ádico distinto de cero se puede representar de forma única en la forma
Propiedades: El campo de los números p-ádicos contiene el campo de los números racionales. Es fácil probar que cualquier número entero p-ádico que no sea un múltiplo de p es invertible en el anillo p , y un múltiplo de p se escribe únicamente en la forma donde x no es un múltiplo de p y por lo tanto es invertible, una. Por lo tanto, cualquier elemento distinto de cero del campo p puede escribirse en la forma en que x no es un múltiplo de p, pero m es cualquiera; si m es negativo, entonces, basándonos en la representación de los enteros p-ádicos como una secuencia de dígitos en el sistema numérico p-ario, podemos escribir dicho número p-ádico como una secuencia, es decir, representarlo formalmente como un Fracción p-ádica con un número finito de dígitos después del punto decimal y posiblemente un número infinito de dígitos distintos de cero antes del punto decimal. La división de dichos números también se puede hacer de manera similar a la regla de la "escuela", pero comenzando con los dígitos más bajos en lugar de los más altos del número.
Se sabe por el curso de programación que un número entero se puede representar en la memoria de la computadora de diferentes maneras, en particular, esta representación depende de cómo se describa: como un valor de tipo entero, o real, o cadena. Al mismo tiempo, en la mayoría de los lenguajes de programación, los números enteros se entienden como números de un rango muy limitado: un caso típico es de -2 15 = -32768 a 2 15 - 1 = 32767. Sistemas álgebra informática tratar con números enteros grandes, en particular, ¡cualquier sistema de este tipo puede calcular y mostrar números como 1000 en notación decimal! (más de mil caracteres).
En este curso, consideraremos la representación de números enteros en forma simbólica y no entraremos en detalles sobre cuánta memoria se asigna para escribir un carácter (bit, byte u otro). La más común es la representación de números enteros en sistemas de números posicionales. Tal sistema está determinado por la elección de la base del número, por ejemplo, 10. El conjunto de números enteros decimales generalmente se describe de la siguiente manera:
La definición escrita de números enteros da la singularidad de la representación de cada uno de esos números, y en la mayoría de los sistemas se usa una definición similar (solo que, tal vez, con una base diferente). álgebra informática. Usando esta representación, es conveniente implementar operaciones aritméticas con números enteros. Al mismo tiempo, la suma y la resta son operaciones relativamente "baratas", mientras que la multiplicación y la división son "caras". Al evaluar la complejidad de las operaciones aritméticas, se debe tener en cuenta tanto el costo de una operación elemental (un bit) como el número de operaciones de un bit para realizar cualquier operación en números de varios dígitos. La complejidad de la multiplicación y la división se debe, en primer lugar, al hecho de que al aumentar la longitud de un número (su notación en cualquier sistema numérico), el número de operaciones elementales aumenta según una ley cuadrática, a diferencia de el lineal para sumas y restas. Además, lo que solemos llamar el algoritmo de división de varios dígitos en realidad se basa en la enumeración (a menudo muy significativa) del posible próximo dígito del cociente, y no es suficiente usar las reglas para dividir números de un solo dígito. Con una gran base del sistema numérico (a menudo puede ser del orden de 2 30), este método es ineficaz.
Sea un número natural (escrito en sistema decimal). Para obtener su récord 
en el sistema numérico -ary, puede usar el siguiente algoritmo (indica la parte entera del número):
Dado: A-número natural en sistema numérico decimal k > 1-número natural Necesidad: A-registro del número A en k-sistema numérico ario Iniciar i:= 0 ciclo mientras A > 0 bi:= A (mod k) A: = i:= i + 1 fin de ciclo dA:= i - 1 fin
El siguiente algoritmo se utiliza para restaurar un número decimal a partir de la secuencia de su notación k-aria:
Dado: k > 1-número natural una secuencia de dígitos que representa el número A en el sistema k-ario Necesita: A-registro del número A en notación decimal Inicio A:= 0 ciclo hasta el final de la secuencia b:= siguiente elemento de la secuencia A:= A * k + b fin bucle Fin
1.2. UN EJERCICIO. Explique por qué se usa la división para convertir un número del sistema decimal a un número k, y por qué se usa la multiplicación para convertir un número k a un número decimal.
