Conversión de energía durante vibraciones armónicas. vibraciones forzadas
Transformaciones de energía durante vibraciones armónicas.
Cuando oscila un péndulo matemático, la energía total del sistema es la suma de la energía cinética de un punto material (bola) y la energía potencial de un punto material en el campo de fuerzas gravitatorias. Cuando un péndulo de resorte oscila, la energía total es la suma de la energía cinética de la bola y la energía potencial de la deformación elástica del resorte:
Al pasar por la posición de equilibrio tanto en el primer como en el segundo péndulo, la energía cinética de la bola alcanza su valor máximo, la energía potencial del sistema es cero. Durante las oscilaciones, se produce una transformación periódica de energía cinética en energía potencial del sistema, mientras que la energía total del sistema permanece sin cambios si no hay fuerzas de resistencia (la ley de conservación de la energía mecánica). Por ejemplo, para un péndulo de resorte podemos escribir:
En un circuito oscilatorio (Fig. 14.1.c) la energía total del sistema es la suma de la energía de un capacitor cargado (energía de campo eléctrico) y la energía de una bobina con corriente (energía de campo magnético). Cuando la carga del capacitor es máximo, la corriente en la bobina es cero (véanse las fórmulas 14.11 y 14.12), la energía del campo eléctrico del capacitor es máxima, la energía del campo magnético de la bobina es cero En el momento en que la carga del capacitor es cero, la corriente en la bobina es máxima, la energía del campo eléctrico del condensador es cero, la energía del campo magnético de la bobina es máxima.Así como en los osciladores mecánicos, en el circuito oscilatorio, la energía de el campo eléctrico se convierte periódicamente en la energía del campo magnético, mientras que la energía total del sistema permanece sin cambios si no hay resistencia activa R. Puedes escribir:
. (14.15)
Si durante el proceso de oscilación fuerzas de resistencia externas actúan sobre un péndulo matemático o de resorte, y hay resistencia activa en el circuito del circuito oscilante R, la energía de las oscilaciones y, por lo tanto, la amplitud de las oscilaciones disminuirá. Tales fluctuaciones se llaman oscilaciones amortiguadas , la figura 14.2 muestra un gráfico de la dependencia del valor fluctuante de X en el tiempo.
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§ 16. Corriente eléctrica alterna.
Ya estamos familiarizados con las fuentes de corriente continua, sabemos para qué sirven, conocemos las leyes de la corriente continua. Pero de mucha mayor importancia práctica en nuestras vidas es la corriente eléctrica alterna, que se utiliza en la vida cotidiana, en la producción y otras áreas de la actividad humana. La fuerza de la corriente y el voltaje de la corriente alterna (por ejemplo, en la red de iluminación de nuestro apartamento) cambian con el tiempo según la ley armónica. La frecuencia de la corriente alterna industrial es de 50 Hz. Las fuentes de CA son diversas en su diseño y características. Un bucle de alambre que gira en un campo magnético uniforme constante se puede considerar como el modelo más simple de un generador de corriente alterna. En la Fig. 14.3, el marco gira alrededor del eje vertical OO, perpendicular a las líneas del campo magnético, con una velocidad angular constante . Esquina α entre el vector y la normal varía según la ley, el flujo magnético a través de la superficie S, limitada por el marco, cambia con el tiempo, aparece una fem de inducción en el marco.
Cambios en el tiempo según una ley sinusoidal:
dónde X- el valor de la cantidad fluctuante en el momento del tiempo t, PERO- amplitud , ω - frecuencia circular, φ es la fase inicial de las oscilaciones, ( φt + φ ) es la fase total de oscilaciones . Al mismo tiempo, los valores PERO, ω y φ - permanente.
Para vibraciones mecánicas con un valor oscilante X son, en particular, el desplazamiento y la velocidad, para las oscilaciones eléctricas - tensión e intensidad de la corriente.
Las oscilaciones armónicas ocupan un lugar especial entre todos los tipos de oscilaciones, ya que este es el único tipo de oscilación cuya forma no se distorsiona al pasar por cualquier medio homogéneo, es decir, las ondas que se propagan desde una fuente de oscilaciones armónicas también serán armónicas. Cualquier vibración no armónica se puede representar como una suma (integral) de varias vibraciones armónicas (en forma de espectro de vibraciones armónicas).
Transformaciones de energía durante vibraciones armónicas.
