≡× MENIUL

• Sănătate
• Sarcina
• Copii
• Relaţii
• naştere

De la două inele la unul sunt exemple. Inele

Definiție 4.1.1. Inel (K, +, ) este un sistem algebric cu o mulțime nevidă Kși două operații algebrice binare pe el, pe care le vom numi plusși multiplicare. Inelul este un grup aditiv abelian, iar înmulțirea și adunarea sunt legate de legile distribuției: ( A + b)  c = A  c + b  cși Cu  (A + b) = c  A + c  b pentru arbitrar A, b, c  K.

Exemplu 4.1.1. Dăm exemple de inele.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sunt inelele numerelor întregi, raționale, reale și, respectiv, complexe, cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Aceste inele sunt numite numeric.

2. (Z/nZ, +, ) este inelul claselor de reziduuri modulo n  N cu operatii de adunare si inmultire.

3. Multe M n (K) din toate matricele pătrate de ordin fix n  N cu coeficienți din inel ( K, +, ) cu operaţii de adunare şi înmulţire a matricei. În special, K poate fi egal Z, Q, R, C sau Z/nZ la n  N.

4. Setul tuturor funcțiilor reale definite pe un interval fix ( A; b) dreapta numerică reală, cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire a funcțiilor.

5. Set de polinoame (polinoame) K[X] cu coeficienți din inel ( K, +, ) dintr-o variabilă X Cu operatii naturale adunarea și înmulțirea polinoamelor. În special, inelele de polinoame Z[X], Q[X], R[X], C[X], Z/nZ[X] la n  N.

6. Inel de vectori ( V 3 (R), +, ) cu adunare și înmulțire vectorială.

7. Inel ((0), +, ) cu operații de adunare și înmulțire: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definiție 4.1.2. Distinge finită și nesfârșită inele (în funcție de numărul de elemente ale setului K), dar clasificarea principală se bazează pe proprietățile înmulțirii. Distinge asociativ inele atunci când operația de înmulțire este asociativă (articolele 1–5, 7 din Exemplul 4.1.1) și neasociativ inele (articolul 6 din exemplul 4.1.1: aici ,). Inelele asociative sunt împărțite în inele de unitate(există un element neutru în ceea ce privește înmulțirea) și fara unitate, comutativ(operația de înmulțire este comutativă) și necomutativ.

Teorema4.1.1. Lăsa ( K, +, ) este un inel asociativ cu unitate. Apoi setul K* reversibil la multiplicarea elementelor inelare K este un grup multiplicativ.

Să verificăm îndeplinirea definiției grupului 3.2.1. Lăsa A, b  K*. Să arătăm asta A  b  K * .  (A  b) –1 = b –1  A –1  K. Într-adevăr,

(A  b)  (b –1  A –1) = A  (b  b –1)  A –1 = A  1  A –1 = 1,

(b –1  A –1)  (A  b) = b –1  (A –1  A)  b = b –1  1  b = 1,

Unde A –1 , b –1  K sunt elemente inverse Ași b respectiv.

1) Înmulțirea în K* asociativ, din moment ce K este un inel asociativ.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 este un element neutru în ceea ce privește înmulțirea în K * .

3) Pentru  A  K * , A –1  K* , deoarece ( A –1)  A = A  (A –1) = 1
(A –1) –1 = A.

Definiție 4.1.3. Multe K* inversabil în ceea ce privește înmulțirea elementelor inelului ( K, +, ) sunt numite grupul multiplicativ al inelului.

Exemplu 4.1.2. Să dăm exemple de grupuri multiplicative de diferite inele.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = GL n (Q), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* este setul de clase de reziduuri reversibile, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), la n > 1 | Z/nZ * | =  (n), Unde  este funcția Euler.

4. (0) * = (0), deoarece în acest caz 1 = 0. 