Al multiplicar por una "columna" dos números de dos dígitos en el sistema numérico decimal, realizamos las siguientes operaciones:
(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,
es decir, 4 operaciones de multiplicación de números de un dígito, 3 operaciones de suma y 2 operaciones de multiplicación por la potencia de la base numérica, que se reducen a un desplazamiento. Al estimar la complejidad, se pueden tener en cuenta todas las operaciones elementales sin separarlas por pesos (en este ejemplo, tenemos 9 operaciones elementales). La tarea de optimizar el algoritmo se reduce en este enfoque a minimizar el número total de operaciones elementales. Sin embargo, se puede considerar que la multiplicación es una operación más "cara" que la suma, que, a su vez, es "más cara" que un cambio. Considerando solo las operaciones más costosas, obtenemos que multiplicativo la complejidad de multiplicar números de dos dígitos por una "columna" es 4.
La Sección 5 considera algoritmos para calcular los máximos comunes divisores y evalúa su complejidad.
La representación considerada no es la única representación canónica de números enteros. Como ya se señaló, para elegir una representación canónica, se puede utilizar la unicidad de la factorización de un número natural en factores primos. Tal representación de un número entero se puede usar en aquellos problemas donde solo se usan operaciones de multiplicación y división, ya que se vuelven muy "baratas", sin embargo, el costo de las operaciones de suma y resta aumenta de manera desproporcionada, lo que impide el uso de tal representación. En algunos problemas, el rechazo de la representación canónica da una ganancia significativa en velocidad, en particular, se puede usar una factorización parcial de un número. Un método similar es especialmente útil cuando no se trabaja con números, sino con polinomios.
Si se sabe que durante la operación del programa, todos los números enteros encontrados en los cálculos están limitados en valor absoluto por alguna constante dada, entonces para establecer tales números, su sistema de residuos en módulo de algunos números coprimos, cuyo producto excede el constante mencionada, se puede utilizar. Los cálculos con clases de residuos son generalmente más rápidos que la aritmética de precisión múltiple. Y con este enfoque, la aritmética de precisión múltiple debe usarse solo al ingresar o generar información.
Tenga en cuenta que, junto con las representaciones canónicas en los sistemas álgebra informática también se utilizan otras representaciones. En particular, es deseable que la presencia o ausencia de un signo "+" delante de un número entero no afecte la percepción del mismo por parte de la computadora. Así, para los números positivos se obtiene una representación ambigua, aunque la forma de los números negativos está determinada de forma única.
Otro requisito es que la percepción de un número no se vea afectada por la presencia de ceros antes del primer dígito significativo.
1.3. EJERCICIOS.
- Calcule el número de multiplicaciones de un dígito que se utilizan al multiplicar un número de m dígitos por un número de n dígitos en una columna.
- Muestre que dos números de dos dígitos se pueden multiplicar usando solo 3 multiplicaciones de un dígito y aumentando el número de sumas.
- Encuentre un algoritmo para dividir números largos que no requiera mucha enumeración para encontrar el primer dígito del cociente.
- Describir el algoritmo de traducción. números naturales del sistema numérico m -ario al n -ario.
- A numeración romana los siguientes símbolos se utilizan para escribir números: I - uno, V - cinco, X - diez, L - cincuenta, C - cien, D - quinientos, M - mil. Un símbolo se considera negativo si a su derecha hay un símbolo de un número mayor, y positivo en caso contrario. Por ejemplo, el número 1948 en este sistema se escribirá así: MCMXLVIII. Formule un algoritmo para convertir un número de romano a decimal y viceversa. Implemente el algoritmo resultante en uno de los lenguajes algorítmicos (por ejemplo, C). Restricciones de datos iniciales: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
- Formule un algoritmo y escriba un programa para sumar números naturales en numeración romana.
- Diremos que estamos tratando con un sistema numérico con mixto o basado en vectores, si nos dan un vector de n números naturales M = (m 1 , . . . ,m n) (base) y la notación K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) denota el número k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n ·k n) . . .)). Escriba un programa que, dados los datos (día de la semana, horas, minutos, segundos), determine cuántos segundos han pasado desde el comienzo de la semana (lunes, 0, 0, 0) = 0, y realiza la transformación inversa.
El anillo en el que se introduce la relación "ser mayor que cero" (denotado por a > 0) se llama anillo localizado, si se cumplen dos condiciones para cualquiera de los elementos de este anillo:
1) una y solo una de las condiciones es verdadera
a > 0 \/ –a >0 \/ a = 0
2) a > 0 /\ b > 0 => a + b > 0 /\ ab > 0.
