Harmonik titreşimler sırasında enerjinin dönüşümü. Zorlanmış titreşimler
Harmonik titreşimler sırasında enerji dönüşümleri.
Matematiksel bir sarkaç salındığında, sistemin toplam enerjisi, maddesel bir noktanın (top) kinetik enerjisi ile yerçekimi kuvvetleri alanındaki bir maddesel noktanın potansiyel enerjisinin toplamıdır. Bir yay sarkaç salındığında, toplam enerji, topun kinetik enerjisinin ve yayın elastik deformasyonunun potansiyel enerjisinin toplamıdır:
Hem birinci sarkaçta hem de ikinci sarkaçta denge konumundan geçerken topun kinetik enerjisi maksimum değerine ulaşır, sistemin potansiyel enerjisi sıfırdır. Salınımlar sırasında, kinetik enerjinin sistemin potansiyel enerjisine periyodik bir dönüşümü meydana gelirken, direnç kuvvetleri yoksa sistemin toplam enerjisi değişmeden kalır (mekanik enerjinin korunumu yasası). Örneğin, bir yaylı sarkaç için şunu yazabiliriz:
Bir salınım devresinde (Şekil 14.1.c), sistemin toplam enerjisi, yüklü bir kapasitörün enerjisinin ( elektrik alan enerjisi) ve akım ile bir bobinin enerjisinin toplamıdır ( manyetik alan enerjisi. Kondansatör şarj olduğunda maksimumdur, bobindeki akım sıfırdır (bakınız formül 14.11 ve 14.12 ), kapasitörün elektrik alanının enerjisi maksimumdur, bobinin manyetik alanının enerjisi sıfırdır. kondansatör sıfır, bobindeki akım maksimum, kapasitörün elektrik alanının enerjisi sıfır, bobinin manyetik alanının enerjisi maksimum.Mekanik osilatörlerde olduğu gibi salınım devresinde de enerji aktif direnç yoksa sistemin toplam enerjisi değişmeden kalırken, elektrik alanın periyodik olarak manyetik alanın enerjisine dönüştürülür. R. Yazabilirsin:
. (14.15)
Salınım işlemi sırasında dış direnç kuvvetleri matematiksel veya yaylı bir sarkaç üzerinde hareket ederse ve salınım devresinde aktif direnç varsa R, salınımların enerjisi ve dolayısıyla salınımların genliği azalacaktır. Bu tür dalgalanmalara denir sönümlü salınımlar , şekil 14.2, X'in dalgalanan değerinin zamana bağımlılığının bir grafiğini gösterir.
|
§ 16. Alternatif elektrik akımı.
Doğru akım kaynaklarına zaten aşinayız, ne işe yaradıklarını biliyoruz, doğru akım yasalarını biliyoruz. Ancak, günlük yaşamda, üretimde ve insan faaliyetinin diğer alanlarında kullanılan alternatif elektrik akımı, hayatımızda çok daha pratik bir öneme sahiptir. Akımın gücü ve alternatif akımın voltajı (örneğin apartmanımızın aydınlatma şebekesinde) zamanla harmonik yasasına göre değişir. Endüstriyel alternatif akımın frekansı 50 Hz'dir. AC kaynakları, tasarımları ve özellikleri bakımından çeşitlidir. Sabit düzgün bir manyetik alanda dönen bir tel çerçeve, bir alternatif akım üretecinin en basit modeli olarak düşünülebilir. Şekil 14.3'te çerçeve dikey eksen etrafında dönmektedir. OO, sabit bir açısal hız ile manyetik alan çizgilerine dik . Köşe α vektör ve normal arasındaki kanuna göre değişir, yüzeyden geçen manyetik akı S, çerçeve ile sınırlıdır, zamanla değişir, çerçevede bir endüksiyon emf belirir.