Definiție 4.1.4. Dacă în inelul asociativ ( K, +, ) cu grupa de unitati K * = K\(0), unde 0 este un element neutru în raport cu adunarea, atunci se numește un astfel de inel corp sau algebră cuDivizia. Corpul comutativ se numește camp.

Din această definiţie reiese clar că în organism K*   și 1  K* , deci 1  0, deci corpul minim, care este un câmp, este format din două elemente: 0 și 1.

Exemplu 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – respectiv câmpuri numerice numere raționale, reale și complexe.

2. (Z/pZ, +, ) este câmpul final din p elemente, dacă p- Număr prim. De exemplu, ( Z/2Z, +, ) este câmpul minim de două elemente.

3. Corpul necomutativ este corp cuaternion- a stabilit cuaternioane, adică expresii ale formei h= A + bi + cj + dk, Unde A, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = – 1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, cu operațiile de adunare și înmulțire. Cuaternionii se adaugă și se înmulțesc termen cu termen, ținând cont de formulele de mai sus. Pentru toti h 0 cuaternionul invers are forma:
.

Există inele cu divizori zero și inele fără divizori zero.

Definiție 4.1.5. Dacă în inel există elemente diferite de zero Ași b astfel încât A  b= 0, atunci sunt numite divizori zero, și inelul în sine inel divizor zero. LA in caz contrar inelul este numit inel fără divizori zero.

Exemplu 4.1.4.

1. Inele ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sunt inele fără divizori zero.

2. în ring ( V 3 (R), +, ) fiecare element diferit de zero este un divizor zero, deoarece
pentru toți
V 3 (R).

3. În inelul matricelor M 3 (Z) exemple de divizori zero sunt matrici
și
, deoarece A  B = O(matrice zero).

4. în ring ( Z/nZ, +, ) cu compozit n = k  m, unde 1< k, m < n, clase de reziduuri și sunt divizori zero, deoarece. 

Mai jos vă prezentăm principalele proprietăți ale inelelor și câmpurilor.

Set negol LA, pe care sunt setate două operații binare - adunarea (+) și înmulțirea ( ), îndeplinind condițiile:

1) privind operaţiunea de adunare La- grup comutativ;

2) privind operaţia de înmulţire La- semigrup;

3) operatiile de adunare si inmultire sunt legate de legea distributivitatii, i.e. . (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb pentru toți a, b, c K, se numește inel (K,+, ).

Structura (LA,+) se numește grup de aditivi inele. Dacă operația de înmulțire este comutativă, i.e. ab=ba. pentru toți A, b, atunci inelul este numit comutativ.

Dacă în ceea ce privește operația de înmulțire există un element de identitate, care în inel este de obicei notat cu unitatea 1,. atunci ei spun că La există inel unitar.

Se numește o submulțime L a unui inel subring, dacă L este un subgrup al grupului aditiv al inelului și L este închisă sub operația de înmulțire, adică pentru toți a, b L rulează a+bLși ab L.

Intersecția subringurilor va fi un subinel. Apoi, ca și în cazul grupurilor, printr-un subring, generate mulți S K, se numește intersecția tuturor subinelelor LA, conţinând S.

1. Mulțimea numerelor întregi în raport cu operațiile de înmulțire și adunare este un inel (Z, +, )-comutativ. seturi nZ numere întregi divizibile cu P, va fi un subring fără unitate pentru n>1.

În mod similar, setul de rațional și numere reale sunt inele comutative cu identitate.

2. Mulțimea matricelor pătrate de ordin Pîn ceea ce priveşte operaţiile de adunare şi înmulţire a matricelor, există un inel cu identitate E- matrice de identitate. La n>1 este necomutativ.

3. Fie K-inel comutativ arbitrar. Luați în considerare toate polinoamele posibile

cu variabila Xși coeficienți a 0, a 1, a 2,..., si n, din LA.În ceea ce privește operațiile algebrice de adunare și înmulțire a polinoamelor, acesta este un inel comutativ. Se numeste inel polinomial K dintr-o variabilă X peste inel La(de exemplu, peste inelul numerelor întregi, raționale, reale). Inelul de polinoame este definit în mod similar K din t variabilele ca un inel polinomial într-o variabilă x t peste inel K.