Un conjunto en el que se introduce una determinada relación de orden -no estricta (reflexiva, antisimétrica y transitiva) o estricta (antirreflexiva y transitiva) se denomina ordenado. Si se cumple la ley de la tricotomía, el conjunto se llama linealmente ordenado. Si no consideramos un conjunto arbitrario, sino algún sistema algebraico, por ejemplo, un anillo o un campo, entonces para ordenar dicho sistema, también se introducen requisitos de monotonicidad con respecto a las operaciones introducidas en este sistema (estructura algebraica). Asi que anillo/campo ordenado es un anillo/campo distinto de cero en el que se introduce una relación de orden lineal (a > b) que satisface dos condiciones:
1) a > b => a + c > b + c;
2) a > b, c > 0 => a c > b c;
Teorema 1. Cualquier anillo localizado es un sistema ordenado (anillo).
En efecto, si se introduce en el anillo la relación “ser mayor que 0”, entonces también es posible introducir una relación mayor que para dos elementos arbitrarios, si suponemos que
a > b a - b > 0.
Tal relación es una relación de orden estrictamente lineal.
Esta relación “mayor que” es antirreflexiva, ya que la condición a > a es equivalente a la condición a - a > 0, esta última contradice el hecho de que a - a = 0 (según la primera condición del anillo localizado, un elemento no puede ser mayor que 0 e igual a 0) . Así, el enunciado a > a es falso para cualquier elemento a, por lo que la relación es antirreflexiva.
Probemos la transitividad: si a > byb > c, entonces a > c. Por definición, de las condiciones del teorema se sigue que a - b > 0 y b - c > 0. Sumando estos dos elementos mayores que cero, obtenemos nuevamente un elemento mayor que cero (según la segunda condición del anillo ubicado ):
a - b + b - c \u003d a - c\u003e 0.
Esto último significa que a > c. Así, la relación introducida es una relación de orden estricto. Además, esta relación es una relación de orden lineal, es decir, para el conjunto de los números naturales, teorema de la tricotomía:
Para dos números naturales cualesquiera, uno y solo uno de los siguientes tres enunciados es verdadero:
De hecho (debido a la primera condición del anillo ubicado) para el número a - b, una y solo una de las condiciones es verdadera:
1) a - b > 0 => a > b
2) - (a - b) = b - a > 0 => b > a
3) a - b = 0 => a = b.
Las propiedades de monotonicidad también son válidas para cualquier anillo localizado. En realidad
1) a > b => a - b > 0 => a + c - c - b > 0 => a + c > b + c;
2) a > b / \ c > 0 => a - b > 0 => (según la segunda condición del anillo ubicado) (a - b) c > 0 => ac - bc > 0 => ac > bc .
Así, hemos probado que todo anillo localizado es un anillo ordenado (un sistema ordenado).
Para cualquier anillo localizado, las siguientes propiedades también serán verdaderas:
a) a + c > b + c => a > b;
b) a > b /\ c > d => a + c > b + d;
c) a > b / \ c< 0=>ac< bc;
Las mismas propiedades son válidas para otros signos.<, , .
Probemos, por ejemplo, la propiedad (c). Por definición, de la condición a > b se sigue que a - b > 0, y de la condición c< 0 (0 >c) se sigue que 0 - c > 0, y por tanto el número - c > 0, multiplicamos dos números positivos (a - b) (-c). El resultado también será positivo por la segunda condición del anillo localizado, es decir
(a - b) (-c) > 0 => -ac + bc > 0 => bc - ac > 0 => bc > ac => ac< bc,
QED
d) aa = a 2 0;
Prueba: De acuerdo con la primera condición del anillo localizado, ya sea a > 0, o –a > 0, o a = 0. Considere estos casos por separado:
1) a > 0 => aa > 0 (según la segunda condición del anillo localizado) => a 2 > 0.
2) –a > 0 => (–a)(–a) > 0, pero por la propiedad del anillo (–a)(–a) = aa = a 2 > 0.
3) a \u003d 0 => aa \u003d a 2 \u003d 0.
Por lo tanto, en los tres casos, a 2 es mayor que cero o igual a 0, lo que significa que a 2 ≥ 0 y la propiedad está demostrada (tenga en cuenta que también demostramos que el cuadrado de un elemento de un anillo localizado es 0 si y solo si el elemento mismo es 0).
e) ab = 0 a = 0 \/ b = 0.