Sinüzoidal bir yasaya göre zamandaki değişiklikler:
nerede X- zaman anında dalgalanan miktarın değeri t, ANCAK- genlik , ω - dairesel frekans, φ salınımların ilk aşamasıdır, ( φt + φ ) salınımların toplam aşamasıdır . Aynı zamanda, değerler ANCAK, ω ve φ - kalıcı.
Salınım değeri olan mekanik titreşimler için Xözellikle elektriksel salınımlar için yer değiştirme ve hızdır - voltaj ve akım gücü.
Harmonik titreşimler, tüm titreşim türleri arasında özel bir yere sahiptir, çünkü bu, herhangi bir homojen ortamdan geçerken şekli bozulmayan tek titreşim türüdür, yani bir harmonik titreşim kaynağından yayılan dalgalar da harmonik olacaktır. Herhangi bir harmonik olmayan titreşim, çeşitli harmonik titreşimlerin (harmonik titreşimlerin bir spektrumu şeklinde) toplamı (entegrali) olarak temsil edilebilir.
Harmonik titreşimler sırasında enerji dönüşümleri.
Salınımlar sürecinde, potansiyel enerjinin bir geçişi vardır. wp kinetik içine hafta ve tersi. Denge konumundan maksimum sapma konumunda potansiyel enerji maksimum, kinetik enerji sıfırdır. Denge konumuna geri döndüğümüzde, salınan cismin hızı artar ve bununla birlikte kinetik enerji de artar, denge konumunda maksimuma ulaşır. Potansiyel enerji daha sonra sıfıra düşer. Daha fazla boyun hareketi, sapma ikinci maksimum değerine ulaştığında sıfıra düşen hızda bir azalma ile gerçekleşir. Buradaki potansiyel enerji, başlangıç (maksimum) değerine (sürtünme olmadığında) yükselir. Böylece, kinetik ve potansiyel enerjilerin salınımları (sarkaçın kendisinin salınımlarına kıyasla) iki kat bir frekansta meydana gelir ve antifazdadır (yani, aralarında eşit bir faz kayması vardır). π ). Toplam titreşim enerjisi W değişmeden kalır. Elastik bir kuvvetin etkisi altında salınan bir cisim için şuna eşittir:
nerede v m- vücudun maksimum hızı (denge konumunda), x m = ANCAK- genlik.
Sürtünme ve ortamın direnci nedeniyle serbest salınımlar söner: enerjileri ve genlikleri zamanla azalır. Bu nedenle, pratikte serbest değil, zorlanmış salınımlar daha sık kullanılır.
Matematiksel bir sarkaç salındığında, sistemin toplam enerjisi, maddesel bir noktanın (top) kinetik enerjisi ile yerçekimi kuvvetleri alanındaki bir maddesel noktanın potansiyel enerjisinin toplamıdır. Bir yay sarkaç salındığında, toplam enerji, topun kinetik enerjisinin ve yayın elastik deformasyonunun potansiyel enerjisinin toplamıdır:
Hem birinci sarkaçta hem de ikinci sarkaçta denge konumundan geçerken topun kinetik enerjisi maksimum değerine ulaşır, sistemin potansiyel enerjisi sıfıra eşittir. Salınımlar sırasında, kinetik enerji periyodik olarak sistemin potansiyel enerjisine dönüştürülürken, direnç kuvvetleri yoksa sistemin toplam enerjisi değişmeden kalır (mekanik enerjinin korunumu yasası). Örneğin, bir yaylı sarkaç için şöyle yazılabilir:
Bir salınım devresinde (Şekil 14.1.c), sistemin toplam enerjisi, yüklü bir kapasitörün enerjisinin ( elektrik alan enerjisi) ve akım ile bir bobinin enerjisinin toplamıdır ( manyetik alan enerjisi. Kondansatör şarj olduğunda maksimumdur, bobindeki akım sıfırdır (bakınız formül 14.11 ve 14.12 ), kapasitörün elektrik alanının enerjisi maksimumdur, bobinin manyetik alanının enerjisi sıfırdır. kondansatör sıfır, bobindeki akım maksimum, kapasitörün elektrik alanının enerjisi sıfır, bobinin manyetik alanının enerjisi maksimum.Mekanik osilatörlerde olduğu gibi salınım devresinde de enerji aktif direnç yoksa sistemin toplam enerjisi değişmeden kalırken, elektrik alanın periyodik olarak manyetik alanın enerjisine dönüştürülür. R. Yazabilirsin:
. (14.15)
Salınım sürecinde, dış direnç kuvvetleri matematiksel veya yaylı bir sarkaç üzerinde hareket ederse ve salınım devresinde aktif direnç varsa R, salınımların enerjisi ve dolayısıyla salınımların genliği azalacaktır. Bu tür dalgalanmalara denir sönümlü salınımlar , şekil 14.2, X'in dalgalanan değerinin zamana bağımlılığının bir grafiğini gösterir.