4. Lasă X- set arbitrar, La- inel arbitrar. Se consideră mulțimea tuturor funcțiilor f: X K, definite pe platou X cu valori în La Definim suma și produsul funcțiilor, ca de obicei, prin egalități

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

unde + și - operații în inel LA.

Este ușor de verificat dacă toate condițiile incluse în definiția unui inel sunt îndeplinite, iar inelul construit va fi comutativ dacă inelul original este comutativ K. Se numeste inel de funcții pe platou X cu valori în ring LA.

Multe proprietăți ale inelelor sunt reformulate proprietăți corespunzătoare ale grupurilor și semigrupurilor, de exemplu: a m a n = a m + n, (a t) n = a tp pentru toți m, n si tot A.

Alte proprietăți specifice ale inelelor modelează proprietățile numerelor:

1) pentru toată lumea A a 0=0 a=0;

2) .(-a)b=a(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Într-adevăr:

2) 0=a(asemănător cu (-a)b=-(ab));

3) folosind a doua proprietate, avem- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Camp

În inelele numerelor întregi, numerele raționale și reale din faptul că produsul ab=0, rezultă că fie A=0 sau b=0. Dar în inelul de matrici pătrate de ordine n>1 această proprietate nu mai este satisfăcută, deoarece, de exemplu, = .

Dacă în ring K ab=0 la A 0, b, apoi A se numește stânga b- dreapta divizor zero. Dacă în La nu există divizori de zero (cu excepția elementului 0, care este un divizor trivial de zero), atunci K numit inel fără divizori zero.

1. În funcția de apel f: R R pe multimea numerelor reale R consideram functiile f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Pentru ei f 1 (x)=0 la Xși f2(X)=0 la X, și deci produsul f 1 (x) f 2 (x) este totuși o funcție nulă f 1 (x)și f2(X). Prin urmare, există divizori zero în acest inel.

2. Luați în considerare mulțimea de perechi de numere întregi ( a, b) in care se dau operatiile de adunare si inmultire:

(a1, b1)+(a2, b2)=(a1 +a2, b1 +b2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Această mulțime formează un inel comutativ cu unitatea (1,1) și divizori zero, deoarece (1,0)(0,1)=(0,0).

Dacă nu există divizori zero în inel, atunci legea reducerii este îndeplinită în el, adică. ab=ac, a=c.Într-adevăr, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Lăsa La- un inel, cu o unitate. Element A numit reversibil dacă există un astfel de element a -1, pentru care aa -1 =a -1 a=1.

Elementul reversibil nu poate fi divizor de zero, deoarece. dacă ab=0 , apoi a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(similar ba=0 ).

Teorema. Toate elementele inversabile ale inelului K cu identitate formează un grup în ceea ce privește înmulțirea.

Într-adevăr, înmulțirea La asociativ, unitatea este cuprinsă în mulțimea elementelor inversabile și produsul nu deduce din mulțimea elementelor inversabile, întrucât dacă Ași b reversibil, atunci
(ab) -1 = b -1 a -1 .

O structură algebrică importantă este formată din inelele comutative LA,în care fiecare element diferit de zero este inversabil, adică în raport cu operația de înmulțire, mulțimea K\(0) formează un grup. În astfel de inele sunt definite trei operații: adunarea, înmulțirea și împărțirea.

inel comutativ R cu unitatea 1 0, în care fiecare element diferit de zero este inversabil, este numit camp.

În ceea ce privește înmulțirea, toate elementele non-nule ale câmpului formează un grup numit grup multiplicativ câmpuri.