Prueba: Asumir lo contrario (ab =0, pero ni a ni b son iguales a cero). Entonces solo son posibles dos opciones para a, ya sea a > 0 o – a > 0 (nuestra suposición excluye la opción a = 0). Cada uno de estos dos casos se divide en dos casos más dependiendo de b (ya sea b > 0 o – b > 0). Entonces son posibles 4 opciones:
a > 0, b > 0 => ab > 0;
– a > 0, b > 0 => ab< 0;
a > 0, – b > 0 => ab< 0;
– a > 0 – b > 0 => ab > 0.
Como vemos, cada uno de estos casos contradice la condición ab = 0. La propiedad está demostrada.
La última propiedad significa que el anillo ubicado es un área de integridad, que también es una propiedad obligatoria de los sistemas ordenados.
El teorema 1 muestra que cualquier anillo localizado es un sistema ordenado. Lo contrario también es cierto: se encuentra cualquier anillo ordenado. De hecho, si existe una relación a > b en el anillo y dos elementos cualquiera del anillo son comparables entre sí, entonces 0 también es comparable con cualquier elemento a, es decir, a > 0 o a< 0, либо а = 0, что почти точно совпадает с первым условием расположенного кольца, требуется только доказать, что условие а < 0 равносильно в упорядоченном кольце условию –a >0. Para probar esto último, aplicamos la propiedad de monotonicidad de los sistemas ordenados: a los lados derecho e izquierdo de la desigualdad a< 0 прибавим –а, в результате чего получим требуемое.
La segunda condición del anillo localizado se deriva de las propiedades de monotonicidad y transitividad:
a > 0, b > 0 => a + b > 0 + b = b > 0 => a + b > 0,
a > 0, b > 0 => ab > 0b = 0 => ab > 0.
Teorema 2. El anillo de números enteros es un anillo ordenado (un sistema ordenado).
Prueba: Usemos la definición 2 del anillo de los enteros (ver 2.1). De acuerdo con esta definición, cualquier número entero es un número natural (el número n se da como [
a > 0 a N
Entonces la primera condición del anillo localizado se cumple automáticamente para los números enteros: si a es natural, entonces es mayor que 0, si a es lo contrario de natural, entonces –a es natural, es decir, también es mayor que 0, también es posible la variante a = 0, que también hace verdadera la disyunción en la primera condición del anillo localizado. La validez de la segunda condición del anillo ubicado se deriva del hecho de que la suma y el producto de dos números naturales (enteros mayores que cero) es nuevamente un número natural y, por lo tanto, mayor que cero.
Por lo tanto, todas las propiedades de los anillos ordenados se transfieren automáticamente a todos los números enteros. Además, para números enteros (pero no para anillos dispuestos arbitrariamente), se cumple el teorema de discreción:
Teorema de la discreción. No se puede insertar ningún número entero entre dos números enteros adyacentes:
( a, x Z) .
Prueba: considere todos los casos posibles para a, y suponga lo contrario, es decir, que existe x tal que
a< x < a +1.
1) si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural. Entonces, por el teorema de la discreción de los números naturales, ningún número natural x puede intercalarse entre ay a / = a + 1, es decir, x, en todo caso, no puede ser natural. Si asumimos que x = 0, entonces nuestra suposición es que
a< x < a +1
nos llevará a la condición a< 0 < a + 1 (здесь мы просто подставили х = 0), откуда видим, что а < 0, что противоречит тому, что а – натуральное. Если х не натуральное и не 0, но х – целое, значит –х – натуральное, тогда х < 0. При этом, согласно нашему предположению, а < x, что по свойству транзитивности опять приводит к тому, что а < 0, что невозможно, так как а – натуральное. Таким образом, для натуральных а утверждение а < x < a +1 всегда ложно, и теорема справедлива.
2) a = 0. Entonces a + 1 = 1. Si la condición a< x < a + 1, то мы получим 0 < x < 1, то есть с одной стороны х – натуральное (целое, большее нуля), а с другой стороны х меньше 1, что невозможно для натуральных чисел. Таким образом, для нуля наша теорема справедлива.