|
§ 16. Alternatif elektrik akımı.
Doğru akım kaynaklarına zaten aşinayız, ne işe yaradıklarını biliyoruz, doğru akım yasalarını biliyoruz. Ancak, günlük yaşamda, üretimde ve insan faaliyetinin diğer alanlarında kullanılan alternatif elektrik akımı, hayatımızda çok daha pratik bir öneme sahiptir. Akımın gücü ve alternatif akımın voltajı (örneğin apartmanımızın aydınlatma şebekesinde) zamanla harmonik yasasına göre değişir. Endüstriyel alternatif akımın frekansı 50 Hz'dir. AC kaynakları, tasarımları ve özellikleri bakımından çeşitlidir. Sabit bir düzgün manyetik alanda dönen bir tel çerçeve, bir alternatif akım üretecinin en basit modeli olarak düşünülebilir. Şekil 14.3'te çerçeve dikey eksen etrafında dönmektedir. OO, sabit bir açısal hız ile manyetik alan çizgilerine dik . Köşe α vektör ve normal arasındaki kanuna göre değişir, yüzeyden geçen manyetik akı S, çerçeve ile sınırlıdır, zamanla değişir, çerçevede bir endüksiyon emf belirir.
Bu konuyu incelerken, elastik titreşimlerin kinematiği ve dinamiği ile ilgili problemleri çözerler. Bu durumda, hem genel hem de özel özelliklerini ortaya çıkarmak için elastik salınımları daha önce ele alınan sarkacın salınımlarıyla karşılaştırmak yararlıdır.
Problemleri çözmek, Newton'un ikinci yasasının, Hooke yasasının ve harmonik salınım hareketinin kinematiği için formüllerin uygulanmasını gerektirir.
Kütleli bir cismin elastik harmonik salınımlarının periyodu formül (No. 758) ile belirlenir. Bu formül, değer biliniyorsa, çeşitli harmonik salınımların periyodunu belirlemenizi sağlar.Elastik salınımlar için, bu sertlik katsayısı ve matematiksel bir sarkacın salınımları için (No. 748).
Salınım hareketindeki enerji dönüşümleri problemlerinde, esas olarak kinetik enerjinin potansiyel enerjiye dönüşümü düşünülür. Ancak sönümlü salınımlar için mekanik enerjinin iç enerjiye dönüşümü de dikkate alınır. Elastik titreşimlerin kinetik enerjisi
Potansiyel enerji
Aynı yay üzerinde farklı kütlelere sahip cisimlerin salınımları da farklı olacak mı? Cevabınızı deneyimle kontrol edin.
Cevap. Daha büyük kütleli bir cisim daha uzun bir salınım periyoduna sahip olacaktır. Formülden, aynı elastik kuvvetle, daha büyük kütleli bir cismin daha az ivmeye sahip olacağı ve dolayısıyla daha yavaş hareket edeceği sonucu çıkar. Bu, bir dinamometre üzerinde asılı duran farklı kütlelerin salınım ağırlıkları ile kontrol edilebilir.