Muncă ab -1 se scrie ca fractie si are sens numai atunci cand b 0. Elementul este singura soluție a ecuației bx=a. Acțiunile cu fracții respectă regulile cunoscute nouă:

Să demonstrăm, de exemplu, pe al doilea dintre ele. Lăsa x=și y=- rezolvarea ecuatiilor bx=a, dy=c. Din aceste ecuații rezultă dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= este singura soluție a ecuației bdt=da+bc.

1. Inelul numerelor întregi nu formează un câmp. Câmpul este mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor reale.

8.7. Sarcini pentru muncă independentă capitolul 8

8.1. Determinați dacă operația de găsire a produsului scalar al vectorilor într-un spațiu euclidian n-dimensional este comutativă și asociativă. Justificați răspunsul dvs.

8.2. Determinați dacă mulțimea matricelor pătrate de ordinul n în raport cu operația de înmulțire a matricelor este un grup sau un monoid.

8.3. Indicați care dintre următoarele mulțimi formează un grup în ceea ce privește operația de înmulțire:

a) un set de numere întregi;

b) mulţimea numerelor raţionale;

c) mulţimea numerelor reale altele decât zero.

8.4. Determinați care dintre următoarele structuri formează o mulțime de matrici pătrate de ordinul n cu determinant egal cu unu: raportat la operațiile uzuale de adunare și înmulțire a matricelor:

a) un grup

aduce;

8.5. Indicați ce structură formează mulțimea numerelor întregi în raport cu operația de înmulțire și adunare:

a) inel necomutativ;

b) un inel comutativ;

8.6. Care dintre următoarele structuri formează un set de matrice de forma cu a și b real în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a matricei:

a) un inel

8.7. Care număr trebuie exclus din mulțimea numerelor reale, astfel încât numerele rămase să formeze un grup în raport cu operația obișnuită de înmulțire:

8.8. Aflați care dintre următoarele structuri formează o mulțime formată din două elemente a și e, cu o operație binară definită după cum urmează:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

a) un grup

b) un grup abelian.

8.9. Sunt numerele pare un inel în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire? Justificați răspunsul dvs.

8.10. Este o mulțime de numere de forma a+b, unde a și b sunt numere raționale, un inel în ceea ce privește adunarea și înmulțirea? Justificați răspunsul.

Adnotare: În această prelegere, sunt luate în considerare conceptele de inele. Sunt date principalele definiții și proprietăți ale elementelor inelare, sunt luate în considerare inelele asociative. Sunt luate în considerare o serie de probleme caracteristice, sunt dovedite principalele teoreme și sunt date probleme pentru examinare independentă.

Inele

Un set R cu doi operatii binare(adunare + și înmulțire) se numește inel asociativ cu unitate, dacă:

Dacă operația de înmulțire este comutativă, atunci se numește inelul comutativ inel. Inelele comutative sunt unul dintre principalele obiecte de studiu în algebra comutativă și geometria algebrică.

Note 1.10.1.

Exemple 1.10.2 (exemple de inele asociative).

Am văzut deja că grupul de reziduuri (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, modulo n cu operația de adunare , este un grup comutativ (vezi exemplul 1.9.4, 2)).

Definim operatia de inmultire prin setarea . Să verificăm corectitudinea acestei operațiuni. Dacă C k =C k" , C l =C l" , atunci k"=k+nu , l"=l+nv , și deci C k"l" =C kl .

pentru că (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, atunci este un inel comutativ asociativ cu identitate C 1 inel rezidual modulo n ).

Proprietățile inelului (R,+,.)

Lema 1.10.3 (binomul Newton). Fie R un inel cu 1 , , . Apoi:

Dovada.

Definiție 1.10.4. Se numește o submulțime S a unui inel R subring, dacă:

a) S este un subgrup în ceea ce privește adăugarea în grupul (R,+) ;

b) căci avem ;

c) pentru un inel R cu 1 se presupune că .

Exemple 1.10.5 (exemple de subring-uri).

Sarcina 1.10.6. Descrieți toate subingelele din inelul rezidual Z n modulo n .