3) a es negativo (–a > 0), entonces a + 1 0. Si a + 1< 0, то умножая условие а < x < a + 1 на –1 получим:
–a–1< – x < –a,
es decir, llegamos a la situación considerada en el primer caso (dado que tanto -a-1 como -a son naturales), de donde -x no puede ser un número entero, y por lo tanto x no puede ser un número entero. La situación cuando a + 1 = 0 significa que a = -1, es decir
–1 < x < 0.
Multiplicando esta desigualdad por (–1), llegamos al caso 2. Por lo tanto, el teorema es válido en todas las situaciones.
Terem de Arquímedes. Para cualquier entero a y entero b > 0, existe un entero positivo n tal que a< bn.
Para a natural, el teorema ya ha sido probado, ya que la condición b > 0 significa que el número b es natural. Para a 0, el teorema también es obvio, ya que el lado derecho de bn es un número natural, es decir, también es mayor que cero.
En el anillo de enteros (como en cualquier anillo ubicado), podemos introducir el concepto de módulo:
|un| = 
.
Propiedades válidas del módulo:
1) |a + b| |a| + |b|;
2) |a-b| |a| – |b|;
3) |a b| = |a| |b|.
Prueba: 1) Nótese que es obvio por la definición que |a| es un valor que siempre es no negativo (en el primer caso |a| = a ≥ 0, en el segundo caso |a| = –a, pero a< 0, откуда –а >0). Las desigualdades |a| ≥ un, |un| ≥ –a (el módulo es igual a la expresión correspondiente si no es negativa, y mayor si es negativa). Desigualdades similares valen para b: |b| ≥ b, |b| ≥ -b. Sumando las desigualdades correspondientes y aplicando la propiedad (b) de los anillos ordenados, obtenemos
|un| + |b| ≥ a + b |a| + |b| ≥ – a – b.
Según la definición del módulo.
|a+b| = 
,
pero ambas expresiones en el lado derecho de la igualdad, como se muestra arriba, no exceden |a| + |b|, lo que prueba la primera propiedad de los módulos.
2) Reemplacemos en la primera propiedad a con a - b. Obtenemos:
|a – b + b| ≤ |a – b| + |b|
|un| ≤ |a – b| + |b|
Mover |b| del lado derecho al izquierdo con el signo opuesto
|un| – | b| ≤ |a – b| =>|a-b| |a| – |b|.
La demostración de la propiedad 3 se deja al lector.
Una tarea: Resolver la ecuación en números enteros
2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 5.
Solución: Factoriza el lado izquierdo. Para ello representamos el término 3xy = – xy + 4xy
2y 2 + 3xy - 2x 2 + x - 2y \u003d 2y 2 - xy + 4xy - 2x 2 + x - 2y \u003d
Y (2y - x) + 2x (2y - x) - (2y - x) \u003d (y + 2x - 1) (2y - x).
Por lo tanto, nuestra ecuación se puede reescribir como
(y + 2x - 1) (2y - x) = 5.
Como necesitamos resolverlo en números enteros, x e y deben ser números enteros, lo que significa que los factores del lado izquierdo de nuestra ecuación también son números enteros. El número 5 en el lado derecho de nuestra ecuación se puede representar como un producto de factores enteros de solo 4 formas:
5 = 51 = 15 = –5(–1) = –1(–5). Por lo tanto, las siguientes opciones son posibles:
1)
2)
3)
4)
Entre los sistemas enumerados, solo (4) tiene una solución entera:
x = 1, y = -2.
Tareas para solución independiente
Nº 2.4. Para los elementos a, b, c, d de un anillo ubicado arbitrariamente, pruebe las propiedades:
a) a + c > b + c => a > b; b) a > b / \ c > d => a + c > b + d.
Nº 2.5. Resuelva las ecuaciones en números enteros:
|
a) y2 - 2xy - 2x = 6; b) 2x2 - 11xy + 12y2 = 17; c) 35xy + 5x - 7y = 1; d) x2 - 3xy + 2y2 = 3; mi) |
f) xy + 3x - 5y + 3 = 0; g) 2xy - 3y 2 - 4y + 2x \u003d 2; h) xy2 + x = 48; yo) 1! +2! + 3! + … + n! = y 2 ; j) x 3 - 2y 3 - 4z 3 \u003d 0 |
;Nº 2.6. Encuentre un número de cuatro dígitos que sea un cuadrado exacto y tal que sus dos primeros dígitos sean iguales entre sí y los dos últimos dígitos sean iguales entre sí.
Nº 2.7. Encuentra un número de dos dígitos igual a la suma de sus decenas y el cuadrado de sus unidades.
Nº 2.8. Encuentra un número de dos dígitos que sea igual al doble del producto de sus dígitos.
Nº 2.9. Demostrar que la diferencia entre un número de tres cifras y un número escrito con las mismas cifras en orden inverso no puede ser el cuadrado de un número natural.
Nº 2.10. Encuentre todos los números naturales que terminan en 91, que, después de eliminar estos dígitos, disminuyen un número entero de veces.
Nº 2.11. Encuentra un número de dos dígitos igual al cuadrado de sus unidades más el cubo de sus decenas.
Nº 2.12. Encuentre un número de seis dígitos que comience con el número 2, que aumenta 3 veces al reorganizar este número hasta el final del número.
Nº 2.13. En la pizarra se escriben más de 40 pero menos de 48 números enteros. La media aritmética de todos estos números es 3, la media aritmética de los positivos es 4 y la media aritmética de los negativos es 8. ¿Cuántos números hay escritos en la pizarra? ¿Qué número es mayor, positivo o negativo? ¿Cuál es el máximo número posible de números positivos?
Nº 2.14. ¿Puede el cociente de un número de tres dígitos y la suma de sus dígitos ser 89? ¿Puede este cociente ser igual a 86? ¿Cuál es el valor máximo posible de este cociente?
Los números naturales no son un anillo, ya que 0 no es un número natural y no hay opuestos naturales para los números naturales. La estructura formada por los números naturales se llama semicírculo. Con más precisión,
semicírculo se denomina semigrupo conmutativo con respecto a la suma y semigrupo con respecto a la multiplicación, en los que las operaciones de suma y multiplicación están relacionadas por leyes distributivas.
Ahora introducimos definiciones rigurosas de números enteros y demostramos su equivalencia. Basándonos en el concepto de estructuras algebraicas y en el hecho de que el conjunto de los números naturales es un semicírculo, pero no un anillo, podemos introducir la siguiente definición:
Definición 1. El anillo de los enteros es el anillo más pequeño que contiene el semianillo de los números naturales.
Esta definición no dice nada sobre apariencia tales números. En un curso escolar, los números enteros se definen como números naturales, sus opuestos y el 0. Esta definición también se puede tomar como base para construir una definición estricta.
Definición 2. Un anillo de enteros es un anillo cuyos elementos son los números naturales, sus opuestos y el 0 (y solo ellos).
Teorema 1. Las definiciones 1 y 2 son equivalentes.
Prueba: Denotemos por Z 1 el anillo de enteros en el sentido de la Definición 1, y por Z 2 el anillo de enteros en el sentido de la Definición 2. Primero demostramos que Z 2 está incluido en Z 1 . De hecho, todos los elementos de Z 2 son números naturales (pertenecen a Z 1, ya que Z 1 contiene un semicírculo de números naturales), o sus opuestos (también pertenecen a Z 1, ya que Z 1 es un anillo, lo que significa que para cada elemento de este anillo, hay uno opuesto, y para cada n natural í Z 1 , –n también pertenece a Z 1), o 0 (0 í Z 1 , ya que Z 1 es un anillo, y en cualquier anillo hay 0), por lo tanto, cualquier elemento de Z 2 también pertenece a Z 1 , y por lo tanto Z 2 Í Z 1 . Por otro lado, Z 2 contiene un semicírculo de números naturales, y Z 1 es el anillo mínimo que contiene números naturales, es decir, no puede contener ningún otro anillo que satisfaga esta condición. Pero hemos demostrado que contiene Z 2 , y por lo tanto Z 1 = Z 2 . El teorema ha sido probado.
Definición 3. Un anillo de números enteros es un anillo cuyos elementos son todos los elementos posibles representables como una diferencia b - a (todas las soluciones posibles de la ecuación a + x = b), donde a y b son números naturales arbitrarios.
Teorema 2. La definición 3 es equivalente a las dos anteriores.
Prueba: Denótese por Z 3 el anillo de números enteros en el sentido de la Definición 3, y por Z 1 = Z 2 , como antes, el anillo de números enteros en el sentido de las Definiciones 1 y 2 (ya se ha establecido su igualdad). Primero probamos que Z 3 está incluido en Z 2 . De hecho, todos los elementos de Z 3 se pueden representar como algunas diferencias de números naturales b – a. Para dos números naturales cualesquiera, según el teorema de la tricotomía, son posibles tres opciones:
En este caso, la diferencia b – y también es un número natural y por lo tanto pertenece a Z 2 .