En el proceso de oscilaciones, hay una transición de energía potencial. Wp en cinético W k y viceversa. En la posición de máxima desviación de la posición de equilibrio, la energía potencial es máxima, la energía cinética es cero. A medida que volvemos a la posición de equilibrio, la velocidad del cuerpo oscilante aumenta, y con ella también aumenta la energía cinética, alcanzando un máximo en la posición de equilibrio. Entonces la energía potencial cae a cero. El movimiento de más cuello se produce con una disminución de la velocidad, que cae a cero cuando la desviación alcanza su segundo máximo. La energía potencial aquí aumenta a su valor inicial (máximo) (en ausencia de fricción). Por lo tanto, las oscilaciones de las energías cinética y potencial ocurren con una frecuencia duplicada (en comparación con las oscilaciones del péndulo mismo) y están en antifase (es decir, hay un cambio de fase entre ellos igual a π ). Energía de vibración total W permanece sin cambios. Para un cuerpo que oscila bajo la acción de una fuerza elástica, es igual a:
dónde v m- la velocidad máxima del cuerpo (en la posición de equilibrio), x metro = PERO- amplitud.
Debido a la presencia de fricción y resistencia del medio, las oscilaciones libres se amortiguan: su energía y amplitud disminuyen con el tiempo. Por lo tanto, en la práctica, no se utilizan con más frecuencia oscilaciones libres, sino forzadas.
Cuando oscila un péndulo matemático, la energía total del sistema es la suma de la energía cinética de un punto material (bola) y la energía potencial de un punto material en el campo de fuerzas gravitatorias. Cuando un péndulo de resorte oscila, la energía total es la suma de la energía cinética de la bola y la energía potencial de la deformación elástica del resorte:
Al pasar la posición de equilibrio tanto en el primer como en el segundo péndulo, la energía cinética de la bola alcanza su valor máximo, la energía potencial del sistema es igual a cero. Durante las oscilaciones, la energía cinética se convierte periódicamente en la energía potencial del sistema, mientras que la energía total del sistema permanece sin cambios si no hay fuerzas de resistencia (la ley de conservación de la energía mecánica). Por ejemplo, para un péndulo de resorte se puede escribir:
En un circuito oscilatorio (Fig. 14.1.c) la energía total del sistema es la suma de la energía de un capacitor cargado (energía de campo eléctrico) y la energía de una bobina con corriente (energía de campo magnético). Cuando la carga del capacitor es máximo, la corriente en la bobina es cero (véanse las fórmulas 14.11 y 14.12), la energía del campo eléctrico del capacitor es máxima, la energía del campo magnético de la bobina es cero En el momento en que la carga del capacitor es cero, la corriente en la bobina es máxima, la energía del campo eléctrico del condensador es cero, la energía del campo magnético de la bobina es máxima.Así como en los osciladores mecánicos, en el circuito oscilatorio, la energía de el campo eléctrico se convierte periódicamente en la energía del campo magnético, mientras que la energía total del sistema permanece sin cambios si no hay resistencia activa R. Puedes escribir:
. (14.15)
Si en el proceso de oscilaciones, las fuerzas de resistencia externas actúan sobre un péndulo matemático o de resorte, y hay una resistencia activa en el circuito del circuito oscilante. R, la energía de las oscilaciones y, por lo tanto, la amplitud de las oscilaciones disminuirá. Tales fluctuaciones se llaman oscilaciones amortiguadas , la figura 14.2 muestra un gráfico de la dependencia del valor fluctuante de X en el tiempo.
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§ 16. Corriente eléctrica alterna.
Ya estamos familiarizados con las fuentes de corriente continua, sabemos para qué sirven, conocemos las leyes de la corriente continua. Pero de mucha mayor importancia práctica en nuestras vidas es la corriente eléctrica alterna, que se utiliza en la vida cotidiana, en la producción y otras áreas de la actividad humana. La fuerza de la corriente y el voltaje de la corriente alterna (por ejemplo, en la red de iluminación de nuestro apartamento) cambian con el tiempo según la ley armónica. La frecuencia de la corriente alterna industrial es de 50 Hz. Las fuentes de CA son diversas en su diseño y características. Un bucle de alambre que gira en un campo magnético uniforme constante se puede considerar como el modelo más simple de un generador de corriente alterna. En la Fig. 14.3, el marco gira alrededor del eje vertical OO, perpendicular a las líneas del campo magnético, con una velocidad angular constante . Esquina α entre el vector y la normal varía según la ley, el flujo magnético a través de la superficie S, limitada por el marco, cambia con el tiempo, aparece una fem de inducción en el marco.
Al estudiar este tema, resuelven problemas de cinemática y dinámica de vibraciones elásticas. Es útil en este caso comparar las oscilaciones elásticas con las oscilaciones del péndulo ya consideradas para revelar sus características tanto generales como específicas.