Observația 1.10.7. În inelul Z 10 elementele divizibile cu 5 formează un inel cu 1 care nu este un subinel în Z 10 (aceste inele au elemente de identitate diferite).

Definiția 1.10.8. Dacă R este un inel și , , ab=0 , atunci elementul a se numește divizor zero stânga în R , elementul b este numit divizor zero zero în R .

Observație 1.10.9. În inelele comutative, desigur, nu există nicio diferență între divizorii zero stânga și dreapta.

Exemplul 1.10.10. Z , Q , R nu au divizori zero.

Exemplul 1.10.11. Inelul funcțiilor continue C are divizori zero. Într-adevăr, dacă

atunci , , fg=0 .

Exemplul 1.10.12. Dacă n=kl, 1

Lema 1.10.13. Dacă nu există divizori de zero (stânga) în inelul R, atunci de la ab=ac , unde , , implică faptul că b=c (adică, capacitatea de a anula printr-un element diferit de zero din stânga dacă nu există divizori zero din stânga; și din dreapta dacă nu există divizori zero din dreapta).

Dovada. Dacă ab=ac , atunci a(b-c)=0 . Deoarece a nu este un divizor de zero din stânga, atunci b-c=0, adică b=c.

Definiția 1.10.14. Elementul este numit nilpotent, dacă x n =0 pentru unii . Cel mai mic astfel de număr natural n se numește gradul de nilpotenta a unui element .

Este clar că un element nilpotent este un divizor zero (dacă n>1, atunci , ). Reversul nu este adevărat (nu există elemente nilpotente în Z 6, dar 2 , 3 , 4 sunt divizori zero zero).

Exercițiul 1.10.15. Inelul Z n conține elemente nilpotente dacă și numai dacă n este divizibil cu m 2 , unde , .

Definiția 1.10.16. Un element x al inelului R se numește idempotent, dacă x 2 \u003d x. Este clar că 0 2 =0 , 1 2 =1 . Dacă x 2 =x și , , atunci x(x-1)=x 2 -x=0 și, prin urmare, idempotenții netriviali sunt divizori zero.

Notăm cu U(R) mulțimea elementelor inversabile ale inelului asociativ R , adică acelea pentru care există un element invers s=r -1 (adică rr -1 =1=r -1 r ).

se numeste ordinea elementului a. Dacă un astfel de n nu există, atunci elementul a se numește element de ordine infinită.

Teorema 2.7 (Mica teoremă a lui Fermat). Dacă un G și G este un grup finit, atunci un |G| =e .

Accept fara dovezi.

Reamintim că fiecare grup G, ° este o algebră cu o operație binară pentru care sunt îndeplinite trei condiții, adică, axiomele specificate ale grupului.

O submulțime G 1 a unei mulțimi G cu aceeași operație ca într-un grup este numită subgrup dacă G 1 , ° este un grup.

Se poate demonstra că o submulțime nevide G 1 a mulțimii G este o subgrupă a grupului G, ° dacă și numai dacă mulțimea G 1 împreună cu orice elemente a și b conține elementul a° b -1 .

Putem demonstra următoarea teoremă.

Teorema 2.8. Un subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

§ 7. Algebră cu două operaţii. Inel

Luați în considerare algebrele cu două operații binare.

Un inel este o mulțime nevidă R, pe care se introduc două operații binare + și °, numite adunare și înmulțire, astfel încât:

1) R; + este un grup abelian;

2) înmulțirea este asociativă, adică pentru a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea, adică pentru

a,b,c R: a° (b+c)=(a°b)+(a°c) și (a + b)°c= (a°c)+(b°c).

Un inel se numește comutativ dacă pentru a,b R: a ° b=b ° a .

Inelul este scris ca R; +, ° .

Deoarece R este o grupare abeliană (comutativă) în ceea ce privește adăugarea, are o unitate aditivă, care se notează cu 0 sau θ și se numește zero. Inversul aditiv pentru un R este notat cu -a. Mai mult, în orice inel R avem:

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

Atunci obținem asta

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 pentru x R; x° y=(х + 0 )° y=x° y+ 0° y 0° y=0 pentru y R.

