การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก แรงสั่นสะเทือน
การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก
เมื่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์สั่น พลังงานทั้งหมดของระบบคือผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุ (ลูกบอล) และพลังงานศักย์ของจุดวัสดุในสนามแรงโน้มถ่วง เมื่อลูกตุ้มสปริงแกว่ง พลังงานทั้งหมดเป็นผลรวมของพลังงานจลน์ของลูกบอลและพลังงานศักย์ของการเสียรูปยางยืดของสปริง:
เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลทั้งในลูกตุ้มแรกและลูกตุ้มที่สอง พลังงานจลน์ของลูกบอลถึงค่าสูงสุด พลังงานศักย์ของระบบจะเป็นศูนย์ ในระหว่างการแกว่ง จะเกิดการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ ของพลังงานจลน์เป็นพลังงานศักย์ของระบบ ในขณะที่พลังงานทั้งหมดของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีแรงต้านทาน (กฎการอนุรักษ์พลังงานกล) ตัวอย่างเช่น สำหรับลูกตุ้มสปริง เราสามารถเขียนได้ว่า:
ในวงจรออสซิลเลเตอร์ (รูปที่ 14.1.c) พลังงานทั้งหมดของระบบคือผลรวมของพลังงานของตัวเก็บประจุที่มีประจุ ( พลังงานสนามไฟฟ้า) และพลังงานของขดลวดที่มีกระแส ( พลังงานสนามแม่เหล็ก เมื่อตัวเก็บประจุชาร์จ สูงสุด กระแสในขดลวดมีค่าเป็นศูนย์ (ดูสูตร 14.11 และ 14.12 ) พลังงานสนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุมีค่าสูงสุด พลังงานสนามแม่เหล็กของขดลวดมีค่าเป็นศูนย์ ณ เวลาที่ประจุของ ตัวเก็บประจุเป็นศูนย์ กระแสในขดลวดมีค่าสูงสุด พลังงานของสนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุเป็นศูนย์ พลังงานของสนามแม่เหล็กของขดลวดมีค่าสูงสุด เช่นเดียวกับในออสซิลเลเตอร์เชิงกล ในวงจรออสซิลเลเตอร์ พลังงาน ของสนามไฟฟ้าจะถูกแปลงเป็นระยะ ๆ เป็นพลังงานของสนามแม่เหล็กในขณะที่พลังงานทั้งหมดของระบบยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีความต้านทานเชิงรุก R. คุณสามารถเขียน:
. (14.15)
หากในระหว่างกระบวนการสั่น แรงต้านภายนอกกระทำต่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์หรือสปริง และมีความต้านทานเชิงแอ็คทีฟในวงจรวงจรการสั่น R, พลังงานของการแกว่ง และด้วยเหตุนี้ แอมพลิจูดของการแกว่งจึงลดลง ความผันผวนดังกล่าวเรียกว่า การสั่นสะเทือนที่ชื้น , รูปที่ 14.2 แสดงกราฟของการพึ่งพาค่าความผันผวนของ X ตรงเวลา
|
§ 16 กระแสสลับ
เราคุ้นเคยกับแหล่งกระแสตรงแล้ว เรารู้ว่ามีไว้เพื่ออะไร เรารู้กฎของกระแสตรง แต่สิ่งที่สำคัญกว่ามากในทางปฏิบัติในชีวิตของเราคือกระแสไฟฟ้าสลับ ซึ่งใช้ในชีวิตประจำวัน ในการผลิต และกิจกรรมอื่นๆ ของมนุษย์ ความแรงของกระแสและแรงดันของกระแสสลับ (เช่นในเครือข่ายแสงสว่างของอพาร์ตเมนต์ของเรา) เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาตามกฎหมายฮาร์มอนิก ความถี่ของกระแสสลับอุตสาหกรรมคือ 50 Hz แหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับมีความหลากหลายในการออกแบบและลักษณะเฉพาะ โครงลวดที่หมุนในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอสม่ำเสมอถือได้ว่าเป็นแบบจำลองที่ง่ายที่สุดของเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ ในรูปที่ 14.3 เฟรมจะหมุนรอบแกนแนวตั้ง OOตั้งฉากกับเส้นสนามแม่เหล็กด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ มุม α ระหว่างเวกเตอร์กับเส้นตั้งฉากจะแปรผันตามกฎหมาย ฟลักซ์แม่เหล็กผ่านพื้นผิว สถูกจำกัดโดยเฟรม เปลี่ยนแปลงตามเวลา แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำจะปรากฏในเฟรม
การเปลี่ยนแปลงของเวลาตามกฎไซน์:
ที่ไหน X- มูลค่าของปริมาณผันผวน ณ ช่วงเวลาหนึ่ง t, แต่- แอมพลิจูด , ω - ความถี่วงกลม φ คือระยะเริ่มต้นของการแกว่ง ( φt + φ ) เป็นเฟสรวมของการแกว่ง ในขณะเดียวกันค่า แต่, ω และ φ - ถาวร.