En este caso, la diferencia de dos elementos iguales se denotará con el símbolo 0. Probemos que este es efectivamente el cero del anillo, es decir, un elemento neutro con respecto a la suma. Para ello, usamos la definición de la diferencia a – a = x ó a = a + x y probamos que b + x = b para cualquier b natural. Para probarlo, basta con agregar el elemento b a los lados derecho e izquierdo de la igualdad a = a + x, y luego usar la ley de reducción (todas estas acciones se pueden realizar en base a las propiedades conocidas de los anillos). El cero pertenece a Z 2 .
En este caso, la diferencia a – b es un número natural, denotamos
b - a \u003d - (a - b). Probaremos que los elementos a - b y b - a son efectivamente opuestos, es decir, suman cero. De hecho, si denotamos a - b \u003d x, b - a \u003d y, entonces obtenemos que a \u003d b + x, b \u003d y + a. Sumando las igualdades obtenidas término por término y reduciendo b, obtenemos a \u003d x + y + a, es decir, x + y \u003d a - a \u003d 0. Por lo tanto, a - b \u003d - (b - a) es un número opuesto al número natural, es decir, pertenece nuevamente a Z2. Así, Z 3 Í Z 2 .
Por otro lado, Z 3 contiene un semicírculo de números naturales, ya que cualquier número natural n siempre se puede representar como
norte = norte / – 1 О Z 3 ,
y por lo tanto Z 1 Í Z 3 , ya que Z 1 es el anillo mínimo que contiene los números naturales. Usando el hecho ya probado de que Z 2 = Z 1 , obtenemos Z 1 = Z 2 = Z 3 . El teorema ha sido probado.
Aunque a primera vista pueda parecer que no hay axiomas en las definiciones de números enteros enumeradas, estas definiciones son axiomáticas, ya que las tres definiciones dicen que el conjunto de números enteros es un anillo. Por lo tanto, las condiciones de la definición de un anillo sirven como axiomas en la teoría axiomática de los números enteros.
Probemos que la teoría axiomática de los números enteros es consistente. Para demostrarlo, es necesario construir un modelo del anillo de los enteros utilizando una teoría consistente conocida (en nuestro caso, esta solo puede ser la teoría axiomática de los números naturales).
Según la Definición 3, cada número entero se puede representar como la diferencia de dos números naturales z = b – a. Asociar a cada entero z el par correspondiente
La relación presentada es reflexiva, simétrica y transitiva (la prueba se deja al lector).
Como toda relación de equivalencia, esta relación genera una partición del conjunto de todos los posibles pares de números naturales en clases de equivalencia, que denotaremos como [
1) [
2) [
Demostremos que las definiciones introducidas son correctas, es decir, no dependen de la elección de representantes específicos de las clases de pares. En otras palabras, si los pares son equivalentes
Prueba: Aplicar la definición de equivalencia de pares:
Sumando las igualdades (1) y (2) término por término, obtenemos:
a + segundo 1 + c + re 1 \u003d segundo + un 1 + re + c 1.
Todos los términos de la última igualdad son números naturales, por lo que podemos aplicar las leyes de la suma conmutativa y asociativa, lo que nos lleva a la igualdad
(a + c) + (b 1 + d 1) \u003d (b + d) + (a 1 + c 1),
que es equivalente a la condición @ .
Para probar la exactitud de la multiplicación, multiplicamos la igualdad (1) por c, obtenemos:
ca + segundo 1 s \u003d bc + un 1 s.
Luego reescribimos la igualdad (1) como b + a 1 = a + b 1 y multiplicamos por d:
bd + a 1 d = ad + b 1 d.
Sumamos las igualdades resultantes término a término:
ac + bd + un 1 re + segundo 1 s = bc + anuncio + segundo 1 re + un 1 s,
Lo que significa que
Luego haremos el mismo procedimiento con la igualdad (2), solo que la multiplicaremos por a 1 y b 1. Obtenemos:
un 1 do + un 1 re 1 = un 1 re + un 1 do 1
segundo 1 re + segundo 1 do 1 \u003d segundo 1 do + segundo 1 re 1,
un 1 do + segundo 1 re + segundo 1 do 1 + un 1 re 1 = un 1 re + segundo 1 re + segundo 1 do 1 + un 1 do 1 ó
ó @
(aquí hemos probado que ×
Así, se prueba la corrección de las definiciones introducidas.