Deci, am arătat că pentru x R: x ° 0 \u003d 0 ° x \u003d 0. Cu toate acestea, din egalitatea x ° y \u003d 0 nu rezultă că x \u003d 0 sau y \u003d 0. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplu. Să considerăm un set de funcții care sunt continue pe un interval. Să introducem pentru aceste funcții operațiile uzuale de adunare și înmulțire: f(x)+ ϕ (x) și f(x) · ϕ (x) . Este ușor de observat că obținem un inel, care este notat cu C . Se consideră funcția f(x) și ϕ (x) prezentate în Fig. 2.3. Atunci obținem că f(x) ≡ / 0 și ϕ (x) ≡ / 0, dar f(x) · ϕ (x) ≡0.

Am demonstrat că produsul este egal cu zero dacă unul dintre factori este egal cu zero: a ° 0= 0 pentru un R și am arătat prin exemplu că a ° b= 0 pentru a ≠ 0 și b ≠ 0.

Dacă în inelul R avem că a ° b = 0, atunci a se numește divizori de zero stânga și b dreapta. Elementul 0 este considerat un trivial divizor zero.

				f(x) ϕ(x)≡0
	ϕ(x)

Un inel comutativ fără divizori zero, alții decât divizorul zero trivial, se numește inel integral sau domeniu integral.

Este ușor să vezi asta

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

și deci x ° (-y)=(-x) ° y este inversul elementului x° y, adică.

x ° (-y) \u003d (-x) ° y \u003d - (x ° y).

În mod similar, se poate demonstra că (- x) ° (- y) \u003d x ° y.

§ 8. Sună cu unitate

Dacă în inelul R există o unitate în ceea ce privește înmulțirea, atunci această unitate multiplicativă se notează cu 1.

Este ușor de demonstrat că unitatea multiplicativă (precum și unitatea aditivă) este unică. Inversul multiplicativ pentru un R (inversul înmulțirii) va fi notat cu a-1 .

Teorema 2.9. Elementele 0 și 1 sunt elemente diferite ale inelului diferit de zero R .

Dovada. Fie R să nu conțină numai 0. Atunci pentru a ≠ 0 avem a° 0= 0 și a° 1= a ≠ 0, de unde rezultă că 0 ≠ 1, deoarece dacă 0= 1, atunci produsele lor prin a ar coincide .

Teorema 2.10. Unitate aditivă, adică 0 nu are invers multiplicativ.

Dovada. a° 0= 0° a= 0 ≠ 1 pentru a R . Astfel, un inel diferit de zero nu va fi niciodată un grup în ceea ce privește înmulțirea.

Caracteristica unui inel R este cel mai mic număr natural k

astfel încât a + a + ... + a = 0 pentru tot a R . Caracteristica inelului

k - ori

se scrie k=car R . Dacă numărul specificat k nu există, atunci setăm char R= 0.

Fie Z mulțimea tuturor numerelor întregi;

Q este mulțimea tuturor numerelor raționale;

R este mulțimea tuturor numerelor reale; C este mulțimea tuturor numerelor complexe.

Fiecare dintre mulțimile Z, Q, R, C cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un inel. Aceste inele sunt comutative, cu o unitate multiplicativă egală cu numărul 1. Aceste inele nu au divizori zero, deci sunt domenii de integritate. Caracteristica fiecăruia dintre aceste inele este egală cu zero.

Inelul de funcții continuu pe (inelul C ) este, de asemenea, un inel cu o unitate multiplicativă, care coincide cu o funcție care este identic egală cu unitatea de pe . Acest inel are divizori zero, deci nu este o regiune de integritate și char C= 0.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Fie M o mulțime nevidă și R= 2M mulțimea tuturor submulțimii mulțimii M. Introducem două operații pe R: diferența simetrică A+ B= A B (pe care o numim adunare) și intersecția (pe care o numim înmulțire). ). Poți să te asiguri că primești

inel unitar; unitatea aditivă a acestui inel va fi, iar unitatea multiplicativă a inelului va fi mulțimea M. Pentru acest inel, pentru orice А, А R , avem: А+ А = А А= . Prin urmare, charR = 2.