สำหรับการสั่นสะเทือนทางกลที่มีค่าการสั่น Xโดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจัดและความเร็วสำหรับการสั่นไฟฟ้า - แรงดันและความแรงของกระแส
การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกครอบครองสถานที่พิเศษในบรรดาการสั่นสะเทือนทุกประเภท เนื่องจากเป็นการสั่นสะเทือนประเภทเดียวที่รูปร่างไม่บิดเบี้ยวเมื่อผ่านตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ คลื่นที่แพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกก็จะมีความสอดคล้องกันด้วย การสั่นสะเทือนที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิกใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวม (อินทิกรัล) ของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกต่างๆ (ในรูปแบบของสเปกตรัมของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก)
การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก
ในกระบวนการแกว่งจะมีการเปลี่ยนผ่านของพลังงานศักย์ Wpเป็นจลนศาสตร์ Wkและในทางกลับกัน. ในตำแหน่งเบี่ยงเบนสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์มีค่าสูงสุด พลังงานจลน์เป็นศูนย์ เมื่อเรากลับสู่ตำแหน่งสมดุล ความเร็วของวัตถุที่แกว่งไปมาจะเพิ่มขึ้น และด้วยพลังงานจลน์ก็เพิ่มขึ้นด้วย ซึ่งถึงระดับสูงสุดในตำแหน่งสมดุล พลังงานศักย์จะลดลงเป็นศูนย์ การเคลื่อนที่ของคอที่ไกลขึ้นจะเกิดขึ้นพร้อมกับความเร็วที่ลดลง ซึ่งจะลดลงเหลือศูนย์เมื่อการโก่งตัวถึงระดับสูงสุดที่สอง พลังงานศักย์ที่นี่จะเพิ่มเป็นค่าเริ่มต้น (สูงสุด) (ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน) ดังนั้น การแกว่งของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จึงเกิดขึ้นด้วยความถี่สองเท่า (เมื่อเทียบกับการสั่นของลูกตุ้มเอง) และอยู่ในระยะแอนติเฟส (กล่าวคือ มีการเลื่อนเฟสระหว่างพวกมันเท่ากับ π ). พลังงานสั่นสะเทือนทั้งหมด Wยังคงไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับร่างกายที่แกว่งไปมาภายใต้การกระทำของแรงยืดหยุ่น จะเท่ากับ:
ที่ไหน วี ม- ความเร็วสูงสุดของร่างกาย (ในตำแหน่งสมดุล) x ม = แต่- แอมพลิจูด
เนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานและความต้านทานของตัวกลาง การแกว่งอิสระจึงลดลง: พลังงานและแอมพลิจูดของพวกมันลดลงตามเวลา ดังนั้นในทางปฏิบัติไม่ฟรี แต่มีการใช้การสั่นแบบบังคับบ่อยขึ้น