757(e). Yay üzerine bir ağırlık asıldı ve ardından yay gerilmemesi için desteklendi. Onu destekleyen destek kaldırılırsa yükün nasıl hareket edeceğini açıklayın. Cevabınızı deneyimle kontrol edin.
Çözüm, Yükü serbest bırakmak için serbest bırakalım. Sonra yayı, ilişkiden belirlenebilecek bir miktarda gerecek.
Enerjinin korunumu yasasına göre, yukarı doğru geriye doğru hareket sırasında, yük bir yüksekliğe yükselir ve h genliği ile salınır. Yük bir yaya asılırsa, bir miktar gerilir.
Bu nedenle, yükün hareketsiz halde asılı olduğu konum, etrafında salınımların meydana geldiği merkezdir. Bu sonucun, örneğin "Arşimet kepçesi" cihazından "yumuşak" uzun bir yay üzerinde kontrol edilmesi kolaydır.
758. Sertliği olan bir yayın etkisi altındaki kütlesi olan bir cisim, a çubuğu boyunca yatay bir düzlemde sürtünmesiz salınım yapar (Şekil 238). Enerjinin korunumu yasasını kullanarak vücudun salınım periyodunu belirleyin.
Çözüm. Aşırı pozisyonda, vücudun tüm enerjisi potansiyeldir ve ortalama olarak kinetiktir. Enerjinin korunumu yasasına göre
Denge konumu için Bu nedenle,
759(e). Lastik ipliğin sertlik katsayısını belirleyin ve üzerinde asılı duran kütlenin salınım periyodunu hesaplayın. Cevabınızı deneyimle kontrol edin.
Çözüm. Vorros problemini cevaplamak için öğrencilerin bir lastik ipliğe, 100 V'luk bir ağırlığa, bir cetvele ve bir kronometreye sahip olmaları gerekir.
Yükü ipliğe astıktan sonra, önce ipliği birim uzunluk başına geren kuvvete sayısal olarak eşit değeri hesaplayın. Deneylerden birinde aşağıdaki veriler elde edildi. İpliğin ilk uzunluğu cm, son Nerede cm
Yükün 10-20 tam salınım süresini bir kronometre ile ölçerek, hesaplamalarla bulunan sürenin deneyimden elde edilen süre ile çakışmasını sağlarlar.
760. 757 ve 758 problemlerinin çözümünü kullanarak, statik çekişi eşitse, arabanın yaylar üzerindeki salınım periyodunu belirleyin.
Çözüm.
Sonuç olarak,
Sadece değerini bilerek bir cismin elastik salınımlarının periyodunu belirlemenin kolay olduğu ilginç bir formül elde ettik.
761(e). Formülü kullanarak 100, 300, 400 g ağırlığındaki yüklerin “Arşimet kepçesinden” yay üzerindeki salınım periyodunu hesaplayın ve deneyerek test edin.
762. Formülü kullanarak, bir matematiksel sarkacın salınım periyodu formülünü alın.
Çözüm. Matematiksel bir sarkaç için, bu nedenle
763. 758 numaralı problemin koşulunu ve çözümünü kullanarak, yayın esneklik kuvvetinin değiştiği yasayı bulun ve aşırı konumda cismin enerjisi varsa, bu harmonik salınım hareketinin denklemlerini yazın.
Çözüm.
Salınım genliğinin A formülden belirlendiğini varsayalım.
Benzer şekilde, yer değiştirme, hız ve ivme için genel formüllerde kütle, genlik ve periyot değerini değiştirerek, şunu elde ederiz:
İvme formülü, kuvvet formülü kullanılarak da elde edilebilir.
764. Kütlesi ve uzunluğu olan matematiksel bir sarkaç 5 cm saptırılıyor.İvme oranı a nedir ve denge konumundan cm uzaklıkta hangi potansiyel enerjisi olacak?