§ 9. Câmp

Un câmp este un inel comutativ ale cărui elemente diferite de zero formează un grup comutativ sub înmulțire.

Oferim o definiție directă a câmpului, listând toate axiomele.

Un câmp este o mulțime P cu două operații binare „+” și „°”, numite adunare și înmulțire, astfel încât:

1) adunarea este asociativă: pentru a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c);

2) există o unitate aditivă: 0 P, care pentru a P: a+0 =0 +a=a;

3) există un element invers prin adunare: pentru aP(-a)P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4) adunarea este comutativă: pentru a, b P: a+b=b+a;

(axiomele 1–4 înseamnă că câmpul este un grup abelian prin adunare);

5) înmulţirea este asociativă: pentru a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;

6) există o unitate multiplicativă: 1 P, care pentru un P:

1°a=a° 1=a;

7) pentru orice element non-nul(a ≠ 0) există o inversă prin înmulțire: pentru a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) înmulţirea este comutativă: pentru a,b P: a ° b=b ° a ;

(axiomele 5–8 înseamnă că un câmp fără element zero formează un grup comutativ prin înmulțire);

9) înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea: pentru a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

Exemple de câmp:

1) R;+, - câmp de numere reale;

2) Q;+, - câmpul numerelor raționale;

3) C;+, - câmpul numerelor complexe;

4) fie P 2 \u003d (0,1). Definim că 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Atunci F 2 = P 2 ;+ 2 este un câmp și se numește aritmetică binară.

Teorema 2.11. Dacă a ≠ 0, atunci ecuația a ° x \u003d b este solubilă în mod unic în domeniu.

Dovada . a° x=b a-1° (a° x)=a-1° b (a-1° a)° x=a-1° b

Definiție 4.1.1. Inel (K, +, ) este un sistem algebric cu o mulțime nevidă Kși două operații algebrice binare pe el, pe care le vom numi plusși multiplicare. Inelul este un grup aditiv abelian, iar înmulțirea și adunarea sunt legate de legile distribuției: ( A + b)  c = A  c + b  cși Cu  (A + b) = c  A + c  b pentru arbitrar A, b, c  K.

Exemplu 4.1.1. Dăm exemple de inele.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sunt inelele numerelor întregi, raționale, reale și, respectiv, complexe, cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire. Aceste inele sunt numite numeric.

2. (Z/ nZ, +, ) este inelul claselor de reziduuri modulo n  N cu operatii de adunare si inmultire.

3. Multe M n (K) din toate matricele pătrate de ordin fix n  N cu coeficienți din inel ( K, +, ) cu operaţii de adunare şi înmulţire a matricei. În special, K poate fi egal Z, Q, R, C sau Z/nZ la n  N.

4. Setul tuturor funcțiilor reale definite pe un interval fix ( A; b) axa numerelor reale, cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire a funcțiilor.

5. Set de polinoame (polinoame) K[X] cu coeficienți din inel ( K, +, ) dintr-o variabilă X cu operaţii naturale de adunare şi înmulţire de polinoame. În special, inelele de polinoame Z[X], Q[X], R[X], C[X], Z/nZ[X] la n  N.

6. Inel de vectori ( V 3 (R), +, ) cu adunare și înmulțire vectorială.

7. Inel ((0), +, ) cu operații de adunare și înmulțire: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definiție 4.1.2. Distinge finită și nesfârșită inele (în funcție de numărul de elemente ale setului K), dar clasificarea principală se bazează pe proprietățile înmulțirii. Distinge asociativ inele atunci când operația de înmulțire este asociativă (articolele 1–5, 7 din Exemplul 4.1.1) și neasociativ inele (articolul 6 din exemplul 4.1.1: aici , ). Inelele asociative sunt împărțite în inele de unitate(există un element neutru în ceea ce privește înmulțirea) și fara unitate, comutativ(operația de înmulțire este comutativă) și necomutativ.