A continuación, se verifican directamente todas las propiedades de los anillos: la ley asociativa de la suma y la multiplicación para clases de pares, la ley conmutativa de la suma y las leyes distributivas. Pongamos como ejemplo la prueba de la ley asociativa de la suma:
Como todos los componentes de los pares de números son naturales
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Las leyes restantes se verifican de manera similar (tenga en cuenta que una transformación separada de las partes izquierda y derecha de la igualdad requerida a la misma forma puede ser una técnica útil).
También es necesario probar la existencia de un elemento neutro por adición. Pueden ser una clase de pares de la forma [<с, с>]. En realidad,
[
a + c + b = b + c + a (válido para cualquier número natural).
Además, para cada clase de pares [
También se puede demostrar que el conjunto introducido de clases de pares es un anillo conmutativo con una unidad (la unidad puede ser la clase de pares [
[
Comprobemos, usando esta regla, la validez de las condiciones C1 y C2 (a partir de la definición de suma de números naturales). La condición C1 (a + 1 = a /) en este caso se reescribirá en la forma:
[
a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + c + a /
(Una vez más, recordamos que todos los componentes son naturales).
La condición C2 se verá así:
[
Transformamos por separado las partes izquierda y derecha de esta igualdad:
[
([
Por lo tanto, vemos que los lados izquierdo y derecho son iguales, lo que significa que la condición C2 es verdadera. La prueba de la condición U1 se deja al lector. la condición Y2 es una consecuencia de la ley distributiva.
Así, se ha construido el modelo del anillo de los números enteros y, en consecuencia, la teoría axiomática de los números enteros es consistente si la teoría axiomática de los números naturales es consistente.
Propiedades de las operaciones con enteros:
2) a×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– un) = un
4) (–a)×(–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) a - b \u003d - b + a \u003d - (b - a)
7) - a - b \u003d - (a + b)
8) (a - b) × c \u003d ac - bc
9) (a - b) - c \u003d a - (b + c)
10) a - (b - c) = a - b + c.
Las pruebas de todas las propiedades repiten las pruebas de las propiedades correspondientes de los anillos.
1) a + a × 0 = a × 1 + a × 0 = a × (1 + 0) = a × 1 = a, es decir, a × 0 es un elemento neutro por adición.
2) a×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, es decir, el elemento a×(–b) es opuesto al elemento a×b.
3) (– a) + a = 0 (por definición del elemento opuesto). Análogamente, (– a) + (– (– a)) = 0. Igualando los lados izquierdos de las igualdades y aplicando la ley de reducción, obtenemos – (– a) = a.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(×b)) = ab.
5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + a = 0
a×(–1) = –à.
6) Por definición de la diferencia a - b, existe un número x tal que a = x + b. Sumando a los lados derecho e izquierdo de la igualdad -b a la izquierda y usando la ley conmutativa, obtenemos la primera igualdad.
– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0, lo que prueba la segunda igualdad.
7) - a - b = - 1 × a - 1 × b = -1 × (a + b) = - (a + b).
8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc
9) (a - b) - c \u003d x,
a - b \u003d x + c,
a - (b + c) \u003d x, es decir
(a - b) - c \u003d a - (b + c).
10) a - (b - c) = a + (- 1)×(b - c) = a + (- 1×b) + (-1)× (- c) = a - 1×b + 1× c = = a - b + c.
Tareas para solución independiente
Nº 2.1. En la columna de la derecha de la tabla, encuentre pares equivalentes a los dados en la columna de la izquierda de la tabla.
| a)<7, 5> | 1) <5, 7> |
| b)<2, 3> | 2) <1, 10> |
| en)<10, 10> | 3) <5, 4> |
| GRAMO)<6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Para cada par, indica su opuesto.
Nº 2.2. Calcular
a) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b)[<3, 8>] + [<4, 7>];
en) [<7, 4>] – [<8, 3>]; G) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
mi) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; mi) [<2, 10>]× [<10, 2>].
Nº 2.3. Para el modelo de números enteros descrito en esta sección, verifique la ley conmutativa de la suma, las leyes asociativa y conmutativa de la multiplicación y las leyes distributivas.