เมื่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์สั่น พลังงานทั้งหมดของระบบคือผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุ (ลูกบอล) และพลังงานศักย์ของจุดวัสดุในสนามแรงโน้มถ่วง เมื่อลูกตุ้มสปริงแกว่ง พลังงานทั้งหมดเป็นผลรวมของพลังงานจลน์ของลูกบอลและพลังงานศักย์ของการเสียรูปยางยืดของสปริง:
เมื่อผ่านตำแหน่งสมดุลทั้งในลูกตุ้มแรกและลูกตุ้มที่สอง พลังงานจลน์ของลูกบอลถึงค่าสูงสุด พลังงานศักย์ของระบบจะเท่ากับศูนย์ ในระหว่างการสั่น พลังงานจลน์จะถูกแปลงเป็นระยะเป็นพลังงานศักย์ของระบบ ในขณะที่พลังงานทั้งหมดของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีแรงต้านทาน (กฎการอนุรักษ์พลังงานกล) ตัวอย่างเช่น สำหรับลูกตุ้มสปริง เราสามารถเขียนได้ว่า:
ในวงจรออสซิลเลเตอร์ (รูปที่ 14.1.c) พลังงานทั้งหมดของระบบคือผลรวมของพลังงานของตัวเก็บประจุที่มีประจุ ( พลังงานสนามไฟฟ้า) และพลังงานของขดลวดที่มีกระแส ( พลังงานสนามแม่เหล็ก เมื่อตัวเก็บประจุชาร์จ สูงสุด กระแสในขดลวดมีค่าเป็นศูนย์ (ดูสูตร 14.11 และ 14.12 ) พลังงานสนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุมีค่าสูงสุด พลังงานสนามแม่เหล็กของขดลวดมีค่าเป็นศูนย์ ณ เวลาที่ประจุของ ตัวเก็บประจุเป็นศูนย์ กระแสในขดลวดมีค่าสูงสุด พลังงานของสนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุเป็นศูนย์ พลังงานของสนามแม่เหล็กของขดลวดมีค่าสูงสุด เช่นเดียวกับในออสซิลเลเตอร์เชิงกล ในวงจรออสซิลเลเตอร์ พลังงาน ของสนามไฟฟ้าจะถูกแปลงเป็นระยะ ๆ เป็นพลังงานของสนามแม่เหล็กในขณะที่พลังงานทั้งหมดของระบบยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีความต้านทานเชิงรุก R. คุณสามารถเขียน:
. (14.15)
หากในกระบวนการแกว่ง แรงต้านทานภายนอกกระทำต่อลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์หรือสปริง และมีความต้านทานเชิงแอ็คทีฟในวงจรการสั่น R, พลังงานของการแกว่ง และด้วยเหตุนี้ แอมพลิจูดของการแกว่งจึงลดลง ความผันผวนดังกล่าวเรียกว่า การสั่นสะเทือนที่ชื้น , รูปที่ 14.2 แสดงกราฟของการพึ่งพาค่าความผันผวนของ X ตรงเวลา
|
§ 16 กระแสสลับ
เราคุ้นเคยกับแหล่งกระแสตรงแล้ว เรารู้ว่ามีไว้เพื่ออะไร เรารู้กฎของกระแสตรง แต่สิ่งที่สำคัญกว่ามากในทางปฏิบัติในชีวิตของเราคือกระแสไฟฟ้าสลับ ซึ่งใช้ในชีวิตประจำวัน ในการผลิต และกิจกรรมอื่นๆ ของมนุษย์ ความแรงของกระแสและแรงดันของกระแสสลับ (เช่นในเครือข่ายแสงสว่างของอพาร์ตเมนต์ของเรา) เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาตามกฎหมายฮาร์มอนิก ความถี่ของกระแสสลับอุตสาหกรรมคือ 50 Hz แหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับมีความหลากหลายในการออกแบบและลักษณะเฉพาะ โครงลวดที่หมุนในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอสม่ำเสมอถือได้ว่าเป็นแบบจำลองที่ง่ายที่สุดของเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากระแสสลับ ในรูปที่ 14.3 เฟรมจะหมุนรอบแกนแนวตั้ง OOตั้งฉากกับเส้นสนามแม่เหล็กด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ มุม α ระหว่างเวกเตอร์กับเส้นตั้งฉากจะแปรผันตามกฎหมาย ฟลักซ์แม่เหล็กผ่านพื้นผิว สถูกจำกัดโดยเฟรม เปลี่ยนแปลงตามเวลา แรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำจะปรากฏในเฟรม
เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ พวกเขาจะแก้ปัญหาเกี่ยวกับจลนศาสตร์และไดนามิกของการสั่นสะเทือนแบบยืดหยุ่น ในกรณีนี้จะเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบการแกว่งของยางยืดกับการแกว่งของลูกตุ้มที่พิจารณาแล้ว เพื่อแสดงลักษณะทั่วไปและลักษณะเฉพาะของพวกมัน
การแก้ปัญหาต้องใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน กฎของฮุก และสูตรสำหรับจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก
ระยะเวลาของการสั่นฮาร์มอนิกแบบยืดหยุ่นของร่างกายที่มีมวลถูกกำหนดโดยสูตร (หมายเลข 758) สูตรนี้ช่วยให้คุณกำหนดคาบของการแกว่งของฮาร์มอนิกต่างๆ ได้ หากทราบค่า สำหรับการแกว่งแบบยืดหยุ่น นี่คือสัมประสิทธิ์ความแข็ง และการสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (หมายเลข 748)
ในปัญหาของการเปลี่ยนแปลงพลังงานในการเคลื่อนที่แบบสั่น ส่วนใหญ่พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เป็นพลังงานศักย์ แต่สำหรับกรณีของการสั่นแบบแดมเปอร์ การเปลี่ยนพลังงานกลเป็นพลังงานภายในก็ถูกนำมาพิจารณาด้วย พลังงานจลน์ของการสั่นแบบยืดหยุ่น
พลังงานศักย์
การสั่นของวัตถุที่มีมวลต่างกันในสปริงเดียวกันจะแตกต่างกันด้วยหรือไม่ ตรวจสอบคำตอบของคุณด้วยประสบการณ์
ตอบ. วัตถุที่มีมวลมากจะมีระยะเวลาการแกว่งตัวนานขึ้น จากสูตรพบว่าด้วยแรงยืดหยุ่นเท่ากัน วัตถุที่มีมวลมากจะมีอัตราเร่งน้อยกว่าและจะเคลื่อนที่ช้าลง ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยตุ้มน้ำหนักการสั่นของมวลต่างๆ ที่แขวนอยู่บนไดนาโมมิเตอร์
757(จ). ตุ้มน้ำหนักถูกระงับจากสปริงแล้วรองรับเพื่อไม่ให้สปริงยืดออก อธิบายว่าโหลดจะเคลื่อนที่อย่างไรหากตัวรองรับที่รองรับถูกถอดออก ตรวจสอบคำตอบของคุณด้วยประสบการณ์
ทางแก้ ขอปล่อยของให้ล้มลงอย่างอิสระ จากนั้นเขาจะยืดสปริงตามจำนวนที่สามารถกำหนดได้จากความสัมพันธ์
ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน ในระหว่างการเคลื่อนที่ย้อนกลับขึ้นด้านบน ภาระที่เพิ่มขึ้นจนถึงระดับความสูงจะสั่นด้วยแอมพลิจูด h หากสปริงถูกระงับจะยืดออกตามปริมาณ
ดังนั้นตำแหน่งที่โหลดหยุดนิ่งคือจุดศูนย์กลางที่เกิดการสั่นสะเทือน ข้อสรุปนี้ง่ายต่อการตรวจสอบสปริงยาวที่ "อ่อน" ตัวอย่างเช่นจากอุปกรณ์ "ถังอาร์คิมิดีส"
758. วัตถุที่มีมวลภายใต้การกระทำของสปริงที่มีความแข็งแกร่งจะสั่นโดยไม่มีแรงเสียดทานในระนาบแนวนอนตามแนวแกน a (รูปที่ 238) กำหนดระยะเวลาการสั่นของร่างกายโดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน
วิธีการแก้. ในตำแหน่งที่รุนแรง พลังงานทั้งหมดของร่างกายมีศักยภาพ และโดยเฉลี่ยแล้ว - จลนศาสตร์ ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน
สำหรับตำแหน่งดุลยภาพ ดังนั้น
759(จ). หาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของด้ายยางและคำนวณระยะเวลาการแกว่งของมวลที่แขวนอยู่บนนั้น ตรวจสอบคำตอบของคุณด้วยประสบการณ์
วิธีการแก้. ในการตอบปัญหาวอร์รอส นักเรียนจะต้องมีด้ายยาง น้ำหนัก 100 โวลต์ ไม้บรรทัด และนาฬิกาจับเวลา
เมื่อระงับการรับน้ำหนักบนเกลียวแล้ว ขั้นแรกให้คำนวณค่าเป็นตัวเลขเท่ากับแรงที่ยืดเกลียวต่อความยาวหน่วย ในการทดลองหนึ่ง ได้รับข้อมูลต่อไปนี้ ความยาวเริ่มต้นของเธรดซม. สุดท้าย โดยที่ cm
โดยการวัดเวลา 10-20 การแกว่งเต็มรูปแบบของโหลดด้วยนาฬิกาจับเวลา พวกเขาทำให้แน่ใจว่าช่วงเวลาที่พบโดยการคำนวณตรงกับระยะเวลาที่ได้รับจากประสบการณ์
760. ใช้วิธีแก้ปัญหา 757 และ 758 กำหนดระยะเวลาการแกว่งของรถบนสปริงหากกระแสลมคงที่เท่ากับ
วิธีการแก้.
เพราะเหตุนี้,
เราได้รับสูตรที่น่าสนใจซึ่งง่ายต่อการกำหนดระยะเวลาของการแกว่งของความยืดหยุ่นของร่างกายรู้เพียงค่า
761(จ). ใช้สูตรคำนวณแล้วทดสอบโดยสัมผัสช่วงการแกว่งของสปริงจาก “ถังอาร์คิมิดีส” ของน้ำหนักบรรทุก 100, 300, 400 กรัม
762. ใช้สูตรหาสูตรสำหรับคาบการสั่นของลูกตุ้มคณิตศาสตร์
วิธีการแก้. สำหรับลูกตุ้มคณิตศาสตร์ ดังนั้น
763. ใช้เงื่อนไขและวิธีแก้ปัญหา 758 หากฎที่แรงยืดหยุ่นของสปริงเปลี่ยน และเขียนสมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกนี้ ถ้าร่างกายมีพลังงานอยู่ในตำแหน่งสุดขั้ว
วิธีการแก้.
สมมติว่าแอมพลิจูดการสั่น A ถูกกำหนดจากสูตร
ในทำนองเดียวกัน การแทนที่ค่ามวล แอมพลิจูด และคาบเป็นสูตรทั่วไปสำหรับการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง เราได้รับ:
สามารถหาสูตรความเร่งได้โดยใช้สูตรแรง
764. ลูกตุ้มคณิตศาสตร์ที่มีมวลและความยาวเบี่ยงเบนไป 5 ซม. อัตราเร่ง a คืออะไร และจะมีพลังงานศักย์เท่าใดที่ระยะ ซม. จากตำแหน่งสมดุล