Teorema4.1.1. Lăsa ( K, +, ) este un inel asociativ cu unitate. Apoi setul K* reversibil la multiplicarea elementelor inelare K este un grup multiplicativ.

Să verificăm îndeplinirea definiției grupului 3.2.1. Lăsa A, b  K*. Să arătăm asta A  b  K * .  (A  b) –1 = b –1  A –1  K. Într-adevăr,

(A  b)  (b –1  A –1) = A  (b  b –1)  A –1 = A  1  A –1 = 1,

(b –1  A –1)  (A  b) = b –1  (A –1  A)  b = b –1  1  b = 1,

Unde A –1 , b –1  K sunt elemente inverse Ași b respectiv.

1) Înmulțirea în K* asociativ, din moment ce K este un inel asociativ.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 este un element neutru în ceea ce privește înmulțirea în K * .

3) Pentru  A  K * , A –1  K* , deoarece ( A –1)  A= A  (A –1) = 1
(A –1) –1 = A.

Definiție 4.1.3. Multe K* inversabil în ceea ce privește înmulțirea elementelor inelului ( K, +, ) sunt numite grupul multiplicativ al inelului.

Exemplu 4.1.2. Să dăm exemple de grupuri multiplicative de diferite inele.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = GL n (Q), M n (R) * = GL n (R), M n (C) * = GL n (C).

3. Z/nZ* este setul de clase de reziduuri reversibile, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), la n > 1 | Z/nZ * | =  (n), Unde  este funcția Euler.

4. (0) * = (0), deoarece în acest caz 1 = 0. 

Definiție 4.1.4. Dacă în inelul asociativ ( K, +, ) cu grupa de unitati K * = K\(0), unde 0 este un element neutru în raport cu adunarea, atunci se numește un astfel de inel corp sau algebră cuDivizia. Corpul comutativ se numește camp.

Din această definiţie reiese clar că în organism K*   și 1  K* , deci 1  0, deci corpul minim, care este un câmp, este format din două elemente: 0 și 1.

Exemplu 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sunt, respectiv, câmpurile numerice ale numerelor raționale, reale și complexe.

2. (Z/pZ, +, ) este câmpul final din p elemente, dacă p- Număr prim. De exemplu, ( Z/2Z, +, ) este câmpul minim de două elemente.

3. Un corp necomutativ este corpul de cuaternioni - o colecție de cuaternioni, adică expresii de formă h= A + bi + cj + dk, Unde A, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = –1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, cu operațiile de adunare și înmulțire. Cuaternionii se adaugă și se înmulțesc termen cu termen, ținând cont de formulele de mai sus. Pentru toti h 0 cuaternionul invers are forma:
.

Există inele cu divizori zero și inele fără divizori zero.

Definiție 4.1.5. Dacă în inel există elemente diferite de zero Ași b astfel încât A  b= 0, atunci sunt numite divizori zero, și inelul în sine inel divizor zero. În caz contrar, inelul este numit inel fără divizori zero.

Exemplu 4.1.4.

1. Inele ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) sunt inele fără divizori zero.

2. în ring ( V 3 (R), +, ) fiecare element diferit de zero este un divizor zero, deoarece
pentru toți
V 3 (R).

3. În inelul matricelor M 3 (Z) exemple de divizori zero sunt matrici
și
, deoarece A  B = O(matrice zero).

4. în ring ( Z/ nZ, +, ) cu compozit n= k  m, unde 1< k, m < n, clase de reziduuri și sunt divizori zero, deoarece . 

Mai jos vă prezentăm principalele proprietăți ale inelelor și câmpurilor.