Resolver problemas requiere la aplicación de la segunda ley de Newton, la ley de Hooke y fórmulas para la cinemática del movimiento oscilatorio armónico.
El período de oscilaciones armónicas elásticas de un cuerpo con masa está determinado por la fórmula (No. 758). Esta fórmula le permite determinar el período de varias oscilaciones armónicas, si se conoce el valor. Para las oscilaciones elásticas, este es el coeficiente de rigidez y para las oscilaciones de un péndulo matemático (No. 748).
En problemas de transformaciones de energía en movimiento oscilatorio, se considera principalmente la transformación de energía cinética en energía potencial. Pero para el caso de oscilaciones amortiguadas, también se tiene en cuenta la transformación de la energía mecánica en energía interna. Energía cinética de vibraciones elásticas.
Energía potencial
¿Serán también diferentes las oscilaciones de cuerpos de diferente masa sobre el mismo resorte? Comprueba tu respuesta con experiencia.
Responder. Un cuerpo de mayor masa tendrá un período de oscilación más largo. De la fórmula se sigue que con la misma fuerza elástica, un cuerpo de mayor masa tendrá menor aceleración y, por tanto, se moverá más lentamente. Esto se puede comprobar mediante pesos oscilantes de diferentes masas suspendidos en un dinamómetro.
757(e). Se colgó un peso en el resorte y luego se apoyó para que el resorte no se estirara. Describa cómo se moverá la carga si se quita el soporte que la sostiene. Comprueba tu respuesta con experiencia.
Solución, Sueltemos la carga para que caiga libremente. Luego estirará el resorte en una cantidad que puede determinarse a partir de la relación
Según la ley de conservación de la energía, durante el movimiento ascendente inverso, la carga sube a una altura que oscilará con una amplitud h. Si la carga está suspendida de un resorte, la estirará una cantidad
Por lo tanto, la posición en la que cuelga la carga en reposo es el centro alrededor del cual ocurren las oscilaciones. Esta conclusión es fácil de verificar en un resorte largo "suave", por ejemplo, del dispositivo "cubo de Arquímedes".
758. Un cuerpo con una masa bajo la acción de un resorte que tiene rigidez oscila sin fricción en un plano horizontal a lo largo de la barra a (Fig. 238). Determine el período de oscilación del cuerpo utilizando la ley de conservación de la energía.
Solución. En la posición extrema, toda la energía del cuerpo es potencial y, en promedio, cinética. Según la ley de la conservación de la energía
Para la posición de equilibrio Por lo tanto,
759(e). Determine el coeficiente de rigidez del hilo de goma y calcule el período de oscilación de la masa suspendida sobre él. Comprueba tu respuesta con experiencia.
Solución. Para responder el problema de vorros, los estudiantes deben tener un hilo de goma, un peso de 100 V, una regla y un cronómetro.
Habiendo suspendido la carga en el hilo, primero calcule el valor numéricamente igual a la fuerza que estira el hilo por unidad de longitud. En uno de los experimentos, se obtuvieron los siguientes datos. La longitud inicial del hilo cm, la final Donde cm
Al medir el tiempo de 10 a 20 oscilaciones completas de la carga con un cronómetro, se aseguran de que el período encontrado por los cálculos coincida con el obtenido por experiencia.
760. Usando la solución de los problemas 757 y 758, determine el período de oscilación del carro sobre los resortes, si su tiro estático es igual a
Solución.
Como consecuencia,
Hemos obtenido una fórmula interesante por la cual es fácil determinar el período de oscilaciones elásticas del cuerpo, conociendo solo el valor
761(e). Usando la fórmula, calcule y luego pruebe por experiencia el período de oscilación en el resorte del "cubo de Arquímedes" de cargas que pesan 100, 300, 400 g.
762. Usando la fórmula, obtenga la fórmula para el período de oscilación de un péndulo matemático.
Solución. Para un péndulo matemático, por lo tanto
763. Utilizando la condición y solución del problema 758, encuentre la ley por la cual cambia la fuerza de elasticidad del resorte y escriba las ecuaciones de este movimiento oscilatorio armónico, si en la posición extrema el cuerpo tuviera energía
Solución.
Supongamos que la amplitud de oscilación A se determina a partir de la fórmula
De manera similar, sustituyendo el valor de la masa, la amplitud y el período en las fórmulas generales de desplazamiento, velocidad y aceleración, obtenemos:
La fórmula de la aceleración también podría obtenerse usando la fórmula de la fuerza.
764. Un péndulo matemático que tiene una masa y una longitud se desvía 5 cm ¿Cuál es su tasa de aceleración ay qué energía potencial tendrá a una distancia cm de la posición de equilibrio?
